Desarrollo de la geometría.
La geometria como palabra tiene dos raíces griegas: geo = tierra y metrón = medida; o sea, significa «medida de la tierra». Su origen, unos tres mil años
antes de Cristo, se remonta al Medio Oriente, en particular al Antiguo Egipto, en que se necesitaba medir predios agrarios y en la construcción de pirámides y monumentos. Esta concepción geometrica se aceptaba sin demostración, era producto de la práctica.
Estos conocimientos pasaron a los griegos y fue Thales de Mileto quien hace unos 6 siglos antes de Cristo inició la geometría demostrativa. Las propiedades se demuestran por medio de razonamientos y no porque resulten en la práctica.
Las demostraciones pasan a ser fundamentales y son la base de la Lógica como leyes del razonamiento.
Euclides fué otro gran matemático griego, del siglo III antes de Cristo, quien en su famosa obra titulada «Los Elementos», recopila, ordena y sistematiza todos los conocimientos de geometría hasta su época y, salvo algunas pequeñas variaciones, son los mismos conocimientos que se siguen enseñando en nuestos días.
Euclides, usando un razonamiento deductivo parte de conceptos básicos primarios no demostrables tales como punto, recta, plano y espacio, que son
el punto de partida de sus definiciones, axiomas y postulados. Demuestra teoremas y a su vez, éstos servirán para demostrar otros teoremas. Crea nuevos conocimientos a partir de otros ya existentes por medio de cadenas deductivas de razonamiento lógico. Esta geometría, llamada geometría euclidiana
se basa en lo que históricamente se conoce como 5º postulado de Euclides: «por un punto situado fuera de una recta se puede trazar una y sólo una paralela a ella».
Existen otras geometrías que no aceptan dicho postulado euclidiano, sino que aceptan otros principios que dan origen a las llamadas «geometrías no euclidianas», como la creada en el siglo XIX por el ruso Lobatschevsky.
Como se mencionó, los conceptos básicos primarios punto, recta, plano y espacio no se definen sino que se captan a través de los sentidos. Puede darse
modelos físicos para cada uno de ellos. Por ejemplo un punto puede estar representado por la huella que deja sobre un papel la presión de la punta de un alfiler por una estrella en el firmamento. Una recta está sugerida por un hilo a plomo, un plano está sugerido por la superficie de un lago quieto o bien por la
superficie de un espejo. El espacio euclidiano puede considerarse constituido por todos los puntos existentes, o sea, el espacio en que nos movemos.
La geometría euclidiana puede dividirse en geometría plana y en geometría del espacio o estereometría. La plana estudia las figuras contenidas en un plano. La del espacio estudia figuras que no están contenidas en un mismo plano.
La Matemática ha tenido una larga y controvertida historia, que va desde su surgimiento con la comunidad primitiva hasta las matemáticas contemporáneas (A. Kolmogorov, 1975, Ríbnikov, 1982, Wussing, 1990, J. Bernal, 1986).
La parte teórica de la Matemática tiene sus orígenes en las escuelas científicas y filosóficas de la Grecia Antigua y su contribución al desarrollo de las ciencias es tan significativa que incluso en nuestra época “… las ciencias si quieren seguir la historia del surgimiento y desarrollo de sus tesis generales actuales, están obligadas a dirigirse a los griegos”.
El establecimiento de la Matemática como ciencia independiente, en el antiguo imperio griego, donde sobresalen los aportes de Pitágoras en el arte numérico, Arquímedes con los métodos aproximados, Apolonio con el trabajo de las cónicas, Diofanto con su aritmética, Ptolomeo con su trigonometría y Euclides con su geometría, recibió de los egipcios y los babilonios la formación de las primeras representaciones matemáticas, que impulsadas por necesidades prácticas o sociales como el comercio, la astronomía, la ornamentación y la agrimensura constituyeron los primeros sistemas numéricos y las representaciones geométricas.
La concepción de la Geometría de Euclides, que a decir de Diudonné (1959) constituye “… la realización intelectual quizás más extraordinaria alcanzada por la humanidad y es merced a Euclides que hemos podido erigir la elevada estructura del presente”, se mantuvo por cerca de 22 siglos; la llegada de las Geometrías no euclidianas en el siglo XIX por Gauss, Bolyai y Lobachewski da un viraje al pensamiento geométrico, se derrumba la idea absoluta del espacio defendida por Kant y se estructura una teoría geométrica opuesta a las concepciones euclidianas.
En esta evolución histórica un hecho ocurrido en la década del 60, que tenía como antecedente un importantísimo evento, el Seminario de Rayaumout (1959), dio un viraje a lo que se consideraba esencial en la Matemática.
La introducción de la Matemática Moderna trajo a las escuelas el formalismo y la absolutización de la teoría de conjunto; lo que limitó el trabajo con la Geometría Elemental; en particular, la intuición espacial en la estereometría, ya que por su carácter formalista la Matemática Moderna abogaba por la profundización en el rigor lógico y no en la intuición ni en la visualización.
Indudablemente la introducción de la Matemática Moderna fue consecuencia de la forma de pensar de los eminentes matemáticos que la promovieron; las concepciones filosóficas que se reconocen en la historia de la Matemática son: idealismo subjetivo, idealismo objetivo y materialismo.
De estas posiciones se desprendieron dos corrientes el nominalismo y el realismo.
La expresión contemporánea del nominalismo es el formalismo que considera que la Matemática es y se reduce a un sistema de reglas, de transformaciones, de nombres y de formas de actuar. No le importa el significado, sino el manejo del lenguaje simbólico.
Para los formalistas la Matemática es lo formalizado y por tanto el pensamiento que no opera con la simbología específica, con el lenguaje específico de la Matemática no es pensamiento matemático. Como se ha expresado esta corriente consiguió sustituir la Matemática clásica, por la posición formalista, la Matemática Moderna.
Vista hoy a lo largo de las décadas se ha considerado que la Matemática Moderna, permeada de formalismo, constituyó un fracaso en el ámbito mundial .
Con esta panorámica general, la llegada de la modernización de las matemáticas, le impregnó características a la Geometría y su enseñanza, la cual perdió su propio peso, pasando a ser considerada en la distancia como la “cenicienta de las matemáticas”.
Hoy se considera una necesidad ineludible, desde el punto de vista didáctico, científico e histórico, volver a recuperar el contenido espacial e intuitivo en toda la Matemática, no ya solo en lo que se refiere a la Geometría (De Guzmán 1993).
El pensamiento geométrico, en consecuencia, ha ido decreciendo en las últimas décadas en la enseñanza de la Matemática en la primaria, la secundaria y el preuniversitario; ya que es necesario enseñar “algo más básico y profundo que es el cultivo de aquellas porciones de la Matemática que provienen de y tratan de estimular la capacidad del hombre para explorar racionalmente el espacio físico en que vive, la figura y la forma básica».
A partir del Seminario de Rayaumont en 1959, en cuyas actas (New Thinking in school Mathematics) predominan las críticas demoledoras a los programas de enseñanza; donde se contextualiza la frase célebre de Diudoné “Abajo Euclides”, que sirvió para enarbolar reformas; y en las siguientes reuniones (RELME), congresos (ICMI) y seminarios a escala mundial y en Iberoamérica, se ha discutido con bastante fuerza la importancia de la educación geométrica y el favorecimiento de un pensamiento geométrico en los escolares.
DESARROLLO Y APLICACIÓN DE LA TRIGONOMETRIA.
La trigonometría es una rama de las tantas ramas de matemáticas, se encarga de estudiar y analizar la relación entre los lados y los ángulos de los triángulos. Para esto recurre generalmente a las llamadas razones trigonométricas. El origen de la palabra trigonometría desciende del griego “trigonos” (triángulo) y “metros” (metria).
Hace unos 4000 años en Babilonia (antiguo reino localizado en la región de Mesopotamia) y Egipto se determinó y establecieron aproximaciones de medidas de ángulos y de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos para ampliar y desarrollar medidas tanto en la agricultura como en la construcción de pirámides. Los egipcios fijaron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Además se utilizaba la trigonometría para el estudio de la astronomía. Antiguamente la astronomía se ocupaba de la observación y predicciones de los movimientos de los objetos visibles a simple vista y en el estudio de la predicción de las rutas y posiciones y perspectivas de los cuerpos en el espacio, para luego progresar y perfeccionar la exactitud en la navegación y el cálculo del tiempo así como los calendarios. La astronomía precolombina poseía calendarios muy puntuales y las pirámides de Egipto fueron construidas sobre patrones astronómicos muy exactos y puntuales.
Luego de Egipto y Babilonia, el estudio de la trigonometría se asentó en Grecia, donde podemos nombrar al matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea, quien fue uno de los principales y más importantes desarrolladores de la Trigonometría. Este matemático construyó una tabla de cuerdas para solucionar triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y aproximándose hasta 180° con ampliaciones de 71°, la tabla facilitaba la longitud de la cuerda limitada por los lados del ángulo central ya que fragmentaba a una circunferencia de radio r. Hasta el momento no se conoce el valor que Hiparco utilizó para r. 300 años mas tarde, el astrónomo griego Tolomeo utilizó r = 60, ya que los griegos tomaron el sistema numeral (base 60) que era usado por los babilonios.
Durante varios siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción primordial para los astrónomos. El libro de astronomía, Almagesto, escrito por él, igualmente poseía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, presentando también el catálogo estelar más perfecto y completo de la antigüedad. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue también obra de Tolomeo.
En India y Arabia la trigonometría era utilizada en la Astronomía. El primer uso de la función seno, aparece en el Shulba o Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Se desarrollo entonces un sistema trigonométrico que estaba basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función nueva función, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa. A finales del siglo X ya habían se habían completado la función seno y las otras cinco funciones trigonométricas.
En el siglo XII comienzan a aparecer en Europa traducciones de libros de matemáticas y astronomía árabes, hecho que lleva a la familiarización con la trigonometría. El primer trabajo significativo en esta materia en el continente Europeo fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller. Se le considerada fundador y un importante innovador en esta materia, puesto que detalla y crea varias herramientas de gran utilidad, así como importantes tratados como De triangulis y Epitome in Almagestum en el cual explica, analiza y muestra la obra de Tolomeo.
Durante el siglo XII el astrónomo alemán Georges Joachim, introdujo el conceptomoderno de las funciones trigonométricas como proporcionales en vez de longitudes de algunas determinadas líneas. Ya en el siglo XVI el matemático francés François Vieté, incorpora en su tratado “Canon matemáticas” el triángulo polar en la trigonometría esférica.
A comienzos del siglo XVII, el matemático escocés John Napier descubrió los logaritmos que el llamó “números artificiales”. Esto fue trascendental en el desarrollo de la trigonometría.
A mediados del siglo XVII el físico, inventor, alquimista y matemático inglés, Isaac Newton descubre el cálculo diferencial e integral. También contribuyó en otras áreas de la matemática, por ejemplo desarrollando el teorema del binomio o las fórmulas de Newton-Cotes.
En el siglo XVIII, el físico y matemático suizo Leonhard Euler, explicó que las propiedades de la trigonometría eran consecuencia de la aritmética de los números complejos. Estudió además la notación actual de las funciones trigonométricas y se le atribuye el descubrimiento de la letra e como base del logaritmo natural, así como la unidad imaginaria que generalmente se denota con la letra i. Euler también popularizó El número pi ( π ).
Durante el siglo XX la trigonometría ha realizado muchos aportes en el estudio de los fenómenos de onda y oscilatorio, así como el comportamiento periódico, el cual se relaciona con las propiedades analíticas de las funciones trigonométricas. En astronomía se utiliza para medir distancias a estrellas próximas, para la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación satelital.
La trigonometría es una herramienta fundamental para el estudio de muchos fenómenos físicos, algunos de ellos que estudiaréis en Bachillerato y otros, quizás, más adelante… Aquí os ofrezco la posibilidad de que veáis algunas aplicaciones de la trigonometría. No pretendo, por supuesto, que lo leáis detenidamente y que lo entendáis, simplemente que echéis un vistazo y os hagáis una idea aproximada de «para qué sirve la trigonometría»…
Por ejemplo, la trigonometría se utiliza para:
• estudiar el movimiento de un cuerpo que oscila (movimiento armónico simple)
• estudiar cómo se propagan las ondas: las ondas que se producen al tirar una piedra en el agua, o al agitar una cuerda cogida por los dos extremos, o las ondas electromagnéticas de la luz, el microondas o los rayos-x,…o las ondas sonoras, que es el ejemplo que podréis veraquí
• estudiar triángulos no ya en una superficie plana, sino en una superficie esférica, lo cual resulta muy útil para la astronomía o la navegación (es lo que se conoce comoTRIGONOMETRÍA ESFÉRICA)
DESARROLLO Y APLICACIÓN DE LA TRIGONOMETRIA.
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyó fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la Matemática.
Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, la tabla de cuerdas que construyó Hiparco para resolver triángulos comenzó con un ángulo de 71°, llegando hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
Trescientos años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía elAlmagesto (escrito por él) también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas.
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Proviene del griego TRIGONOS (triángulo) y METRÍA (medida).
Etimológicamente, significa medida de triángulos. Es una parte de la Matemática que estudia las relaciones métricas de los elementos de un triángulo (lados y ángulos). Su importancia como auxiliar de otras ciencias es muy grande.
La trigonometría, que al principio aparece como parte de la geometría que se ocupa de formular relaciones entre las medidas angulares y las longitudes de los lados de un triangulo y que surgió para resolver inicialmente problemas de exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios por parte de los griegos, posteriormente se ha convertido también el fundamento de los cálculos astronómicos.
Así pues, esta misma trigonometría se dividió en dos ramas fundamentales, que son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía y estudia triángulos esféricos, es decir, triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.
La trigonometría es una herramienta fundamental para el estudio de muchos fenómenos físicos, algunos de ellos que estudiaréis en Bachillerato y otros, quizás, más adelante… Aquí os ofrezco la posibilidad de que veáis algunas aplicaciones de la trigonometría. No pretendo, por supuesto, que lo leáis detenidamente y que lo entendáis, simplemente que echéis un vistazo y os hagáis una idea aproximada de «para qué sirve la trigonometría»…
Por ejemplo, la trigonometría se utiliza para:
• estudiar el movimiento de un cuerpo que oscila (movimiento armónico simple)
• estudiar cómo se propagan las ondas: las ondas que se producen al tirar una piedra en el agua, o al agitar una cuerda cogida por los dos extremos, o las ondas electromagnéticas de la luz, el microondas o los rayos-x,…o las ondas sonoras, que es el ejemplo que podréis veraquí
• estudiar triángulos no ya en una superficie plana, sino en una superficie esférica, lo cual resulta muy útil para la astronomía o la navegación (es lo que se conoce comoTRIGONOMETRÍA ESFÉRICA)
La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos
establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los
tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una
tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con
incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo
central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó
para r.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema
numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los
astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de
cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos
de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de
Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema
trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos delas funciones trigonométricas. El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de
astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller,
llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los
fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas
utilizando series infinitas de potencias de la variablex. Newton encontró la serie para el senx y
series similares para el cosx y la tgx. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas
fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las
funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
La trigonometría desarrollada por árabes
A finales del siglo VIII los astrónomos árabes, que habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas.
Los árabes calcularon tablas precisas en división sexagesimal; entre ellos destacó en particular Abu al – Wafa al – Buzadjami (940 – 997) por las divisiones en cuarto de grado, con cuatro posiciones sexagesimales. Por otra parte, este matemático, introdujo, con otro nombre, la tangente y la secante al lado del seno.
“Tratado del cuadrilátero” de Nasir al – Din al – Tusi (1201 – 1274). En esta obra, el cuadrilátero está formado por un triangulo esférico y un circulo máximo y permite emplear el teorema de Menelao.. . Esta resolución dice: “Cuando el triangulo viene dado mediante sus 3 ángulos, se resuelve gracias al triángulo suplementario”.
La trigonometría en Occidente
El occidente se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue «De triangulus» escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas.
Los primeros trabajos matemáticos del francés Français Viéte (1540 – 1603) se referían a la trigonometría. Su «Canon matemáticas» (1579) es una tabla de seis líneas trigonométricas calculadas de minuto en minuto para el radio 100.000. Esta tabla está acompañada de fórmulas para la resolución de triángulos planos y esféricos. Este matemático también mostró la analogía entre estas fórmulas y las del desarrollo en potencias del binario. Desde entonces, la trigonometría, como estudio de las líneas circulares, y el álgebra delos polinomios se prestan mucho apoyo.
La trigonometría en los tiempos modernos
En el s. XVII, Isaac Newton (1642 – 1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos.
También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a, b, c para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos. Además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.
1) Aplicar las leyes de senos y cósenos para la resolución de problemas.
Ejemplo: Quieres encontrar la ubicación de una montaña tomando medidas desde dos puntos que se encuentran a 3 millas uno de otro. Desde el primer punto, el ángulo formado entre la montaña y el segundo punto es 78º. Desde el segundo punto, el ángulo formado entre la montaña y el primer punto es 53º.
2) Convertir medidas de grados a radianes.
Ejemplo: Convertir 90º, 45º, y 30º a radianes
3) Resolver problemas que involucren aplicaciones de funciones trigonométricas.
Ejemplo: En Indiana, la duración del día varía a lo largo del año en una curva senoidal. El día más largo dura 14 horas y es el día 175 y el día más corto dura 10 horas y es el día 355.
Bibliografía: http://boards5.melodysoft.com/foro2w/-ejemplos-en-la-vida-diaria-de-trigonometria-98.html?MAXMSGS=50&ORDERBY=0
1. Cálculo de la distancia entre dos puntos, uno de los cuales es inaccesible
2. Cálculo de la altura de un punto de pie inaccesible
3. Cálculo de la distancia entre dos puntos inaccesibles
1)
2)
3)
Aplicación de la trigonometría:
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.
La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia.
Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos.
En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 70° y yendo hasta 180 °C con incrementos de 70°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r.
Un ejemplo de aplicación de la trigonometria sería cuando el hombre llegó a la luna de cuánto tiempo tardó en llegar y a qué velocidad iba, se puede modelar para el nivel de primaria.
En construccion se usa bastante, para techos de doble agua o muros a las cuales quieres proyectar.
Los griegos empezaron a pensar en el seno y el coseno para calcular la distancia de los barcos a tierra y viceversa.
Historia de la Trigonometría.
La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para radio.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Desarrollo histórico y aplicación de la trigonometría.
La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
LA TRIGONOMETRÍA
INTRODUCCIÓN
La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos.
La trigonometría se subdivide en:
• Trigonometría plana: si el triángulo es plano.
• Trigonometría esférica: si el triangulo está formado por círculos máximos de una esfera.
Pero además el termino significa el estudio de las “relaciones trigonométricas” o “funciones trigonométricas”, seno, coseno, tangente y cotangente de un arco o un ángulo. También se les llama funciones circulares.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.
Historia de la trigonometría
La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a. C. el astrónomo Hiparco de Nicea realizó una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y yendo hasta 180 °C con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios.
El tratado de la esféricas de Meneláo, que se sitúa hacia el fin del primer siglo de nuestra era, proporciono a claudio Ptolomeo de Alejandría ( h.90 – h.168) las proposiciones fundamentales de trigonometría esférica en particular el celebre teorema de menéalo. “Si un triángulo ABC, plano o esférico, es cortado por medio de una recta o de un circulo máximo en L, M, N se tiene: en el plano
L = NA . MC
A NC MB
En la esfera:
Sen LA = sen NA , sen MC
Sen LB sen NC sen MB
Por otra parte, Menelao escribió sus libros sobre las cuerdas de la circunferencia. Este trabajo puede ser que tuviera modelos que se remontaba a Hiparco, astrónomo del s. II a de C. Si bien la terminología griega se resiente de esta tradición, la atención de las matemáticas fue atraida como muy tarde desde Menelao hacia “La semicuerda del arco doble” nuestro seno, que desde entonces tiene un papael fundamental.
El movimiento de la trigonometría griega mejor conservado es el conjunto formado por los capítulos IX y XI del primero libro de la Sintaxis Matemática o Almagesto de Claudio Ptolomeo.
La trigonometría desarrollada por indios y árabes
Fueron los indios quienes dieron el nombre técnico a la semicuerda del arco doble. Este nombre se convirtió en nuestro seno a través de las traducciones al árabe, y luego del árabe al latín.
A finales del siglo VIII los astrónomos árabes, que habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas.
Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica
Los árabes calcularon tablas precisas en división sexagesimal; entre ellos destacó en particular Abu al-Wafa al – Buzadjami (940 – 997) por las divisiones en cuarto de grado, con cuatro posiciones sexagesimales. Por otra parte, este matemático, introdujo, con otro nombre, la tangente y la secante al lado del seno.
Posteriormente se encontró un magnifico ejemplo de empleo de las tablas en las dos trigonometrías por los árabes orientales en el “Tratado del cuadrilátero” de Nasir al – Din al – Tusi (1201 – 1274). En esta obra, el cuadrilátero está formado por un triangulo esférico y un circulo máximo y permite emplear el teorema de Menelao. La resolución de los triángulos planos es expuesta al principio de la obra, de la que compone el libro V, “La proporcionalidad de los senos de los lados a los de los ángulos opuestos” de Abu al – Wafa al – Buzadjami. Esta resolución dice: “Cuando el triangulo viene dado mediante sus 3 ángulos, se resuelve gracias al triángulo suplementario”.
La trigonometría en Occidente
El occidente se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue, De triangulus escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas.
Los primeros trabajos matemáticos del francés Français Viéte (1540 – 1603) se referían a la trigonometría. Su Canon matemáticas (1579) es una tabla de seis líneas trigonométricas calculadas de minuto en minuto para el radio 100.000.. Esta tabla está acompañada de fórmulas para la resolución de triángulos planos y esféricos.
Posteriormente Viéte dio las nuevas expresiones de las líneas de los múltiplos de un arco dado en función de las líneas de este arco. Este matemático también mostró la analogía entre estas fórmulas y las del desarrollo en potencias del binario. Desde entonces, la trigonometría, como estudio de las líneas circulares, y el álgebra delos polinomios se prestan mucho apoyo.
La trigonometría en los tiempos modernos
En el s. XVII, Isaac Newton (1642 – 1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x.
Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos.
También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a, b, c para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos
Además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.
PERSONAJES QUE TRABAJARON Y DESARROLLARON LA TRIGONOMETRÍA
Hiparco de Nicea
Hiparco de Nicea fue un astrónomo griego, el más importante de su época. Hiparco nació en Nicea, Bitinia. Fue extremadamente preciso en sus investigaciones, de las que conocemos parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la sucesión de los equinoccios. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que fueron la base de la trigonometría moderna.
Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas.
Por último Hiparco inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes.
Menelao
Menelao fue astrónomo y matemático griego, de la segunda mitad del s. I d. C. Escribió una obra, que no ha podido ser encontrada, sobre el cálculo de las cuerdas en el círculo , así como un tratado en tres libros, las Esféricas que nos ha llegado por traducción árabe:
• El primer libro de esta obra funda la geometría esférica dando un papel privilegiado a los círculos máximos.
• El segundo es puramente astronómico.
• El tercero crea la trigonometría esférica, basado sobre los dos teoremas llamados de Menelao, uno relativo al plano y el otro a la esfera.
Regiomontanus
Regiomontanus fue astrónomo y matemático alemán. Su obra principal De triangulus onmimodis, fue escrito hacia 1464, pero fue publicado, mucho después de su muerte, en Nuremberg, en 1533. Si bien este libro debe mucho a la tradición greco-árabe es una obra de profunda originalidad y con ella funda la trigonometría occidental.
Tolomeo
Tolomeo fue astrónomo y matemático cuyas teorías y explicaciones astronómicas dominaron el pensamiento científico hasta el siglo XVI. Posiblemente, Tolomeo nació en Grecia, pero su nombre verdadero, Claudius Ptolemaeus, refleja todo lo que realmente se sabe de él: ‘Ptolemaeus’ indica que vivía en Egipto y ‘Claudius’ significa que era ciudadano romano. De hecho, fuentes antiguas nos informan de que vivió y trabajó en Alejandría, Egipto, durante la mayor parte de su vida.
Tolomeo también contribuyó sustancialmente a las matemáticas a través de sus estudios en trigonometría.
Euler.
Leonhard Euler, fue un matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar.
Euler nació en Basilea y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. En 1771, cuando estalló un gran fuego en la ciudad, llegando hasta la casa de Euler, un compatriota de Basilea, Peter Grimm, se arrojó a las llamas, descubrió a Euler, y lo salvó llevándolo sobre sus hombros. Si bien se perdieron los libros y el mobiliario, se salvaron sus preciosos escritos.
Euler continuó su profuso trabajo durante doce años, hasta el día de su muerte, a los setenta y seis años de edad.
Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna. Se le debe el actual uso de las minúsculas latinas a, b, c, para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos. Sus contribuciones a la trigonometría esférica fueron recogidas en dos memorias fundamentales:
En la primera (1753) Euler partió del hecho de que, sobre la esfera, las geodésicas son los círculos máximos y utilizó en consecuencia la teoría de los extremos. Encontró así las diez relaciones existentes entre los elementos de un triángulo esférico. Luego extendió estas relaciones a los triángulos cualesquiera y hábilmente dedujo el modo de uso en la resolución de triángulos.
Posteriormente, en 1779, le pareció delicado establecer un capítulo de las matemáticas elementales basado en consideraciones transcendentes. Debido a ello, realizó un trabajo que fue el primero que, de 3 relaciones fundamentales obtenidas de la figura, dedujo todo el aparato de las fórmulas que hoy día se encuentra en los tratados de trigonometría.
La contribución fundamental de Euler es su estudio de las funciones circulares. Tomando el radio como unidad, estas funciones son las antiguas “líneas trigonométricas” ya no dadas mediante consideraciones geométricas, sino por sus desarrollos en series enteras o en productos infinitos. Estas funciones forman con las funciones exponenciales y sus inversas las funciones logarítmicas, nuestras funciones transcendentes elementales. La analogía entre funciones circulares y funciones exponenciales fueron puestas de manifiesto por Euler con una audacia cuyas geniales intuiciones en este campo nunca se desmentirán. Desde entonces, el estudio de las funciones trigonométricas se fundamentan en el estudio general de las funciones.
Eratóstenes
Eratóstenes nació en Cirene en el año 284 antes de Jesucristo, y murió en Alejandría a los 92 años, fue el primer científico de la historia de la Humanidad en medir con bastante precisión, la circunferencia de nuestro planeta.
Eratóstenes también midió la inclinación del eje terrestre con un error de sólo 7′ de arco, y creó un catálogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas. Su obra más importante fue un tratado de geografía general.
Eratóstenes quedó ciego en su vejez y decidió suicidarse muriendo de hambre.
Pero, ¿cómo lo hizo?. ¿En qué se basó para hacer la medida del radio de la esfera terrestre?
Pues, pensó, sencillamente, que dos estacas clavadas verticalmente en el suelo, a una distancia de varios kilómetros, sobre un mismo meridiano, darían sombras distintas a una misma hora en virtud de la curvatura de la superficie del planeta.
Los ángulos que forman los rayos de sol con la dirección de la estaca son:
Siendo s y s’ la sombra de cada estaca sobre la línea meridiana en cada lugar. La longitud de la estaca es d en ambos casos.
Si observamos ahora la figura de abajo y nos fijamos en el triángulo que se forma, con ángulos a, a1 y 180-a2, donde a es el ángulo del arco de meridiano comprendido entre las posiciones que ocupan ambas estacas, y a1 y a2 son los ángulos que forman los rayos solares con la dirección de las estacas, vemos que, al sumar 180º los tres ángulos del triángulo es:
a1 + 180 – a2 + a = 180, es decir: a1 – a2 + a = 0, o sea: a = a2 – a1
Conocido el ángulo a, y la longitud L del arco de meridiano entre ambos puntos de colocación de las estacas, será posible, mediante una sencilla regla de tres, encontrar la longitud total, X, de la circunferencia del planeta:
y, de aquí, el radio medio de la Tierra:
Si una de las dos estacas, en un determinado momento diera sobre la línea meridiana sombra nula, es decir, si en una de las estacas fuera cero el ángulo que forma la dirección de los rayos solares con la estaca, o, dicho de otra manera, si en uno de los dos lugares los rayos solares inciden perpendicularmente, entonces, se tendría que:
a1 = 0, por lo cual a = a2 – 0 = a2, es decir, el ángulo, a, que corresponde al arco de meridiano terrestre comprendido entre ambas posiciones de las estacas, es, precisamente el ángulo, a2, que formarían los rayos solares con la segunda estaca sobre la línea meridiana.
Este último hecho fue lo que utilizó Eratóstenes para hacer su medición.
Eratóstenes, que estaba en Alejandría, recordó que en un cierto día del año, en el solsticio de verano, los rayos solares caían verticalmente en la ciudad de Siena, situada en el mismo meridiano que Alejandría, pues recordaba que el sol se reflejaba en lo mas profundo de los pozos, a la hora del mediodía. Entonces, pensó que si media ese día en la ciudad de Alejandría, a la misma hora, el ángulo, a2, que los rayos solares formaban con la vertical, midiendo la sombra que sobre la línea meridiana formaba la estaca, conocería el ángulo del arco de meridiano entre Alejandría y Siena.
Eratóstenes midió la sombra sobre la línea meridiana producida por una estaca vertical en Alejandría, y conociendo la longitud de la estaca halló ese ángulo a la hora antedicha: resultó que el ángulo era de 7 grados (a2 = 7º). Ya sabia el ángulo del arco de meridiano entre Alejandría y Siena. Ahora faltaba conocer la distancia, a lo largo del meridiano, entre ambas ciudades, es decir, la longitud del arco L. Para ello Eratóstenes pagó a un hombre que hizo, a pie, tal medición. Eran, usando la medida usual en la época y en la zona, unos 4900 estadios, que equivaldría hoy ( a unos 6’125 estadios por kilómetro) a unos 800 kms.
Con estos datos ya es inmediato el cálculo:
Longitud de la circunferencia terrestre:
Radio medio del planeta:
Friefrich Wilheim Bessel
Bessel fue un astrónomo y matemático alemán, nacido en Minden, conocido principalmente por realizar la primera medición precisa de la distancia de una estrella. Nació en Minden. Estableció el sistema uniforme para calcular las posiciones de las estrellas que todavía se utiliza actualmente. Desde 1821 hasta 1833, determinó con precisión las posiciones de estrellas de hasta la novena magnitud, elevando el número de estrellas catalogadas a 50.000. Sus observaciones astronómicas fueron publicadas en 1842.
Bessel fue el primero en determinar el paralaje, y por tanto, la distancia de una estrella fija, 61 Cygni, proporcionando así la confirmación definitiva de la teoría por la que el Sol y no la Tierra es el centro del Sistema Solar. También determinó el diámetro, el peso y la elipticidad (o desviación de la forma de una esfera real) de la Tierra. En la investigación de problemas relacionados con perturbaciones planetarias, introdujo en matemáticas las funciones de Bessel como solución a ciertas ecuaciones diferenciales. Las funciones son de gran importancia para determinar la distribución y el flujo del calor o la electricidad a través de un cilindro circular, y para la solución de problemas relacionados con el movimiento ondulatorio, la elasticidad y la hidrodinámica.
EJEMPLOS EN LA VIDA DIARIA DE TRIGONOMETRIA
1) Aplicar las leyes de senos y cósenos para la resolución de problemas.
Ejemplo: Quieres encontrar la ubicación de una montaña tomando medidas desde dos puntos que se encuentran a 3 millas uno de otro. Desde el primer punto, el ángulo formado entre la montaña y el segundo punto es 78º. Desde el segundo punto, el ángulo formado entre la montaña y el primer punto es 53º.
2) Convertir medidas de grados a radianes.
Ejemplo: Convertir 90º, 45º, y 30º a radianes
3) Resolver problemas que involucren aplicaciones de funciones trigonométricas.
Ejemplo: En Indiana, la duración del día varía a lo largo del año en una curva senoidal. El día más largo dura 14 horas y es el día 175 y el día más corto dura 10 horas y es el día 355.
INTRODUCCIÓN.
La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrollo a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyo fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática.
Es así, como en este trabajo, se expondrá la historia y desarrollo de la trigonometría y de acuerdo a esto, fechas, épocas y principales precursores o personajes que lideraron el proceso o dieron los pasos fundamentales para el posterior desarrollo de esta importante rama de las matemáticas. Junto con esto, una biografía de cada uno de los exponentes y una línea del tiempo con personajes y descubrimientos para una mayor comprensión.
HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA.
La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Quién era Hiparco de Nicea
(c. 190-120 a.C), Hiparco de Nicea fue astrónomo griego, el más importante de su época. Nació en Nicea, Bitinia (hoy Iznik, Turquía). Fue extremadamente preciso en sus investigaciones, de las que conocemos parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la precisión de los equinoccios .Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. También inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes. Catalogó, hizo gráficos y calculó el brillo de unas mil estrellas. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que fueron la base de la trigonometría moderna.
Quién era Tolomeo
(c. 100-c. 170), Claudio Tolomeo, fue un astrónomo y matemático que dominó el pensamiento científico hasta el siglo XVI por sus teorías y explicaciones astronómicas. Posiblemente nació en Grecia, pero su verdadero nombre, Claudius Ptolemaeus, dice lo que realmente se sabe de él: ‘Ptolemaeus’ indica que vivía en Egipto y ‘Claudius’ que era ciudadano romano.
Contribuyó a las matemáticas con sus estudios en trigonometría y aplicó sus teorías a la construcción de astrolabios y relojes de sol.
Quién era Euler.
(1707-1783), Leonhard Euler fue un matemático suizo, sus trabajos se centraron en el campo de las matemáticas puras, Euler nació en Basilea y se licenció a los 16 años. En 1727, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte. Aunque tuvo una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y una ceguera casi total al final de su vida, produjo obras matemáticas importantes, como reseñas matemáticas y científicas.
En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), trató la trigonometría y la geometría analítica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).
Quien era John Napier
(1550-1617), Napier fue un matemático escocés nacido en Merchiston, cerca de Edimburgo. Estudió en la Universidad de San Andrés y allí fue seguidor del movimiento de la Reforma en Escocia, después de unos años tomó parte en los asuntos políticos de los protestantes y es autor de la primera interpretación importante en Escocia de la Biblia.
Principalmente es conocido por introducir el primer sistema de logaritmos, (1614). Además, fue uno de los primeros, si no el primero, en utilizar la moderna notación decimal para expresar fracciones decimales de una forma sistemática.
Así pues, se pretendía clarificar la historia de la trigonometría para así poder tener una visión mucho más amplia de su desarrollo y de igual manera un mayor entendimiento acerca del tema.
Fue así, como la trigonometría avanzó, hasta convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática. Pero esto no quiere decir que los avances, descubrimientos e investigaciones no hayan continuado. Es decir, que el estudio de la trigonometría actualmente, no solo se limita a las relaciones entre los elementos de un triangulo y a sus aplicaciones. Hoy día, la trigonometría, es parte de la matemática y se emplea en muchos campos del conocimiento, tanto teóricos como prácticos, e interviene en toda clase de investigaciones geométricas y algebraicas en las cuales aparecen las llamadas funciones trigonométricas, de gran aplicación además en la electricidad, termodinámica, investigación atómica etc..
No es de sobra aclarar esto, ya que la palabra trigonometría se deriva de dos raíces griegas: trigon, que significa triángulo, y metra, que significa medida, entonces, se tiende a creer su aplicación solo se limita o refiere a las varias relaciones entre los ángulos de un triángulo y sus lados.
Sin embargo, el hombre la ha empleado para calcular áreas, distancias, trayectorias y en el estudio de la mecánica etc., con base en la resolución de triángulos.
La trigonometría, que al principio aparece como parte de la geometría que se ocupa de formular relaciones entre las medidas angulares y las longitudes de los lados de un triangulo y que surgió para resolver inicialmente problemas de exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios por parte de los griegos, posteriormente se ha convertido también el fundamento de los cálculos astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella y otras magnitudes.
Así pues, esta misma trigonometría se dividió en dos ramas fundamentales, que son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía y estudia triángulos esféricos, es decir, triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.
Bibliografía.
ð Aprendo a superar las matemáticas de 3º de BUP
ð Matemáticas Tecnología 1º Bachiller J.R. Vizmanos y M. Anzola.
ð Diccionario enciclopédico Larousse.
ð Diccionario enciclopédico Vox.
ð Microsoft Encarta 2000.
ð Enciclopedia Planeta Multimedia. http://html.rincondelvago.com/historia-de-la-trigonometria.html
Historia de la Trigonometría .
Trigonometría es, por supuesto, una rama de la geometría, pero difiere de la geometría sintética de Euclides y los antiguos griegos por ser de cómputo en la naturaleza. Por ejemplo, la Proposición I.4 de elementos es el lado-ángulo de congruencia teorema de ángulo que se afirma que un triángulo está determinado por dos ángulos y el lado entre ellos. Es decir, si usted quiere saber el ángulo restante y los lados otros dos, todo lo que tienes que hacer es diseñar el lado dado y los dos ángulos en sus extremos, se extienden los otros dos lados hasta que se encuentren, y que tienes el triángulo. No hay cálculos numéricos involucrados.
Pero la versión trigonométrica es diferente. Si usted tiene las medidas de los dos ángulos y la longitud del lado entre ellos, el problema consiste en calcular el ángulo restante (que es fácil, basta con restar la suma de los dos ángulos a partir de dos ángulos rectos) y los lados otros dos (lo cual es difícil). La solución moderna para el cálculo última es por medio de la ley de los cosenos.
Todos los cálculos trigonométricos requieren la medición de ángulos y el cálculo de una función trigonométrica. Las funciones trigonométricas modernas seno, coseno, tangente, y sus inversos, pero en la trigonometría griega antigua, el acorde, una función más intuitiva, se utilizó.
Trigonometría, por supuesto, depende de la geometría. La ley de cosenos, por ejemplo, se desprende de una proposición de la geometría sintética, es decir, proposiciones II.12 y II.13 de los elementos. Y así, los problemas de trigonometría han requerido de los nuevos avances en la geometría sintética. Un ejemplo es el teorema de Ptolomeo, que establece normas de los acordes de la suma y diferencia de ángulos, que corresponden a las fórmulas de suma y diferencia de senos y cosenos.
La aplicación principal de la trigonometría en las culturas pasadas, no sólo griego antiguo, es a la astronomía. Cálculo de los ángulos en la esfera celeste requiere un tipo diferente de la geometría y la trigonometría que en el avión. La geometría de la esfera se llama «esféricos» y formaron una parte del quadrivium de estudio. Varios autores, incluyendo Euclides, escribió libros sobre esféricos. El nombre actual de la asignatura es «geometría elíptica». Trigonometría aparentemente surgió para resolver los problemas planteados en esféricos en lugar de los problemas que plantea en la geometría plana. Por lo tanto, la trigonometría esférica es tan antigua como la trigonometría plana.
Los babilonios y la medida del ángulo.
Los babilonios, en algún momento antes de 300 a. C. fueron el método de medición grados para los ángulos. Los números babilónicos se basaron en el número 60, por lo que puede conjeturarse que se llevaron la unidad de medida a ser lo que llamamos 60 °, que luego se divide en 60 grados. Tal vez 60 ° se tomó como grupo, dado que la cuerda de 60 ° es igual al radio del círculo, véase más abajo sobre los acordes. Grado de medición fue adoptada más tarde por Hiparco.
Los babilonios fueron los primeros en dar las coordenadas de las estrellas. Ellos usaron la eclíptica como su círculo de base en la esfera celeste, es decir, la esfera de cristal de las estrellas. El sol recorre la eclíptica, los planetas viajan cerca de la eclíptica, las constelaciones del zodíaco están dispuestas alrededor de la eclíptica, y la estrella polar, Polaris, es de 90 ° respecto a la eclíptica. La esfera celeste gira alrededor del eje que pasa por los polos norte y sur. Los babilonios midió la longitud en grados hacia la izquierda desde el punto vernal, visto desde el polo norte, y midió la latitud en grados al norte o al sur de la eclíptica.
Hiparco de Nicea (ca. 180 – ca 125 aC.)
Hiparco fue un astrónomo principalmente, pero los comienzos de la trigonometría, aparentemente comenzó con él. Sin duda los babilonios, egipcios y griegos a principios de la astronomía sabía mucho antes de Hiparco, y también determina las posiciones de muchas estrellas en la esfera celeste delante de él, pero es Hiparco a quien la primera tabla de las cuerdas se le atribuye. Se ha hipotetizado que Apolonio y Arquímedes, incluso construyeron tablas de acordes delante de él, pero no hay referencia a ninguna tabla anterior tales.
Algunos de Hiparco avances en la astronomía incluyen el cálculo del mes lunar decir, las estimaciones del tamaño y las distancias del sol y la luna, las variantes de los modelos epicicloidal y excéntrica del movimiento planetario, un catálogo de 850 estrellas (longitud y latitud en relación con la eclíptica), y el descubrimiento de la precesión de los equinoccios y una medida de que la precesión.
Según Teón, Hiparco escribió una obra de 12 libros sobre las cuerdas de un círculo, ya que perdió. Esa sería la primera obra conocida de la trigonometría. Dado que el trabajo ya no existe, la mayoría de todo sobre él es la especulación. Pero algunas cosas se saben de diversas menciones en otras fuentes incluyendo otro de los suyos. Se incluyen algunas longitudes de las cuerdas que corresponden a diferentes arcos de círculo, tal vez una tabla de cuerdas. Además de estos restos de algunas de información, otros pueden ser inferidos a partir del conocimiento que se tomó tan conocido por sus sucesores.
Acordes de base de la trigonometría
En una presentación moderna de la trigonometría, el seno y el coseno de un ángulo a es el eje – y y x-coordenadas de un punto sobre el círculo unidad, el punto es la intersección del círculo unidad y un lado del ángulo a la otra lado del ángulo es el eje x positivo. El griego, indio, árabe, y los primeros europeos utilizan un círculo de radio de algunos conveniente. Para esta descripción de la trigonometría, vamos a dejar la radio sin especificar en modo lectura y es doble, el diámetro, vamos a denotar
El acorde de un ángulo AOB donde O es el centro de un círculo y A y B son dos puntos en el círculo, es la línea recta AB. Los acordes son relacionados con el seno y el coseno moderna por las fórmulas
CRD a = d sen (a / 2)
el pecado a = (1 / d), CRD 2 bis
CRD (180 ° – a) = d cos (a / 2)
cos a = (1 / d) CRD (180 ° – 2 a)
donde a es un ángulo, d el diámetro, y CRD una abreviatura de acordes.
Algunas propiedades de las cuerdas no podría haber escapado a la atención de Hiparco, sobre todo en una obra de 12 libros sobre el tema. Por ejemplo, una fórmula de ángulo complementario indicaría que si AOB y BOC son ángulos complementarios, entonces el teorema de Thales estados que el triángulo ABC es correcto, por lo que el teorema de Pitágoras dice que el cuadrado de la cuerda AB, más el cuadrado de la cuerda BC es igual a la cuadrado de la CA de diámetro. Resumieron mediante una notación algebraica moderna
CRD 2 AOB + CRD 2 BOC = d 2
donde d es el diámetro del círculo.
Hiparco probablemente construido su tabla de cuerdas con una fórmula medio de ángulo y la fórmula de ángulo suplementario. La fórmula de media ángulo en términos de acordes es
CRD 2 (t / 2) = r (2 r – CRD (180 ° – t)
donde r es el radio del círculo y t es un ángulo. con ERC 60 ° = r A partir, Hipócrates puede por medio de esta fórmula de ángulo medio encontrar los acordes de 30 °, 15 ° y 2.1 ° 7. Que pudiera completar una tabla de acordes en 7 1 / 2 ° pasos mediante CRD 90 °, la fórmula de medio punto de vista, y la fórmula de ángulo suplementario.
Desarrollo Histórico de la Trigonometría
La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrollo a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyo fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática.
Es así, como en este trabajo, se expondrá la historia y desarrollo de la trigonometría y de acuerdo a esto, fechas, épocas y principales precursores o personajes que lideraron el proceso o dieron los pasos fundamentales para el posterior desarrollo de esta importante rama de las matemáticas. Junto con esto, una biografía de cada uno de los exponentes y una línea del tiempo con personajes y descubrimientos para una mayor comprensión.
La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Quién era Hiparco de Nicea
(c. 190-120 a.C), Hiparco de Nicea fue astrónomo griego, el más importante de su época. Nació en Nicea, Bitinia (hoy Iznik, Turquía). Fue extremadamente preciso en sus investigaciones, de las que conocemos parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la precisión de los equinoccios .Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. También inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes. Catalogó, hizo gráficos y calculó el brillo de unas mil estrellas. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que fueron la base de la trigonometría moderna.
Quién era Tolomeo
(c. 100-c. 170), Claudio Tolomeo, fue un astrónomo y matemático que dominó el pensamiento científico hasta el siglo XVI por sus teorías y explicaciones astronómicas. Posiblemente nació en Grecia, pero su verdadero nombre, Claudius Ptolemaeus, dice lo que realmente se sabe de él: ‘Ptolemaeus’ indica que vivía en Egipto y ‘Claudius’ que era ciudadano romano.
Contribuyó a las matemáticas con sus estudios en trigonometría y aplicó sus teorías a la construcción de astrolabios y relojes de sol.
Quién era Euler.
(1707-1783), Leonhard Euler fue un matemático suizo, sus trabajos se centraron en el campo de las matemáticas puras, Euler nació en Basilea y se licenció a los 16 años. En 1727, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte. Aunque tuvo una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y una ceguera casi total al final de su vida, produjo obras matemáticas importantes, como reseñas matemáticas y científicas.
En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), trató la trigonometría y la geometría analítica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).
Quien era John Napier
(1550-1617), Napier fue un matemático escocés nacido en Merchiston, cerca de Edimburgo. Estudió en la Universidad de San Andrés y allí fue seguidor del movimiento de la Reforma en Escocia, después de unos años tomó parte en los asuntos políticos de los protestantes y es autor de la primera interpretación importante en Escocia de la Biblia.
Principalmente es conocido por introducir el primer sistema de logaritmos, (1614). Además, fue uno de los primeros, si no el primero, en utilizar la moderna notación decimal para expresar fracciones decimales de una forma sistemática.
Así pues, se pretendía clarificar la historia de la trigonometría para así poder tener una visión mucho más amplia de su desarrollo y de igual manera un mayor entendimiento acerca del tema.
Fue así, como la trigonometría avanzó, hasta convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática. Pero esto no quiere decir que los avances, descubrimientos e investigaciones no hayan continuado. Es decir, que el estudio de la trigonometría actualmente, no solo se limita a las relaciones entre los elementos de un triangulo y a sus aplicaciones. Hoy día, la trigonometría, es parte de la matemática y se emplea en muchos campos del conocimiento, tanto teóricos como prácticos, e interviene en toda clase de investigaciones geométricas y algebraicas en las cuales aparecen las llamadas funciones trigonométricas, de gran aplicación además en la electricidad, termodinámica, investigación atómica etc..
No es de sobra aclarar esto, ya que la palabra trigonometría se deriva de dos raíces griegas: trigon, que significa triángulo, y metra, que significa medida, entonces, se tiende a creer su aplicación solo se limita o refiere a las varias relaciones entre los ángulos de un triángulo y sus lados.
Sin embargo, el hombre la ha empleado para calcular áreas, distancias, trayectorias y en el estudio de la mecánica etc., con base en la resolución de triángulos.
La trigonometría, que al principio aparece como parte de la geometría que se ocupa de formular relaciones entre las medidas angulares y las longitudes de los lados de un triangulo y que surgió para resolver inicialmente problemas de exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios por parte de los griegos, posteriormente se ha convertido también el fundamento de los cálculos astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella y otras magnitudes.
Así pues, esta misma trigonometría se dividió en dos ramas fundamentales, que son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía y estudia triángulos esféricos, es decir, triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.
La trigonometría en los tiempos modernos
En el s. XVII, Isaac Newton (1642 – 1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos.
También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a, b, c para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos. Además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.
Isaac newton
El más grande de los matemáticos ingleses. Su libro «Principia Mathemáthica» basta para asegurarle un lugar sobresaliente en la Historia de las matemáticas. Descubrió simultáneamente con Leibnitz el Cálculo diferencial y el Cálculo integral. En Algebra le debemos el desarrollo del binomio que lleva su nombre. Según Leibnitz «Si se considera la matemática creada desde el principio del mundo hasta la época en que Newton vivió. Lo que él realizó fue la mejor mitad».
INTRODUCCIÓN.
La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrollo a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyo fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática.
Es así, como en este trabajo, se expondrá la historia y desarrollo de la trigonometría y de acuerdo a esto, fechas, épocas y principales precursores o personajes que lideraron el proceso o dieron los pasos fundamentales para el posterior desarrollo de esta importante rama de las matemáticas. Junto con esto, una biografía de cada uno de los exponentes y una línea del tiempo con personajes y descubrimientos para una mayor comprensión.
HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA
La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Quién era Hiparco de Nicea
(c. 190-120 a.C), Hiparco de Nicea fue astrónomo griego, el más importante de su época. Nació en Nicea, Bitinia (hoy Iznik, Turquía). Fue extremadamente preciso en sus investigaciones, de las que conocemos parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la precisión de los equinoccios .Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. También inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes. Catalogó, hizo gráficos y calculó el brillo de unas mil estrellas. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que fueron la base de la trigonometría moderna.
Quién era Tolomeo
(c. 100-c. 170), Claudio Tolomeo, fue un astrónomo y matemático que dominó el pensamiento científico hasta el siglo XVI por sus teorías y explicaciones astronómicas. Posiblemente nació en Grecia, pero su verdadero nombre, Claudius Ptolemaeus, dice lo que realmente se sabe de él: ‘Ptolemaeus’ indica que vivía en Egipto y ‘Claudius’ que era ciudadano romano.
Contribuyó a las matemáticas con sus estudios en trigonometría y aplicó sus teorías a la construcción de astrolabios y relojes de sol.
Quién era Euler.
(1707-1783), Leonhard Euler fue un matemático suizo, sus trabajos se centraron en el campo de las matemáticas puras, Euler nació en Basilea y se licenció a los 16 años. En 1727, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte. Aunque tuvo una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y una ceguera casi total al final de su vida, produjo obras matemáticas importantes, como reseñas matemáticas y científicas.
En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), trató la trigonometría y la geometría analítica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).
Quien era John Napier
(1550-1617), Napier fue un matemático escocés nacido en Merchiston, cerca de Edimburgo. Estudió en la Universidad de San Andrés y allí fue seguidor del movimiento de la Reforma en Escocia, después de unos años tomó parte en los asuntos políticos de los protestantes y es autor de la primera interpretación importante en Escocia de la Biblia.
Principalmente es conocido por introducir el primer sistema de logaritmos, (1614). Además, fue uno de los primeros, si no el primero, en utilizar la moderna notación decimal para expresar fracciones decimales de una forma sistemática.
Así pues, se pretendía clarificar la historia de la trigonometría para así poder tener una visión mucho más amplia de su desarrollo y de igual manera un mayor entendimiento acerca del tema.
Fue así, como la trigonometría avanzó, hasta convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática. Pero esto no quiere decir que los avances, descubrimientos e investigaciones no hayan continuado. Es decir, que el estudio de la trigonometría actualmente, no solo se limita a las relaciones entre los elementos de un triangulo y a sus aplicaciones. Hoy día, la trigonometría, es parte de la matemática y se emplea en muchos campos del conocimiento, tanto teóricos como prácticos, e interviene en toda clase de investigaciones geométricas y algebraicas en las cuales aparecen las llamadas funciones trigonométricas, de gran aplicación además en la electricidad, termodinámica, investigación atómica etc..
No es de sobra aclarar esto, ya que la palabra trigonometría se deriva de dos raíces griegas: trigon, que significa triángulo, y metra, que significa medida, entonces, se tiende a creer su aplicación solo se limita o refiere a las varias relaciones entre los ángulos de un triángulo y sus lados.
Sin embargo, el hombre la ha empleado para calcular áreas, distancias, trayectorias y en el estudio de la mecánica etc., con base en la resolución de triángulos.
La trigonometría, que al principio aparece como parte de la geometría que se ocupa de formular relaciones entre las medidas angulares y las longitudes de los lados de un triangulo y que surgió para resolver inicialmente problemas de exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios por parte de los griegos, posteriormente se ha convertido también el fundamento de los cálculos astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella y otras magnitudes.
Así pues, esta misma trigonometría se dividió en dos ramas fundamentales, que son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía y estudia triángulos esféricos, es decir, triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.
La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a. C. el astrónomo Hiparco de Nicea realizó una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y yendo hasta 180 °C con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios.
El tratado de la esféricas de Meneláo, que se sitúa hacia el fin del primer siglo de nuestra era, proporciono a claudio Ptolomeo de Alejandría ( h.90 – h.168) las proposiciones fundamentales de trigonometría esférica en particular el celebre teorema de menéalo. “Si un triángulo ABC, plano o esférico, es cortado por medio de una recta o de un circulo máximo en L, M, N se tiene: en el plano
L = NA . MC
A NC MB
En la esfera:
Sen LA = sen NA , sen MC
Sen LB sen NC sen MB
Por otra parte, Menelao escribió sus libros sobre las cuerdas de la circunferencia. Este trabajo puede ser que tuviera modelos que se remontaba a Hiparco, astrónomo del s. II a de C. Si bien la terminología griega se resiente de esta tradición, la atención de las matemáticas fue atraida como muy tarde desde Menelao hacia “La semicuerda del arco doble” nuestro seno, que desde entonces tiene un papael fundamental.
El movimiento de la trigonometría griega mejor conservado es el conjunto formado por los capítulos IX y XI del primero libro de la Sintaxis Matemática o Almagesto de Claudio Ptolomeo.
La trigonometría desarrollada por indios y árabes
Fueron los indios quienes dieron el nombre técnico a la semicuerda del arco doble. Este nombre se convirtió en nuestro seno a través de las traducciones al árabe, y luego del árabe al latín.
A finales del siglo VIII los astrónomos árabes, que habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas.
Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica
Los árabes calcularon tablas precisas en división sexagesimal; entre ellos destacó en particular Abu al-Wafa al – Buzadjami (940 – 997) por las divisiones en cuarto de grado, con cuatro posiciones sexagesimales. Por otra parte, este matemático, introdujo, con otro nombre, la tangente y la secante al lado del seno.
Posteriormente se encontró un magnifico ejemplo de empleo de las tablas en las dos trigonometrías por los árabes orientales en el “Tratado del cuadrilátero” de Nasir al – Din al – Tusi (1201 – 1274). En esta obra, el cuadrilátero está formado por un triangulo esférico y un circulo máximo y permite emplear el teorema de Menelao. La resolución de los triángulos planos es expuesta al principio de la obra, de la que compone el libro V, “La proporcionalidad de los senos de los lados a los de los ángulos opuestos” de Abu al – Wafa al – Buzadjami. Esta resolución dice: “Cuando el triangulo viene dado mediante sus 3 ángulos, se resuelve gracias al triángulo suplementario”.
La trigonometría en Occidente
El occidente se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue, De triangulus escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas.
Los primeros trabajos matemáticos del francés Français Viéte (1540 – 1603) se referían a la trigonometría. Su Canon matemáticas (1579) es una tabla de seis líneas trigonométricas calculadas de minuto en minuto para el radio 100.000.. Esta tabla está acompañada de fórmulas para la resolución de triángulos planos y esféricos.
Posteriormente Viéte dio las nuevas expresiones de las líneas de los múltiplos de un arco dado en función de las líneas de este arco. Este matemático también mostró la analogía entre estas fórmulas y las del desarrollo en potencias del binario. Desde entonces, la trigonometría, como estudio de las líneas circulares, y el álgebra delos polinomios se prestan mucho apoyo.
La trigonometría en los tiempos modernos
En el s. XVII, Isaac Newton (1642 – 1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x.
Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos.
También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a, b, c para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos
Además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.
DESARROLLO HISTORICO DE LA TRIGONOMETRIA
La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los
ángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los
primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar
medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrollo a partir de los
primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de
las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el
calculo del tiempo y los calendarios.
La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos
establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los
tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una
tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con
incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo
central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó
para r.
300 años después, el astrónomoTolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema
numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los
astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de
cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos
de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los
conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de
Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema
trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno,
era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los
matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X
ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y
demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como
esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los
valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de
astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en
esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller,
llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los
cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los
fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas
utilizando series infinitas de potencias de la variablex. Newton encontró la serie para el senx y
series similares para el cosx y la tgx. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas
fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las
matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la
trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las
funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Quién era Hiparco de Nicea
(c. 190-120 a.C), Hiparco de Nicea fue astrónomo griego, el más importante de su época. Nació
en Nicea, Bitinia (hoy Iznik, Turquía). Fue extremadamente preciso en sus investigaciones, de las
que conocemos parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo
alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo
con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la precisión de los equinoccios .Sus
cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de
error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. También inventó un método para
localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes. Catalogó, hizo gráficos y
calculó el brillo de unas mil estrellas. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que
fueron la base de la trigonometría moderna.
Quién era Tolomeo
(c. 100-c. 170), Claudio Tolomeo, fue un astrónomo y matemático que dominó el pensamiento
científico hasta el siglo XVI por sus teorías y explicaciones astronómicas. Posiblemente nació en
Grecia, pero su verdadero nombre, Claudius Ptolemaeus, dice lo que realmente se sabe de él:
‘Ptolemaeus’ indica que vivía en Egipto y ‘Claudius’ que era ciudadano romano.
Contribuyó a las matemáticas con sus estudios en trigonometría y aplicó sus teorías a la
construcción de astrolabios y relojes de sol.
Quién era Euler.
(1707-1783), Leonhard Euler fue un matemático suizo, sus trabajos se centraron en el campo de
las matemáticas puras, Euler nació en Basilea y se licenció a los 16 años. En 1727, fue miembro
del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de
física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia
de Ciencias de Berlín. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su
muerte. Aunque tuvo una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y una ceguera casi
total al final de su vida, produjo obras matemáticas importantes, como reseñas matemáticas y
científicas.
En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), trató la trigonometría y la geometría analítica.
Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del
cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).
Quien era John Napier
Napier o Neper fue un matemático escocés nacido en Merchiston, cerca de Edimburgo. Estudió en la Universidad de San Andrés y durante su estancia allí fue seguidor del movimiento de la Reforma en Escocia y años más tarde tomó parte activa en los asuntos políticos promovidos por los protestantes. Es autor de la primera interpretación importante en Escocia de la Biblia.
Napier es más conocido por introducir el primer sistema de logaritmos, descrito en Mirifici logarithmorum canonis descriptio (1614). Los sistemas comunes y naturales de logaritmos que se utilizan actualmente no usan la misma base que los logaritmos de Napier, aunque a los logaritmos naturales a veces se les denomina logaritmos neperianos. Napier fue uno de los primeros, si no el primero, en utilizar la moderna notación decimal para expresar fracciones decimales de una forma sistemática. También inventó sistemas mecánicos para realizar cálculos aritméticos, descritos en Rabdologiae seu numerationis per virgulas libri duo (1617).
Como Eratóstenes midió el radio de la Tierra
Erastótenes de Cirene, un griego del siglo III a. de J.C., calculó por primera vez el radio de la Tierra con una exactitud extraordinaria para los métodos de que disponía.
La idea de su cálculo es muy sencilla: si se toman dos puntos, A y S, sobre un mismo meridiano y se puede medir el ángulo a y la distancia l medida sobre el arco AS del meridiano que pasa por los dos puntos, aplicando una sencilla regla de trescalculó el radio de la Tierra
Lo difícil, por supuesto, era determinar el ángulo a y la distancia.
Erastótenes eligió, como punto S, una ciudad del sur de Egipto llamada Siena. Allí había un profundo pozo cuyo fondo iluminaba el Sol un mediodía de verano. El punto A era Alejandría, ciudad situada en el mismo meridiano que Siena. El Sol no caía vertical, sino separándose de la plomada un ángulo que valía 1 / 50 de la circunferencia.
Utilizando probablemente el tiempo de viaje de una caravana o, tal vez, medidores expresamente contratados para ello, determinó que la distancia entre Alejandría y Siena era de 926 km. Por tanto, el radio de la Tierra debía ser: bastante aproximado a los 6.378 km que revelan las mediciones más modernas.
¿Quién era Eratóstenes?
Fue matemático, astrónomo, geógrafo, filósofo y poeta griego. Midió la circunferencia de la Tierra con una precisión extraordinaria al determinar, a través de la astronomía, la diferencia de latitud entre las ciudades de Siena (actual Asuán) y Alejandría, en Egipto. Nació en Cirene (en la actualidad Shahhat, Libia). Entre sus maestros se encontraba el poeta griego Calímaco de Cirene. Hacia el 240 a.C., Eratóstenes llegó a ser el director de la Biblioteca de Alejandría. Sus cálculos sobre la circunferencia terrestre se basaron en la observación que hizo en Siena, su ciudad natal; a mediodía, en el solsticio de verano, los rayos del sol incidían perpendicularmente sobre la tierra y, por tanto, no proyectaban ninguna sombra (Siena estaba situada muy cerca del trópico de Cáncer). En Alejandría se percató de que en la misma fecha y hora las sombras tenían un ángulo de aproximadamente 7° con respecto a la vertical. Al conocer la distancia entre Siena y Alejandría, pudo hallar a través de cálculos trigonométricos la distancia al Sol y la circunferencia de la Tierra. Eratóstenes también midió la oblicuidad de la eclíptica (la inclinación del eje terrestre) con un error de sólo 7′ de arco, y creó un catálogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas. Su obra más importante fue un tratado de geografía general. Tras quedarse ciego, murió en Alejandría por inanición voluntaria.
En sus inicios, la trigonometría consistió esencialmente en una ciencia del cálculo basada en teoremas geométricos. Los tratados matemáticos de las civilizaciones precedentes a la Grecia clásica, especialmente las culturas mesopotámicas, presentaban algunos cálculos y expresiones indicadores del desarrollo de una incipiente trigonometría. No obstante, no contemplaban el firme planteamiento de cuestiones de esta ciencia que apareció plenamente en los axiomas sobre la proporcionalidad de triángulos semejantes a la determinación de la talla de los objetos en relación con las dimensiones de su sombra efectuados por los primeros griegos.
En el siglo II antes de la era cristiana, Hiparco delineó a lo largo de doce libros, perdidos en la actualidad y conocidos por las frecuentes citas de tratados griegos posteriores, los primeros teoremas generales de la trigonometría. La ausencia de números negativos motivó en los matemáticos de la época la acusada tendencia a resolver las cuestiones mediante razonamientos geométricos, perpetuada hasta la aparición en el siglo II de la era cristiana del compendio de astronomía Almagesto, debido a Tolomeo de Alejandría y plagado de inspiradas concepciones, como las tablas de cuerdas de arco en intervalos de treinta minutos y la resolución de triángulos, particularmente esféricos.
La trigonometría griega, culminada en las concepciones tolemaicas, se inspiró en la equivalencia entre la longitud de un arco y la de su cuerda, a diferencia de la india que utilizó en sus tablas la relación entre la mitad de la cuerda y el doble arco.
La cultura emergente de la renovación religiosa del Islam recogió las enseñanzas científicas de Grecia y la India, con las que formó una base teórica que desarrolló con brillantez en el campo de la matemática. El gran interés que demostraron los árabes por la astronomía, heredado de la cultura india, fomentó el auge de la trigonometría, especialmente como una herramienta de solución de los triángulos esféricos dibujados sobre la bóveda celeste.
Sin embargo, la necesidad de aunar los descubrimientos de tres disciplinas diferentes, como la aritmética, el álgebra y la geometría, retrasó la evolución de la trigonometría con respecto al desarrollo independiente de cada una de estas ramas.
A finales del siglo IX, el árabe al-Battani añadió consideraciones adicionales a la obra de Tolomeo y construyó tablas de valores de las tangentes y las cotangentes de los ángulos. Durante el siguiente siglo, Abú al-Wafa introdujo las nociones de secante y cosecante, que se asimilaron a las de coseno y seno, de invención antigua; posteriormente, el persa al-Biruni aplicó los resultados de la trigonometría esférica a los triángulos planos.
La sistematización de la trigonometría plana y esférica, como una disciplina independiente de la astronomía, se debió durante la segunda mitad del siglo XIII al matemático persa Nasir al-din al-Tusi, cuyos trabajos penetraron en Europa a través del oriente y de la península ibérica. El astrónomo prusiano Johann Müller, conocido como Regiomontano, resumió y difundió una brillante interpretación de los logros de la trigonometría árabe que inauguró las escuelas europeas.
La introducción en el siglo XVI de los números decimales simplificó los cálculos trigonométricos, y la posterior invención por John Napier de los logaritmos, potencias de un número fijo o base tal que el resultado numérico deseado se obtiene como potencia de la base, estimuló el desarrollo de una formulación eminentemente aritmética y alejada de los razonamientos geométricos precedents.
Fruto de esta nueva visión fueron las fórmulas denominadas analogías de Napier, en 1619, y, dos siglos más tarde, las relaciones trigonométricas de Carl Friedrich Gauss y Jean-Baptiste Delambre. Hacia el mismo período, el suizo Leonhard Euler afianzó los descubrimientos sobre trigonometría analítica esbozados previamente por Abraham de Moivre. De gran importancia en este terreno, las series trigonométricas elaboradas por Jean-Joseph Fourier aparecieron en 1807.
Desarrollo de la trigonometría
Trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyó fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la Matemática.
Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, la tabla de cuerdas que construyó Hiparco para resolver triángulos comenzó con un ángulo de 71°, llegando hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
Trescientos años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto (escrito por él) también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas.
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos
En India y Arabia la trigonometría era utilizada en la Astronomía. El primer uso de la función seno, aparece en el Shulba o Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Se desarrollo entonces un sistema trigonométrico que estaba basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función nueva función, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa. A finales del siglo X ya habían se habían completado la función seno y las otras cinco funciones trigonométricas.
En el siglo XII comienzan a aparecer en Europa traducciones de libros de matemáticas y astronomía árabes, hecho que lleva a la familiarización con la trigonometría. El primer trabajo significativo en esta materia en el continente Europeo fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller. Se le considerada fundador y un importante innovador en esta materia, puesto que detalla y crea varias herramientas de gran utilidad, así como importantes tratados como De triangulis y Epitome in Almagestum en el cual explica, analiza y muestra la obra de Tolomeo.
Durante el siglo XII el astrónomo alemán Georges Joachim, introdujo el concepto moderno de las funciones trigonométricas como proporcionales en vez de longitudes de algunas determinadas líneas. Ya en el siglo XVI el matemático francés François Vieté, incorpora en su tratado “Canon matemáticas” el triángulo polar en la trigonometría esférica.
A comienzos del siglo XVII, el matemático escocés John Napier descubrió los logaritmos que el llamó “números artificiales”. Esto fue trascendental en el desarrollo de la trigonometría.
A mediados del siglo XVII el físico, inventor, alquimista y matemático inglés, Isaac Newton descubre el cálculo diferencial e integral. También contribuyó en otras áreas de la matemática, por ejemplo desarrollando el teorema del binomio o las fórmulas de Newton-Cotes.
En el siglo XVIII, el físico y matemático suizo Leonhard Euler, explicó que las propiedades de la trigonometría eran consecuencia de la aritmética de los números complejos. Estudió además la notación actual de las funciones trigonométricas y se le atribuye el descubrimiento de la letra e como base del logaritmo natural, así como la unidad imaginaria que generalmente se denota con la letra i. Euler también popularizó El número pi ( π ).
Durante el siglo XX la trigonometría ha realizado muchos aportes en el estudio de los fenómenos de onda y oscilatorio, así como el comportamiento periódico, el cual se relaciona con las propiedades analíticas de las funciones trigonométricas. En astronomía se utiliza para medir distancias a estrellas próximas, para la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación satelital.
Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:
• La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
• El [[Cateto|cateto opuesto] es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.
• El [[Cateto|cateto adyacente]es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es «la medición de los triángulos». Deriva de los términos griegos τριγωνο trigōno triángulo y μετρον metron medida.1
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.
Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos. En una circunferencia completa hay 2π radianes.
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.
Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.
La trigonometría como rama de las matemáticas realiza su estudio en la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo, con una aplicación inmediata en geometría y sus aplicaciones. Para el desarrollo de este fin se definieron una serie de funciones que han sobrepasado su fin original, convirtiéndose en elementos matemáticos estudiados en sí mismos y con aplicaciones en los campos más diversos.
La agrimensura y la navegación son prácticas que, desde sus orígenes, han requerido el cálculo de distancias cuya medición directa no resultaba posible; y otro tanto sucede en el ámbito de la astronomía. Para resolver este problema, los antiguos babilonios recurrieron ya a la trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las medidas de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcación hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar inaccesibles a la medición directa; en cambio, el ángulo que forma la visual dirigida a un accidente geográfico, o a un punto de la bóveda celeste, con otra visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida según la horizontal), acostumbra ser fácil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos. El objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras.
INTRODUCCIÓN.
La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrollo a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyo fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática.
Es así, como en este trabajo, se expondrá la historia y desarrollo de la trigonometría y de acuerdo a esto, fechas, épocas y principales precursores o personajes que lideraron el proceso o dieron los pasos fundamentales para el posterior desarrollo de esta importante rama de las matemáticas. Junto con esto, una biografía de cada uno de los exponentes y una línea del tiempo con personajes y descubrimientos para una mayor comprensión.
HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA.
La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Quién era Hiparco de Nicea
El estudio de la Trigonometría lo inició Hiparco 150 años a. C. pero su historia se remonta a los egipcios y babilonios, primeros en medir ángulos.
Hiparco es considerado el padre de la Trigonometría por sus contribuciones tales como determinar la duración del año solar en 365 días y 6 horas, sentar las bases de la trigonometría, realizar el primer catálogo de estrellas (800) e inventar el primer astrolabio. (c. 190-120 a.C), Hiparco de Nicea fue astrónomo griego, el más importante de su época. Nació en Nicea, Bitinia (hoy Iznik, Turquía). Fue extremadamente preciso en sus investigaciones, de las que conocemos parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la precisión de los equinoccios .Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. También inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes. Catalogó, hizo gráficos y calculó el brillo de unas mil estrellas. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que fueron la base de la trigonometría moderna.
Quién era Tolomeo
Tolomeo prosiguió los estudiosde Hiparco. Ordenó los conocimientos de los griegos sobre astronomía, afirma que la tierra es redonda, y entre otras cosas realizó cálculos astronómicos sin utilizar las funciones trigonométricas.
A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje. A mediados de éste siglo Isaac Newton, utilizando series infinitas, encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler encontró la relación entre las propiedades trigonométricas y los números complejos. (c. 100-c. 170), Claudio Tolomeo, fue un astrónomo y matemático que dominó el pensamiento científico hasta el siglo XVI por sus teorías y explicaciones astronómicas. Posiblemente nació en Grecia, pero su verdadero nombre, Claudius Ptolemaeus, dice lo que realmente se sabe de él: ‘Ptolemaeus’ indica que vivía en Egipto y ‘Claudius’ que era ciudadano romano.
Contribuyó a las matemáticas con sus estudios en trigonometría y aplicó sus teorías a la construcción de astrolabios y relojes de sol.
Quién era Euler.
(1707-1783), Leonhard Euler fue un matemático suizo, sus trabajos se centraron en el campo de las matemáticas puras, Euler nació en Basilea y se licenció a los 16 años. En 1727, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte. Aunque tuvo una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y una ceguera casi total al final de su vida, produjo obras matemáticas importantes, como reseñas matemáticas y científicas.
En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), trató la trigonometría y la geometría analítica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).
Quien era John Napier
(1550-1617), Napier fue un matemático escocés nacido en Merchiston, cerca de Edimburgo. Estudió en la Universidad de San Andrés y allí fue seguidor del movimiento de la Reforma en Escocia, después de unos años tomó parte en los asuntos políticos de los protestantes y es autor de la primera interpretación importante en Escocia de la Biblia.
Principalmente es conocido por introducir el primer sistema de logaritmos, (1614). Además, fue uno de los primeros, si no el primero, en utilizar la moderna notación decimal para expresar fracciones decimales de una forma sistemática.
Así pues, se pretendía clarificar la historia de la trigonometría para así poder tener una visión mucho más amplia de su desarrollo y de igual manera un mayor entendimiento acerca del tema.
Fue así, como la trigonometría avanzó, hasta convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática. Pero esto no quiere decir que los avances, descubrimientos e investigaciones no hayan continuado. Es decir, que el estudio de la trigonometría actualmente, no solo se limita a las relaciones entre los elementos de un triangulo y a sus aplicaciones. Hoy día, la trigonometría, es parte de la matemática y se emplea en muchos campos del conocimiento, tanto teóricos como prácticos, e interviene en toda clase de investigaciones geométricas y algebraicas en las cuales aparecen las llamadas funciones trigonométricas, de gran aplicación además en la electricidad, termodinámica, investigación atómica etc..
No es de sobra aclarar esto, ya que la palabra trigonometría se deriva de dos raíces griegas: trigon, que significa triángulo, y metra, que significa medida, entonces, se tiende a creer su aplicación solo se limita o refiere a las varias relaciones entre los ángulos de un triángulo y sus lados.
Sin embargo, el hombre la ha empleado para calcular áreas, distancias, trayectorias y en el estudio de la mecánica etc., con base en la resolución de triángulos.
La trigonometría, que al principio aparece como parte de la geometría que se ocupa de formular relaciones entre las medidas angulares y las longitudes de los lados de un triangulo y que surgió para resolver inicialmente problemas de exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios por parte de los griegos, posteriormente se ha convertido también el fundamento de los cálculos astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella y otras magnitudes.
Así pues, esta misma trigonometría se dividió en dos ramas fundamentales, que son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía y estudia triángulos esféricos, es decir, triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.
La historia de la trigonometria se remonta a las primeras matematicas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los angulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometria en las matematicas. En el siglo II a.C. el astronomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonometrica para resolver triangulos. Comenzando con un angulo de 7y° y yendo hasta 180° con incrementos de 7y°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del angulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astronomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numerico sexagesimal (base 60) de los babilonios
La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrollo a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyo fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática.
Es así, como en este trabajo, se expondrá la historia y desarrollo de la trigonometría y de acuerdo a esto, fechas, épocas y principales precursores o personajes que lideraron el proceso o dieron los pasos fundamentales para el posterior desarrollo de esta importante rama de las matemáticas. Junto con esto, una biografía de cada uno de los exponentes y una línea del tiempo con personajes y descubrimientos para una mayor comprensión.
HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA
La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Etimología
La palabra «seno» deriva del término en latín, sinus, de una mala traducción (vía el árabe de la palabra en sánscrito, jiva o jya. Aryabhata utilizó el término ardha-jiva («media-cuerda»), que fue acortado a jiva y, luego, transliterado por los árabes como jiba (جب). Traductores europeos como Roberto de Chester y Gerardo de Cremona en el siglo XII toledano confundieron jiba por jaib (جب), probablemente debido a que jiba (جب) y jaib (جب) se escriben igual en la escritura árabe (este sistema de escritura utiliza acentos en lugar de vocales y, en algunos formatos, los acentos no son escritos para facilitar la escritura, por lo que si los lectores no están familiarizados con el idioma pueden confundir palabras con las mismas letras, pero con diferente fonética). Las palabras «minuto» y «segundo» provienen de las frases latinas partes minutae primae y partes minutae secundae, que pueden ser burdamente traducidas como «primeras pequeñas partes» y «segundas pequeñas partes».
VIDEGRAFIAS:
FUNCION TRIGONOMETRICA.
Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Trigonometría.
Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.
Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a una circunferencia de radio unidad de centro O.
Conceptos básicos
Identidades trigonométricas fundamentales.
Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación Gde las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).
Definiciones respecto de un triángulo rectángulo
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:
• La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
• El [[Cateto|cateto opuesto] es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.
• El [[Cateto|cateto adyacente]es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.
Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:
3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:
4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:
5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:
6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:
La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrollo a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de
las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyo fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y
desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para
convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática.
Es así, como en este trabajo, se expondrá la historia y desarrollo de la trigonometría y de acuerdo
a esto, fechas, épocas y principales precursores o personajes que lideraron el proceso o dieron
los pasos fundamentales para el posterior desarrollo de esta importante rama de las matemáticas.
Junto con esto, una biografía de cada uno de los exponentes y una línea del tiempo con
personajes y descubrimientos para una mayor comprensión.
La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos
establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los
tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea…
Historia de la Trigonometría
El origen de la palabra TRIGONOMETRÍA proviene del griego «trigonos» (triángulo) y «metros» (metria).
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para construir pirámides. Posteriormente se desarrolló más con el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, donde destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea. Más tarde se difundió por India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Desde Arabia se extendió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente de las Matemáticas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría.
A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
La trigonometría es una rama de las tantas ramas de matemáticas, se encarga de estudiar y analizar la relación entre los lados y los ángulos de los triángulos. Para esto recurre generalmente a las llamadas razones trigonométricas. El origen de la palabra trigonometría desciende del griego “trigonos” (triángulo) y “metros” (metria).
Hace unos 4000 años en Babilonia (antiguo reino localizado en la región de Mesopotamia) y Egipto se determinó y establecieron aproximaciones de medidas de ángulos y de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos para ampliar y desarrollar medidas tanto en la agricultura como en la construcción de pirámides. Los egipcios fijaron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Además se utilizaba la trigonometría para el estudio de la astronomía. Antiguamente la astronomía se ocupaba de la observación y predicciones de los movimientos de los objetos visibles a simple vista y en el estudio de la predicción de las rutas y posiciones y perspectivas de los cuerpos en el espacio, para luego progresar y perfeccionar la exactitud en la navegación y el cálculo del tiempo así como los calendarios. La astronomía precolombina poseía calendarios muy puntuales y las pirámides de Egipto fueron construidas sobre patrones astronómicos muy exactos y puntuales.
Luego de Egipto y Babilonia, el estudio de la trigonometría se asentó en Grecia, donde podemos nombrar al matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea, quien fue uno de los principales y más importantes desarrolladores de la Trigonometría. Este matemático construyó una tabla de cuerdas para solucionar triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y aproximándose hasta 180° con ampliaciones de 71°, la tabla facilitaba la longitud de la cuerda limitada por los lados del ángulo central ya que fragmentaba a una circunferencia de radio r. Hasta el momento no se conoce el valor que Hiparco utilizó para r. 300 años mas tarde, el astrónomo griego Tolomeo utilizó r = 60, ya que los griegos tomaron el sistema numeral (base 60) que era usado por los babilonios.
Durante varios siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción primordial para los astrónomos. El libro de astronomía, Almagesto, escrito por él, igualmente poseía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, presentando también el catálogo estelar más perfecto y completo de la antigüedad. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue también obra de Tolomeo.
En India y Arabia la trigonometría era utilizada en la Astronomía. El primer uso de la función seno, aparece en el Shulba o Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Se desarrollo entonces un sistema trigonométrico que estaba basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función nueva función, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa. A finales del siglo X ya habían se habían completado la función seno y las otras cinco funciones trigonométricas.
En el siglo XII comienzan a aparecer en Europa traducciones de libros de matemáticas y astronomía árabes, hecho que lleva a la familiarización con la trigonometría. El primer trabajo significativo en esta materia en el continente Europeo fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller. Se le considerada fundador y un importante innovador en esta materia, puesto que detalla y crea varias herramientas de gran utilidad, así como importantes tratados como De triangulis y Epitome in Almagestum en el cual explica, analiza y muestra la obra de Tolomeo.
Durante el siglo XII el astrónomo alemán Georges Joachim, introdujo el concepto moderno de las funciones trigonométricas como proporcionales en vez de longitudes de algunas determinadas líneas. Ya en el siglo XVI el matemático francés François Vieté, incorpora en su tratado “Canon matemáticas” el triángulo polar en la trigonometría esférica.
A comienzos del siglo XVII, el matemático escocés John Napier descubrió los logaritmos que el llamó “números artificiales”. Esto fue trascendental en el desarrollo de la trigonometría.
A mediados del siglo XVII el físico, inventor, alquimista y matemático inglés, Isaac Newton descubre el cálculo diferencial e integral. También contribuyó en otras áreas de la matemática, por ejemplo desarrollando el teorema del binomio o las fórmulas de Newton-Cotes.
En el siglo XVIII, el físico y matemático suizo Leonhard Euler, explicó que las propiedades de la trigonometría eran consecuencia de la aritmética de los números complejos. Estudió además la notación actual de las funciones trigonométricas y se le atribuye el descubrimiento de la letra e como base del logaritmo natural, así como la unidad imaginaria que generalmente se denota con la letra i. Euler también popularizó El número pi ( π ).
Durante el siglo XX la trigonometría ha realizado muchos aportes en el estudio de los fenómenos de onda y oscilatorio, así como el comportamiento periódico, el cual se relaciona con las propiedades analíticas de las funciones trigonométricas. En astronomía se utiliza para medir distancias a estrellas próximas, para la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación satelital.
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es «la medición de los triángulos». Deriva de los términos griegos τριγωνο trigōno triángulo y μετρον metron medida.[1]
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites
En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.
Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos. En una circunferencia completa hay 2π radianes.
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.
Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales
La trigonometría como rama de las matemáticas realiza su estudio en la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo, con una aplicación inmediata en geometría y sus aplicaciones. Para el desarrollo de este fin se definieron una serie de funciones que han sobrepasado su fin original, convirtiéndose en elementos matemáticos estudiados en sí mismos y con aplicaciones en los campos más diversos.
DESAROLLO HISTORICO DE LA TRIGONOMETRIA
La historia de la trigonometría comienza con los babilonios y los egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Muller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Quién era Hiparco de Nicea
(c. 190-120 a.C), Hiparco de Nicea fue astrónomo griego, el más importante de su época. Nació en Nicea, Bitinia (hoy Iznik, Turquía). Fue extremadamente preciso en sus investigaciones, de las que conocemos parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la precisión de los equinoccios .Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. También inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes. Catalogó, hizo gráficos y calculó el brillo de unas mil estrellas. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que fueron la base de la trigonometría moderna.
Quién era Tolomeo
(c. 100-c. 170), Claudio Tolomeo, fue un astrónomo y matemático que dominó el pensamiento científico hasta el siglo XVI por sus teorías y explicaciones astronómicas. Posiblemente nació en Grecia, pero su verdadero nombre, Claudius Ptolemaeus, dice lo que realmente se sabe de él: ‘Ptolemaeus’ indica que vivía en Egipto y ‘Claudius’ que era ciudadano romano.
Contribuyó a las matemáticas con sus estudios en trigonometría y aplicó sus teorías a la construcción de astrolabios y relojes de sol.
Quién era Euler.
(1707-1783), Leonhard Euler fue un matemático suizo, sus trabajos se centraron en el campo de las matemáticas puras, Euler nació en Basilea y se licenció a los 16 años. En 1727, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte. Aunque tuvo una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y una ceguera casi total al final de su vida, produjo obras matemáticas importantes, como reseñas matemáticas y científicas.
En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), trató la trigonometría y la geometría analítica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).
Quien era John Napier
(1550-1617), Napier fue un matemático escocés nacido en Merchiston, cerca de Edimburgo. Estudió en la Universidad de San Andrés y allí fue seguidor del movimiento de la Reforma en Escocia, después de unos años tomó parte en los asuntos políticos de los protestantes y es autor de la primera interpretación importante en Escocia de la Biblia.
Principalmente es conocido por introducir el primer sistema de logaritmos, (1614). Además, fue uno de los primeros, si no el primero, en utilizar la moderna notación decimal para expresar fracciones decimales de una forma sistemática.
Así pues, se pretendía clarificar la historia de la trigonometría para así poder tener una visión mucho más amplia de su desarrollo y de igual manera un mayor entendimiento acerca del tema.
Fue así, como la trigonometría avanzó, hasta convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática. Pero esto no quiere decir que los avances, descubrimientos e investigaciones no hayan continuado. Es decir, que el estudio de la trigonometría actualmente, no solo se limita a las relaciones entre los elementos de un triangulo y a sus aplicaciones. Hoy día, la trigonometría, es parte de la matemática y se emplea en muchos campos del conocimiento, tanto teóricos como prácticos, e interviene en toda clase de investigaciones geométricas y algebraicas en las cuales aparecen las llamadas funciones trigonométricas, de gran aplicación además en la electricidad, termodinámica, investigación atómica etc.
No es de sobra aclarar esto, ya que la palabra trigonometría se deriva de dos raíces griegas: trigon, que significa triángulo, y metra, que significa medida, entonces, se tiende a creer su aplicación solo se limita o refiere a las varias relaciones entre los ángulos de un triángulo y sus lados.
Sin embargo, el hombre la ha empleado para calcular áreas, distancias, trayectorias y en el estudio de la mecánica etc., con base en la resolución de triángulos.
La trigonometría, que al principio aparece como parte de la geometría que se ocupa de formular relaciones entre las medidas angulares y las longitudes de los lados de un triangulo y que surgió para resolver inicialmente problemas de exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios por parte de los griegos, posteriormente se ha convertido también el fundamento de los cálculos astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella y otras magnitudes.
Así pues, esta misma trigonometría se dividió en dos ramas fundamentales, que son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía y estudia triángulos esféricos, es decir, triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.
Desarrollo historigo de la trigonometria Trigonometría es, por supuesto, una rama de la geometría, pero difiere de la geometría sintética de Euclides y los antiguos griegos por ser de cómputo en la naturaleza. Por ejemplo, la Proposición I.4 de elementos es el lado-ángulo de congruencia teorema de ángulo que se afirma que un triángulo está determinado por dos ángulos y el lado entre ellos. Es decir, si usted quiere saber el ángulo restante y los lados otros dos, todo lo que tienes que hacer es diseñar el lado dado y los dos ángulos en sus extremos, se extienden los otros dos lados hasta que se encuentren, y que tienes el triángulo. No hay cálculos numéricos involucrados.
Pero la versión trigonométrica es diferente. Si usted tiene las medidas de los dos ángulos y la longitud del lado entre ellos, el problema consiste en calcular el ángulo restante (que es fácil, basta con restar la suma de los dos ángulos a partir de dos ángulos rectos) y los lados otros dos (lo cual es difícil). La solución moderna para el cálculo última es por medio de la ley de los cosenos.
Todos los cálculos trigonométricos requieren la medición de ángulos y el cálculo de una función trigonométrica. Las funciones trigonométricas modernas seno, coseno, tangente, y sus inversos, pero en la trigonometría griega antigua, el acorde, una función más intuitiva, se utilizó.
Trigonometría, por supuesto, depende de la geometría. La ley de cosenos, por ejemplo, se desprende de una proposición de la geometría sintética, es decir, proposiciones II.12 y II.13 de los elementos. Y así, los problemas de trigonometría han requerido de los nuevos avances en la geometría sintética. Un ejemplo es el teorema de Ptolomeo, que establece normas de los acordes de la suma y diferencia de ángulos, que corresponden a las fórmulas de suma y diferencia de senos y cosenos.
La aplicación principal de la trigonometría en las culturas pasadas, no sólo griego antiguo, es a la astronomía. Cálculo de los ángulos en la esfera celeste requiere un tipo diferente de la geometría y la trigonometría que en el avión. La geometría de la esfera se llama «esféricos» y formaron una parte del quadrivium de estudio. Varios autores, incluyendo Euclides, escribió libros sobre esféricos. El nombre actual de la asignatura es «geometría elíptica». Trigonometría aparentemente surgió para resolver los problemas planteados en esféricos en lugar de los problemas que plantea en la geometría plana. Por lo tanto, la trigonometría esférica es tan antigua como la trigonometría plana.
Los babilonios y la medida del ángulo
Los babilonios, en algún momento antes de 300 a. C. fueron el método de medición grados para los ángulos. Los números babilónicos se basaron en el número 60, por lo que puede conjeturarse que se llevaron la unidad de medida a ser lo que llamamos 60 °, que luego se divide en 60 grados. Tal vez 60 ° se tomó como grupo, dado que la cuerda de 60 ° es igual al radio del círculo, véase más abajo sobre los acordes. Grado de medición fue adoptada más tarde por Hiparco.
Los babilonios fueron los primeros en dar las coordenadas de las estrellas. Ellos usaron la eclíptica como su círculo de base en la esfera celeste, es decir, la esfera de cristal de las estrellas. El sol recorre la eclíptica, los planetas viajan cerca de la eclíptica, las constelaciones del zodíaco están dispuestas alrededor de la eclíptica, y la estrella polar, Polaris, es de 90 ° respecto a la eclíptica. La esfera celeste gira alrededor del eje que pasa por los polos norte y sur. Los babilonios midió la longitud en grados hacia la izquierda desde el punto vernal, visto desde el polo norte, y midió la latitud en grados al norte o al sur de la eclíptica.
Hiparco de Nicea (ca. 180 – ca 125 aC.)
Hiparco fue un astrónomo principalmente, pero los comienzos de la trigonometría, aparentemente comenzó con él. Sin duda los babilonios, egipcios y griegos a principios de la astronomía sabía mucho antes de Hiparco, y también determina las posiciones de muchas estrellas en la esfera celeste delante de él, pero es Hiparco a quien la primera tabla de las cuerdas se le atribuye. Se ha hipotetizado que Apolonio y Arquímedes, incluso construyeron tablas de acordes delante de él, pero no hay referencia a ninguna tabla anterior tales.
Algunos de Hiparco avances en la astronomía incluyen el cálculo del mes lunar decir, las estimaciones del tamaño y las distancias del sol y la luna, las variantes de los modelos epicicloidal y excéntrica del movimiento planetario, un catálogo de 850 estrellas (longitud y latitud en relación con la eclíptica), y el descubrimiento de la precesión de los equinoccios y una medida de que la precesión.
Según Teón, Hiparco escribió una obra de 12 libros sobre las cuerdas de un círculo, ya que perdió. Esa sería la primera obra conocida de la trigonometría. Dado que el trabajo ya no existe, la mayoría de todo sobre él es la especulación. Pero algunas cosas se saben de diversas menciones en otras fuentes incluyendo otro de los suyos. Se incluyen algunas longitudes de las cuerdas que corresponden a diferentes arcos de círculo, tal vez una tabla de cuerdas. Además de estos restos de algunas de información, otros pueden ser inferidos a partir del conocimiento que se tomó tan conocido por sus sucesores.
Acordes de base de la trigonometría
En una presentación moderna de la trigonometría, el seno y el coseno de un ángulo a es el eje – y y x-coordenadas de un punto sobre el círculo unidad, el punto es la intersección del círculo unidad y un lado del ángulo a la otra lado del ángulo es el eje x positivo. El griego, indio, árabe, y los primeros europeos utilizan un círculo de radio de algunos conveniente. Para esta descripción de la trigonometría, vamos a dejar la radio sin especificar en modo lectura y es doble, el diámetro, vamos a denotar d.
El acorde de un ángulo AOB donde O es el centro de un círculo y A y B son dos puntos en el círculo, es la línea recta AB. Los acordes son relacionados con el seno y el coseno moderna por las fórmulas
CRD a = d sen (a / 2)
el pecado a = (1 / d), CRD 2 bis
CRD (180 ° – a) = d cos (a / 2)
cos a = (1 / d) CRD (180 ° – 2 a)
donde a es un ángulo, d el diámetro, y CRD una abreviatura de acordes.
Algunas propiedades de las cuerdas no podría haber escapado a la atención de Hiparco, sobre todo en una obra de 12 libros sobre el tema. Por ejemplo, una fórmula de ángulo complementario indicaría que si AOB y BOC son ángulos complementarios, entonces el teorema de Thales estados que el triángulo ABC es correcto, por lo que el teorema de Pitágoras dice que el cuadrado de la cuerda AB, más el cuadrado de la cuerda BC es igual a la cuadrado de la CA de diámetro. Resumieron mediante una notación algebraica moderna
CRD 2 AOB + CRD 2 BOC = d 2
donde d es el diámetro del círculo.
Hiparco probablemente construido su tabla de cuerdas con una fórmula medio de ángulo y la fórmula de ángulo suplementario. La fórmula de media ángulo en términos de acordes es
CRD 2 (t / 2) = r (2 r – CRD (180 ° – t)
donde r es el radio del círculo y t es un ángulo. con ERC 60 ° = r A partir, Hipócrates puede por medio de esta fórmula de ángulo medio encontrar los acordes de 30 °, 15 ° y 2.1 ° 7. Que pudiera completar una tabla de acordes en 7 1 / 2 ° pasos mediante CRD 90 °, la fórmula de medio punto de vista, y la fórmula de ángulo suplementario.
¿Qué otras relaciones entre los acordes de varios ángulos que Hipócrates hubiera sabido sigue siendo especulación.
Menelao (ca. 100 dC)
Los primeros trabajos sobre trigonometría esférica era «Spherica Menelao. Se incluía lo que ahora se llama el teorema de Menelao que se refiere arcos de círculos máximos en las esferas. Por supuesto, Menelao declaró su resultado en términos de acordes, pero en términos de senos moderna, su teorema dice
el pecado del CE
________________________________________ el pecado de EA
=
pecado CF
________________________________________ pecado FD pecado BD
________________________________________ pecado BA
y
pecado CA
________________________________________ el pecado de EA =
el pecado de CD
________________________________________ pecado FD
pecado BF
________________________________________ pecado SER
Probó este resultado, en primer lugar probar la versión de avión, a continuación, «proyectar» de nuevo a la esfera. La versión del avión, dice
CE
________________________________________ EA
=
CF
________________________________________ FD
BD
________________________________________ BA
y
CA
________________________________________ EA
=
CD
________________________________________ FD
BF
________________________________________ SER
Ptolomeo (ca. 100-178 dC)
famoso matemático trabajo de Claudio Ptolomeo fue la Sintaxis Mathematike (Matemáticas Colección) generalmente conocido como el Almagesto. Es todo un trabajo sobre astronomía que incluye la teoría matemática correspondiente a la astronomía. Se incluye tabla trigonométrica, una tabla de cuerdas para los ángulos de 1 / 2 ° a 180 ° en incrementos de 1 / 2 °, las cuerdas fueron redondeados a dos lugares sexagesimal, cerca de cinco dígitos de precisión. También incluyó la geometría necesaria para construir la tabla. Se calcula el acorde de 72 º, un ángulo central de un pentágono, un ángulo de construibles. Junto con la cuerda de 60 ° (la radio que Ptolomeo llevó a ser 60), que da CRD 12 °, a continuación, CRD 6 °, 3 ° CRD, CRD 1 1 / 2 °, y CRD 4.3 °. Él utilizó la interpolación para encontrar CRD 1 ° y CRD 1 / 2 °.
Teorema de Ptolomeo
Ptolomeo demostró el teorema que da las fórmulas de suma y la diferencia para los acordes.
Teorema. Para un cuadrilátero cíclico (es decir, un cuadrilátero inscrito en un círculo), el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.
AC BD = CD AB + AD BC
Cuando AD es un diámetro del círculo, entonces el teorema dice
AOC CRD CRD DBO CRD CRD AOB COD = + d BOC CRD.
donde O es el centro del círculo y d el diámetro. Si echamos un ser ángulo AOB y b para que el ángulo AOC, entonces tenemos
b CRD CRD (180 ° – a) = crd de un CRD (180 ° – b) + d CRD (b – a)
que da la fórmula de diferencia
CRD (b – a) = b CRD CRD (180 ° – a) – CRD un CRD (180 ° – b)
________________________________________ d
Con una interpretación diferente de a y b, los resultados de fórmula de la suma:
CRD (b + a) = b CRD CRD (180 ° – a) + ERC un CRD (180 ° – b)
________________________________________ d
Estos, por supuesto, corresponden a las fórmulas de suma y diferencia de senos.
Armado con su teorema, Ptolomeo pudo completar su tabla de cuerdas de 1.2 ° a 180 ° en incrementos de 1 / 2 °.
Trigonometría
trigonometría Computacional sólo podría comenzar después de la construcción de una tabla trigonométrica buena, por lo que procedió Ptolomeo. Aunque no sistemáticamente, ofrecen métodos para la resolución de triángulos rectángulos y triángulos oblicuos, las soluciones a problemas específicos se encuentran en el Almagesto. Las soluciones que nos encontraríamos con senos o cosenos son igualmente fáciles de resolver con una tabla de cuerdas, pero que los que resolvería con tangentes requeriría dividir un acorde por acorde complementaria, por lo que para una solución más difícil. Un ejemplo típico de que sería encontrar la altura de un poste, dada la longitud de su sombra y el ángulo de inclinación de la sombra.
aleph0.clarku.edu/~djoyce/ma105/trighist.html
Aplicaciones de la trigonometría
¿Qué se puede hacer con trigonometria? Históricamente, se ha desarrollado para la astronomía y la geografía, pero los científicos han estado usando por siglos para otros fines, también. Además de otros campos de las matemáticas, la trigonometría se utiliza en física, ingeniería y química. Dentro de las matemáticas, la trigonometría se utiliza en primer lugar en el cálculo (que es quizás su mayor aplicación), álgebra lineal, y las estadísticas. Dado que estos campos se utilizan en las ciencias naturales y sociales, trigonometría es un tema muy útil saber.
La astronomía y la geografía
tablas trigonométricas fueron creados hace más de dos mil años para el cálculo de la astronomía. Las estrellas se pensaba que eran fijos en una esfera de cristal de gran tamaño, y ese modelo era perfecto para los fines prácticos. Sólo los planetas se movían en la esfera. (En el momento había siete planetas reconocidos: Mercurio, Venus, Marte, Júpiter, Saturno, la luna y el sol Esos son los planetas que llamamos nuestros días de la semana posterior a la tierra no se considera aún no se.. un planeta, ya que era el centro del universo y los planetas exteriores no fueron descubiertos a continuación.) La clase de trigonometría para comprender las posiciones sobre una esfera que se llama la trigonometría esférica. trigonometría esférica rara vez se enseña desde que su trabajo se ha tomado por el álgebra lineal. Sin embargo, una aplicación de la trigonometría es la astronomía.
Como la tierra es una esfera, la trigonometría se utiliza en geografía y en la navegación. Ptolomeo (100-178) utiliza la trigonometría en su Geografía y utilizar tablas trigonométricas en sus obras. Colón llevaba consigo una copia de ‘Efemérides Regiomontano Astronomicae en sus viajes al Nuevo Mundo y lo utilizó para su ventaja.
Ingeniería y la física
A pesar de la trigonometría se aplicó por primera vez a las esferas, ha tenido una mayor aplicación a los aviones. Los topógrafos han utilizado durante siglos la trigonometría. Los ingenieros, los ingenieros militares y de otra manera, han usado la trigonometría casi siempre.
Física establece exigencias en trigonometría. La óptica y la estática son dos campos a principios de la física que la trigonometría uso, pero todas las ramas de la trigonometría utilizan la física ya que las ayudas trigonometría en el espacio comprensión. Los campos relacionados como la química física, naturalmente, el uso trigonométricas.
Matemáticas y sus aplicaciones
Por supuesto, la trigonometría se utiliza en las matemáticas, y, puesto que las matemáticas son aplicables al conjunto de las ciencias naturales y sociales, trigonometría tiene muchas aplicaciones. Cálculo, álgebra lineal, y las estadísticas, en la trigonometría de uso particular, y tienen muchas aplicaciones en el conjunto de las ciencias. http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/apps.html
Applicacion de Trigonometría
TRIGONOMETRÍA EN LA VIDA DIARIA
Trigonometría con el vector en matemáticas para tratar el movimiento a través de / agua de las corrientes de aire. Carpinteros necesidad de trigonometría básica. acuerdo de trabajo con cualquier tipo de patrón de saber acerca de las funciones trigonométricas mantener trabajo escuchando a las bases están a continuación:
1. La participación debe ser necesidad de trabajar en el trabajo (ejemplo: desgn de moda).
2. El trabajo requiere de base de la física o el cálculo.
3. El trabajo que requiere conocimientos básicos de matemáticas de la escuela secundaria.
La trigonometría se muestra en todas partes, con el fin de bueno con los números, usted tiene que ser bueno en trigonometría. La trigonometría es artístico de la ciencia se puede utilizar para medir las alturas de las montañas con facilidad. Esta es la información básica para el diseño de aeronaves y la navegación, excesivamente técnico que la última vez que fuimos de vacaciones a una estación de la colina. Por ejemplo las condiciones médicas que les impiden viajar a altas altitudes.
Usos de la trigonometría
La trigonometría se utiliza en los esfuerzos prácticos, tales como la navegación, la agrimensura, la construcción, y se utiliza en varios campos académicos. Principalmente las matemáticas, la ciencia y la ingeniería. Entre el público de los no-matemáticos y no sceintists. trigonometría es conocido principalmente para medir problemas. Se utiliza a menudo en formas que son más sutiles, como el lugar en la teoría de la música de los demás son más técnicos, como la teoría de números.
Los temas de matemática de las series de Fourier y transformadas de Fourier realmente conocimiento de las funciones trigonométricas y encontrar aplicaciones en diversas áreas, incluidas las estadísticas.
Las series de Fourier:
Trigonometría es una de las formas más avanzadas que se pueden discutir en un solo artículo. A menudo las personas involucradas se llama serie de Fourier. Se encuentra en el 19 y matemático francés del siglo 18 y Joseph Fourier físico. Es amplia gama en muchos campos científicos, en particular en todos los fenómenos relacionados con periodicidad estacional. Por lo tanto el estudio de la radiación, de la acústica, la sismología, la modulación de ondas de radio en la electrónica.
Sin.theta + + cos 2θ cos.theta + + + cos 3θ sin2θ sine3θ http://www.tutorvista.com/…/applications-of-trigonometry-in-our-daily-life – Estados Unidos
La trigonometría es una rama de las tantas ramas de matemáticas, se encarga de estudiar y analizar la relación entre los lados y los ángulos de los triángulos. Para esto recurre generalmente a las llamadas razones trigonométricas. El origen de la palabra trigonometría desciende del griego “trigonos” (triángulo) y “metros” (metria).
Hace unos 4000 años en Babilonia (antiguo reino localizado en la región de Mesopotamia) y Egipto se determinó y establecieron aproximaciones de medidas de ángulos y de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos para ampliar y desarrollar medidas tanto en la agricultura como en la construcción de pirámides. Los egipcios fijaron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Además se utilizaba la trigonometría para el estudio de la astronomía. Antiguamente la astronomía se ocupaba de la observación y predicciones de los movimientos de los objetos visibles a simple vista y en el estudio de la predicción de las rutas y posiciones y perspectivas de los cuerpos en el espacio, para luego progresar y perfeccionar la exactitud en la navegación y el cálculo del tiempo así como los calendarios. La astronomía precolombina poseía calendarios muy puntuales y las pirámides de Egipto fueron construidas sobre patrones astronómicos muy exactos y puntuales.
Luego de Egipto y Babilonia, el estudio de la trigonometría se asentó en Grecia, donde podemos nombrar al matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea, quien fue uno de los principales y más importantes desarrolladores de la Trigonometría. Este matemático construyó una tabla de cuerdas para solucionar triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y aproximándose hasta 180° con ampliaciones de 71°, la tabla facilitaba la longitud de la cuerda limitada por los lados del ángulo central ya que fragmentaba a una circunferencia de radio r. Hasta el momento no se conoce el valor que Hiparco utilizó para r. 300 años mas tarde, el astrónomo griego Tolomeo utilizó r = 60, ya que los griegos tomaron el sistema numeral (base 60) que era usado por los babilonios.
Durante varios siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción primordial para los astrónomos. El libro de astronomía, Almagesto, escrito por él, igualmente poseía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, presentando también el catálogo estelar más perfecto y completo de la antigüedad. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue también obra de Tolomeo.
En India y Arabia la trigonometría era utilizada en la Astronomía. El primer uso de la función seno, aparece en el Shulba o Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Se desarrollo entonces un sistema trigonométrico que estaba basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función nueva función, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa. A finales del siglo X ya habían se habían completado la función seno y las otras cinco funciones trigonométricas.
En el siglo XII comienzan a aparecer en Europa traducciones de libros de matemáticas y astronomía árabes, hecho que lleva a la familiarización con la trigonometría. El primer trabajo significativo en esta materia en el continente Europeo fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller. Se le considerada fundador y un importante innovador en esta materia, puesto que detalla y crea varias herramientas de gran utilidad, así como importantes tratados como De triangulis y Epitome in Almagestum en el cual explica, analiza y muestra la obra de Tolomeo.
Durante el siglo XII el astrónomo alemán Georges Joachim, introdujo el concepto moderno de las funciones trigonométricas como proporcionales en vez de longitudes de algunas determinadas líneas. Ya en el siglo XVI el matemático francés François Vieté, incorpora en su tratado “Canon matemáticas” el triángulo polar en la trigonometría esférica.
A comienzos del siglo XVII, el matemático escocés John Napier descubrió los logaritmos que el llamó “números artificiales”. Esto fue trascendental en el desarrollo de la trigonometría.
A mediados del siglo XVII el físico, inventor, alquimista y matemático inglés, Isaac Newton descubre el cálculo diferencial e integral. También contribuyó en otras áreas de la matemática, por ejemplo desarrollando el teorema del binomio o las fórmulas de Newton-Cotes.
En el siglo XVIII, el físico y matemático suizo Leonhard Euler, explicó que las propiedades de la trigonometría eran consecuencia de la aritmética de los números complejos. Estudió además la notación actual de las funciones trigonométricas y se le atribuye el descubrimiento de la letra e como base del logaritmo natural, así como la unidad imaginaria que generalmente se denota con la letra i. Euler también popularizó El número pi ( π ).
Durante el siglo XX la trigonometría ha realizado muchos aportes en el estudio de los fenómenos de onda y oscilatorio, así como el comportamiento periódico, el cual se relaciona con las propiedades analíticas de las funciones trigonométricas. En astronomía se utiliza para medir distancias a estrellas próximas, para la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación satelital.
La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con
exponenciales de números complejos.
LA TRIGONOMETRÍA
INTRODUCCIÓN
La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos.
La trigonometría se subdivide en:
• Trigonometría plana: si el triángulo es plano.
• Trigonometría esférica: si el triangulo está formado por círculos máximos de una esfera.
Pero además el termino significa el estudio de las “relaciones trigonométricas” o “funciones trigonométricas”, seno, coseno, tangente y cotangente de un arco o un ángulo. También se les llama funciones circulares.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.
Historia de la trigonometría
La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a. C. el astrónomo Hiparco de Nicea realizó una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y yendo hasta 180 °C con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios.
El tratado de la esféricas de Meneláo, que se sitúa hacia el fin del primer siglo de nuestra era, proporciono a claudio Ptolomeo de Alejandría ( h.90 – h.168) las proposiciones fundamentales de trigonometría esférica en particular el celebre teorema de menéalo. “Si un triángulo ABC, plano o esférico, es cortado por medio de una recta o de un circulo máximo en L, M, N se tiene: en el plano
L = NA . MC
A NC MB
En la esfera:
Sen LA = sen NA , sen MC
Sen LB sen NC sen MB
Por otra parte, Menelao escribió sus libros sobre las cuerdas de la circunferencia. Este trabajo puede ser que tuviera modelos que se remontaba a Hiparco, astrónomo del s. II a de C. Si bien la terminología griega se resiente de esta tradición, la atención de las matemáticas fue atraida como muy tarde desde Menelao hacia “La semicuerda del arco doble” nuestro seno, que desde entonces tiene un papael fundamental.
El movimiento de la trigonometría griega mejor conservado es el conjunto formado por los capítulos IX y XI del primero libro de la Sintaxis Matemática o Almagesto de Claudio Ptolomeo.
La trigonometría desarrollada por indios y árabes
Fueron los indios quienes dieron el nombre técnico a la semicuerda del arco doble. Este nombre se convirtió en nuestro seno a través de las traducciones al árabe, y luego del árabe al latín.
A finales del siglo VIII los astrónomos árabes, que habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas.
Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica
Los árabes calcularon tablas precisas en división sexagesimal; entre ellos destacó en particular Abu al-Wafa al – Buzadjami (940 – 997) por las divisiones en cuarto de grado, con cuatro posiciones sexagesimales. Por otra parte, este matemático, introdujo, con otro nombre, la tangente y la secante al lado del seno.
Posteriormente se encontró un magnifico ejemplo de empleo de las tablas en las dos trigonometrías por los árabes orientales en el “Tratado del cuadrilátero” de Nasir al – Din al – Tusi (1201 – 1274). En esta obra, el cuadrilátero está formado por un triangulo esférico y un circulo máximo y permite emplear el teorema de Menelao. La resolución de los triángulos planos es expuesta al principio de la obra, de la que compone el libro V, “La proporcionalidad de los senos de los lados a los de los ángulos opuestos” de Abu al – Wafa al – Buzadjami. Esta resolución dice: “Cuando el triangulo viene dado mediante sus 3 ángulos, se resuelve gracias al triángulo suplementario”.
La trigonometría en Occidente
El occidente se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue, De triangulus escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas.
Los primeros trabajos matemáticos del francés Français Viéte (1540 – 1603) se referían a la trigonometría. Su Canon matemáticas (1579) es una tabla de seis líneas trigonométricas calculadas de minuto en minuto para el radio 100.000.. Esta tabla está acompañada de fórmulas para la resolución de triángulos planos y esféricos.
Posteriormente Viéte dio las nuevas expresiones de las líneas de los múltiplos de un arco dado en función de las líneas de este arco. Este matemático también mostró la analogía entre estas fórmulas y las del desarrollo en potencias del binario. Desde entonces, la trigonometría, como estudio de las líneas circulares, y el álgebra delos polinomios se prestan mucho apoyo.
La trigonometría en los tiempos modernos
En el s. XVII, Isaac Newton (1642 – 1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x.
Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos.
También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a, b, c para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos
Además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.
PERSONAJES QUE TRABAJARON Y DESARROLLARON LA TRIGONOMETRÍA
Hiparco de Nicea
Hiparco de Nicea fue un astrónomo griego, el más importante de su época. Hiparco nació en Nicea, Bitinia. Fue extremadamente preciso en sus investigaciones, de las que conocemos parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la sucesión de los equinoccios. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que fueron la base de la trigonometría moderna.
Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas.
Por último Hiparco inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes.
Menelao
Menelao fue astrónomo y matemático griego, de la segunda mitad del s. I d. C. Escribió una obra, que no ha podido ser encontrada, sobre el cálculo de las cuerdas en el círculo , así como un tratado en tres libros, las Esféricas que nos ha llegado por traducción árabe:
• El primer libro de esta obra funda la geometría esférica dando un papel privilegiado a los círculos máximos.
• El segundo es puramente astronómico.
• El tercero crea la trigonometría esférica, basado sobre los dos teoremas llamados de Menelao, uno relativo al plano y el otro a la esfera.
Regiomontanus
Regiomontanus fue astrónomo y matemático alemán. Su obra principal De triangulus onmimodis, fue escrito hacia 1464, pero fue publicado, mucho después de su muerte, en Nuremberg, en 1533. Si bien este libro debe mucho a la tradición greco-árabe es una obra de profunda originalidad y con ella funda la trigonometría occidental.
Tolomeo
Tolomeo fue astrónomo y matemático cuyas teorías y explicaciones astronómicas dominaron el pensamiento científico hasta el siglo XVI. Posiblemente, Tolomeo nació en Grecia, pero su nombre verdadero, Claudius Ptolemaeus, refleja todo lo que realmente se sabe de él: ‘Ptolemaeus’ indica que vivía en Egipto y ‘Claudius’ significa que era ciudadano romano. De hecho, fuentes antiguas nos informan de que vivió y trabajó en Alejandría, Egipto, durante la mayor parte de su vida.
Tolomeo también contribuyó sustancialmente a las matemáticas a través de sus estudios en trigonometría.
Euler.
Leonhard Euler, fue un matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar.
Euler nació en Basilea y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. En 1771, cuando estalló un gran fuego en la ciudad, llegando hasta la casa de Euler, un compatriota de Basilea, Peter Grimm, se arrojó a las llamas, descubrió a Euler, y lo salvó llevándolo sobre sus hombros. Si bien se perdieron los libros y el mobiliario, se salvaron sus preciosos escritos.
Euler continuó su profuso trabajo durante doce años, hasta el día de su muerte, a los setenta y seis años de edad.
Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna. Se le debe el actual uso de las minúsculas latinas a, b, c, para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos. Sus contribuciones a la trigonometría esférica fueron recogidas en dos memorias fundamentales:
En la primera (1753) Euler partió del hecho de que, sobre la esfera, las geodésicas son los círculos máximos y utilizó en consecuencia la teoría de los extremos. Encontró así las diez relaciones existentes entre los elementos de un triángulo esférico. Luego extendió estas relaciones a los triángulos cualesquiera y hábilmente dedujo el modo de uso en la resolución de triángulos.
Posteriormente, en 1779, le pareció delicado establecer un capítulo de las matemáticas elementales basado en consideraciones transcendentes. Debido a ello, realizó un trabajo que fue el primero que, de 3 relaciones fundamentales obtenidas de la figura, dedujo todo el aparato de las fórmulas que hoy día se encuentra en los tratados de trigonometría.
La contribución fundamental de Euler es su estudio de las funciones circulares. Tomando el radio como unidad, estas funciones son las antiguas “líneas trigonométricas” ya no dadas mediante consideraciones geométricas, sino por sus desarrollos en series enteras o en productos infinitos. Estas funciones forman con las funciones exponenciales y sus inversas las funciones logarítmicas, nuestras funciones transcendentes elementales. La analogía entre funciones circulares y funciones exponenciales fueron puestas de manifiesto por Euler con una audacia cuyas geniales intuiciones en este campo nunca se desmentirán. Desde entonces, el estudio de las funciones trigonométricas se fundamentan en el estudio general de las funciones.
Eratóstenes
Eratóstenes nació en Cirene en el año 284 antes de Jesucristo, y murió en Alejandría a los 92 años, fue el primer científico de la historia de la Humanidad en medir con bastante precisión, la circunferencia de nuestro planeta.
Eratóstenes también midió la inclinación del eje terrestre con un error de sólo 7′ de arco, y creó un catálogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas. Su obra más importante fue un tratado de geografía general.
Eratóstenes quedó ciego en su vejez y decidió suicidarse muriendo de hambre.
¿Cómo midió Eratóstenes la circunferencia terrestre?
Eratóstenes midió la circunferencia terrestre por primera vez con una gran exactitud, en una época en la que muy poca gente pensaba que el mundo no era plano como una mesa.
Pero, ¿cómo lo hizo?. ¿En qué se basó para hacer la medida del radio de la esfera terrestre?
Pues, pensó, sencillamente, que dos estacas clavadas verticalmente en el suelo, a una distancia de varios kilómetros, sobre un mismo meridiano, darían sombras distintas a una misma hora en virtud de la curvatura de la superficie del planeta.
Los ángulos que forman los rayos de sol con la dirección de la estaca son: g
Siendo s y s’ la sombra de cada estaca sobre la línea meridiana en cada lugar. La longitud de la estaca es d en ambos casos.
Si observamos ahora la figura de abajo y nos fijamos en el triángulo que se forma, con ángulos a, a1 y 180-a2, donde a es el ángulo del arco de meridiano comprendido entre las posiciones que ocupan ambas estacas, y a1 y a2 son los ángulos que forman los rayos solares con la dirección de las estacas, vemos que, al sumar 180º los tres ángulos del triángulo es:
a1 + 180 – a2 + a = 180, es decir: a1 – a2 + a = 0, o sea: a = a2 – a1
conocido el ángulo a, y la longitud L del arco de meridiano entre ambos puntos de colocación de las estacas, será posible, mediante una sencilla regla de tres, encontrar la longitud total, X, de la circunferencia del planeta:
Si una de las dos estacas, en un determinado momento diera sobre la línea meridiana sombra nula, es decir, si en una de las estacas fuera cero el ángulo que forma la dirección de los rayos solares con la estaca, o, dicho de otra manera, si en uno de los dos lugares los rayos solares inciden perpendicularmente, entonces, se tendría que:
a1 = 0, por lo cual a = a2 – 0 = a2, es decir, el ángulo, a, que corresponde al arco de meridiano terrestre comprendido entre ambas posiciones de las estacas, es, precisamente el ángulo, a2, que formarían los rayos solares con la segunda estaca sobre la línea meridiana.
Este último hecho fue lo que utilizó Eratóstenes para hacer su medición.
Eratóstenes, que estaba en Alejandría, recordó que en un cierto día del año, en el solsticio de verano, los rayos solares caían verticalmente en la ciudad de Siena, situada en el mismo meridiano que Alejandría, pues recordaba que el sol se reflejaba en lo mas profundo de los pozos, a la hora del mediodía. Entonces, pensó que si media ese día en la ciudad de Alejandría, a la misma hora, el ángulo, a2, que los rayos solares formaban con la vertical, midiendo la sombra que sobre la línea meridiana formaba la estaca, conocería el ángulo del arco de meridiano entre Alejandría y Siena.
Eratóstenes midió la sombra sobre la línea meridiana producida por una estaca vertical en Alejandría, y conociendo la longitud de la estaca halló ese ángulo a la hora antedicha: resultó que el ángulo era de 7 grados (a2 = 7º). Ya sabia el ángulo del arco de meridiano entre Alejandría y Siena. Ahora faltaba conocer la distancia, a lo largo del meridiano, entre ambas ciudades, es decir, la longitud del arco L. Para ello Eratóstenes pagó a un hombre que hizo, a pie, tal medición. Eran, usando la medida usual en la época y en la zona, unos 4900 estadios, que equivaldría hoy ( a unos 6’125 estadios por kilómetro) a unos 800 kms.
Con estos datos ya es inmediato el cálculo:
Longitud de la circunferencia terrestre:
Friefrich Wilheim Bessel
Bessel fue un astrónomo y matemático alemán, nacido en Minden, conocido principalmente por realizar la primera medición precisa de la distancia de una estrella. Nació en Minden. Estableció el sistema uniforme para calcular las posiciones de las estrellas que todavía se utiliza actualmente. Desde 1821 hasta 1833, determinó con precisión las posiciones de estrellas de hasta la novena magnitud, elevando el número de estrellas catalogadas a 50.000. Sus observaciones astronómicas fueron publicadas en 1842.
Bessel fue el primero en determinar el paralaje, y por tanto, la distancia de una estrella fija, 61 Cygni, proporcionando así la confirmación definitiva de la teoría por la que el Sol y no la Tierra es el centro del Sistema Solar. También determinó el diámetro, el peso y la elipticidad (o desviación de la forma de una esfera real) de la Tierra. En la investigación de problemas relacionados con perturbaciones planetarias, introdujo en matemáticas las funciones de Bessel como solución a ciertas ecuaciones diferenciales. Las funciones son de gran importancia para determinar la distribución y el flujo del calor o la electricidad a través de un cilindro circular, y para la solución de problemas relacionados con el movimiento ondulatorio, la elasticidad y la hidrodinámica.
El paralaje trigonométrico
El paralaje es una palabra de origen griego que significa cambio de posición.
Con la siguiente experiencia se comprueba el efecto del paralaje;
• Colocando el dedo pulgar a unos 25 cm por delante de los ojos y situándose a 1 m de distancia de la pared.
• Tapando con la mano un ojo cada vez se ve que la posición del dedo pulgar respecto de la pared cambia.
El paralaje es el responsable del movimiento aparente del dedo pulgar respecto de la pared.
Este movimiento aparente depende de la longitud de la base o distancia entre los ojos y de la distancia a la que se encuentre el dedo de nosotros. Cuanto más alejado esté el objeto que miramos, mayor será la longitud de la base que habrá que tomar para que el ángulo de paralaje sea apreciable.
El paralaje es el método más antiguo que se aplicó para calcular la distancia a las estrellas. El método consiste en trazar sendas visuales; una, por ejemplo en enero, y la otra, seis meses más tarde, en julio. Como estas observaciones están separadas 2 UA (la UA es la distancia media de la Tierra al sol), la estrella E se ve desde un punto con un ángulo diferente del ángulo con el que se ve desde otro punto.
Con estas dos observaciones se puede construir un triángulo rectángulo de base 1 UA (1 UA = 149.597.840 Km) y ángulos también conocidos. La altura D de este triángulo es la distancia estelar que buscamos.
Teniendo esto en cuenta y que un año-luz equivale a 9.460.528.400.000 Km., podemos decir que esta expresión nos permite calcular las distancias estelares.
La primera distancia estelar calculada por este procedimiento la hizo el alemán Friefrich Wilheim Bessel (1784-1846), en 1838, para la estrella 61 Gygni.
Desarrollo histórico de la Trigonometria
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyó fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la Matemática.
Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, la tabla de cuerdas que construyó Hiparco para resolver triángulos comenzó con un ángulo de 71°, llegando hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
Trescientos años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto (escrito por él) también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas.
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Historia de la Trigonometría (DESARROLLO)
Trigonometría es, por supuesto, una rama de la geometría, pero difiere de la geometría sintética de Euclides y los antiguos griegos por ser de cómputo en la naturaleza. Por ejemplo, la Proposición I.4 de elementos es el lado-ángulo de congruencia teorema de ángulo que se afirma que un triángulo está determinado por dos ángulos y el lado entre ellos. Es decir, si usted quiere saber el ángulo restante y los lados otros dos, todo lo que tienes que hacer es diseñar el lado dado y los dos ángulos en sus extremos, se extienden los otros dos lados hasta que se encuentren, y que tienes el triángulo. No hay cálculos numéricos involucrados.
Pero la versión trigonométrica es diferente. Si usted tiene las medidas de los dos ángulos y la longitud del lado entre ellos, el problema consiste en calcular el ángulo restante (que es fácil, basta con restar la suma de los dos ángulos a partir de dos ángulos rectos) y los lados otros dos (lo cual es difícil). La solución moderna para el cálculo última es por medio de la ley de los cosenos.
Todos los cálculos trigonométricos requieren la medición de ángulos y el cálculo de una función trigonométrica. Las funciones trigonométricas modernas seno, coseno, tangente, y sus inversos, pero en la trigonometría griega antigua, el acorde, una función más intuitiva, se utilizó.
Trigonometría, por supuesto, depende de la geometría. La ley de cosenos, por ejemplo, se desprende de una proposición de la geometría sintética, es decir, proposiciones II.12 y II.13 de los elementos. Y así, los problemas de trigonometría han requerido de los nuevos avances en la geometría sintética. Un ejemplo es el teorema de Ptolomeo, que establece normas de los acordes de la suma y diferencia de ángulos, que corresponden a las fórmulas de suma y diferencia de senos y cosenos.
La aplicación principal de la trigonometría en las culturas pasadas, no sólo griego antiguo, es a la astronomía. Cálculo de los ángulos en la esfera celeste requiere un tipo diferente de la geometría y la trigonometría que en el avión. La geometría de la esfera se llama «esféricos» y formaron una parte del quadrivium de estudio. Varios autores, incluyendo Euclides, escribió libros sobre esféricos. El nombre actual de la asignatura es «geometría elíptica». Trigonometría aparentemente surgió para resolver los problemas planteados en esféricos en lugar de los problemas que plantea en la geometría plana. Por lo tanto, la trigonometría esférica es tan antigua como la trigonometría plana.
Los babilonios y la medida del ángulo
Los babilonios, en algún momento antes de 300 a. C. fueron el método de medición grados para los ángulos. Los números babilónicos se basaron en el número 60, por lo que puede conjeturarse que se llevaron la unidad de medida a ser lo que llamamos 60 °, que luego se divide en 60 grados. Tal vez 60 ° se tomó como grupo, dado que la cuerda de 60 ° es igual al radio del círculo, véase más abajo sobre los acordes. Grado de medición fue adoptada más tarde por Hiparco.
Los babilonios fueron los primeros en dar las coordenadas de las estrellas. Ellos usaron la eclíptica como su círculo de base en la esfera celeste, es decir, la esfera de cristal de las estrellas. El sol recorre la eclíptica, los planetas viajan cerca de la eclíptica, las constelaciones del zodíaco están dispuestas alrededor de la eclíptica, y la estrella polar, Polaris, es de 90 ° respecto a la eclíptica. La esfera celeste gira alrededor del eje que pasa por los polos norte y sur. Los babilonios midió la longitud en grados hacia la izquierda desde el punto vernal, visto desde el polo norte, y midió la latitud en grados al norte o al sur de la eclíptica.
Hiparco de Nicea (ca. 180 – ca 125 aC.)
Hiparco fue un astrónomo principalmente, pero los comienzos de la trigonometría, aparentemente comenzó con él. Sin duda los babilonios, egipcios y griegos a principios de la astronomía sabía mucho antes de Hiparco, y también determina las posiciones de muchas estrellas en la esfera celeste delante de él, pero es Hiparco a quien la primera tabla de las cuerdas se le atribuye. Se ha hipotetizado que Apolonio y Arquímedes, incluso construyeron tablas de acordes delante de él, pero no hay referencia a ninguna tabla anterior tales.
Algunos de Hiparco avances en la astronomía incluyen el cálculo del mes lunar decir, las estimaciones del tamaño y las distancias del sol y la luna, las variantes de los modelos epicicloidal y excéntrica del movimiento planetario, un catálogo de 850 estrellas (longitud y latitud en relación con la eclíptica), y el descubrimiento de la precesión de los equinoccios y una medida de que la precesión.
Según Teón, Hiparco escribió una obra de 12 libros sobre las cuerdas de un círculo, ya que perdió. Esa sería la primera obra conocida de la trigonometría. Dado que el trabajo ya no existe, la mayoría de todo sobre él es la especulación. Pero algunas cosas se saben de diversas menciones en otras fuentes incluyendo otro de los suyos. Se incluyen algunas longitudes de las cuerdas que corresponden a diferentes arcos de círculo, tal vez una tabla de cuerdas. Además de estos restos de algunas de información, otros pueden ser inferidos a partir del conocimiento que se tomó tan conocido por sus sucesores.
Acordes de base de la trigonometría
En una presentación moderna de la trigonometría, el seno y el coseno de un ángulo a es el eje – y y x-coordenadas de un punto sobre el círculo unidad, el punto es la intersección del círculo unidad y un lado del ángulo a la otra lado del ángulo es el eje x positivo. El griego, indio, árabe, y los primeros europeos utilizan un círculo de radio de algunos conveniente. Para esta descripción de la trigonometría, vamos a dejar la radio sin especificar en modo lectura y es doble, el diámetro, vamos a denotar d.
El acorde de un ángulo AOB donde O es el centro de un círculo y A y B son dos puntos en el círculo, es la línea recta AB. Los acordes son relacionados con el seno y el coseno moderna por las fórmulas
CRD a = d sen (a / 2)
el pecado a = (1 / d), CRD 2 bis
CRD (180 ° – a) = d cos (a / 2)
cos a = (1 / d) CRD (180 ° – 2 a)
donde a es un ángulo, d el diámetro, y CRD una abreviatura de acordes.
Algunas propiedades de las cuerdas no podría haber escapado a la atención de Hiparco, sobre todo en una obra de 12 libros sobre el tema. Por ejemplo, una fórmula de ángulo complementario indicaría que si AOB y BOC son ángulos complementarios, entonces el teorema de Thales estados que el triángulo ABC es correcto, por lo que el teorema de Pitágoras dice que el cuadrado de la cuerda AB, más el cuadrado de la cuerda BC es igual a la cuadrado de la CA de diámetro. Resumieron mediante una notación algebraica moderna
CRD 2 AOB + CRD 2 BOC = d 2
donde d es el diámetro del círculo.
Hiparco probablemente construido su tabla de cuerdas con una fórmula medio de ángulo y la fórmula de ángulo suplementario. La fórmula de media ángulo en términos de acordes es
CRD 2 (t / 2) = r (2 r – CRD (180 ° – t)
donde r es el radio del círculo y t es un ángulo. con ERC 60 ° = r A partir, Hipócrates puede por medio de esta fórmula de ángulo medio encontrar los acordes de 30 °, 15 ° y 2.1 ° 7. Que pudiera completar una tabla de acordes en 7 1 / 2 ° pasos mediante CRD 90 °, la fórmula de medio punto de vista, y la fórmula de ángulo suplementario.
¿Qué otras relaciones entre los acordes de varios ángulos que Hipócrates hubiera sabido sigue siendo especulación.
Menelao (ca. 100 dC)
Los primeros trabajos sobre trigonometría esférica era «Spherica Menelao. Se incluía lo que ahora se llama el teorema de Menelao que se refiere arcos de círculos máximos en las esferas. Por supuesto, Menelao declaró su resultado en términos de acordes, pero en términos de senos moderna, su teorema dice
el pecado del CE
________________________________________ el pecado de EA
=
pecado CF
________________________________________ pecado FD pecado BD
________________________________________ pecado BA
y
pecado CA
________________________________________ el pecado de EA
=
el pecado de CD
________________________________________ pecado FD
pecado BF
________________________________________ pecado SER
Probó este resultado, en primer lugar probar la versión de avión, a continuación, «proyectar» de nuevo a la esfera. La versión del avión, dice
CE
________________________________________ EA
=
CF
________________________________________ FD BD
________________________________________ BA
y
CA
________________________________________ EA
=
CD
________________________________________ FD
BF
________________________________________ SER
Ptolomeo (ca. 100-178 dC)
famoso matemático trabajo de Claudio Ptolomeo fue la Sintaxis Mathematike (Matemáticas Colección) generalmente conocido como el Almagesto. Es todo un trabajo sobre astronomía que incluye la teoría matemática correspondiente a la astronomía. Se incluye tabla trigonométrica, una tabla de cuerdas para los ángulos de 1 / 2 ° a 180 ° en incrementos de 1 / 2 °, las cuerdas fueron redondeados a dos lugares sexagesimal, cerca de cinco dígitos de precisión. También incluyó la geometría necesaria para construir la tabla. Se calcula el acorde de 72 º, un ángulo central de un pentágono, un ángulo de construibles. Junto con la cuerda de 60 ° (la radio que Ptolomeo llevó a ser 60), que da CRD 12 °, a continuación, CRD 6 °, 3 ° CRD, CRD 1 1 / 2 °, y CRD 4.3 °. Él utilizó la interpolación para encontrar CRD 1 ° y CRD 1 / 2 °.
Teorema de Ptolomeo
Ptolomeo demostró el teorema que da las fórmulas de suma y la diferencia para los acordes.
Teorema. Para un cuadrilátero cíclico (es decir, un cuadrilátero inscrito en un círculo), el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.
AC BD = CD AB + AD BC
Cuando AD es un diámetro del círculo, entonces el teorema dice
AOC CRD CRD DBO CRD CRD AOB COD = + d BOC CRD.
donde O es el centro del círculo y d el diámetro. Si echamos un ser ángulo AOB y b para que el ángulo AOC, entonces tenemos
b CRD CRD (180 ° – a) = crd de un CRD (180 ° – b) + d CRD (b – a)
que da la fórmula de diferencia
CRD (b – a) =
b CRD CRD (180 ° – a) – CRD un CRD (180 ° – b)
________________________________________ d
Con una interpretación diferente de a y b, los resultados de fórmula de la suma:
CRD (b + a) =
b CRD CRD (180 ° – a) + ERC un CRD (180 ° – b)
________________________________________ d
Estos, por supuesto, corresponden a las fórmulas de suma y diferencia de senos.
Armado con su teorema, Ptolomeo pudo completar su tabla de cuerdas de 1.2 ° a 180 ° en incrementos de 1 / 2 °.
Trigonometría
trigonometría Computacional sólo podría comenzar después de la construcción de una tabla trigonométrica buena, por lo que procedió Ptolomeo. Aunque no sistemáticamente, ofrecen métodos para la resolución de triángulos rectángulos y triángulos oblicuos, las soluciones a problemas específicos se encuentran en el Almagesto. Las soluciones que nos encontraríamos con senos o cosenos son igualmente fáciles de resolver con una tabla de cuerdas, pero que los que resolvería con tangentes requeriría dividir un acorde por acorde complementaria, por lo que para una solución más difícil. Un ejemplo típico de que sería encontrar la altura de un poste, dada la longitud de su sombra y el ángulo de inclinación de la sombra.
TEMA: 14. Trigonometría, (definición y desarrollo)
equipo: Priscilla Hernandez Zamora
Roberto Rodriguez
2do H
Índice:
1.-Que es
2.-Desarrollo
3.-Definición
4.-Videos
5.-Bibliografías
6.-Imágenes
1.- Que es:
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es «la medición de los triángulos». Deriva de los términos griegos τριγωνοtrigōno triángulo y μετρον metron medida.1
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.
Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos. En una circunferencia completa hay 2π radianes.
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.
Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.
2.-Desarrollo:
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyó fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la Matemática.
Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, la tabla de cuerdas que construyó Hiparco para resolver triángulos comenzó con un ángulo de 71°, llegando hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r..
La geometría como palabra tiene dos raíces griegas: geo = tierra y metrón = medida; o sea, significa “medida de la tierra”. Su origen, unos tres mil años
antes de Cristo, se remonta al Medio Oriente, en particular al Antiguo Egipto, en que se necesitaba medir predios agrarios y en la construcción de pirámides y monumentos. Esta concepción geométrica se aceptaba sin demostración, era producto de la práctica.
Estos conocimientos pasaron a los griegos y fue Thales de Mileto quien hace unos 6 siglos antes de Cristo inició la geometría demostrativa. Las propiedades se demuestran por medio de razonamientos y no porque resulten en la práctica.
Las demostraciones pasan a ser fundamentales y son la base de la Lógica como leyes del razonamiento.
Euclides fué otro gran matemático griego, del siglo III antes de Cristo, quien en su famosa obra titulada “Los Elementos”, recopila, ordena y sistematiza todos los conocimientos de geometría hasta su época y, salvo algunas pequeñas variaciones, son los mismos conocimientos que se siguen enseñando en nuestos días.
Euclides, usando un razonamiento deductivo parte de conceptos básicos primarios no demostrables tales como punto, recta, plano y espacio, que son
el punto de partida de sus definiciones, axiomas y postulados. Demuestra teoremas y a su vez, éstos servirán para demostrar otros teoremas. Crea nuevos conocimientos a partir de otros ya existentes por medio de cadenas deductivas de razonamiento lógico. Esta geometría, llamada geometría euclidiana
se basa en lo que históricamente se conoce como 5º postulado de Euclides: “por un punto situado fuera de una recta se puede trazar una y sólo una paralela a ella”.
3.-DEFINICION:
Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Trigonometría.
Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicacione
En el s. XVII, Isaac Newton (1642 – 1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos.
También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a, b, c para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos. Además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.
la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia.
Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos.
En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 70° y yendo hasta 180 °C con incrementos de 70°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r.
Geometría y Trigonometría 
Desarrollo de la geometría.
La geometria como palabra tiene dos raíces griegas: geo = tierra y metrón = medida; o sea, significa «medida de la tierra». Su origen, unos tres mil años
antes de Cristo, se remonta al Medio Oriente, en particular al Antiguo Egipto, en que se necesitaba medir predios agrarios y en la construcción de pirámides y monumentos. Esta concepción geometrica se aceptaba sin demostración, era producto de la práctica.
Estos conocimientos pasaron a los griegos y fue Thales de Mileto quien hace unos 6 siglos antes de Cristo inició la geometría demostrativa. Las propiedades se demuestran por medio de razonamientos y no porque resulten en la práctica.
Las demostraciones pasan a ser fundamentales y son la base de la Lógica como leyes del razonamiento.
Euclides fué otro gran matemático griego, del siglo III antes de Cristo, quien en su famosa obra titulada «Los Elementos», recopila, ordena y sistematiza todos los conocimientos de geometría hasta su época y, salvo algunas pequeñas variaciones, son los mismos conocimientos que se siguen enseñando en nuestos días.
Euclides, usando un razonamiento deductivo parte de conceptos básicos primarios no demostrables tales como punto, recta, plano y espacio, que son
el punto de partida de sus definiciones, axiomas y postulados. Demuestra teoremas y a su vez, éstos servirán para demostrar otros teoremas. Crea nuevos conocimientos a partir de otros ya existentes por medio de cadenas deductivas de razonamiento lógico. Esta geometría, llamada geometría euclidiana
se basa en lo que históricamente se conoce como 5º postulado de Euclides: «por un punto situado fuera de una recta se puede trazar una y sólo una paralela a ella».
Existen otras geometrías que no aceptan dicho postulado euclidiano, sino que aceptan otros principios que dan origen a las llamadas «geometrías no euclidianas», como la creada en el siglo XIX por el ruso Lobatschevsky.
Como se mencionó, los conceptos básicos primarios punto, recta, plano y espacio no se definen sino que se captan a través de los sentidos. Puede darse
modelos físicos para cada uno de ellos. Por ejemplo un punto puede estar representado por la huella que deja sobre un papel la presión de la punta de un alfiler por una estrella en el firmamento. Una recta está sugerida por un hilo a plomo, un plano está sugerido por la superficie de un lago quieto o bien por la
superficie de un espejo. El espacio euclidiano puede considerarse constituido por todos los puntos existentes, o sea, el espacio en que nos movemos.
La geometría euclidiana puede dividirse en geometría plana y en geometría del espacio o estereometría. La plana estudia las figuras contenidas en un plano. La del espacio estudia figuras que no están contenidas en un mismo plano.
La Matemática ha tenido una larga y controvertida historia, que va desde su surgimiento con la comunidad primitiva hasta las matemáticas contemporáneas (A. Kolmogorov, 1975, Ríbnikov, 1982, Wussing, 1990, J. Bernal, 1986).
La parte teórica de la Matemática tiene sus orígenes en las escuelas científicas y filosóficas de la Grecia Antigua y su contribución al desarrollo de las ciencias es tan significativa que incluso en nuestra época “… las ciencias si quieren seguir la historia del surgimiento y desarrollo de sus tesis generales actuales, están obligadas a dirigirse a los griegos”.
El establecimiento de la Matemática como ciencia independiente, en el antiguo imperio griego, donde sobresalen los aportes de Pitágoras en el arte numérico, Arquímedes con los métodos aproximados, Apolonio con el trabajo de las cónicas, Diofanto con su aritmética, Ptolomeo con su trigonometría y Euclides con su geometría, recibió de los egipcios y los babilonios la formación de las primeras representaciones matemáticas, que impulsadas por necesidades prácticas o sociales como el comercio, la astronomía, la ornamentación y la agrimensura constituyeron los primeros sistemas numéricos y las representaciones geométricas.
La concepción de la Geometría de Euclides, que a decir de Diudonné (1959) constituye “… la realización intelectual quizás más extraordinaria alcanzada por la humanidad y es merced a Euclides que hemos podido erigir la elevada estructura del presente”, se mantuvo por cerca de 22 siglos; la llegada de las Geometrías no euclidianas en el siglo XIX por Gauss, Bolyai y Lobachewski da un viraje al pensamiento geométrico, se derrumba la idea absoluta del espacio defendida por Kant y se estructura una teoría geométrica opuesta a las concepciones euclidianas.
En esta evolución histórica un hecho ocurrido en la década del 60, que tenía como antecedente un importantísimo evento, el Seminario de Rayaumout (1959), dio un viraje a lo que se consideraba esencial en la Matemática.
La introducción de la Matemática Moderna trajo a las escuelas el formalismo y la absolutización de la teoría de conjunto; lo que limitó el trabajo con la Geometría Elemental; en particular, la intuición espacial en la estereometría, ya que por su carácter formalista la Matemática Moderna abogaba por la profundización en el rigor lógico y no en la intuición ni en la visualización.
Indudablemente la introducción de la Matemática Moderna fue consecuencia de la forma de pensar de los eminentes matemáticos que la promovieron; las concepciones filosóficas que se reconocen en la historia de la Matemática son: idealismo subjetivo, idealismo objetivo y materialismo.
De estas posiciones se desprendieron dos corrientes el nominalismo y el realismo.
La expresión contemporánea del nominalismo es el formalismo que considera que la Matemática es y se reduce a un sistema de reglas, de transformaciones, de nombres y de formas de actuar. No le importa el significado, sino el manejo del lenguaje simbólico.
Para los formalistas la Matemática es lo formalizado y por tanto el pensamiento que no opera con la simbología específica, con el lenguaje específico de la Matemática no es pensamiento matemático. Como se ha expresado esta corriente consiguió sustituir la Matemática clásica, por la posición formalista, la Matemática Moderna.
Vista hoy a lo largo de las décadas se ha considerado que la Matemática Moderna, permeada de formalismo, constituyó un fracaso en el ámbito mundial .
Con esta panorámica general, la llegada de la modernización de las matemáticas, le impregnó características a la Geometría y su enseñanza, la cual perdió su propio peso, pasando a ser considerada en la distancia como la “cenicienta de las matemáticas”.
Hoy se considera una necesidad ineludible, desde el punto de vista didáctico, científico e histórico, volver a recuperar el contenido espacial e intuitivo en toda la Matemática, no ya solo en lo que se refiere a la Geometría (De Guzmán 1993).
El pensamiento geométrico, en consecuencia, ha ido decreciendo en las últimas décadas en la enseñanza de la Matemática en la primaria, la secundaria y el preuniversitario; ya que es necesario enseñar “algo más básico y profundo que es el cultivo de aquellas porciones de la Matemática que provienen de y tratan de estimular la capacidad del hombre para explorar racionalmente el espacio físico en que vive, la figura y la forma básica».
A partir del Seminario de Rayaumont en 1959, en cuyas actas (New Thinking in school Mathematics) predominan las críticas demoledoras a los programas de enseñanza; donde se contextualiza la frase célebre de Diudoné “Abajo Euclides”, que sirvió para enarbolar reformas; y en las siguientes reuniones (RELME), congresos (ICMI) y seminarios a escala mundial y en Iberoamérica, se ha discutido con bastante fuerza la importancia de la educación geométrica y el favorecimiento de un pensamiento geométrico en los escolares.
Bibliografias:
http://www.jfinternational.com/mf/geometria.html
Video:
DESARROLLO Y APLICACIÓN DE LA TRIGONOMETRIA.
La trigonometría es una rama de las tantas ramas de matemáticas, se encarga de estudiar y analizar la relación entre los lados y los ángulos de los triángulos. Para esto recurre generalmente a las llamadas razones trigonométricas. El origen de la palabra trigonometría desciende del griego “trigonos” (triángulo) y “metros” (metria).
Hace unos 4000 años en Babilonia (antiguo reino localizado en la región de Mesopotamia) y Egipto se determinó y establecieron aproximaciones de medidas de ángulos y de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos para ampliar y desarrollar medidas tanto en la agricultura como en la construcción de pirámides. Los egipcios fijaron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Además se utilizaba la trigonometría para el estudio de la astronomía. Antiguamente la astronomía se ocupaba de la observación y predicciones de los movimientos de los objetos visibles a simple vista y en el estudio de la predicción de las rutas y posiciones y perspectivas de los cuerpos en el espacio, para luego progresar y perfeccionar la exactitud en la navegación y el cálculo del tiempo así como los calendarios. La astronomía precolombina poseía calendarios muy puntuales y las pirámides de Egipto fueron construidas sobre patrones astronómicos muy exactos y puntuales.
Luego de Egipto y Babilonia, el estudio de la trigonometría se asentó en Grecia, donde podemos nombrar al matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea, quien fue uno de los principales y más importantes desarrolladores de la Trigonometría. Este matemático construyó una tabla de cuerdas para solucionar triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y aproximándose hasta 180° con ampliaciones de 71°, la tabla facilitaba la longitud de la cuerda limitada por los lados del ángulo central ya que fragmentaba a una circunferencia de radio r. Hasta el momento no se conoce el valor que Hiparco utilizó para r. 300 años mas tarde, el astrónomo griego Tolomeo utilizó r = 60, ya que los griegos tomaron el sistema numeral (base 60) que era usado por los babilonios.
Durante varios siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción primordial para los astrónomos. El libro de astronomía, Almagesto, escrito por él, igualmente poseía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, presentando también el catálogo estelar más perfecto y completo de la antigüedad. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue también obra de Tolomeo.
En India y Arabia la trigonometría era utilizada en la Astronomía. El primer uso de la función seno, aparece en el Shulba o Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Se desarrollo entonces un sistema trigonométrico que estaba basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función nueva función, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa. A finales del siglo X ya habían se habían completado la función seno y las otras cinco funciones trigonométricas.
En el siglo XII comienzan a aparecer en Europa traducciones de libros de matemáticas y astronomía árabes, hecho que lleva a la familiarización con la trigonometría. El primer trabajo significativo en esta materia en el continente Europeo fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller. Se le considerada fundador y un importante innovador en esta materia, puesto que detalla y crea varias herramientas de gran utilidad, así como importantes tratados como De triangulis y Epitome in Almagestum en el cual explica, analiza y muestra la obra de Tolomeo.
Durante el siglo XII el astrónomo alemán Georges Joachim, introdujo el conceptomoderno de las funciones trigonométricas como proporcionales en vez de longitudes de algunas determinadas líneas. Ya en el siglo XVI el matemático francés François Vieté, incorpora en su tratado “Canon matemáticas” el triángulo polar en la trigonometría esférica.
A comienzos del siglo XVII, el matemático escocés John Napier descubrió los logaritmos que el llamó “números artificiales”. Esto fue trascendental en el desarrollo de la trigonometría.
A mediados del siglo XVII el físico, inventor, alquimista y matemático inglés, Isaac Newton descubre el cálculo diferencial e integral. También contribuyó en otras áreas de la matemática, por ejemplo desarrollando el teorema del binomio o las fórmulas de Newton-Cotes.
En el siglo XVIII, el físico y matemático suizo Leonhard Euler, explicó que las propiedades de la trigonometría eran consecuencia de la aritmética de los números complejos. Estudió además la notación actual de las funciones trigonométricas y se le atribuye el descubrimiento de la letra e como base del logaritmo natural, así como la unidad imaginaria que generalmente se denota con la letra i. Euler también popularizó El número pi ( π ).
Durante el siglo XX la trigonometría ha realizado muchos aportes en el estudio de los fenómenos de onda y oscilatorio, así como el comportamiento periódico, el cual se relaciona con las propiedades analíticas de las funciones trigonométricas. En astronomía se utiliza para medir distancias a estrellas próximas, para la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación satelital.
La trigonometría es una herramienta fundamental para el estudio de muchos fenómenos físicos, algunos de ellos que estudiaréis en Bachillerato y otros, quizás, más adelante… Aquí os ofrezco la posibilidad de que veáis algunas aplicaciones de la trigonometría. No pretendo, por supuesto, que lo leáis detenidamente y que lo entendáis, simplemente que echéis un vistazo y os hagáis una idea aproximada de «para qué sirve la trigonometría»…
Por ejemplo, la trigonometría se utiliza para:
• estudiar el movimiento de un cuerpo que oscila (movimiento armónico simple)
• estudiar cómo se propagan las ondas: las ondas que se producen al tirar una piedra en el agua, o al agitar una cuerda cogida por los dos extremos, o las ondas electromagnéticas de la luz, el microondas o los rayos-x,…o las ondas sonoras, que es el ejemplo que podréis veraquí
• estudiar triángulos no ya en una superficie plana, sino en una superficie esférica, lo cual resulta muy útil para la astronomía o la navegación (es lo que se conoce comoTRIGONOMETRÍA ESFÉRICA)
BIBLIOGRAFIA
http://matematica.laguia2000.com/general/historia-de-la-trigonometria
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DESARROLLO Y APLICACIÓN DE LA TRIGONOMETRIA.
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyó fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la Matemática.
Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, la tabla de cuerdas que construyó Hiparco para resolver triángulos comenzó con un ángulo de 71°, llegando hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
Trescientos años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía elAlmagesto (escrito por él) también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas.
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Proviene del griego TRIGONOS (triángulo) y METRÍA (medida).
Etimológicamente, significa medida de triángulos. Es una parte de la Matemática que estudia las relaciones métricas de los elementos de un triángulo (lados y ángulos). Su importancia como auxiliar de otras ciencias es muy grande.
La trigonometría, que al principio aparece como parte de la geometría que se ocupa de formular relaciones entre las medidas angulares y las longitudes de los lados de un triangulo y que surgió para resolver inicialmente problemas de exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios por parte de los griegos, posteriormente se ha convertido también el fundamento de los cálculos astronómicos.
Así pues, esta misma trigonometría se dividió en dos ramas fundamentales, que son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía y estudia triángulos esféricos, es decir, triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.
La trigonometría es una herramienta fundamental para el estudio de muchos fenómenos físicos, algunos de ellos que estudiaréis en Bachillerato y otros, quizás, más adelante… Aquí os ofrezco la posibilidad de que veáis algunas aplicaciones de la trigonometría. No pretendo, por supuesto, que lo leáis detenidamente y que lo entendáis, simplemente que echéis un vistazo y os hagáis una idea aproximada de «para qué sirve la trigonometría»…
Por ejemplo, la trigonometría se utiliza para:
• estudiar el movimiento de un cuerpo que oscila (movimiento armónico simple)
• estudiar cómo se propagan las ondas: las ondas que se producen al tirar una piedra en el agua, o al agitar una cuerda cogida por los dos extremos, o las ondas electromagnéticas de la luz, el microondas o los rayos-x,…o las ondas sonoras, que es el ejemplo que podréis veraquí
• estudiar triángulos no ya en una superficie plana, sino en una superficie esférica, lo cual resulta muy útil para la astronomía o la navegación (es lo que se conoce comoTRIGONOMETRÍA ESFÉRICA)
bibliografia
http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Loponte/ProyFinalLoponte/proyectofinal/historia.htm
http://afernandezamor.blogspot.com/2007/10/aplicaciones-de-la-trigonometra.html
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-Alexa Espino Solis-
DESARROLLO HISTORICO DE LA TRIGONOMETRÍA.
La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos
establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los
tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una
tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con
incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo
central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó
para r.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema
numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los
astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de
cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos
de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de
Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema
trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos delas funciones trigonométricas. El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de
astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller,
llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los
fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas
utilizando series infinitas de potencias de la variablex. Newton encontró la serie para el senx y
series similares para el cosx y la tgx. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas
fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las
funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
La trigonometría desarrollada por árabes
A finales del siglo VIII los astrónomos árabes, que habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas.
Los árabes calcularon tablas precisas en división sexagesimal; entre ellos destacó en particular Abu al – Wafa al – Buzadjami (940 – 997) por las divisiones en cuarto de grado, con cuatro posiciones sexagesimales. Por otra parte, este matemático, introdujo, con otro nombre, la tangente y la secante al lado del seno.
“Tratado del cuadrilátero” de Nasir al – Din al – Tusi (1201 – 1274). En esta obra, el cuadrilátero está formado por un triangulo esférico y un circulo máximo y permite emplear el teorema de Menelao.. . Esta resolución dice: “Cuando el triangulo viene dado mediante sus 3 ángulos, se resuelve gracias al triángulo suplementario”.
La trigonometría en Occidente
El occidente se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue «De triangulus» escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas.
Los primeros trabajos matemáticos del francés Français Viéte (1540 – 1603) se referían a la trigonometría. Su «Canon matemáticas» (1579) es una tabla de seis líneas trigonométricas calculadas de minuto en minuto para el radio 100.000. Esta tabla está acompañada de fórmulas para la resolución de triángulos planos y esféricos. Este matemático también mostró la analogía entre estas fórmulas y las del desarrollo en potencias del binario. Desde entonces, la trigonometría, como estudio de las líneas circulares, y el álgebra delos polinomios se prestan mucho apoyo.
La trigonometría en los tiempos modernos
En el s. XVII, Isaac Newton (1642 – 1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos.
También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a, b, c para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos. Además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.
http://sociomatematica.blogspot.com/2007/10/historia-de-la-trigonometra.html
1) Aplicar las leyes de senos y cósenos para la resolución de problemas.
Ejemplo: Quieres encontrar la ubicación de una montaña tomando medidas desde dos puntos que se encuentran a 3 millas uno de otro. Desde el primer punto, el ángulo formado entre la montaña y el segundo punto es 78º. Desde el segundo punto, el ángulo formado entre la montaña y el primer punto es 53º.
2) Convertir medidas de grados a radianes.
Ejemplo: Convertir 90º, 45º, y 30º a radianes
3) Resolver problemas que involucren aplicaciones de funciones trigonométricas.
Ejemplo: En Indiana, la duración del día varía a lo largo del año en una curva senoidal. El día más largo dura 14 horas y es el día 175 y el día más corto dura 10 horas y es el día 355.
Bibliografía: http://boards5.melodysoft.com/foro2w/-ejemplos-en-la-vida-diaria-de-trigonometria-98.html?MAXMSGS=50&ORDERBY=0
1. Cálculo de la distancia entre dos puntos, uno de los cuales es inaccesible
2. Cálculo de la altura de un punto de pie inaccesible
3. Cálculo de la distancia entre dos puntos inaccesibles
1)
2)
3)
bibliografía:
http://www.aritor.com/trigonometria/aplicaciones_trigonometria.html
Aplicación de la trigonometría:
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.
La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia.
Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos.
En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 70° y yendo hasta 180 °C con incrementos de 70°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r.
Un ejemplo de aplicación de la trigonometria sería cuando el hombre llegó a la luna de cuánto tiempo tardó en llegar y a qué velocidad iba, se puede modelar para el nivel de primaria.
En construccion se usa bastante, para techos de doble agua o muros a las cuales quieres proyectar.
Los griegos empezaron a pensar en el seno y el coseno para calcular la distancia de los barcos a tierra y viceversa.
Videografía:
Alexa Espino Solis 2do H
Historia de la Trigonometría.
La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para radio.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Bibliografia:
http://historytrigonometric.blogspot.com/2011/04/historia-de-la-trigonometria.html
Videografia:
Desarrollo histórico y aplicación de la trigonometría.
La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
LA TRIGONOMETRÍA
INTRODUCCIÓN
La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos.
La trigonometría se subdivide en:
• Trigonometría plana: si el triángulo es plano.
• Trigonometría esférica: si el triangulo está formado por círculos máximos de una esfera.
Pero además el termino significa el estudio de las “relaciones trigonométricas” o “funciones trigonométricas”, seno, coseno, tangente y cotangente de un arco o un ángulo. También se les llama funciones circulares.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.
Historia de la trigonometría
La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a. C. el astrónomo Hiparco de Nicea realizó una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y yendo hasta 180 °C con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios.
El tratado de la esféricas de Meneláo, que se sitúa hacia el fin del primer siglo de nuestra era, proporciono a claudio Ptolomeo de Alejandría ( h.90 – h.168) las proposiciones fundamentales de trigonometría esférica en particular el celebre teorema de menéalo. “Si un triángulo ABC, plano o esférico, es cortado por medio de una recta o de un circulo máximo en L, M, N se tiene: en el plano
L = NA . MC
A NC MB
En la esfera:
Sen LA = sen NA , sen MC
Sen LB sen NC sen MB
Por otra parte, Menelao escribió sus libros sobre las cuerdas de la circunferencia. Este trabajo puede ser que tuviera modelos que se remontaba a Hiparco, astrónomo del s. II a de C. Si bien la terminología griega se resiente de esta tradición, la atención de las matemáticas fue atraida como muy tarde desde Menelao hacia “La semicuerda del arco doble” nuestro seno, que desde entonces tiene un papael fundamental.
El movimiento de la trigonometría griega mejor conservado es el conjunto formado por los capítulos IX y XI del primero libro de la Sintaxis Matemática o Almagesto de Claudio Ptolomeo.
La trigonometría desarrollada por indios y árabes
Fueron los indios quienes dieron el nombre técnico a la semicuerda del arco doble. Este nombre se convirtió en nuestro seno a través de las traducciones al árabe, y luego del árabe al latín.
A finales del siglo VIII los astrónomos árabes, que habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas.
Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica
Los árabes calcularon tablas precisas en división sexagesimal; entre ellos destacó en particular Abu al-Wafa al – Buzadjami (940 – 997) por las divisiones en cuarto de grado, con cuatro posiciones sexagesimales. Por otra parte, este matemático, introdujo, con otro nombre, la tangente y la secante al lado del seno.
Posteriormente se encontró un magnifico ejemplo de empleo de las tablas en las dos trigonometrías por los árabes orientales en el “Tratado del cuadrilátero” de Nasir al – Din al – Tusi (1201 – 1274). En esta obra, el cuadrilátero está formado por un triangulo esférico y un circulo máximo y permite emplear el teorema de Menelao. La resolución de los triángulos planos es expuesta al principio de la obra, de la que compone el libro V, “La proporcionalidad de los senos de los lados a los de los ángulos opuestos” de Abu al – Wafa al – Buzadjami. Esta resolución dice: “Cuando el triangulo viene dado mediante sus 3 ángulos, se resuelve gracias al triángulo suplementario”.
La trigonometría en Occidente
El occidente se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue, De triangulus escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas.
Los primeros trabajos matemáticos del francés Français Viéte (1540 – 1603) se referían a la trigonometría. Su Canon matemáticas (1579) es una tabla de seis líneas trigonométricas calculadas de minuto en minuto para el radio 100.000.. Esta tabla está acompañada de fórmulas para la resolución de triángulos planos y esféricos.
Posteriormente Viéte dio las nuevas expresiones de las líneas de los múltiplos de un arco dado en función de las líneas de este arco. Este matemático también mostró la analogía entre estas fórmulas y las del desarrollo en potencias del binario. Desde entonces, la trigonometría, como estudio de las líneas circulares, y el álgebra delos polinomios se prestan mucho apoyo.
La trigonometría en los tiempos modernos
En el s. XVII, Isaac Newton (1642 – 1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x.
Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos.
También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a, b, c para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos
Además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.
PERSONAJES QUE TRABAJARON Y DESARROLLARON LA TRIGONOMETRÍA
Hiparco de Nicea
Hiparco de Nicea fue un astrónomo griego, el más importante de su época. Hiparco nació en Nicea, Bitinia. Fue extremadamente preciso en sus investigaciones, de las que conocemos parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la sucesión de los equinoccios. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que fueron la base de la trigonometría moderna.
Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas.
Por último Hiparco inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes.
Menelao
Menelao fue astrónomo y matemático griego, de la segunda mitad del s. I d. C. Escribió una obra, que no ha podido ser encontrada, sobre el cálculo de las cuerdas en el círculo , así como un tratado en tres libros, las Esféricas que nos ha llegado por traducción árabe:
• El primer libro de esta obra funda la geometría esférica dando un papel privilegiado a los círculos máximos.
• El segundo es puramente astronómico.
• El tercero crea la trigonometría esférica, basado sobre los dos teoremas llamados de Menelao, uno relativo al plano y el otro a la esfera.
Regiomontanus
Regiomontanus fue astrónomo y matemático alemán. Su obra principal De triangulus onmimodis, fue escrito hacia 1464, pero fue publicado, mucho después de su muerte, en Nuremberg, en 1533. Si bien este libro debe mucho a la tradición greco-árabe es una obra de profunda originalidad y con ella funda la trigonometría occidental.
Tolomeo
Tolomeo fue astrónomo y matemático cuyas teorías y explicaciones astronómicas dominaron el pensamiento científico hasta el siglo XVI. Posiblemente, Tolomeo nació en Grecia, pero su nombre verdadero, Claudius Ptolemaeus, refleja todo lo que realmente se sabe de él: ‘Ptolemaeus’ indica que vivía en Egipto y ‘Claudius’ significa que era ciudadano romano. De hecho, fuentes antiguas nos informan de que vivió y trabajó en Alejandría, Egipto, durante la mayor parte de su vida.
Tolomeo también contribuyó sustancialmente a las matemáticas a través de sus estudios en trigonometría.
Euler.
Leonhard Euler, fue un matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar.
Euler nació en Basilea y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. En 1771, cuando estalló un gran fuego en la ciudad, llegando hasta la casa de Euler, un compatriota de Basilea, Peter Grimm, se arrojó a las llamas, descubrió a Euler, y lo salvó llevándolo sobre sus hombros. Si bien se perdieron los libros y el mobiliario, se salvaron sus preciosos escritos.
Euler continuó su profuso trabajo durante doce años, hasta el día de su muerte, a los setenta y seis años de edad.
Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna. Se le debe el actual uso de las minúsculas latinas a, b, c, para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos. Sus contribuciones a la trigonometría esférica fueron recogidas en dos memorias fundamentales:
En la primera (1753) Euler partió del hecho de que, sobre la esfera, las geodésicas son los círculos máximos y utilizó en consecuencia la teoría de los extremos. Encontró así las diez relaciones existentes entre los elementos de un triángulo esférico. Luego extendió estas relaciones a los triángulos cualesquiera y hábilmente dedujo el modo de uso en la resolución de triángulos.
Posteriormente, en 1779, le pareció delicado establecer un capítulo de las matemáticas elementales basado en consideraciones transcendentes. Debido a ello, realizó un trabajo que fue el primero que, de 3 relaciones fundamentales obtenidas de la figura, dedujo todo el aparato de las fórmulas que hoy día se encuentra en los tratados de trigonometría.
La contribución fundamental de Euler es su estudio de las funciones circulares. Tomando el radio como unidad, estas funciones son las antiguas “líneas trigonométricas” ya no dadas mediante consideraciones geométricas, sino por sus desarrollos en series enteras o en productos infinitos. Estas funciones forman con las funciones exponenciales y sus inversas las funciones logarítmicas, nuestras funciones transcendentes elementales. La analogía entre funciones circulares y funciones exponenciales fueron puestas de manifiesto por Euler con una audacia cuyas geniales intuiciones en este campo nunca se desmentirán. Desde entonces, el estudio de las funciones trigonométricas se fundamentan en el estudio general de las funciones.
Eratóstenes
Eratóstenes nació en Cirene en el año 284 antes de Jesucristo, y murió en Alejandría a los 92 años, fue el primer científico de la historia de la Humanidad en medir con bastante precisión, la circunferencia de nuestro planeta.
Eratóstenes también midió la inclinación del eje terrestre con un error de sólo 7′ de arco, y creó un catálogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas. Su obra más importante fue un tratado de geografía general.
Eratóstenes quedó ciego en su vejez y decidió suicidarse muriendo de hambre.
Pero, ¿cómo lo hizo?. ¿En qué se basó para hacer la medida del radio de la esfera terrestre?
Pues, pensó, sencillamente, que dos estacas clavadas verticalmente en el suelo, a una distancia de varios kilómetros, sobre un mismo meridiano, darían sombras distintas a una misma hora en virtud de la curvatura de la superficie del planeta.
Los ángulos que forman los rayos de sol con la dirección de la estaca son:
Siendo s y s’ la sombra de cada estaca sobre la línea meridiana en cada lugar. La longitud de la estaca es d en ambos casos.
Si observamos ahora la figura de abajo y nos fijamos en el triángulo que se forma, con ángulos a, a1 y 180-a2, donde a es el ángulo del arco de meridiano comprendido entre las posiciones que ocupan ambas estacas, y a1 y a2 son los ángulos que forman los rayos solares con la dirección de las estacas, vemos que, al sumar 180º los tres ángulos del triángulo es:
a1 + 180 – a2 + a = 180, es decir: a1 – a2 + a = 0, o sea: a = a2 – a1
Conocido el ángulo a, y la longitud L del arco de meridiano entre ambos puntos de colocación de las estacas, será posible, mediante una sencilla regla de tres, encontrar la longitud total, X, de la circunferencia del planeta:
y, de aquí, el radio medio de la Tierra:
Si una de las dos estacas, en un determinado momento diera sobre la línea meridiana sombra nula, es decir, si en una de las estacas fuera cero el ángulo que forma la dirección de los rayos solares con la estaca, o, dicho de otra manera, si en uno de los dos lugares los rayos solares inciden perpendicularmente, entonces, se tendría que:
a1 = 0, por lo cual a = a2 – 0 = a2, es decir, el ángulo, a, que corresponde al arco de meridiano terrestre comprendido entre ambas posiciones de las estacas, es, precisamente el ángulo, a2, que formarían los rayos solares con la segunda estaca sobre la línea meridiana.
Este último hecho fue lo que utilizó Eratóstenes para hacer su medición.
Eratóstenes, que estaba en Alejandría, recordó que en un cierto día del año, en el solsticio de verano, los rayos solares caían verticalmente en la ciudad de Siena, situada en el mismo meridiano que Alejandría, pues recordaba que el sol se reflejaba en lo mas profundo de los pozos, a la hora del mediodía. Entonces, pensó que si media ese día en la ciudad de Alejandría, a la misma hora, el ángulo, a2, que los rayos solares formaban con la vertical, midiendo la sombra que sobre la línea meridiana formaba la estaca, conocería el ángulo del arco de meridiano entre Alejandría y Siena.
Eratóstenes midió la sombra sobre la línea meridiana producida por una estaca vertical en Alejandría, y conociendo la longitud de la estaca halló ese ángulo a la hora antedicha: resultó que el ángulo era de 7 grados (a2 = 7º). Ya sabia el ángulo del arco de meridiano entre Alejandría y Siena. Ahora faltaba conocer la distancia, a lo largo del meridiano, entre ambas ciudades, es decir, la longitud del arco L. Para ello Eratóstenes pagó a un hombre que hizo, a pie, tal medición. Eran, usando la medida usual en la época y en la zona, unos 4900 estadios, que equivaldría hoy ( a unos 6’125 estadios por kilómetro) a unos 800 kms.
Con estos datos ya es inmediato el cálculo:
Longitud de la circunferencia terrestre:
Radio medio del planeta:
Friefrich Wilheim Bessel
Bessel fue un astrónomo y matemático alemán, nacido en Minden, conocido principalmente por realizar la primera medición precisa de la distancia de una estrella. Nació en Minden. Estableció el sistema uniforme para calcular las posiciones de las estrellas que todavía se utiliza actualmente. Desde 1821 hasta 1833, determinó con precisión las posiciones de estrellas de hasta la novena magnitud, elevando el número de estrellas catalogadas a 50.000. Sus observaciones astronómicas fueron publicadas en 1842.
Bessel fue el primero en determinar el paralaje, y por tanto, la distancia de una estrella fija, 61 Cygni, proporcionando así la confirmación definitiva de la teoría por la que el Sol y no la Tierra es el centro del Sistema Solar. También determinó el diámetro, el peso y la elipticidad (o desviación de la forma de una esfera real) de la Tierra. En la investigación de problemas relacionados con perturbaciones planetarias, introdujo en matemáticas las funciones de Bessel como solución a ciertas ecuaciones diferenciales. Las funciones son de gran importancia para determinar la distribución y el flujo del calor o la electricidad a través de un cilindro circular, y para la solución de problemas relacionados con el movimiento ondulatorio, la elasticidad y la hidrodinámica.
EJEMPLOS EN LA VIDA DIARIA DE TRIGONOMETRIA
1) Aplicar las leyes de senos y cósenos para la resolución de problemas.
Ejemplo: Quieres encontrar la ubicación de una montaña tomando medidas desde dos puntos que se encuentran a 3 millas uno de otro. Desde el primer punto, el ángulo formado entre la montaña y el segundo punto es 78º. Desde el segundo punto, el ángulo formado entre la montaña y el primer punto es 53º.
2) Convertir medidas de grados a radianes.
Ejemplo: Convertir 90º, 45º, y 30º a radianes
3) Resolver problemas que involucren aplicaciones de funciones trigonométricas.
Ejemplo: En Indiana, la duración del día varía a lo largo del año en una curva senoidal. El día más largo dura 14 horas y es el día 175 y el día más corto dura 10 horas y es el día 355.
INTRODUCCIÓN.
La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrollo a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyo fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática.
Es así, como en este trabajo, se expondrá la historia y desarrollo de la trigonometría y de acuerdo a esto, fechas, épocas y principales precursores o personajes que lideraron el proceso o dieron los pasos fundamentales para el posterior desarrollo de esta importante rama de las matemáticas. Junto con esto, una biografía de cada uno de los exponentes y una línea del tiempo con personajes y descubrimientos para una mayor comprensión.
HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA.
La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Quién era Hiparco de Nicea
(c. 190-120 a.C), Hiparco de Nicea fue astrónomo griego, el más importante de su época. Nació en Nicea, Bitinia (hoy Iznik, Turquía). Fue extremadamente preciso en sus investigaciones, de las que conocemos parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la precisión de los equinoccios .Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. También inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes. Catalogó, hizo gráficos y calculó el brillo de unas mil estrellas. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que fueron la base de la trigonometría moderna.
Quién era Tolomeo
(c. 100-c. 170), Claudio Tolomeo, fue un astrónomo y matemático que dominó el pensamiento científico hasta el siglo XVI por sus teorías y explicaciones astronómicas. Posiblemente nació en Grecia, pero su verdadero nombre, Claudius Ptolemaeus, dice lo que realmente se sabe de él: ‘Ptolemaeus’ indica que vivía en Egipto y ‘Claudius’ que era ciudadano romano.
Contribuyó a las matemáticas con sus estudios en trigonometría y aplicó sus teorías a la construcción de astrolabios y relojes de sol.
Quién era Euler.
(1707-1783), Leonhard Euler fue un matemático suizo, sus trabajos se centraron en el campo de las matemáticas puras, Euler nació en Basilea y se licenció a los 16 años. En 1727, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte. Aunque tuvo una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y una ceguera casi total al final de su vida, produjo obras matemáticas importantes, como reseñas matemáticas y científicas.
En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), trató la trigonometría y la geometría analítica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).
Quien era John Napier
(1550-1617), Napier fue un matemático escocés nacido en Merchiston, cerca de Edimburgo. Estudió en la Universidad de San Andrés y allí fue seguidor del movimiento de la Reforma en Escocia, después de unos años tomó parte en los asuntos políticos de los protestantes y es autor de la primera interpretación importante en Escocia de la Biblia.
Principalmente es conocido por introducir el primer sistema de logaritmos, (1614). Además, fue uno de los primeros, si no el primero, en utilizar la moderna notación decimal para expresar fracciones decimales de una forma sistemática.
Así pues, se pretendía clarificar la historia de la trigonometría para así poder tener una visión mucho más amplia de su desarrollo y de igual manera un mayor entendimiento acerca del tema.
Fue así, como la trigonometría avanzó, hasta convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática. Pero esto no quiere decir que los avances, descubrimientos e investigaciones no hayan continuado. Es decir, que el estudio de la trigonometría actualmente, no solo se limita a las relaciones entre los elementos de un triangulo y a sus aplicaciones. Hoy día, la trigonometría, es parte de la matemática y se emplea en muchos campos del conocimiento, tanto teóricos como prácticos, e interviene en toda clase de investigaciones geométricas y algebraicas en las cuales aparecen las llamadas funciones trigonométricas, de gran aplicación además en la electricidad, termodinámica, investigación atómica etc..
No es de sobra aclarar esto, ya que la palabra trigonometría se deriva de dos raíces griegas: trigon, que significa triángulo, y metra, que significa medida, entonces, se tiende a creer su aplicación solo se limita o refiere a las varias relaciones entre los ángulos de un triángulo y sus lados.
Sin embargo, el hombre la ha empleado para calcular áreas, distancias, trayectorias y en el estudio de la mecánica etc., con base en la resolución de triángulos.
La trigonometría, que al principio aparece como parte de la geometría que se ocupa de formular relaciones entre las medidas angulares y las longitudes de los lados de un triangulo y que surgió para resolver inicialmente problemas de exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios por parte de los griegos, posteriormente se ha convertido también el fundamento de los cálculos astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella y otras magnitudes.
Así pues, esta misma trigonometría se dividió en dos ramas fundamentales, que son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía y estudia triángulos esféricos, es decir, triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.
Bibliografía.
ð Aprendo a superar las matemáticas de 3º de BUP
ð Matemáticas Tecnología 1º Bachiller J.R. Vizmanos y M. Anzola.
ð Diccionario enciclopédico Larousse.
ð Diccionario enciclopédico Vox.
ð Microsoft Encarta 2000.
ð Enciclopedia Planeta Multimedia.
http://html.rincondelvago.com/historia-de-la-trigonometria.html
aplicación de la trigonometra
Historia de la Trigonometría .
Trigonometría es, por supuesto, una rama de la geometría, pero difiere de la geometría sintética de Euclides y los antiguos griegos por ser de cómputo en la naturaleza. Por ejemplo, la Proposición I.4 de elementos es el lado-ángulo de congruencia teorema de ángulo que se afirma que un triángulo está determinado por dos ángulos y el lado entre ellos. Es decir, si usted quiere saber el ángulo restante y los lados otros dos, todo lo que tienes que hacer es diseñar el lado dado y los dos ángulos en sus extremos, se extienden los otros dos lados hasta que se encuentren, y que tienes el triángulo. No hay cálculos numéricos involucrados.
Pero la versión trigonométrica es diferente. Si usted tiene las medidas de los dos ángulos y la longitud del lado entre ellos, el problema consiste en calcular el ángulo restante (que es fácil, basta con restar la suma de los dos ángulos a partir de dos ángulos rectos) y los lados otros dos (lo cual es difícil). La solución moderna para el cálculo última es por medio de la ley de los cosenos.
Todos los cálculos trigonométricos requieren la medición de ángulos y el cálculo de una función trigonométrica. Las funciones trigonométricas modernas seno, coseno, tangente, y sus inversos, pero en la trigonometría griega antigua, el acorde, una función más intuitiva, se utilizó.
Trigonometría, por supuesto, depende de la geometría. La ley de cosenos, por ejemplo, se desprende de una proposición de la geometría sintética, es decir, proposiciones II.12 y II.13 de los elementos. Y así, los problemas de trigonometría han requerido de los nuevos avances en la geometría sintética. Un ejemplo es el teorema de Ptolomeo, que establece normas de los acordes de la suma y diferencia de ángulos, que corresponden a las fórmulas de suma y diferencia de senos y cosenos.
La aplicación principal de la trigonometría en las culturas pasadas, no sólo griego antiguo, es a la astronomía. Cálculo de los ángulos en la esfera celeste requiere un tipo diferente de la geometría y la trigonometría que en el avión. La geometría de la esfera se llama «esféricos» y formaron una parte del quadrivium de estudio. Varios autores, incluyendo Euclides, escribió libros sobre esféricos. El nombre actual de la asignatura es «geometría elíptica». Trigonometría aparentemente surgió para resolver los problemas planteados en esféricos en lugar de los problemas que plantea en la geometría plana. Por lo tanto, la trigonometría esférica es tan antigua como la trigonometría plana.
Los babilonios y la medida del ángulo.
Los babilonios, en algún momento antes de 300 a. C. fueron el método de medición grados para los ángulos. Los números babilónicos se basaron en el número 60, por lo que puede conjeturarse que se llevaron la unidad de medida a ser lo que llamamos 60 °, que luego se divide en 60 grados. Tal vez 60 ° se tomó como grupo, dado que la cuerda de 60 ° es igual al radio del círculo, véase más abajo sobre los acordes. Grado de medición fue adoptada más tarde por Hiparco.
Los babilonios fueron los primeros en dar las coordenadas de las estrellas. Ellos usaron la eclíptica como su círculo de base en la esfera celeste, es decir, la esfera de cristal de las estrellas. El sol recorre la eclíptica, los planetas viajan cerca de la eclíptica, las constelaciones del zodíaco están dispuestas alrededor de la eclíptica, y la estrella polar, Polaris, es de 90 ° respecto a la eclíptica. La esfera celeste gira alrededor del eje que pasa por los polos norte y sur. Los babilonios midió la longitud en grados hacia la izquierda desde el punto vernal, visto desde el polo norte, y midió la latitud en grados al norte o al sur de la eclíptica.
Hiparco de Nicea (ca. 180 – ca 125 aC.)
Hiparco fue un astrónomo principalmente, pero los comienzos de la trigonometría, aparentemente comenzó con él. Sin duda los babilonios, egipcios y griegos a principios de la astronomía sabía mucho antes de Hiparco, y también determina las posiciones de muchas estrellas en la esfera celeste delante de él, pero es Hiparco a quien la primera tabla de las cuerdas se le atribuye. Se ha hipotetizado que Apolonio y Arquímedes, incluso construyeron tablas de acordes delante de él, pero no hay referencia a ninguna tabla anterior tales.
Algunos de Hiparco avances en la astronomía incluyen el cálculo del mes lunar decir, las estimaciones del tamaño y las distancias del sol y la luna, las variantes de los modelos epicicloidal y excéntrica del movimiento planetario, un catálogo de 850 estrellas (longitud y latitud en relación con la eclíptica), y el descubrimiento de la precesión de los equinoccios y una medida de que la precesión.
Según Teón, Hiparco escribió una obra de 12 libros sobre las cuerdas de un círculo, ya que perdió. Esa sería la primera obra conocida de la trigonometría. Dado que el trabajo ya no existe, la mayoría de todo sobre él es la especulación. Pero algunas cosas se saben de diversas menciones en otras fuentes incluyendo otro de los suyos. Se incluyen algunas longitudes de las cuerdas que corresponden a diferentes arcos de círculo, tal vez una tabla de cuerdas. Además de estos restos de algunas de información, otros pueden ser inferidos a partir del conocimiento que se tomó tan conocido por sus sucesores.
Acordes de base de la trigonometría
En una presentación moderna de la trigonometría, el seno y el coseno de un ángulo a es el eje – y y x-coordenadas de un punto sobre el círculo unidad, el punto es la intersección del círculo unidad y un lado del ángulo a la otra lado del ángulo es el eje x positivo. El griego, indio, árabe, y los primeros europeos utilizan un círculo de radio de algunos conveniente. Para esta descripción de la trigonometría, vamos a dejar la radio sin especificar en modo lectura y es doble, el diámetro, vamos a denotar
El acorde de un ángulo AOB donde O es el centro de un círculo y A y B son dos puntos en el círculo, es la línea recta AB. Los acordes son relacionados con el seno y el coseno moderna por las fórmulas
CRD a = d sen (a / 2)
el pecado a = (1 / d), CRD 2 bis
CRD (180 ° – a) = d cos (a / 2)
cos a = (1 / d) CRD (180 ° – 2 a)
donde a es un ángulo, d el diámetro, y CRD una abreviatura de acordes.
Algunas propiedades de las cuerdas no podría haber escapado a la atención de Hiparco, sobre todo en una obra de 12 libros sobre el tema. Por ejemplo, una fórmula de ángulo complementario indicaría que si AOB y BOC son ángulos complementarios, entonces el teorema de Thales estados que el triángulo ABC es correcto, por lo que el teorema de Pitágoras dice que el cuadrado de la cuerda AB, más el cuadrado de la cuerda BC es igual a la cuadrado de la CA de diámetro. Resumieron mediante una notación algebraica moderna
CRD 2 AOB + CRD 2 BOC = d 2
donde d es el diámetro del círculo.
Hiparco probablemente construido su tabla de cuerdas con una fórmula medio de ángulo y la fórmula de ángulo suplementario. La fórmula de media ángulo en términos de acordes es
CRD 2 (t / 2) = r (2 r – CRD (180 ° – t)
donde r es el radio del círculo y t es un ángulo. con ERC 60 ° = r A partir, Hipócrates puede por medio de esta fórmula de ángulo medio encontrar los acordes de 30 °, 15 ° y 2.1 ° 7. Que pudiera completar una tabla de acordes en 7 1 / 2 ° pasos mediante CRD 90 °, la fórmula de medio punto de vista, y la fórmula de ángulo suplementario.
bibliografia:
http://translate.google.ca/translate?hl=es&sl=en&u=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/ma105/trighist.html&ei=5R_fTdy6EMfc0QHe6qikCg&sa=X&oi=translate&ct=result&resnum=10&ved=0CHkQ7gEwCQ&prev=/search%3Fq%3DHistorical%2BDevelopment%2Bof%2BTrigonometry%26hl%3Des%26rlz%3D1R2ACAW_enMX361%26biw%3D1009%26bih%3D448%26prmd%3Divns
Desarrollo Histórico de la Trigonometría
La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrollo a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyo fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática.
Es así, como en este trabajo, se expondrá la historia y desarrollo de la trigonometría y de acuerdo a esto, fechas, épocas y principales precursores o personajes que lideraron el proceso o dieron los pasos fundamentales para el posterior desarrollo de esta importante rama de las matemáticas. Junto con esto, una biografía de cada uno de los exponentes y una línea del tiempo con personajes y descubrimientos para una mayor comprensión.
La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Quién era Hiparco de Nicea
(c. 190-120 a.C), Hiparco de Nicea fue astrónomo griego, el más importante de su época. Nació en Nicea, Bitinia (hoy Iznik, Turquía). Fue extremadamente preciso en sus investigaciones, de las que conocemos parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la precisión de los equinoccios .Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. También inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes. Catalogó, hizo gráficos y calculó el brillo de unas mil estrellas. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que fueron la base de la trigonometría moderna.
Quién era Tolomeo
(c. 100-c. 170), Claudio Tolomeo, fue un astrónomo y matemático que dominó el pensamiento científico hasta el siglo XVI por sus teorías y explicaciones astronómicas. Posiblemente nació en Grecia, pero su verdadero nombre, Claudius Ptolemaeus, dice lo que realmente se sabe de él: ‘Ptolemaeus’ indica que vivía en Egipto y ‘Claudius’ que era ciudadano romano.
Contribuyó a las matemáticas con sus estudios en trigonometría y aplicó sus teorías a la construcción de astrolabios y relojes de sol.
Quién era Euler.
(1707-1783), Leonhard Euler fue un matemático suizo, sus trabajos se centraron en el campo de las matemáticas puras, Euler nació en Basilea y se licenció a los 16 años. En 1727, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte. Aunque tuvo una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y una ceguera casi total al final de su vida, produjo obras matemáticas importantes, como reseñas matemáticas y científicas.
En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), trató la trigonometría y la geometría analítica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).
Quien era John Napier
(1550-1617), Napier fue un matemático escocés nacido en Merchiston, cerca de Edimburgo. Estudió en la Universidad de San Andrés y allí fue seguidor del movimiento de la Reforma en Escocia, después de unos años tomó parte en los asuntos políticos de los protestantes y es autor de la primera interpretación importante en Escocia de la Biblia.
Principalmente es conocido por introducir el primer sistema de logaritmos, (1614). Además, fue uno de los primeros, si no el primero, en utilizar la moderna notación decimal para expresar fracciones decimales de una forma sistemática.
Así pues, se pretendía clarificar la historia de la trigonometría para así poder tener una visión mucho más amplia de su desarrollo y de igual manera un mayor entendimiento acerca del tema.
Fue así, como la trigonometría avanzó, hasta convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática. Pero esto no quiere decir que los avances, descubrimientos e investigaciones no hayan continuado. Es decir, que el estudio de la trigonometría actualmente, no solo se limita a las relaciones entre los elementos de un triangulo y a sus aplicaciones. Hoy día, la trigonometría, es parte de la matemática y se emplea en muchos campos del conocimiento, tanto teóricos como prácticos, e interviene en toda clase de investigaciones geométricas y algebraicas en las cuales aparecen las llamadas funciones trigonométricas, de gran aplicación además en la electricidad, termodinámica, investigación atómica etc..
No es de sobra aclarar esto, ya que la palabra trigonometría se deriva de dos raíces griegas: trigon, que significa triángulo, y metra, que significa medida, entonces, se tiende a creer su aplicación solo se limita o refiere a las varias relaciones entre los ángulos de un triángulo y sus lados.
Sin embargo, el hombre la ha empleado para calcular áreas, distancias, trayectorias y en el estudio de la mecánica etc., con base en la resolución de triángulos.
La trigonometría, que al principio aparece como parte de la geometría que se ocupa de formular relaciones entre las medidas angulares y las longitudes de los lados de un triangulo y que surgió para resolver inicialmente problemas de exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios por parte de los griegos, posteriormente se ha convertido también el fundamento de los cálculos astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella y otras magnitudes.
Así pues, esta misma trigonometría se dividió en dos ramas fundamentales, que son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía y estudia triángulos esféricos, es decir, triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.
La trigonometría en los tiempos modernos
En el s. XVII, Isaac Newton (1642 – 1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos.
También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a, b, c para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos. Además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.
Isaac newton
El más grande de los matemáticos ingleses. Su libro «Principia Mathemáthica» basta para asegurarle un lugar sobresaliente en la Historia de las matemáticas. Descubrió simultáneamente con Leibnitz el Cálculo diferencial y el Cálculo integral. En Algebra le debemos el desarrollo del binomio que lleva su nombre. Según Leibnitz «Si se considera la matemática creada desde el principio del mundo hasta la época en que Newton vivió. Lo que él realizó fue la mejor mitad».
INTRODUCCIÓN.
La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrollo a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyo fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática.
Es así, como en este trabajo, se expondrá la historia y desarrollo de la trigonometría y de acuerdo a esto, fechas, épocas y principales precursores o personajes que lideraron el proceso o dieron los pasos fundamentales para el posterior desarrollo de esta importante rama de las matemáticas. Junto con esto, una biografía de cada uno de los exponentes y una línea del tiempo con personajes y descubrimientos para una mayor comprensión.
HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA
La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Quién era Hiparco de Nicea
(c. 190-120 a.C), Hiparco de Nicea fue astrónomo griego, el más importante de su época. Nació en Nicea, Bitinia (hoy Iznik, Turquía). Fue extremadamente preciso en sus investigaciones, de las que conocemos parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la precisión de los equinoccios .Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. También inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes. Catalogó, hizo gráficos y calculó el brillo de unas mil estrellas. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que fueron la base de la trigonometría moderna.
Quién era Tolomeo
(c. 100-c. 170), Claudio Tolomeo, fue un astrónomo y matemático que dominó el pensamiento científico hasta el siglo XVI por sus teorías y explicaciones astronómicas. Posiblemente nació en Grecia, pero su verdadero nombre, Claudius Ptolemaeus, dice lo que realmente se sabe de él: ‘Ptolemaeus’ indica que vivía en Egipto y ‘Claudius’ que era ciudadano romano.
Contribuyó a las matemáticas con sus estudios en trigonometría y aplicó sus teorías a la construcción de astrolabios y relojes de sol.
Quién era Euler.
(1707-1783), Leonhard Euler fue un matemático suizo, sus trabajos se centraron en el campo de las matemáticas puras, Euler nació en Basilea y se licenció a los 16 años. En 1727, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte. Aunque tuvo una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y una ceguera casi total al final de su vida, produjo obras matemáticas importantes, como reseñas matemáticas y científicas.
En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), trató la trigonometría y la geometría analítica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).
Quien era John Napier
(1550-1617), Napier fue un matemático escocés nacido en Merchiston, cerca de Edimburgo. Estudió en la Universidad de San Andrés y allí fue seguidor del movimiento de la Reforma en Escocia, después de unos años tomó parte en los asuntos políticos de los protestantes y es autor de la primera interpretación importante en Escocia de la Biblia.
Principalmente es conocido por introducir el primer sistema de logaritmos, (1614). Además, fue uno de los primeros, si no el primero, en utilizar la moderna notación decimal para expresar fracciones decimales de una forma sistemática.
Así pues, se pretendía clarificar la historia de la trigonometría para así poder tener una visión mucho más amplia de su desarrollo y de igual manera un mayor entendimiento acerca del tema.
Fue así, como la trigonometría avanzó, hasta convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática. Pero esto no quiere decir que los avances, descubrimientos e investigaciones no hayan continuado. Es decir, que el estudio de la trigonometría actualmente, no solo se limita a las relaciones entre los elementos de un triangulo y a sus aplicaciones. Hoy día, la trigonometría, es parte de la matemática y se emplea en muchos campos del conocimiento, tanto teóricos como prácticos, e interviene en toda clase de investigaciones geométricas y algebraicas en las cuales aparecen las llamadas funciones trigonométricas, de gran aplicación además en la electricidad, termodinámica, investigación atómica etc..
No es de sobra aclarar esto, ya que la palabra trigonometría se deriva de dos raíces griegas: trigon, que significa triángulo, y metra, que significa medida, entonces, se tiende a creer su aplicación solo se limita o refiere a las varias relaciones entre los ángulos de un triángulo y sus lados.
Sin embargo, el hombre la ha empleado para calcular áreas, distancias, trayectorias y en el estudio de la mecánica etc., con base en la resolución de triángulos.
La trigonometría, que al principio aparece como parte de la geometría que se ocupa de formular relaciones entre las medidas angulares y las longitudes de los lados de un triangulo y que surgió para resolver inicialmente problemas de exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios por parte de los griegos, posteriormente se ha convertido también el fundamento de los cálculos astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella y otras magnitudes.
Así pues, esta misma trigonometría se dividió en dos ramas fundamentales, que son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía y estudia triángulos esféricos, es decir, triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.
La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a. C. el astrónomo Hiparco de Nicea realizó una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y yendo hasta 180 °C con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios.
El tratado de la esféricas de Meneláo, que se sitúa hacia el fin del primer siglo de nuestra era, proporciono a claudio Ptolomeo de Alejandría ( h.90 – h.168) las proposiciones fundamentales de trigonometría esférica en particular el celebre teorema de menéalo. “Si un triángulo ABC, plano o esférico, es cortado por medio de una recta o de un circulo máximo en L, M, N se tiene: en el plano
L = NA . MC
A NC MB
En la esfera:
Sen LA = sen NA , sen MC
Sen LB sen NC sen MB
Por otra parte, Menelao escribió sus libros sobre las cuerdas de la circunferencia. Este trabajo puede ser que tuviera modelos que se remontaba a Hiparco, astrónomo del s. II a de C. Si bien la terminología griega se resiente de esta tradición, la atención de las matemáticas fue atraida como muy tarde desde Menelao hacia “La semicuerda del arco doble” nuestro seno, que desde entonces tiene un papael fundamental.
El movimiento de la trigonometría griega mejor conservado es el conjunto formado por los capítulos IX y XI del primero libro de la Sintaxis Matemática o Almagesto de Claudio Ptolomeo.
La trigonometría desarrollada por indios y árabes
Fueron los indios quienes dieron el nombre técnico a la semicuerda del arco doble. Este nombre se convirtió en nuestro seno a través de las traducciones al árabe, y luego del árabe al latín.
A finales del siglo VIII los astrónomos árabes, que habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas.
Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica
Los árabes calcularon tablas precisas en división sexagesimal; entre ellos destacó en particular Abu al-Wafa al – Buzadjami (940 – 997) por las divisiones en cuarto de grado, con cuatro posiciones sexagesimales. Por otra parte, este matemático, introdujo, con otro nombre, la tangente y la secante al lado del seno.
Posteriormente se encontró un magnifico ejemplo de empleo de las tablas en las dos trigonometrías por los árabes orientales en el “Tratado del cuadrilátero” de Nasir al – Din al – Tusi (1201 – 1274). En esta obra, el cuadrilátero está formado por un triangulo esférico y un circulo máximo y permite emplear el teorema de Menelao. La resolución de los triángulos planos es expuesta al principio de la obra, de la que compone el libro V, “La proporcionalidad de los senos de los lados a los de los ángulos opuestos” de Abu al – Wafa al – Buzadjami. Esta resolución dice: “Cuando el triangulo viene dado mediante sus 3 ángulos, se resuelve gracias al triángulo suplementario”.
La trigonometría en Occidente
El occidente se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue, De triangulus escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas.
Los primeros trabajos matemáticos del francés Français Viéte (1540 – 1603) se referían a la trigonometría. Su Canon matemáticas (1579) es una tabla de seis líneas trigonométricas calculadas de minuto en minuto para el radio 100.000.. Esta tabla está acompañada de fórmulas para la resolución de triángulos planos y esféricos.
Posteriormente Viéte dio las nuevas expresiones de las líneas de los múltiplos de un arco dado en función de las líneas de este arco. Este matemático también mostró la analogía entre estas fórmulas y las del desarrollo en potencias del binario. Desde entonces, la trigonometría, como estudio de las líneas circulares, y el álgebra delos polinomios se prestan mucho apoyo.
La trigonometría en los tiempos modernos
En el s. XVII, Isaac Newton (1642 – 1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x.
Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos.
También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a, b, c para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos
Además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.
Bibliografia:
http://html.rincondelvago.com/historia-de-la-trigonometria.html
http://html.rincondelvago.com/trigonometria_8.html
Videografia:
Historia de la Trigonometría http://www.slideshare.net/slideshow/embed_code/295438
DESARROLLO HISTORICO DE LA TRIGONOMETRIA
La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los
ángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los
primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar
medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrollo a partir de los
primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de
las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el
calculo del tiempo y los calendarios.
La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos
establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los
tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una
tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con
incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo
central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó
para r.
300 años después, el astrónomoTolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema
numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los
astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de
cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos
de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los
conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de
Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema
trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno,
era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los
matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X
ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y
demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como
esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los
valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de
astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en
esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller,
llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los
cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los
fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas
utilizando series infinitas de potencias de la variablex. Newton encontró la serie para el senx y
series similares para el cosx y la tgx. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas
fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las
matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la
trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las
funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Quién era Hiparco de Nicea
(c. 190-120 a.C), Hiparco de Nicea fue astrónomo griego, el más importante de su época. Nació
en Nicea, Bitinia (hoy Iznik, Turquía). Fue extremadamente preciso en sus investigaciones, de las
que conocemos parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo
alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo
con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la precisión de los equinoccios .Sus
cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de
error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. También inventó un método para
localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes. Catalogó, hizo gráficos y
calculó el brillo de unas mil estrellas. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que
fueron la base de la trigonometría moderna.
Quién era Tolomeo
(c. 100-c. 170), Claudio Tolomeo, fue un astrónomo y matemático que dominó el pensamiento
científico hasta el siglo XVI por sus teorías y explicaciones astronómicas. Posiblemente nació en
Grecia, pero su verdadero nombre, Claudius Ptolemaeus, dice lo que realmente se sabe de él:
‘Ptolemaeus’ indica que vivía en Egipto y ‘Claudius’ que era ciudadano romano.
Contribuyó a las matemáticas con sus estudios en trigonometría y aplicó sus teorías a la
construcción de astrolabios y relojes de sol.
Quién era Euler.
(1707-1783), Leonhard Euler fue un matemático suizo, sus trabajos se centraron en el campo de
las matemáticas puras, Euler nació en Basilea y se licenció a los 16 años. En 1727, fue miembro
del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de
física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia
de Ciencias de Berlín. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su
muerte. Aunque tuvo una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y una ceguera casi
total al final de su vida, produjo obras matemáticas importantes, como reseñas matemáticas y
científicas.
En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), trató la trigonometría y la geometría analítica.
Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del
cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).
Quien era John Napier
Napier o Neper fue un matemático escocés nacido en Merchiston, cerca de Edimburgo. Estudió en la Universidad de San Andrés y durante su estancia allí fue seguidor del movimiento de la Reforma en Escocia y años más tarde tomó parte activa en los asuntos políticos promovidos por los protestantes. Es autor de la primera interpretación importante en Escocia de la Biblia.
Napier es más conocido por introducir el primer sistema de logaritmos, descrito en Mirifici logarithmorum canonis descriptio (1614). Los sistemas comunes y naturales de logaritmos que se utilizan actualmente no usan la misma base que los logaritmos de Napier, aunque a los logaritmos naturales a veces se les denomina logaritmos neperianos. Napier fue uno de los primeros, si no el primero, en utilizar la moderna notación decimal para expresar fracciones decimales de una forma sistemática. También inventó sistemas mecánicos para realizar cálculos aritméticos, descritos en Rabdologiae seu numerationis per virgulas libri duo (1617).
Como Eratóstenes midió el radio de la Tierra
Erastótenes de Cirene, un griego del siglo III a. de J.C., calculó por primera vez el radio de la Tierra con una exactitud extraordinaria para los métodos de que disponía.
La idea de su cálculo es muy sencilla: si se toman dos puntos, A y S, sobre un mismo meridiano y se puede medir el ángulo a y la distancia l medida sobre el arco AS del meridiano que pasa por los dos puntos, aplicando una sencilla regla de trescalculó el radio de la Tierra
Lo difícil, por supuesto, era determinar el ángulo a y la distancia.
Erastótenes eligió, como punto S, una ciudad del sur de Egipto llamada Siena. Allí había un profundo pozo cuyo fondo iluminaba el Sol un mediodía de verano. El punto A era Alejandría, ciudad situada en el mismo meridiano que Siena. El Sol no caía vertical, sino separándose de la plomada un ángulo que valía 1 / 50 de la circunferencia.
Utilizando probablemente el tiempo de viaje de una caravana o, tal vez, medidores expresamente contratados para ello, determinó que la distancia entre Alejandría y Siena era de 926 km. Por tanto, el radio de la Tierra debía ser: bastante aproximado a los 6.378 km que revelan las mediciones más modernas.
¿Quién era Eratóstenes?
Fue matemático, astrónomo, geógrafo, filósofo y poeta griego. Midió la circunferencia de la Tierra con una precisión extraordinaria al determinar, a través de la astronomía, la diferencia de latitud entre las ciudades de Siena (actual Asuán) y Alejandría, en Egipto. Nació en Cirene (en la actualidad Shahhat, Libia). Entre sus maestros se encontraba el poeta griego Calímaco de Cirene. Hacia el 240 a.C., Eratóstenes llegó a ser el director de la Biblioteca de Alejandría. Sus cálculos sobre la circunferencia terrestre se basaron en la observación que hizo en Siena, su ciudad natal; a mediodía, en el solsticio de verano, los rayos del sol incidían perpendicularmente sobre la tierra y, por tanto, no proyectaban ninguna sombra (Siena estaba situada muy cerca del trópico de Cáncer). En Alejandría se percató de que en la misma fecha y hora las sombras tenían un ángulo de aproximadamente 7° con respecto a la vertical. Al conocer la distancia entre Siena y Alejandría, pudo hallar a través de cálculos trigonométricos la distancia al Sol y la circunferencia de la Tierra. Eratóstenes también midió la oblicuidad de la eclíptica (la inclinación del eje terrestre) con un error de sólo 7′ de arco, y creó un catálogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas. Su obra más importante fue un tratado de geografía general. Tras quedarse ciego, murió en Alejandría por inanición voluntaria.
En sus inicios, la trigonometría consistió esencialmente en una ciencia del cálculo basada en teoremas geométricos. Los tratados matemáticos de las civilizaciones precedentes a la Grecia clásica, especialmente las culturas mesopotámicas, presentaban algunos cálculos y expresiones indicadores del desarrollo de una incipiente trigonometría. No obstante, no contemplaban el firme planteamiento de cuestiones de esta ciencia que apareció plenamente en los axiomas sobre la proporcionalidad de triángulos semejantes a la determinación de la talla de los objetos en relación con las dimensiones de su sombra efectuados por los primeros griegos.
En el siglo II antes de la era cristiana, Hiparco delineó a lo largo de doce libros, perdidos en la actualidad y conocidos por las frecuentes citas de tratados griegos posteriores, los primeros teoremas generales de la trigonometría. La ausencia de números negativos motivó en los matemáticos de la época la acusada tendencia a resolver las cuestiones mediante razonamientos geométricos, perpetuada hasta la aparición en el siglo II de la era cristiana del compendio de astronomía Almagesto, debido a Tolomeo de Alejandría y plagado de inspiradas concepciones, como las tablas de cuerdas de arco en intervalos de treinta minutos y la resolución de triángulos, particularmente esféricos.
La trigonometría griega, culminada en las concepciones tolemaicas, se inspiró en la equivalencia entre la longitud de un arco y la de su cuerda, a diferencia de la india que utilizó en sus tablas la relación entre la mitad de la cuerda y el doble arco.
La cultura emergente de la renovación religiosa del Islam recogió las enseñanzas científicas de Grecia y la India, con las que formó una base teórica que desarrolló con brillantez en el campo de la matemática. El gran interés que demostraron los árabes por la astronomía, heredado de la cultura india, fomentó el auge de la trigonometría, especialmente como una herramienta de solución de los triángulos esféricos dibujados sobre la bóveda celeste.
Sin embargo, la necesidad de aunar los descubrimientos de tres disciplinas diferentes, como la aritmética, el álgebra y la geometría, retrasó la evolución de la trigonometría con respecto al desarrollo independiente de cada una de estas ramas.
A finales del siglo IX, el árabe al-Battani añadió consideraciones adicionales a la obra de Tolomeo y construyó tablas de valores de las tangentes y las cotangentes de los ángulos. Durante el siguiente siglo, Abú al-Wafa introdujo las nociones de secante y cosecante, que se asimilaron a las de coseno y seno, de invención antigua; posteriormente, el persa al-Biruni aplicó los resultados de la trigonometría esférica a los triángulos planos.
La sistematización de la trigonometría plana y esférica, como una disciplina independiente de la astronomía, se debió durante la segunda mitad del siglo XIII al matemático persa Nasir al-din al-Tusi, cuyos trabajos penetraron en Europa a través del oriente y de la península ibérica. El astrónomo prusiano Johann Müller, conocido como Regiomontano, resumió y difundió una brillante interpretación de los logros de la trigonometría árabe que inauguró las escuelas europeas.
La introducción en el siglo XVI de los números decimales simplificó los cálculos trigonométricos, y la posterior invención por John Napier de los logaritmos, potencias de un número fijo o base tal que el resultado numérico deseado se obtiene como potencia de la base, estimuló el desarrollo de una formulación eminentemente aritmética y alejada de los razonamientos geométricos precedents.
Fruto de esta nueva visión fueron las fórmulas denominadas analogías de Napier, en 1619, y, dos siglos más tarde, las relaciones trigonométricas de Carl Friedrich Gauss y Jean-Baptiste Delambre. Hacia el mismo período, el suizo Leonhard Euler afianzó los descubrimientos sobre trigonometría analítica esbozados previamente por Abraham de Moivre. De gran importancia en este terreno, las series trigonométricas elaboradas por Jean-Joseph Fourier aparecieron en 1807.
Desarrollo de la trigonometría
Trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyó fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la Matemática.
Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, la tabla de cuerdas que construyó Hiparco para resolver triángulos comenzó con un ángulo de 71°, llegando hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
Trescientos años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto (escrito por él) también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas.
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos
En India y Arabia la trigonometría era utilizada en la Astronomía. El primer uso de la función seno, aparece en el Shulba o Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Se desarrollo entonces un sistema trigonométrico que estaba basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función nueva función, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa. A finales del siglo X ya habían se habían completado la función seno y las otras cinco funciones trigonométricas.
En el siglo XII comienzan a aparecer en Europa traducciones de libros de matemáticas y astronomía árabes, hecho que lleva a la familiarización con la trigonometría. El primer trabajo significativo en esta materia en el continente Europeo fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller. Se le considerada fundador y un importante innovador en esta materia, puesto que detalla y crea varias herramientas de gran utilidad, así como importantes tratados como De triangulis y Epitome in Almagestum en el cual explica, analiza y muestra la obra de Tolomeo.
Durante el siglo XII el astrónomo alemán Georges Joachim, introdujo el concepto moderno de las funciones trigonométricas como proporcionales en vez de longitudes de algunas determinadas líneas. Ya en el siglo XVI el matemático francés François Vieté, incorpora en su tratado “Canon matemáticas” el triángulo polar en la trigonometría esférica.
A comienzos del siglo XVII, el matemático escocés John Napier descubrió los logaritmos que el llamó “números artificiales”. Esto fue trascendental en el desarrollo de la trigonometría.
A mediados del siglo XVII el físico, inventor, alquimista y matemático inglés, Isaac Newton descubre el cálculo diferencial e integral. También contribuyó en otras áreas de la matemática, por ejemplo desarrollando el teorema del binomio o las fórmulas de Newton-Cotes.
En el siglo XVIII, el físico y matemático suizo Leonhard Euler, explicó que las propiedades de la trigonometría eran consecuencia de la aritmética de los números complejos. Estudió además la notación actual de las funciones trigonométricas y se le atribuye el descubrimiento de la letra e como base del logaritmo natural, así como la unidad imaginaria que generalmente se denota con la letra i. Euler también popularizó El número pi ( π ).
Durante el siglo XX la trigonometría ha realizado muchos aportes en el estudio de los fenómenos de onda y oscilatorio, así como el comportamiento periódico, el cual se relaciona con las propiedades analíticas de las funciones trigonométricas. En astronomía se utiliza para medir distancias a estrellas próximas, para la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación satelital.
Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:
• La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
• El [[Cateto|cateto opuesto] es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.
• El [[Cateto|cateto adyacente]es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.
bibliografia
http://html.rincondelvago.com/historia-de-la-trigonometria.html
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es «la medición de los triángulos». Deriva de los términos griegos τριγωνο trigōno triángulo y μετρον metron medida.1
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.
Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos. En una circunferencia completa hay 2π radianes.
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.
Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.
La trigonometría como rama de las matemáticas realiza su estudio en la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo, con una aplicación inmediata en geometría y sus aplicaciones. Para el desarrollo de este fin se definieron una serie de funciones que han sobrepasado su fin original, convirtiéndose en elementos matemáticos estudiados en sí mismos y con aplicaciones en los campos más diversos.
La agrimensura y la navegación son prácticas que, desde sus orígenes, han requerido el cálculo de distancias cuya medición directa no resultaba posible; y otro tanto sucede en el ámbito de la astronomía. Para resolver este problema, los antiguos babilonios recurrieron ya a la trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las medidas de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcación hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar inaccesibles a la medición directa; en cambio, el ángulo que forma la visual dirigida a un accidente geográfico, o a un punto de la bóveda celeste, con otra visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida según la horizontal), acostumbra ser fácil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos. El objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras.
BIBLIOGRAFIA:
http://trigonometria.galeon.com/#ancla1
http://www.youtube.com
INTRODUCCIÓN.
La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrollo a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyo fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática.
Es así, como en este trabajo, se expondrá la historia y desarrollo de la trigonometría y de acuerdo a esto, fechas, épocas y principales precursores o personajes que lideraron el proceso o dieron los pasos fundamentales para el posterior desarrollo de esta importante rama de las matemáticas. Junto con esto, una biografía de cada uno de los exponentes y una línea del tiempo con personajes y descubrimientos para una mayor comprensión.
HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA.
La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Quién era Hiparco de Nicea
El estudio de la Trigonometría lo inició Hiparco 150 años a. C. pero su historia se remonta a los egipcios y babilonios, primeros en medir ángulos.
Hiparco es considerado el padre de la Trigonometría por sus contribuciones tales como determinar la duración del año solar en 365 días y 6 horas, sentar las bases de la trigonometría, realizar el primer catálogo de estrellas (800) e inventar el primer astrolabio. (c. 190-120 a.C), Hiparco de Nicea fue astrónomo griego, el más importante de su época. Nació en Nicea, Bitinia (hoy Iznik, Turquía). Fue extremadamente preciso en sus investigaciones, de las que conocemos parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la precisión de los equinoccios .Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. También inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes. Catalogó, hizo gráficos y calculó el brillo de unas mil estrellas. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que fueron la base de la trigonometría moderna.
Quién era Tolomeo
Tolomeo prosiguió los estudiosde Hiparco. Ordenó los conocimientos de los griegos sobre astronomía, afirma que la tierra es redonda, y entre otras cosas realizó cálculos astronómicos sin utilizar las funciones trigonométricas.
A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje. A mediados de éste siglo Isaac Newton, utilizando series infinitas, encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler encontró la relación entre las propiedades trigonométricas y los números complejos. (c. 100-c. 170), Claudio Tolomeo, fue un astrónomo y matemático que dominó el pensamiento científico hasta el siglo XVI por sus teorías y explicaciones astronómicas. Posiblemente nació en Grecia, pero su verdadero nombre, Claudius Ptolemaeus, dice lo que realmente se sabe de él: ‘Ptolemaeus’ indica que vivía en Egipto y ‘Claudius’ que era ciudadano romano.
Contribuyó a las matemáticas con sus estudios en trigonometría y aplicó sus teorías a la construcción de astrolabios y relojes de sol.
Quién era Euler.
(1707-1783), Leonhard Euler fue un matemático suizo, sus trabajos se centraron en el campo de las matemáticas puras, Euler nació en Basilea y se licenció a los 16 años. En 1727, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte. Aunque tuvo una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y una ceguera casi total al final de su vida, produjo obras matemáticas importantes, como reseñas matemáticas y científicas.
En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), trató la trigonometría y la geometría analítica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).
Quien era John Napier
(1550-1617), Napier fue un matemático escocés nacido en Merchiston, cerca de Edimburgo. Estudió en la Universidad de San Andrés y allí fue seguidor del movimiento de la Reforma en Escocia, después de unos años tomó parte en los asuntos políticos de los protestantes y es autor de la primera interpretación importante en Escocia de la Biblia.
Principalmente es conocido por introducir el primer sistema de logaritmos, (1614). Además, fue uno de los primeros, si no el primero, en utilizar la moderna notación decimal para expresar fracciones decimales de una forma sistemática.
Así pues, se pretendía clarificar la historia de la trigonometría para así poder tener una visión mucho más amplia de su desarrollo y de igual manera un mayor entendimiento acerca del tema.
Fue así, como la trigonometría avanzó, hasta convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática. Pero esto no quiere decir que los avances, descubrimientos e investigaciones no hayan continuado. Es decir, que el estudio de la trigonometría actualmente, no solo se limita a las relaciones entre los elementos de un triangulo y a sus aplicaciones. Hoy día, la trigonometría, es parte de la matemática y se emplea en muchos campos del conocimiento, tanto teóricos como prácticos, e interviene en toda clase de investigaciones geométricas y algebraicas en las cuales aparecen las llamadas funciones trigonométricas, de gran aplicación además en la electricidad, termodinámica, investigación atómica etc..
No es de sobra aclarar esto, ya que la palabra trigonometría se deriva de dos raíces griegas: trigon, que significa triángulo, y metra, que significa medida, entonces, se tiende a creer su aplicación solo se limita o refiere a las varias relaciones entre los ángulos de un triángulo y sus lados.
Sin embargo, el hombre la ha empleado para calcular áreas, distancias, trayectorias y en el estudio de la mecánica etc., con base en la resolución de triángulos.
La trigonometría, que al principio aparece como parte de la geometría que se ocupa de formular relaciones entre las medidas angulares y las longitudes de los lados de un triangulo y que surgió para resolver inicialmente problemas de exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios por parte de los griegos, posteriormente se ha convertido también el fundamento de los cálculos astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella y otras magnitudes.
Así pues, esta misma trigonometría se dividió en dos ramas fundamentales, que son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía y estudia triángulos esféricos, es decir, triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.
La historia de la trigonometria se remonta a las primeras matematicas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los angulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometria en las matematicas. En el siglo II a.C. el astronomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonometrica para resolver triangulos. Comenzando con un angulo de 7y° y yendo hasta 180° con incrementos de 7y°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del angulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astronomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numerico sexagesimal (base 60) de los babilonios
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bibliografía:
http://html.rincondelvago.com/historia-de-la-trigonometria.html
LA HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA.
La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrollo a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyo fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática.
Es así, como en este trabajo, se expondrá la historia y desarrollo de la trigonometría y de acuerdo a esto, fechas, épocas y principales precursores o personajes que lideraron el proceso o dieron los pasos fundamentales para el posterior desarrollo de esta importante rama de las matemáticas. Junto con esto, una biografía de cada uno de los exponentes y una línea del tiempo con personajes y descubrimientos para una mayor comprensión.
HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA
La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Etimología
La palabra «seno» deriva del término en latín, sinus, de una mala traducción (vía el árabe de la palabra en sánscrito, jiva o jya. Aryabhata utilizó el término ardha-jiva («media-cuerda»), que fue acortado a jiva y, luego, transliterado por los árabes como jiba (جب). Traductores europeos como Roberto de Chester y Gerardo de Cremona en el siglo XII toledano confundieron jiba por jaib (جب), probablemente debido a que jiba (جب) y jaib (جب) se escriben igual en la escritura árabe (este sistema de escritura utiliza acentos en lugar de vocales y, en algunos formatos, los acentos no son escritos para facilitar la escritura, por lo que si los lectores no están familiarizados con el idioma pueden confundir palabras con las mismas letras, pero con diferente fonética). Las palabras «minuto» y «segundo» provienen de las frases latinas partes minutae primae y partes minutae secundae, que pueden ser burdamente traducidas como «primeras pequeñas partes» y «segundas pequeñas partes».
VIDEGRAFIAS:
FUNCION TRIGONOMETRICA.
Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Trigonometría.
Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.
Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a una circunferencia de radio unidad de centro O.
Conceptos básicos
Identidades trigonométricas fundamentales.
Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación Gde las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).
Definiciones respecto de un triángulo rectángulo
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:
• La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
• El [[Cateto|cateto opuesto] es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.
• El [[Cateto|cateto adyacente]es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.
Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:
3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:
4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:
5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:
6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:
INTRODUCCIÓN.
La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrollo a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de
las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyo fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y
desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para
convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática.
Es así, como en este trabajo, se expondrá la historia y desarrollo de la trigonometría y de acuerdo
a esto, fechas, épocas y principales precursores o personajes que lideraron el proceso o dieron
los pasos fundamentales para el posterior desarrollo de esta importante rama de las matemáticas.
Junto con esto, una biografía de cada uno de los exponentes y una línea del tiempo con
personajes y descubrimientos para una mayor comprensión.
La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos
establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los
tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea…
Historia de la Trigonometría
El origen de la palabra TRIGONOMETRÍA proviene del griego «trigonos» (triángulo) y «metros» (metria).
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para construir pirámides. Posteriormente se desarrolló más con el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, donde destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea. Más tarde se difundió por India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Desde Arabia se extendió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente de las Matemáticas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría.
A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
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Bibliografia
http://www.buenastareas.com/ensayos/Historia-De-La-Trigonometria/691856.html
http://trigonometriasonia.blogspot.com/2008/10/historia-de-la-trigonometra.html
La trigonometría es una rama de las tantas ramas de matemáticas, se encarga de estudiar y analizar la relación entre los lados y los ángulos de los triángulos. Para esto recurre generalmente a las llamadas razones trigonométricas. El origen de la palabra trigonometría desciende del griego “trigonos” (triángulo) y “metros” (metria).
Hace unos 4000 años en Babilonia (antiguo reino localizado en la región de Mesopotamia) y Egipto se determinó y establecieron aproximaciones de medidas de ángulos y de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos para ampliar y desarrollar medidas tanto en la agricultura como en la construcción de pirámides. Los egipcios fijaron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Además se utilizaba la trigonometría para el estudio de la astronomía. Antiguamente la astronomía se ocupaba de la observación y predicciones de los movimientos de los objetos visibles a simple vista y en el estudio de la predicción de las rutas y posiciones y perspectivas de los cuerpos en el espacio, para luego progresar y perfeccionar la exactitud en la navegación y el cálculo del tiempo así como los calendarios. La astronomía precolombina poseía calendarios muy puntuales y las pirámides de Egipto fueron construidas sobre patrones astronómicos muy exactos y puntuales.
Luego de Egipto y Babilonia, el estudio de la trigonometría se asentó en Grecia, donde podemos nombrar al matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea, quien fue uno de los principales y más importantes desarrolladores de la Trigonometría. Este matemático construyó una tabla de cuerdas para solucionar triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y aproximándose hasta 180° con ampliaciones de 71°, la tabla facilitaba la longitud de la cuerda limitada por los lados del ángulo central ya que fragmentaba a una circunferencia de radio r. Hasta el momento no se conoce el valor que Hiparco utilizó para r. 300 años mas tarde, el astrónomo griego Tolomeo utilizó r = 60, ya que los griegos tomaron el sistema numeral (base 60) que era usado por los babilonios.
Durante varios siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción primordial para los astrónomos. El libro de astronomía, Almagesto, escrito por él, igualmente poseía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, presentando también el catálogo estelar más perfecto y completo de la antigüedad. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue también obra de Tolomeo.
En India y Arabia la trigonometría era utilizada en la Astronomía. El primer uso de la función seno, aparece en el Shulba o Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Se desarrollo entonces un sistema trigonométrico que estaba basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función nueva función, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa. A finales del siglo X ya habían se habían completado la función seno y las otras cinco funciones trigonométricas.
En el siglo XII comienzan a aparecer en Europa traducciones de libros de matemáticas y astronomía árabes, hecho que lleva a la familiarización con la trigonometría. El primer trabajo significativo en esta materia en el continente Europeo fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller. Se le considerada fundador y un importante innovador en esta materia, puesto que detalla y crea varias herramientas de gran utilidad, así como importantes tratados como De triangulis y Epitome in Almagestum en el cual explica, analiza y muestra la obra de Tolomeo.
Durante el siglo XII el astrónomo alemán Georges Joachim, introdujo el concepto moderno de las funciones trigonométricas como proporcionales en vez de longitudes de algunas determinadas líneas. Ya en el siglo XVI el matemático francés François Vieté, incorpora en su tratado “Canon matemáticas” el triángulo polar en la trigonometría esférica.
A comienzos del siglo XVII, el matemático escocés John Napier descubrió los logaritmos que el llamó “números artificiales”. Esto fue trascendental en el desarrollo de la trigonometría.
A mediados del siglo XVII el físico, inventor, alquimista y matemático inglés, Isaac Newton descubre el cálculo diferencial e integral. También contribuyó en otras áreas de la matemática, por ejemplo desarrollando el teorema del binomio o las fórmulas de Newton-Cotes.
En el siglo XVIII, el físico y matemático suizo Leonhard Euler, explicó que las propiedades de la trigonometría eran consecuencia de la aritmética de los números complejos. Estudió además la notación actual de las funciones trigonométricas y se le atribuye el descubrimiento de la letra e como base del logaritmo natural, así como la unidad imaginaria que generalmente se denota con la letra i. Euler también popularizó El número pi ( π ).
Durante el siglo XX la trigonometría ha realizado muchos aportes en el estudio de los fenómenos de onda y oscilatorio, así como el comportamiento periódico, el cual se relaciona con las propiedades analíticas de las funciones trigonométricas. En astronomía se utiliza para medir distancias a estrellas próximas, para la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación satelital.
bibliografia:
http://matematica.laguia2000.com/general/historia-de-la-trigonometria
videografia:
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es «la medición de los triángulos». Deriva de los términos griegos τριγωνο trigōno triángulo y μετρον metron medida.[1]
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites
En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.
Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos. En una circunferencia completa hay 2π radianes.
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.
Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales
La trigonometría como rama de las matemáticas realiza su estudio en la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo, con una aplicación inmediata en geometría y sus aplicaciones. Para el desarrollo de este fin se definieron una serie de funciones que han sobrepasado su fin original, convirtiéndose en elementos matemáticos estudiados en sí mismos y con aplicaciones en los campos más diversos.
BIBLIOGRAFIA:
http://www.youtube.com
http://www.aritor.com/
DESAROLLO HISTORICO DE LA TRIGONOMETRIA
La historia de la trigonometría comienza con los babilonios y los egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Muller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Quién era Hiparco de Nicea
(c. 190-120 a.C), Hiparco de Nicea fue astrónomo griego, el más importante de su época. Nació en Nicea, Bitinia (hoy Iznik, Turquía). Fue extremadamente preciso en sus investigaciones, de las que conocemos parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la precisión de los equinoccios .Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. También inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes. Catalogó, hizo gráficos y calculó el brillo de unas mil estrellas. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que fueron la base de la trigonometría moderna.
Quién era Tolomeo
(c. 100-c. 170), Claudio Tolomeo, fue un astrónomo y matemático que dominó el pensamiento científico hasta el siglo XVI por sus teorías y explicaciones astronómicas. Posiblemente nació en Grecia, pero su verdadero nombre, Claudius Ptolemaeus, dice lo que realmente se sabe de él: ‘Ptolemaeus’ indica que vivía en Egipto y ‘Claudius’ que era ciudadano romano.
Contribuyó a las matemáticas con sus estudios en trigonometría y aplicó sus teorías a la construcción de astrolabios y relojes de sol.
Quién era Euler.
(1707-1783), Leonhard Euler fue un matemático suizo, sus trabajos se centraron en el campo de las matemáticas puras, Euler nació en Basilea y se licenció a los 16 años. En 1727, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte. Aunque tuvo una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y una ceguera casi total al final de su vida, produjo obras matemáticas importantes, como reseñas matemáticas y científicas.
En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), trató la trigonometría y la geometría analítica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).
Quien era John Napier
(1550-1617), Napier fue un matemático escocés nacido en Merchiston, cerca de Edimburgo. Estudió en la Universidad de San Andrés y allí fue seguidor del movimiento de la Reforma en Escocia, después de unos años tomó parte en los asuntos políticos de los protestantes y es autor de la primera interpretación importante en Escocia de la Biblia.
Principalmente es conocido por introducir el primer sistema de logaritmos, (1614). Además, fue uno de los primeros, si no el primero, en utilizar la moderna notación decimal para expresar fracciones decimales de una forma sistemática.
Así pues, se pretendía clarificar la historia de la trigonometría para así poder tener una visión mucho más amplia de su desarrollo y de igual manera un mayor entendimiento acerca del tema.
Fue así, como la trigonometría avanzó, hasta convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática. Pero esto no quiere decir que los avances, descubrimientos e investigaciones no hayan continuado. Es decir, que el estudio de la trigonometría actualmente, no solo se limita a las relaciones entre los elementos de un triangulo y a sus aplicaciones. Hoy día, la trigonometría, es parte de la matemática y se emplea en muchos campos del conocimiento, tanto teóricos como prácticos, e interviene en toda clase de investigaciones geométricas y algebraicas en las cuales aparecen las llamadas funciones trigonométricas, de gran aplicación además en la electricidad, termodinámica, investigación atómica etc.
No es de sobra aclarar esto, ya que la palabra trigonometría se deriva de dos raíces griegas: trigon, que significa triángulo, y metra, que significa medida, entonces, se tiende a creer su aplicación solo se limita o refiere a las varias relaciones entre los ángulos de un triángulo y sus lados.
Sin embargo, el hombre la ha empleado para calcular áreas, distancias, trayectorias y en el estudio de la mecánica etc., con base en la resolución de triángulos.
La trigonometría, que al principio aparece como parte de la geometría que se ocupa de formular relaciones entre las medidas angulares y las longitudes de los lados de un triangulo y que surgió para resolver inicialmente problemas de exactitud en la navegación y en el calculo del tiempo y los calendarios por parte de los griegos, posteriormente se ha convertido también el fundamento de los cálculos astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella y otras magnitudes.
Así pues, esta misma trigonometría se dividió en dos ramas fundamentales, que son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía y estudia triángulos esféricos, es decir, triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.
Desarrollo historigo de la trigonometria Trigonometría es, por supuesto, una rama de la geometría, pero difiere de la geometría sintética de Euclides y los antiguos griegos por ser de cómputo en la naturaleza. Por ejemplo, la Proposición I.4 de elementos es el lado-ángulo de congruencia teorema de ángulo que se afirma que un triángulo está determinado por dos ángulos y el lado entre ellos. Es decir, si usted quiere saber el ángulo restante y los lados otros dos, todo lo que tienes que hacer es diseñar el lado dado y los dos ángulos en sus extremos, se extienden los otros dos lados hasta que se encuentren, y que tienes el triángulo. No hay cálculos numéricos involucrados.
Pero la versión trigonométrica es diferente. Si usted tiene las medidas de los dos ángulos y la longitud del lado entre ellos, el problema consiste en calcular el ángulo restante (que es fácil, basta con restar la suma de los dos ángulos a partir de dos ángulos rectos) y los lados otros dos (lo cual es difícil). La solución moderna para el cálculo última es por medio de la ley de los cosenos.
Todos los cálculos trigonométricos requieren la medición de ángulos y el cálculo de una función trigonométrica. Las funciones trigonométricas modernas seno, coseno, tangente, y sus inversos, pero en la trigonometría griega antigua, el acorde, una función más intuitiva, se utilizó.
Trigonometría, por supuesto, depende de la geometría. La ley de cosenos, por ejemplo, se desprende de una proposición de la geometría sintética, es decir, proposiciones II.12 y II.13 de los elementos. Y así, los problemas de trigonometría han requerido de los nuevos avances en la geometría sintética. Un ejemplo es el teorema de Ptolomeo, que establece normas de los acordes de la suma y diferencia de ángulos, que corresponden a las fórmulas de suma y diferencia de senos y cosenos.
La aplicación principal de la trigonometría en las culturas pasadas, no sólo griego antiguo, es a la astronomía. Cálculo de los ángulos en la esfera celeste requiere un tipo diferente de la geometría y la trigonometría que en el avión. La geometría de la esfera se llama «esféricos» y formaron una parte del quadrivium de estudio. Varios autores, incluyendo Euclides, escribió libros sobre esféricos. El nombre actual de la asignatura es «geometría elíptica». Trigonometría aparentemente surgió para resolver los problemas planteados en esféricos en lugar de los problemas que plantea en la geometría plana. Por lo tanto, la trigonometría esférica es tan antigua como la trigonometría plana.
Los babilonios y la medida del ángulo
Los babilonios, en algún momento antes de 300 a. C. fueron el método de medición grados para los ángulos. Los números babilónicos se basaron en el número 60, por lo que puede conjeturarse que se llevaron la unidad de medida a ser lo que llamamos 60 °, que luego se divide en 60 grados. Tal vez 60 ° se tomó como grupo, dado que la cuerda de 60 ° es igual al radio del círculo, véase más abajo sobre los acordes. Grado de medición fue adoptada más tarde por Hiparco.
Los babilonios fueron los primeros en dar las coordenadas de las estrellas. Ellos usaron la eclíptica como su círculo de base en la esfera celeste, es decir, la esfera de cristal de las estrellas. El sol recorre la eclíptica, los planetas viajan cerca de la eclíptica, las constelaciones del zodíaco están dispuestas alrededor de la eclíptica, y la estrella polar, Polaris, es de 90 ° respecto a la eclíptica. La esfera celeste gira alrededor del eje que pasa por los polos norte y sur. Los babilonios midió la longitud en grados hacia la izquierda desde el punto vernal, visto desde el polo norte, y midió la latitud en grados al norte o al sur de la eclíptica.
Hiparco de Nicea (ca. 180 – ca 125 aC.)
Hiparco fue un astrónomo principalmente, pero los comienzos de la trigonometría, aparentemente comenzó con él. Sin duda los babilonios, egipcios y griegos a principios de la astronomía sabía mucho antes de Hiparco, y también determina las posiciones de muchas estrellas en la esfera celeste delante de él, pero es Hiparco a quien la primera tabla de las cuerdas se le atribuye. Se ha hipotetizado que Apolonio y Arquímedes, incluso construyeron tablas de acordes delante de él, pero no hay referencia a ninguna tabla anterior tales.
Algunos de Hiparco avances en la astronomía incluyen el cálculo del mes lunar decir, las estimaciones del tamaño y las distancias del sol y la luna, las variantes de los modelos epicicloidal y excéntrica del movimiento planetario, un catálogo de 850 estrellas (longitud y latitud en relación con la eclíptica), y el descubrimiento de la precesión de los equinoccios y una medida de que la precesión.
Según Teón, Hiparco escribió una obra de 12 libros sobre las cuerdas de un círculo, ya que perdió. Esa sería la primera obra conocida de la trigonometría. Dado que el trabajo ya no existe, la mayoría de todo sobre él es la especulación. Pero algunas cosas se saben de diversas menciones en otras fuentes incluyendo otro de los suyos. Se incluyen algunas longitudes de las cuerdas que corresponden a diferentes arcos de círculo, tal vez una tabla de cuerdas. Además de estos restos de algunas de información, otros pueden ser inferidos a partir del conocimiento que se tomó tan conocido por sus sucesores.
Acordes de base de la trigonometría
En una presentación moderna de la trigonometría, el seno y el coseno de un ángulo a es el eje – y y x-coordenadas de un punto sobre el círculo unidad, el punto es la intersección del círculo unidad y un lado del ángulo a la otra lado del ángulo es el eje x positivo. El griego, indio, árabe, y los primeros europeos utilizan un círculo de radio de algunos conveniente. Para esta descripción de la trigonometría, vamos a dejar la radio sin especificar en modo lectura y es doble, el diámetro, vamos a denotar d.
El acorde de un ángulo AOB donde O es el centro de un círculo y A y B son dos puntos en el círculo, es la línea recta AB. Los acordes son relacionados con el seno y el coseno moderna por las fórmulas
CRD a = d sen (a / 2)
el pecado a = (1 / d), CRD 2 bis
CRD (180 ° – a) = d cos (a / 2)
cos a = (1 / d) CRD (180 ° – 2 a)
donde a es un ángulo, d el diámetro, y CRD una abreviatura de acordes.
Algunas propiedades de las cuerdas no podría haber escapado a la atención de Hiparco, sobre todo en una obra de 12 libros sobre el tema. Por ejemplo, una fórmula de ángulo complementario indicaría que si AOB y BOC son ángulos complementarios, entonces el teorema de Thales estados que el triángulo ABC es correcto, por lo que el teorema de Pitágoras dice que el cuadrado de la cuerda AB, más el cuadrado de la cuerda BC es igual a la cuadrado de la CA de diámetro. Resumieron mediante una notación algebraica moderna
CRD 2 AOB + CRD 2 BOC = d 2
donde d es el diámetro del círculo.
Hiparco probablemente construido su tabla de cuerdas con una fórmula medio de ángulo y la fórmula de ángulo suplementario. La fórmula de media ángulo en términos de acordes es
CRD 2 (t / 2) = r (2 r – CRD (180 ° – t)
donde r es el radio del círculo y t es un ángulo. con ERC 60 ° = r A partir, Hipócrates puede por medio de esta fórmula de ángulo medio encontrar los acordes de 30 °, 15 ° y 2.1 ° 7. Que pudiera completar una tabla de acordes en 7 1 / 2 ° pasos mediante CRD 90 °, la fórmula de medio punto de vista, y la fórmula de ángulo suplementario.
¿Qué otras relaciones entre los acordes de varios ángulos que Hipócrates hubiera sabido sigue siendo especulación.
Menelao (ca. 100 dC)
Los primeros trabajos sobre trigonometría esférica era «Spherica Menelao. Se incluía lo que ahora se llama el teorema de Menelao que se refiere arcos de círculos máximos en las esferas. Por supuesto, Menelao declaró su resultado en términos de acordes, pero en términos de senos moderna, su teorema dice
el pecado del CE
________________________________________ el pecado de EA
=
pecado CF
________________________________________ pecado FD pecado BD
________________________________________ pecado BA
y
pecado CA
________________________________________ el pecado de EA =
el pecado de CD
________________________________________ pecado FD
pecado BF
________________________________________ pecado SER
Probó este resultado, en primer lugar probar la versión de avión, a continuación, «proyectar» de nuevo a la esfera. La versión del avión, dice
CE
________________________________________ EA
=
CF
________________________________________ FD
BD
________________________________________ BA
y
CA
________________________________________ EA
=
CD
________________________________________ FD
BF
________________________________________ SER
Ptolomeo (ca. 100-178 dC)
famoso matemático trabajo de Claudio Ptolomeo fue la Sintaxis Mathematike (Matemáticas Colección) generalmente conocido como el Almagesto. Es todo un trabajo sobre astronomía que incluye la teoría matemática correspondiente a la astronomía. Se incluye tabla trigonométrica, una tabla de cuerdas para los ángulos de 1 / 2 ° a 180 ° en incrementos de 1 / 2 °, las cuerdas fueron redondeados a dos lugares sexagesimal, cerca de cinco dígitos de precisión. También incluyó la geometría necesaria para construir la tabla. Se calcula el acorde de 72 º, un ángulo central de un pentágono, un ángulo de construibles. Junto con la cuerda de 60 ° (la radio que Ptolomeo llevó a ser 60), que da CRD 12 °, a continuación, CRD 6 °, 3 ° CRD, CRD 1 1 / 2 °, y CRD 4.3 °. Él utilizó la interpolación para encontrar CRD 1 ° y CRD 1 / 2 °.
Teorema de Ptolomeo
Ptolomeo demostró el teorema que da las fórmulas de suma y la diferencia para los acordes.
Teorema. Para un cuadrilátero cíclico (es decir, un cuadrilátero inscrito en un círculo), el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.
AC BD = CD AB + AD BC
Cuando AD es un diámetro del círculo, entonces el teorema dice
AOC CRD CRD DBO CRD CRD AOB COD = + d BOC CRD.
donde O es el centro del círculo y d el diámetro. Si echamos un ser ángulo AOB y b para que el ángulo AOC, entonces tenemos
b CRD CRD (180 ° – a) = crd de un CRD (180 ° – b) + d CRD (b – a)
que da la fórmula de diferencia
CRD (b – a) = b CRD CRD (180 ° – a) – CRD un CRD (180 ° – b)
________________________________________ d
Con una interpretación diferente de a y b, los resultados de fórmula de la suma:
CRD (b + a) = b CRD CRD (180 ° – a) + ERC un CRD (180 ° – b)
________________________________________ d
Estos, por supuesto, corresponden a las fórmulas de suma y diferencia de senos.
Armado con su teorema, Ptolomeo pudo completar su tabla de cuerdas de 1.2 ° a 180 ° en incrementos de 1 / 2 °.
Trigonometría
trigonometría Computacional sólo podría comenzar después de la construcción de una tabla trigonométrica buena, por lo que procedió Ptolomeo. Aunque no sistemáticamente, ofrecen métodos para la resolución de triángulos rectángulos y triángulos oblicuos, las soluciones a problemas específicos se encuentran en el Almagesto. Las soluciones que nos encontraríamos con senos o cosenos son igualmente fáciles de resolver con una tabla de cuerdas, pero que los que resolvería con tangentes requeriría dividir un acorde por acorde complementaria, por lo que para una solución más difícil. Un ejemplo típico de que sería encontrar la altura de un poste, dada la longitud de su sombra y el ángulo de inclinación de la sombra.
aleph0.clarku.edu/~djoyce/ma105/trighist.html
Aplicaciones de la trigonometría
¿Qué se puede hacer con trigonometria? Históricamente, se ha desarrollado para la astronomía y la geografía, pero los científicos han estado usando por siglos para otros fines, también. Además de otros campos de las matemáticas, la trigonometría se utiliza en física, ingeniería y química. Dentro de las matemáticas, la trigonometría se utiliza en primer lugar en el cálculo (que es quizás su mayor aplicación), álgebra lineal, y las estadísticas. Dado que estos campos se utilizan en las ciencias naturales y sociales, trigonometría es un tema muy útil saber.
La astronomía y la geografía
tablas trigonométricas fueron creados hace más de dos mil años para el cálculo de la astronomía. Las estrellas se pensaba que eran fijos en una esfera de cristal de gran tamaño, y ese modelo era perfecto para los fines prácticos. Sólo los planetas se movían en la esfera. (En el momento había siete planetas reconocidos: Mercurio, Venus, Marte, Júpiter, Saturno, la luna y el sol Esos son los planetas que llamamos nuestros días de la semana posterior a la tierra no se considera aún no se.. un planeta, ya que era el centro del universo y los planetas exteriores no fueron descubiertos a continuación.) La clase de trigonometría para comprender las posiciones sobre una esfera que se llama la trigonometría esférica. trigonometría esférica rara vez se enseña desde que su trabajo se ha tomado por el álgebra lineal. Sin embargo, una aplicación de la trigonometría es la astronomía.
Como la tierra es una esfera, la trigonometría se utiliza en geografía y en la navegación. Ptolomeo (100-178) utiliza la trigonometría en su Geografía y utilizar tablas trigonométricas en sus obras. Colón llevaba consigo una copia de ‘Efemérides Regiomontano Astronomicae en sus viajes al Nuevo Mundo y lo utilizó para su ventaja.
Ingeniería y la física
A pesar de la trigonometría se aplicó por primera vez a las esferas, ha tenido una mayor aplicación a los aviones. Los topógrafos han utilizado durante siglos la trigonometría. Los ingenieros, los ingenieros militares y de otra manera, han usado la trigonometría casi siempre.
Física establece exigencias en trigonometría. La óptica y la estática son dos campos a principios de la física que la trigonometría uso, pero todas las ramas de la trigonometría utilizan la física ya que las ayudas trigonometría en el espacio comprensión. Los campos relacionados como la química física, naturalmente, el uso trigonométricas.
Matemáticas y sus aplicaciones
Por supuesto, la trigonometría se utiliza en las matemáticas, y, puesto que las matemáticas son aplicables al conjunto de las ciencias naturales y sociales, trigonometría tiene muchas aplicaciones. Cálculo, álgebra lineal, y las estadísticas, en la trigonometría de uso particular, y tienen muchas aplicaciones en el conjunto de las ciencias.
http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/apps.html
Applicacion de Trigonometría
TRIGONOMETRÍA EN LA VIDA DIARIA
Trigonometría con el vector en matemáticas para tratar el movimiento a través de / agua de las corrientes de aire. Carpinteros necesidad de trigonometría básica. acuerdo de trabajo con cualquier tipo de patrón de saber acerca de las funciones trigonométricas mantener trabajo escuchando a las bases están a continuación:
1. La participación debe ser necesidad de trabajar en el trabajo (ejemplo: desgn de moda).
2. El trabajo requiere de base de la física o el cálculo.
3. El trabajo que requiere conocimientos básicos de matemáticas de la escuela secundaria.
La trigonometría se muestra en todas partes, con el fin de bueno con los números, usted tiene que ser bueno en trigonometría. La trigonometría es artístico de la ciencia se puede utilizar para medir las alturas de las montañas con facilidad. Esta es la información básica para el diseño de aeronaves y la navegación, excesivamente técnico que la última vez que fuimos de vacaciones a una estación de la colina. Por ejemplo las condiciones médicas que les impiden viajar a altas altitudes.
Usos de la trigonometría
La trigonometría se utiliza en los esfuerzos prácticos, tales como la navegación, la agrimensura, la construcción, y se utiliza en varios campos académicos. Principalmente las matemáticas, la ciencia y la ingeniería. Entre el público de los no-matemáticos y no sceintists. trigonometría es conocido principalmente para medir problemas. Se utiliza a menudo en formas que son más sutiles, como el lugar en la teoría de la música de los demás son más técnicos, como la teoría de números.
Los temas de matemática de las series de Fourier y transformadas de Fourier realmente conocimiento de las funciones trigonométricas y encontrar aplicaciones en diversas áreas, incluidas las estadísticas.
Las series de Fourier:
Trigonometría es una de las formas más avanzadas que se pueden discutir en un solo artículo. A menudo las personas involucradas se llama serie de Fourier. Se encuentra en el 19 y matemático francés del siglo 18 y Joseph Fourier físico. Es amplia gama en muchos campos científicos, en particular en todos los fenómenos relacionados con periodicidad estacional. Por lo tanto el estudio de la radiación, de la acústica, la sismología, la modulación de ondas de radio en la electrónica.
Sin.theta + + cos 2θ cos.theta + + + cos 3θ sin2θ sine3θ
http://www.tutorvista.com/…/applications-of-trigonometry-in-our-daily-life – Estados Unidos
videos
http://www.youtube.com
La trigonometría es una rama de las tantas ramas de matemáticas, se encarga de estudiar y analizar la relación entre los lados y los ángulos de los triángulos. Para esto recurre generalmente a las llamadas razones trigonométricas. El origen de la palabra trigonometría desciende del griego “trigonos” (triángulo) y “metros” (metria).
Hace unos 4000 años en Babilonia (antiguo reino localizado en la región de Mesopotamia) y Egipto se determinó y establecieron aproximaciones de medidas de ángulos y de longitudes de los lados de los triángulos rectángulos para ampliar y desarrollar medidas tanto en la agricultura como en la construcción de pirámides. Los egipcios fijaron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Además se utilizaba la trigonometría para el estudio de la astronomía. Antiguamente la astronomía se ocupaba de la observación y predicciones de los movimientos de los objetos visibles a simple vista y en el estudio de la predicción de las rutas y posiciones y perspectivas de los cuerpos en el espacio, para luego progresar y perfeccionar la exactitud en la navegación y el cálculo del tiempo así como los calendarios. La astronomía precolombina poseía calendarios muy puntuales y las pirámides de Egipto fueron construidas sobre patrones astronómicos muy exactos y puntuales.
Luego de Egipto y Babilonia, el estudio de la trigonometría se asentó en Grecia, donde podemos nombrar al matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea, quien fue uno de los principales y más importantes desarrolladores de la Trigonometría. Este matemático construyó una tabla de cuerdas para solucionar triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y aproximándose hasta 180° con ampliaciones de 71°, la tabla facilitaba la longitud de la cuerda limitada por los lados del ángulo central ya que fragmentaba a una circunferencia de radio r. Hasta el momento no se conoce el valor que Hiparco utilizó para r. 300 años mas tarde, el astrónomo griego Tolomeo utilizó r = 60, ya que los griegos tomaron el sistema numeral (base 60) que era usado por los babilonios.
Durante varios siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción primordial para los astrónomos. El libro de astronomía, Almagesto, escrito por él, igualmente poseía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, presentando también el catálogo estelar más perfecto y completo de la antigüedad. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue también obra de Tolomeo.
En India y Arabia la trigonometría era utilizada en la Astronomía. El primer uso de la función seno, aparece en el Shulba o Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Se desarrollo entonces un sistema trigonométrico que estaba basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función nueva función, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa. A finales del siglo X ya habían se habían completado la función seno y las otras cinco funciones trigonométricas.
En el siglo XII comienzan a aparecer en Europa traducciones de libros de matemáticas y astronomía árabes, hecho que lleva a la familiarización con la trigonometría. El primer trabajo significativo en esta materia en el continente Europeo fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller. Se le considerada fundador y un importante innovador en esta materia, puesto que detalla y crea varias herramientas de gran utilidad, así como importantes tratados como De triangulis y Epitome in Almagestum en el cual explica, analiza y muestra la obra de Tolomeo.
Durante el siglo XII el astrónomo alemán Georges Joachim, introdujo el concepto moderno de las funciones trigonométricas como proporcionales en vez de longitudes de algunas determinadas líneas. Ya en el siglo XVI el matemático francés François Vieté, incorpora en su tratado “Canon matemáticas” el triángulo polar en la trigonometría esférica.
A comienzos del siglo XVII, el matemático escocés John Napier descubrió los logaritmos que el llamó “números artificiales”. Esto fue trascendental en el desarrollo de la trigonometría.
A mediados del siglo XVII el físico, inventor, alquimista y matemático inglés, Isaac Newton descubre el cálculo diferencial e integral. También contribuyó en otras áreas de la matemática, por ejemplo desarrollando el teorema del binomio o las fórmulas de Newton-Cotes.
En el siglo XVIII, el físico y matemático suizo Leonhard Euler, explicó que las propiedades de la trigonometría eran consecuencia de la aritmética de los números complejos. Estudió además la notación actual de las funciones trigonométricas y se le atribuye el descubrimiento de la letra e como base del logaritmo natural, así como la unidad imaginaria que generalmente se denota con la letra i. Euler también popularizó El número pi ( π ).
Durante el siglo XX la trigonometría ha realizado muchos aportes en el estudio de los fenómenos de onda y oscilatorio, así como el comportamiento periódico, el cual se relaciona con las propiedades analíticas de las funciones trigonométricas. En astronomía se utiliza para medir distancias a estrellas próximas, para la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación satelital.
La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Comenzó con un ángulo de 71° y yendo hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
300 años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto, escrito por él, también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con
exponenciales de números complejos.
http://lpeltroche.blogspot.com/2009/04/historia-de-la-trigonometri.html
http://mattrigonometria.blogspot.com/2008/11/historia-de-las-razones.html
bibliografia:
http://matematica.laguia2000.com/general/historia-de-la-trigonometria
http://html.rincondelvago.com/historia-de-la-trigonometria.html
videografia:
LA TRIGONOMETRÍA
INTRODUCCIÓN
La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos.
La trigonometría se subdivide en:
• Trigonometría plana: si el triángulo es plano.
• Trigonometría esférica: si el triangulo está formado por círculos máximos de una esfera.
Pero además el termino significa el estudio de las “relaciones trigonométricas” o “funciones trigonométricas”, seno, coseno, tangente y cotangente de un arco o un ángulo. También se les llama funciones circulares.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.
Historia de la trigonometría
La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a. C. el astrónomo Hiparco de Nicea realizó una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y yendo hasta 180 °C con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios.
El tratado de la esféricas de Meneláo, que se sitúa hacia el fin del primer siglo de nuestra era, proporciono a claudio Ptolomeo de Alejandría ( h.90 – h.168) las proposiciones fundamentales de trigonometría esférica en particular el celebre teorema de menéalo. “Si un triángulo ABC, plano o esférico, es cortado por medio de una recta o de un circulo máximo en L, M, N se tiene: en el plano
L = NA . MC
A NC MB
En la esfera:
Sen LA = sen NA , sen MC
Sen LB sen NC sen MB
Por otra parte, Menelao escribió sus libros sobre las cuerdas de la circunferencia. Este trabajo puede ser que tuviera modelos que se remontaba a Hiparco, astrónomo del s. II a de C. Si bien la terminología griega se resiente de esta tradición, la atención de las matemáticas fue atraida como muy tarde desde Menelao hacia “La semicuerda del arco doble” nuestro seno, que desde entonces tiene un papael fundamental.
El movimiento de la trigonometría griega mejor conservado es el conjunto formado por los capítulos IX y XI del primero libro de la Sintaxis Matemática o Almagesto de Claudio Ptolomeo.
La trigonometría desarrollada por indios y árabes
Fueron los indios quienes dieron el nombre técnico a la semicuerda del arco doble. Este nombre se convirtió en nuestro seno a través de las traducciones al árabe, y luego del árabe al latín.
A finales del siglo VIII los astrónomos árabes, que habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas.
Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica
Los árabes calcularon tablas precisas en división sexagesimal; entre ellos destacó en particular Abu al-Wafa al – Buzadjami (940 – 997) por las divisiones en cuarto de grado, con cuatro posiciones sexagesimales. Por otra parte, este matemático, introdujo, con otro nombre, la tangente y la secante al lado del seno.
Posteriormente se encontró un magnifico ejemplo de empleo de las tablas en las dos trigonometrías por los árabes orientales en el “Tratado del cuadrilátero” de Nasir al – Din al – Tusi (1201 – 1274). En esta obra, el cuadrilátero está formado por un triangulo esférico y un circulo máximo y permite emplear el teorema de Menelao. La resolución de los triángulos planos es expuesta al principio de la obra, de la que compone el libro V, “La proporcionalidad de los senos de los lados a los de los ángulos opuestos” de Abu al – Wafa al – Buzadjami. Esta resolución dice: “Cuando el triangulo viene dado mediante sus 3 ángulos, se resuelve gracias al triángulo suplementario”.
La trigonometría en Occidente
El occidente se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue, De triangulus escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas.
Los primeros trabajos matemáticos del francés Français Viéte (1540 – 1603) se referían a la trigonometría. Su Canon matemáticas (1579) es una tabla de seis líneas trigonométricas calculadas de minuto en minuto para el radio 100.000.. Esta tabla está acompañada de fórmulas para la resolución de triángulos planos y esféricos.
Posteriormente Viéte dio las nuevas expresiones de las líneas de los múltiplos de un arco dado en función de las líneas de este arco. Este matemático también mostró la analogía entre estas fórmulas y las del desarrollo en potencias del binario. Desde entonces, la trigonometría, como estudio de las líneas circulares, y el álgebra delos polinomios se prestan mucho apoyo.
La trigonometría en los tiempos modernos
En el s. XVII, Isaac Newton (1642 – 1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x.
Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos.
También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a, b, c para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos
Además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.
PERSONAJES QUE TRABAJARON Y DESARROLLARON LA TRIGONOMETRÍA
Hiparco de Nicea
Hiparco de Nicea fue un astrónomo griego, el más importante de su época. Hiparco nació en Nicea, Bitinia. Fue extremadamente preciso en sus investigaciones, de las que conocemos parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la sucesión de los equinoccios. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que fueron la base de la trigonometría moderna.
Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas.
Por último Hiparco inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes.
Menelao
Menelao fue astrónomo y matemático griego, de la segunda mitad del s. I d. C. Escribió una obra, que no ha podido ser encontrada, sobre el cálculo de las cuerdas en el círculo , así como un tratado en tres libros, las Esféricas que nos ha llegado por traducción árabe:
• El primer libro de esta obra funda la geometría esférica dando un papel privilegiado a los círculos máximos.
• El segundo es puramente astronómico.
• El tercero crea la trigonometría esférica, basado sobre los dos teoremas llamados de Menelao, uno relativo al plano y el otro a la esfera.
Regiomontanus
Regiomontanus fue astrónomo y matemático alemán. Su obra principal De triangulus onmimodis, fue escrito hacia 1464, pero fue publicado, mucho después de su muerte, en Nuremberg, en 1533. Si bien este libro debe mucho a la tradición greco-árabe es una obra de profunda originalidad y con ella funda la trigonometría occidental.
Tolomeo
Tolomeo fue astrónomo y matemático cuyas teorías y explicaciones astronómicas dominaron el pensamiento científico hasta el siglo XVI. Posiblemente, Tolomeo nació en Grecia, pero su nombre verdadero, Claudius Ptolemaeus, refleja todo lo que realmente se sabe de él: ‘Ptolemaeus’ indica que vivía en Egipto y ‘Claudius’ significa que era ciudadano romano. De hecho, fuentes antiguas nos informan de que vivió y trabajó en Alejandría, Egipto, durante la mayor parte de su vida.
Tolomeo también contribuyó sustancialmente a las matemáticas a través de sus estudios en trigonometría.
Euler.
Leonhard Euler, fue un matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar.
Euler nació en Basilea y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. En 1771, cuando estalló un gran fuego en la ciudad, llegando hasta la casa de Euler, un compatriota de Basilea, Peter Grimm, se arrojó a las llamas, descubrió a Euler, y lo salvó llevándolo sobre sus hombros. Si bien se perdieron los libros y el mobiliario, se salvaron sus preciosos escritos.
Euler continuó su profuso trabajo durante doce años, hasta el día de su muerte, a los setenta y seis años de edad.
Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna. Se le debe el actual uso de las minúsculas latinas a, b, c, para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos. Sus contribuciones a la trigonometría esférica fueron recogidas en dos memorias fundamentales:
En la primera (1753) Euler partió del hecho de que, sobre la esfera, las geodésicas son los círculos máximos y utilizó en consecuencia la teoría de los extremos. Encontró así las diez relaciones existentes entre los elementos de un triángulo esférico. Luego extendió estas relaciones a los triángulos cualesquiera y hábilmente dedujo el modo de uso en la resolución de triángulos.
Posteriormente, en 1779, le pareció delicado establecer un capítulo de las matemáticas elementales basado en consideraciones transcendentes. Debido a ello, realizó un trabajo que fue el primero que, de 3 relaciones fundamentales obtenidas de la figura, dedujo todo el aparato de las fórmulas que hoy día se encuentra en los tratados de trigonometría.
La contribución fundamental de Euler es su estudio de las funciones circulares. Tomando el radio como unidad, estas funciones son las antiguas “líneas trigonométricas” ya no dadas mediante consideraciones geométricas, sino por sus desarrollos en series enteras o en productos infinitos. Estas funciones forman con las funciones exponenciales y sus inversas las funciones logarítmicas, nuestras funciones transcendentes elementales. La analogía entre funciones circulares y funciones exponenciales fueron puestas de manifiesto por Euler con una audacia cuyas geniales intuiciones en este campo nunca se desmentirán. Desde entonces, el estudio de las funciones trigonométricas se fundamentan en el estudio general de las funciones.
Eratóstenes
Eratóstenes nació en Cirene en el año 284 antes de Jesucristo, y murió en Alejandría a los 92 años, fue el primer científico de la historia de la Humanidad en medir con bastante precisión, la circunferencia de nuestro planeta.
Eratóstenes también midió la inclinación del eje terrestre con un error de sólo 7′ de arco, y creó un catálogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas. Su obra más importante fue un tratado de geografía general.
Eratóstenes quedó ciego en su vejez y decidió suicidarse muriendo de hambre.
¿Cómo midió Eratóstenes la circunferencia terrestre?
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Eratóstenes midió la circunferencia terrestre por primera vez con una gran exactitud, en una época en la que muy poca gente pensaba que el mundo no era plano como una mesa.
Pero, ¿cómo lo hizo?. ¿En qué se basó para hacer la medida del radio de la esfera terrestre?
Pues, pensó, sencillamente, que dos estacas clavadas verticalmente en el suelo, a una distancia de varios kilómetros, sobre un mismo meridiano, darían sombras distintas a una misma hora en virtud de la curvatura de la superficie del planeta.
Los ángulos que forman los rayos de sol con la dirección de la estaca son:
Siendo s y s’ la sombra de cada estaca sobre la línea meridiana en cada lugar. La longitud de la estaca es d en ambos casos.
Si observamos ahora la figura de abajo y nos fijamos en el triángulo que se forma, con ángulos a, a1 y 180-a2, donde a es el ángulo del arco de meridiano comprendido entre las posiciones que ocupan ambas estacas, y a1 y a2 son los ángulos que forman los rayos solares con la dirección de las estacas, vemos que, al sumar 180º los tres ángulos del triángulo es:
a1 + 180 – a2 + a = 180, es decir: a1 – a2 + a = 0, o sea: a = a2 – a1
conocido el ángulo a, y la longitud L del arco de meridiano entre ambos puntos de colocación de las estacas, será posible, mediante una sencilla regla de tres, encontrar la longitud total, X, de la circunferencia del planeta:
Si una de las dos estacas, en un determinado momento diera sobre la línea meridiana sombra nula, es decir, si en una de las estacas fuera cero el ángulo que forma la dirección de los rayos solares con la estaca, o, dicho de otra manera, si en uno de los dos lugares los rayos solares inciden perpendicularmente, entonces, se tendría que:
a1 = 0, por lo cual a = a2 – 0 = a2, es decir, el ángulo, a, que corresponde al arco de meridiano terrestre comprendido entre ambas posiciones de las estacas, es, precisamente el ángulo, a2, que formarían los rayos solares con la segunda estaca sobre la línea meridiana.
Este último hecho fue lo que utilizó Eratóstenes para hacer su medición.
Eratóstenes, que estaba en Alejandría, recordó que en un cierto día del año, en el solsticio de verano, los rayos solares caían verticalmente en la ciudad de Siena, situada en el mismo meridiano que Alejandría, pues recordaba que el sol se reflejaba en lo mas profundo de los pozos, a la hora del mediodía. Entonces, pensó que si media ese día en la ciudad de Alejandría, a la misma hora, el ángulo, a2, que los rayos solares formaban con la vertical, midiendo la sombra que sobre la línea meridiana formaba la estaca, conocería el ángulo del arco de meridiano entre Alejandría y Siena.
Eratóstenes midió la sombra sobre la línea meridiana producida por una estaca vertical en Alejandría, y conociendo la longitud de la estaca halló ese ángulo a la hora antedicha: resultó que el ángulo era de 7 grados (a2 = 7º). Ya sabia el ángulo del arco de meridiano entre Alejandría y Siena. Ahora faltaba conocer la distancia, a lo largo del meridiano, entre ambas ciudades, es decir, la longitud del arco L. Para ello Eratóstenes pagó a un hombre que hizo, a pie, tal medición. Eran, usando la medida usual en la época y en la zona, unos 4900 estadios, que equivaldría hoy ( a unos 6’125 estadios por kilómetro) a unos 800 kms.
Con estos datos ya es inmediato el cálculo:
Longitud de la circunferencia terrestre:
Friefrich Wilheim Bessel
Bessel fue un astrónomo y matemático alemán, nacido en Minden, conocido principalmente por realizar la primera medición precisa de la distancia de una estrella. Nació en Minden. Estableció el sistema uniforme para calcular las posiciones de las estrellas que todavía se utiliza actualmente. Desde 1821 hasta 1833, determinó con precisión las posiciones de estrellas de hasta la novena magnitud, elevando el número de estrellas catalogadas a 50.000. Sus observaciones astronómicas fueron publicadas en 1842.
Bessel fue el primero en determinar el paralaje, y por tanto, la distancia de una estrella fija, 61 Cygni, proporcionando así la confirmación definitiva de la teoría por la que el Sol y no la Tierra es el centro del Sistema Solar. También determinó el diámetro, el peso y la elipticidad (o desviación de la forma de una esfera real) de la Tierra. En la investigación de problemas relacionados con perturbaciones planetarias, introdujo en matemáticas las funciones de Bessel como solución a ciertas ecuaciones diferenciales. Las funciones son de gran importancia para determinar la distribución y el flujo del calor o la electricidad a través de un cilindro circular, y para la solución de problemas relacionados con el movimiento ondulatorio, la elasticidad y la hidrodinámica.
El paralaje trigonométrico
El paralaje es una palabra de origen griego que significa cambio de posición.
Con la siguiente experiencia se comprueba el efecto del paralaje;
• Colocando el dedo pulgar a unos 25 cm por delante de los ojos y situándose a 1 m de distancia de la pared.
• Tapando con la mano un ojo cada vez se ve que la posición del dedo pulgar respecto de la pared cambia.
El paralaje es el responsable del movimiento aparente del dedo pulgar respecto de la pared.
Este movimiento aparente depende de la longitud de la base o distancia entre los ojos y de la distancia a la que se encuentre el dedo de nosotros. Cuanto más alejado esté el objeto que miramos, mayor será la longitud de la base que habrá que tomar para que el ángulo de paralaje sea apreciable.
El paralaje es el método más antiguo que se aplicó para calcular la distancia a las estrellas. El método consiste en trazar sendas visuales; una, por ejemplo en enero, y la otra, seis meses más tarde, en julio. Como estas observaciones están separadas 2 UA (la UA es la distancia media de la Tierra al sol), la estrella E se ve desde un punto con un ángulo diferente del ángulo con el que se ve desde otro punto.
Con estas dos observaciones se puede construir un triángulo rectángulo de base 1 UA (1 UA = 149.597.840 Km) y ángulos también conocidos. La altura D de este triángulo es la distancia estelar que buscamos.
Teniendo esto en cuenta y que un año-luz equivale a 9.460.528.400.000 Km., podemos decir que esta expresión nos permite calcular las distancias estelares.
La primera distancia estelar calculada por este procedimiento la hizo el alemán Friefrich Wilheim Bessel (1784-1846), en 1838, para la estrella 61 Gygni.
Desarrollo histórico de la Trigonometria
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyó fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la Matemática.
Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, la tabla de cuerdas que construyó Hiparco para resolver triángulos comenzó con un ángulo de 71°, llegando hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r.
Trescientos años después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.
Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos. El libro de astronomía el Almagesto (escrito por él) también tenía una tabla de cuerdas junto con la explicación de su método para compilarla, y a lo largo del libro dio ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo.
Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.
A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas.
El occidente latino se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.
A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.
A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.
Historia de la Trigonometría (DESARROLLO)
Trigonometría es, por supuesto, una rama de la geometría, pero difiere de la geometría sintética de Euclides y los antiguos griegos por ser de cómputo en la naturaleza. Por ejemplo, la Proposición I.4 de elementos es el lado-ángulo de congruencia teorema de ángulo que se afirma que un triángulo está determinado por dos ángulos y el lado entre ellos. Es decir, si usted quiere saber el ángulo restante y los lados otros dos, todo lo que tienes que hacer es diseñar el lado dado y los dos ángulos en sus extremos, se extienden los otros dos lados hasta que se encuentren, y que tienes el triángulo. No hay cálculos numéricos involucrados.
Pero la versión trigonométrica es diferente. Si usted tiene las medidas de los dos ángulos y la longitud del lado entre ellos, el problema consiste en calcular el ángulo restante (que es fácil, basta con restar la suma de los dos ángulos a partir de dos ángulos rectos) y los lados otros dos (lo cual es difícil). La solución moderna para el cálculo última es por medio de la ley de los cosenos.
Todos los cálculos trigonométricos requieren la medición de ángulos y el cálculo de una función trigonométrica. Las funciones trigonométricas modernas seno, coseno, tangente, y sus inversos, pero en la trigonometría griega antigua, el acorde, una función más intuitiva, se utilizó.
Trigonometría, por supuesto, depende de la geometría. La ley de cosenos, por ejemplo, se desprende de una proposición de la geometría sintética, es decir, proposiciones II.12 y II.13 de los elementos. Y así, los problemas de trigonometría han requerido de los nuevos avances en la geometría sintética. Un ejemplo es el teorema de Ptolomeo, que establece normas de los acordes de la suma y diferencia de ángulos, que corresponden a las fórmulas de suma y diferencia de senos y cosenos.
La aplicación principal de la trigonometría en las culturas pasadas, no sólo griego antiguo, es a la astronomía. Cálculo de los ángulos en la esfera celeste requiere un tipo diferente de la geometría y la trigonometría que en el avión. La geometría de la esfera se llama «esféricos» y formaron una parte del quadrivium de estudio. Varios autores, incluyendo Euclides, escribió libros sobre esféricos. El nombre actual de la asignatura es «geometría elíptica». Trigonometría aparentemente surgió para resolver los problemas planteados en esféricos en lugar de los problemas que plantea en la geometría plana. Por lo tanto, la trigonometría esférica es tan antigua como la trigonometría plana.
Los babilonios y la medida del ángulo
Los babilonios, en algún momento antes de 300 a. C. fueron el método de medición grados para los ángulos. Los números babilónicos se basaron en el número 60, por lo que puede conjeturarse que se llevaron la unidad de medida a ser lo que llamamos 60 °, que luego se divide en 60 grados. Tal vez 60 ° se tomó como grupo, dado que la cuerda de 60 ° es igual al radio del círculo, véase más abajo sobre los acordes. Grado de medición fue adoptada más tarde por Hiparco.
Los babilonios fueron los primeros en dar las coordenadas de las estrellas. Ellos usaron la eclíptica como su círculo de base en la esfera celeste, es decir, la esfera de cristal de las estrellas. El sol recorre la eclíptica, los planetas viajan cerca de la eclíptica, las constelaciones del zodíaco están dispuestas alrededor de la eclíptica, y la estrella polar, Polaris, es de 90 ° respecto a la eclíptica. La esfera celeste gira alrededor del eje que pasa por los polos norte y sur. Los babilonios midió la longitud en grados hacia la izquierda desde el punto vernal, visto desde el polo norte, y midió la latitud en grados al norte o al sur de la eclíptica.
Hiparco de Nicea (ca. 180 – ca 125 aC.)
Hiparco fue un astrónomo principalmente, pero los comienzos de la trigonometría, aparentemente comenzó con él. Sin duda los babilonios, egipcios y griegos a principios de la astronomía sabía mucho antes de Hiparco, y también determina las posiciones de muchas estrellas en la esfera celeste delante de él, pero es Hiparco a quien la primera tabla de las cuerdas se le atribuye. Se ha hipotetizado que Apolonio y Arquímedes, incluso construyeron tablas de acordes delante de él, pero no hay referencia a ninguna tabla anterior tales.
Algunos de Hiparco avances en la astronomía incluyen el cálculo del mes lunar decir, las estimaciones del tamaño y las distancias del sol y la luna, las variantes de los modelos epicicloidal y excéntrica del movimiento planetario, un catálogo de 850 estrellas (longitud y latitud en relación con la eclíptica), y el descubrimiento de la precesión de los equinoccios y una medida de que la precesión.
Según Teón, Hiparco escribió una obra de 12 libros sobre las cuerdas de un círculo, ya que perdió. Esa sería la primera obra conocida de la trigonometría. Dado que el trabajo ya no existe, la mayoría de todo sobre él es la especulación. Pero algunas cosas se saben de diversas menciones en otras fuentes incluyendo otro de los suyos. Se incluyen algunas longitudes de las cuerdas que corresponden a diferentes arcos de círculo, tal vez una tabla de cuerdas. Además de estos restos de algunas de información, otros pueden ser inferidos a partir del conocimiento que se tomó tan conocido por sus sucesores.
Acordes de base de la trigonometría
En una presentación moderna de la trigonometría, el seno y el coseno de un ángulo a es el eje – y y x-coordenadas de un punto sobre el círculo unidad, el punto es la intersección del círculo unidad y un lado del ángulo a la otra lado del ángulo es el eje x positivo. El griego, indio, árabe, y los primeros europeos utilizan un círculo de radio de algunos conveniente. Para esta descripción de la trigonometría, vamos a dejar la radio sin especificar en modo lectura y es doble, el diámetro, vamos a denotar d.
El acorde de un ángulo AOB donde O es el centro de un círculo y A y B son dos puntos en el círculo, es la línea recta AB. Los acordes son relacionados con el seno y el coseno moderna por las fórmulas
CRD a = d sen (a / 2)
el pecado a = (1 / d), CRD 2 bis
CRD (180 ° – a) = d cos (a / 2)
cos a = (1 / d) CRD (180 ° – 2 a)
donde a es un ángulo, d el diámetro, y CRD una abreviatura de acordes.
Algunas propiedades de las cuerdas no podría haber escapado a la atención de Hiparco, sobre todo en una obra de 12 libros sobre el tema. Por ejemplo, una fórmula de ángulo complementario indicaría que si AOB y BOC son ángulos complementarios, entonces el teorema de Thales estados que el triángulo ABC es correcto, por lo que el teorema de Pitágoras dice que el cuadrado de la cuerda AB, más el cuadrado de la cuerda BC es igual a la cuadrado de la CA de diámetro. Resumieron mediante una notación algebraica moderna
CRD 2 AOB + CRD 2 BOC = d 2
donde d es el diámetro del círculo.
Hiparco probablemente construido su tabla de cuerdas con una fórmula medio de ángulo y la fórmula de ángulo suplementario. La fórmula de media ángulo en términos de acordes es
CRD 2 (t / 2) = r (2 r – CRD (180 ° – t)
donde r es el radio del círculo y t es un ángulo. con ERC 60 ° = r A partir, Hipócrates puede por medio de esta fórmula de ángulo medio encontrar los acordes de 30 °, 15 ° y 2.1 ° 7. Que pudiera completar una tabla de acordes en 7 1 / 2 ° pasos mediante CRD 90 °, la fórmula de medio punto de vista, y la fórmula de ángulo suplementario.
¿Qué otras relaciones entre los acordes de varios ángulos que Hipócrates hubiera sabido sigue siendo especulación.
Menelao (ca. 100 dC)
Los primeros trabajos sobre trigonometría esférica era «Spherica Menelao. Se incluía lo que ahora se llama el teorema de Menelao que se refiere arcos de círculos máximos en las esferas. Por supuesto, Menelao declaró su resultado en términos de acordes, pero en términos de senos moderna, su teorema dice
el pecado del CE
________________________________________ el pecado de EA
=
pecado CF
________________________________________ pecado FD pecado BD
________________________________________ pecado BA
y
pecado CA
________________________________________ el pecado de EA
=
el pecado de CD
________________________________________ pecado FD
pecado BF
________________________________________ pecado SER
Probó este resultado, en primer lugar probar la versión de avión, a continuación, «proyectar» de nuevo a la esfera. La versión del avión, dice
CE
________________________________________ EA
=
CF
________________________________________ FD BD
________________________________________ BA
y
CA
________________________________________ EA
=
CD
________________________________________ FD
BF
________________________________________ SER
Ptolomeo (ca. 100-178 dC)
famoso matemático trabajo de Claudio Ptolomeo fue la Sintaxis Mathematike (Matemáticas Colección) generalmente conocido como el Almagesto. Es todo un trabajo sobre astronomía que incluye la teoría matemática correspondiente a la astronomía. Se incluye tabla trigonométrica, una tabla de cuerdas para los ángulos de 1 / 2 ° a 180 ° en incrementos de 1 / 2 °, las cuerdas fueron redondeados a dos lugares sexagesimal, cerca de cinco dígitos de precisión. También incluyó la geometría necesaria para construir la tabla. Se calcula el acorde de 72 º, un ángulo central de un pentágono, un ángulo de construibles. Junto con la cuerda de 60 ° (la radio que Ptolomeo llevó a ser 60), que da CRD 12 °, a continuación, CRD 6 °, 3 ° CRD, CRD 1 1 / 2 °, y CRD 4.3 °. Él utilizó la interpolación para encontrar CRD 1 ° y CRD 1 / 2 °.
Teorema de Ptolomeo
Ptolomeo demostró el teorema que da las fórmulas de suma y la diferencia para los acordes.
Teorema. Para un cuadrilátero cíclico (es decir, un cuadrilátero inscrito en un círculo), el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.
AC BD = CD AB + AD BC
Cuando AD es un diámetro del círculo, entonces el teorema dice
AOC CRD CRD DBO CRD CRD AOB COD = + d BOC CRD.
donde O es el centro del círculo y d el diámetro. Si echamos un ser ángulo AOB y b para que el ángulo AOC, entonces tenemos
b CRD CRD (180 ° – a) = crd de un CRD (180 ° – b) + d CRD (b – a)
que da la fórmula de diferencia
CRD (b – a) =
b CRD CRD (180 ° – a) – CRD un CRD (180 ° – b)
________________________________________ d
Con una interpretación diferente de a y b, los resultados de fórmula de la suma:
CRD (b + a) =
b CRD CRD (180 ° – a) + ERC un CRD (180 ° – b)
________________________________________ d
Estos, por supuesto, corresponden a las fórmulas de suma y diferencia de senos.
Armado con su teorema, Ptolomeo pudo completar su tabla de cuerdas de 1.2 ° a 180 ° en incrementos de 1 / 2 °.
Trigonometría
trigonometría Computacional sólo podría comenzar después de la construcción de una tabla trigonométrica buena, por lo que procedió Ptolomeo. Aunque no sistemáticamente, ofrecen métodos para la resolución de triángulos rectángulos y triángulos oblicuos, las soluciones a problemas específicos se encuentran en el Almagesto. Las soluciones que nos encontraríamos con senos o cosenos son igualmente fáciles de resolver con una tabla de cuerdas, pero que los que resolvería con tangentes requeriría dividir un acorde por acorde complementaria, por lo que para una solución más difícil. Un ejemplo típico de que sería encontrar la altura de un poste, dada la longitud de su sombra y el ángulo de inclinación de la sombra.
TEMA: 14. Trigonometría, (definición y desarrollo)
equipo: Priscilla Hernandez Zamora
Roberto Rodriguez
2do H
Índice:
1.-Que es
2.-Desarrollo
3.-Definición
4.-Videos
5.-Bibliografías
6.-Imágenes
1.- Que es:
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es «la medición de los triángulos». Deriva de los términos griegos τριγωνοtrigōno triángulo y μετρον metron medida.1
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.
Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos. En una circunferencia completa hay 2π radianes.
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.
Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.
2.-Desarrollo:
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyó fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la Matemática.
Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, la tabla de cuerdas que construyó Hiparco para resolver triángulos comenzó con un ángulo de 71°, llegando hasta 180° con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. No se sabe el valor que Hiparco utilizó para r..
La geometría como palabra tiene dos raíces griegas: geo = tierra y metrón = medida; o sea, significa “medida de la tierra”. Su origen, unos tres mil años
antes de Cristo, se remonta al Medio Oriente, en particular al Antiguo Egipto, en que se necesitaba medir predios agrarios y en la construcción de pirámides y monumentos. Esta concepción geométrica se aceptaba sin demostración, era producto de la práctica.
Estos conocimientos pasaron a los griegos y fue Thales de Mileto quien hace unos 6 siglos antes de Cristo inició la geometría demostrativa. Las propiedades se demuestran por medio de razonamientos y no porque resulten en la práctica.
Las demostraciones pasan a ser fundamentales y son la base de la Lógica como leyes del razonamiento.
Euclides fué otro gran matemático griego, del siglo III antes de Cristo, quien en su famosa obra titulada “Los Elementos”, recopila, ordena y sistematiza todos los conocimientos de geometría hasta su época y, salvo algunas pequeñas variaciones, son los mismos conocimientos que se siguen enseñando en nuestos días.
Euclides, usando un razonamiento deductivo parte de conceptos básicos primarios no demostrables tales como punto, recta, plano y espacio, que son
el punto de partida de sus definiciones, axiomas y postulados. Demuestra teoremas y a su vez, éstos servirán para demostrar otros teoremas. Crea nuevos conocimientos a partir de otros ya existentes por medio de cadenas deductivas de razonamiento lógico. Esta geometría, llamada geometría euclidiana
se basa en lo que históricamente se conoce como 5º postulado de Euclides: “por un punto situado fuera de una recta se puede trazar una y sólo una paralela a ella”.
3.-DEFINICION:
Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Trigonometría.
Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicacione
En el s. XVII, Isaac Newton (1642 – 1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos.
También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a, b, c para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos. Además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.
la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia.
Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos.
En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 70° y yendo hasta 180 °C con incrementos de 70°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r.
4.-Videos:
muy padre informacion
me demore 4 horas en leer todo eso -_-