ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA.
EL PUNTO.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
Un punto se representa con una pequeña cruz y se lo designa con una letra de imprenta mayúscula.
Todo punto pertenece a infinitas rectas, ya que por un punto pasan infinitas rectas.
Línea.
Una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección.
Línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento.
La línea geométrica por definición es un arte invisible. Es la traza que el punto deja al moverse y por lo tanto es un producto suyo. Surge de la alteración del reposo total del punto. Con ella se salta de una situación estática a una dinámica. La línea se halla en el extremo opuesto al elemento primario, es decir al punto, y constituye un elemento derivado o secundario.
En geometría, una línea:
•es recta (sin curvas),
•no tiene grosor,
•y se extiende sin fin en las dos direcciones
No tiene extremos.
Si tiene extremos entonces se llama «segmento de línea».
Puede ser recta, curva o quebrada.
Línea recta
Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta.
Notación: ó
Línea curva
Si el punto cambia continuamente de dirección entonces es una línea curva.
Notación:
Línea quebrada.
Serie de dos o más segmentos rectos conectados extremo a extremo poer que no están en la misma dirección.
LA RECTA.
Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección.
Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.
Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula.
Dos puntos determinan una recta.
Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios
Pueden ser secantes, paralelas y perpendiculares.
“Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella». Tomada del libro de los Elementos de Euclides.
Una recta es el conjunto de todos los puntos del plano, donde las coordenadas de cada punto obedecen una relación de primer grado.
SEMIRECTA.
Una semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta. Una semirrecta tiene un primer punto, denominado origen y, por otra parte, se extiende hacia el infinito, como las rectas.
Una Semirrecta es una línea recta que se extiende desde un punto.
Semirrecta es la parte de una recta formada por un punto llamado origen, y todos los que le siguen en uno de los ordenamientos naturales.
SEGMENTO.
Se llama segmento AB a la intersección del conjunto de puntos de la semirrecta AB y de la semirrecta BA.
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.
Igualdad de segmentos
Dos segmentos son iguales cuando superpuestos coinciden
Segmento nulo
Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.
Segmentos consecutivos
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en común.
Segmentos alineados
Dos segmentos consecutivos están alineados cuando pertenecen a la misma recta.
ANGULO.
Unión de dos rayos.
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
Ángulos:
Agudo: menor de 90°
Recto: 90°
Obtuso: entre 90 y 180°
Llano:180°
Adyacentes: si tienen un lado en común
Complementarios: su suma es 90°
Suplementarios: su suma es 180°
Los ángulos se miden en grados o radianes.
TRIANGULO.
Dados en un plano tres puntos A, B y C no alineados, se llama triángulo a la intersección de los ángulos convexos.
ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA.
EL PUNTO.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
Un punto se representa con una pequeña cruz y se lo designa con una letra de imprenta mayúscula.
Todo punto pertenece a infinitas rectas, ya que por un punto pasan infinitas rectas.
Línea.
Una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección.
Línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento.
La línea geométrica por definición es un arte invisible. Es la traza que el punto deja al moverse y por lo tanto es un producto suyo. Surge de la alteración del reposo total del punto. Con ella se salta de una situación estática a una dinámica. La línea se halla en el extremo opuesto al elemento primario, es decir al punto, y constituye un elemento derivado o secundario.
En geometría, una línea:
•es recta (sin curvas),
•no tiene grosor,
•y se extiende sin fin en las dos direcciones
No tiene extremos.
Si tiene extremos entonces se llama «segmento de línea».
Puede ser recta, curva o quebrada.
Línea recta
Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta.
Notación: ó
Línea curva
Si el punto cambia continuamente de dirección entonces es una línea curva.
Notación:
Línea quebrada.
Serie de dos o más segmentos rectos conectados extremo a extremo poer que no están en la misma dirección.
LA RECTA.
Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección.
Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.
Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula.
Dos puntos determinan una recta.
Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios
Pueden ser secantes, paralelas y perpendiculares.
“Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella». Tomada del libro de los Elementos de Euclides.
Una recta es el conjunto de todos los puntos del plano, donde las coordenadas de cada punto obedecen una relación de primer grado.
SEMIRECTA.
Una semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta. Una semirrecta tiene un primer punto, denominado origen y, por otra parte, se extiende hacia el infinito, como las rectas.
Una Semirrecta es una línea recta que se extiende desde un punto.
Semirrecta es la parte de una recta formada por un punto llamado origen, y todos los que le siguen en uno de los ordenamientos naturales.
SEGMENTO.
Se llama segmento AB a la intersección del conjunto de puntos de la semirrecta AB y de la semirrecta BA.
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.
Igualdad de segmentos
Dos segmentos son iguales cuando superpuestos coinciden
Segmento nulo
Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.
Segmentos consecutivos
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en común.
Segmentos alineados
Dos segmentos consecutivos están alineados cuando pertenecen a la misma recta.
ANGULO.
Unión de dos rayos.
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
Ángulos:
Agudo: menor de 90°
Recto: 90°
Obtuso: entre 90 y 180°
Llano:180°
Adyacentes: si tienen un lado en común
Complementarios: su suma es 90°
Suplementarios: su suma es 180°
Los ángulos se miden en grados o radianes.
TRIANGULO.
Dados en un plano tres puntos A, B y C no alineados, se llama triángulo a la intersección de los ángulos convexos.
Punto
En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido. http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/34/ACP_3.svg
Historia
El concepto de punto, como ente geométrico, surge en la antigua concepción griega de la geometría, compilada en Alejandría por Euclides en su tratado Los Elementos, dando una definición de punto excluyente: «lo que no tiene ninguna parte». El punto, en la geometría clásica se basa en la idea de que era un concepto intuitivo, el ente geométrico «sin dimensiones», y sólo era necesario asumir la noción de punto.
Esa cuestión fue analizada por A. N. Whitehead en: Una investigación sobre los principios naturales de conocimiento (An Inquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge), y El concepto de la Naturaleza (The concept of Nature). En estos libros se expone la «relación de inclusión». En Proceso y Realidad (Process and Reality) Whitehead propone un nuevo enfoque basado en la «relación de conexión» topológica. También H. J. Schmidt plantea una
Representación gráfica
En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+), círculo (o), cuadrado o triángulo. En relación a otras figuras, suelen representarse con un pequeño segmento perpendicular cuando pertenece a una recta, semirrecta o segmento.
A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc. (a las rectas con letras minúsculas, y a los ángulos con letras griegas).
La forma de representar un punto mediante dos segmentos que se cortan (una pequeña “cruz” +) presupone que el punto es la intersección. Cuando se representa con un pequeño círculo, circunferencia, u otra figura geométrica, presupone que el punto es su centro.
Determinación geométrica
Un punto puede determinarse con diversos sistemas de referencia:
En el sistema de coordenadas cartesianas, se determina mediante las distancias ortogonales a los ejes principales, que se indican con dos letras o números: (x, y) en el plano; y con tres en el espacio (x, y, z).
En coordenadas polares, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto del eje de referencia: (r, θ).
En coordenadas esféricas, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto de los ejes de referencia: (r, θ, φ)
En coordenadas cilíndricas, mediante coordenadas radial, acimutal y altura: (ρ, φ, z).
También se pueden emplear sistemas de coordenadas elípticas, parabólicas, esferoidales, toridales, etc.
Puntos, rectas y planos: posiciones relativas
En función de su posiciones relativas, existen dos tipos de puntos: colineales y coplanarios. Los denominados colineales son aquellos contenidos en una recta, no importando cuantos puntos sean mientras estén alineados y dentro de la recta. Se denominan puntos coplanarios a aquellos que están contenidos en un mismo plano.
Algunos postulados y teoremas relacionados con el punto
Postulados en geometría euclidiana
• Por un punto pasan infinitas rectas y planos.
• Dos puntos determinan una recta y sólo una.
• Una recta contiene infinitos puntos.
• Un plano contiene infinitos puntos e infinitas rectas.
• El espacio contiene infinitos puntos, rectas y planos.
Estos postulados se pueden generalizar para espacios de n dimensiones.
Teoremas en geometría euclidiana
• Tres puntos no alineados determinan un plano y sólo uno.
Línea
En geometría, una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección
Tipos
pueden ser 5 tipo lineales tipos:
Planas (dos dimensiones)
• Línea recta, la sucesión continua de puntos en una misma dirección.
• Línea curva, de formas redondeadas, con uno o varios centros de curvatura.
• Línea quebrada o poligonal, formada por segmentos rectos consecutivos no alineados, presentando puntos angulosos.
o poligonal abierta, si no están unidos el primero y último segmentos.
o poligonal cerrada, si cada segmento está unido a otros dos.
• Línea mixta, una combinación de una línea recta y una curva.
• Toda línea es un trazo a través del punto
Angulo
Un ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas o rayos que tienen el mismo origen
Los lados del ángulo son las semirrectas que lo forman.
El vértice del ángulo es el punto común que es origen de los lados.
Los ángulos pueden nombrarse de tres formas distintas:
Por las letras mayúsculas correspondientes a las semirrectas, colocando en medio la letra vértice: ó
Por una letra o número colocado en la abertura a
Por la letra del vértice B
Un ángulo completo es el que está delimitado por dos semirrectas que coinciden.
La bisectriz de una ángulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos partes iguales.
Clasificación de los ángulos:
Llano, es el ángulo formado por dos semirrectas opuestas. Tiene sus lados en la misma recta. Su amplitud es la mitad de un ángulo completo, es decir, de 180º.
Ángulo Recto, es uno cualquiera de los ángulos en que la bisectriz divide al llano. Su amplitud o abertura es de 90º.
Agudo, es todo ángulo cuya amplitud sea menor que la del recto, es decir, es como máximo de 90ºObtuso, es aquel cuya amplitud es mayor que la del ángulo recto y menor que la del llano, es decir, está comprendida entre 90º y 180º.
Cóncavo, es el que vale menos que un llano. Por ello se dice que los ángulos cóncavos comprenden a los agudos, rectos y obtusos
Convexo, es el que vale más que un llano.
Ángulos suplementarios, son los que sumados valen 180º, es decir, un ángulo llano.
Cada ángulo se llama suplemento del otro. Así el ángulo es el suplemento del ángulo y viceversa.
Ángulos complementarios, son los que sumados valen 90º, es decir, un ángulo recto.
Ángulos consecutivos, son los que tienen un mismo vértice y un lado común.
Ángulos adyacentes, son ángulos consecutivos cuyos lados no comunes están en línea recta.
Ángulos opuestos por el vértice, son los ángulos en que los lados del uno son prolongaciones opuestas de los lados del otro.
También se dice que son aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.
El instrumento para medir un ángulo en grados sexagesimales se denomina transportador
y es un medio círculo graduado con doble escala, una de 0º a 180º y la otra de 180º a 0º.
Para medir un ángulo, se coloca el punto central del transportador sobre el vértice del ángulo y uno de los lados debe coincidir con la línea del cero.
Ángulo inscrito: Es aquel cuyo vértice está sobre la circunferencia y cuyos lados son secantes. La amplitud de un ángulo inscrito equivale a la mitad de la amplitud del arco que abarca.
Características de los ángulos inscritos:
Dos ángulos inscritos en cada uno de los arcos que una cuerda determina son suplementarios
Todos los ángulos inscritos que abarcan un mismo arco son iguales.
En una misma circunferencia, los arcos cortados por paralelas son iguales
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es rectoAngulo semiinscrito: Es aquel cuyo vértice está sobre la circunferencia, uno de sus lados es tangente y el otro, secante. Al igual que en el inscrito, su amplitud equivale a la mitad de la amplitud del arco que abarca.
Ángulo interior: es aquel cuyo vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior equivale a la semisuma de los arcos que abarca éste, y su opuesto por el vértice.
Angulo exterior es aquel cuyo vértice es exterior a la circunferencia y sus lados, secantes. La amplitud de un ángulo exterior equivale a la semidiferencia de la amplitudes de los arcos abarcados por él.
Angulo central es aquel que su vértice está en el centro de la circunferencia. Por definición, su amplitud coincide con el arco que abarca.
Geometría: es la rama de las matemáticas, que sirve para medir todo lo que hay en la Tierra.
Axioma: Afirmaciones o proporciones que relacionan conceptos. Estos axiomas dan lugar a teorias que pueden ser comprobados gracias a instrumentos como el compás y el teodolito.
Postulado: Son verdades que no necesariamente necesitan ser demostradas.
Linea: ES una suceción indefinida de puntos.
Linea quebrada: Es la linea que esta formada por grupos de lineas formados por puntos que mantienen la misma direccion entre si pero diferente direccion entre las lineas.
Curvilinea: Es la linea que esta formada por una sucesion de puntos con distintas direcciones entre si.
Rectilinea: Es la sucesion continua, uniforme de puntos en la misma dirección.
Recta: se extiende en 2 sentidos ilimitadamente. dos rectas no pueden tener mas que un solo punto en comun. Por dos puntos pasa una y solo una linea recta.Semirecta: Es el conjunto de puntos continuos desde un punto que se extiende hacia otro.
Segmento: Es una porcion de recta que esta limitada por un par de puntos.
Medida de un segmento: Medir un segmento es compararlo con otro elegido como unidad o parametro.
Adicion de segmentos: Es colocar segmentos de medidas diferentes (o iguales según sea el caso) en una recta cualquiera, dispuestos uno seguido del otro.
Sustracción de segmentos: Es colocarlos aquellos de medidas diferentes tomando en cuenta que el menor de ellos sera el segmento sustraendo y estara situado sobre el segmento sustraendo y estara situado sobre el segmento mayor llamado segmento minuendo, de manera que el segmento resultante de la diferencia sera el que quede comprendido como complemento del segmento mayor (segmento minuendo).
Perpendicularidad: La perpendicularidad de una linea o plano es la que forma angulo recto con la dada.
Paralelismo: Una propiedad de la geometria representada por rectas que no se cortan.
Oblicuidad: Dirección inclinada.||Inclinacion que aporta del angulo recto la linea o el plano que se considera respecto de otra u otro.
Sistema sexagesimal: Es un sistema de numeracion posicional que emplea la base sesenta.
Sistema centecimal: Es la circunferencia dividida en 400 partes iguales, llamadas » grados centesimales», cada grado tiene 100 » minutos centesimales» y cada minuto tiene 100 » segundos centesimales» .
Ángulo: Figura geometrica formada por la union de dos semirectas de origen común. IMAGEN 1 Video 1.
Vertice: Punto de origen común.
Ángulo agudo: Es un ángulo que mide menos de 90°.
Ángulo recto: Es un ángulo que mide 90°.
Ángulo obtuso: Es el ángulo que mide mas de 90° pero menos de 180.°
Ángulo llano: O de lados colineales, es aquel que mide 180° .
Ángulo cóncavo o entrante: Es el ángulo que mayor que 180° pero menor que 360°.
Ángulo perígonal o perígono: Ángulo que se origina cuando un rayo gira y regresa a su posicion original, aquel que mide 360°.
Ángulos complementarios: Son 2 ángulos cuya suma dan como resultado 90°
Ángulos suplementarios: Son 2 angulos cuya suma dan como resultado 180°.
Ángulos conjugados: Son 2 angulos cuya suma dan como resultado 360°.
Ángulos consecutivos o contibuos: Cuando varias rectas tienen en comun un vertice.
Ángulos adyacentes: Que tiene el vértice y un lado común y los otros lados situados uno en prolongación del otro. Forman un angulo llano.
Ángulos opuestos por el vértice: Son los ángulos opuestos cuando se cruzan dos líneas.
Triángulos: Son las figuras con la miníma cantidad de lados posibles. Es el espacio comprendido entre 3 rectas que se intersectan entre sí.
Triángulo equilátero: Todos sus lados son iguales y sus angulos tambien. Imagen 2
Triángulo Isósceles: Solo de sus 2 lados son iguales.
Triángulo Escaleno: Sus 3 lados son desiguales al igual que sus angulos.
Triángulo Rectángulo: Un ángulo recto de 90°.
Triangulo acutángulo: Sus 3 ángulos menores de 90° .
Triángulo Obtusángulo: 1 Angulo obtuso (mayor de 90°).
Mediatriz: ES cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio. Cada triangulo tiene 3 mediatrices.
Circucentro: El cruce de las 3 mediatrices .
Mediana: Es la linea que une al vertice de un triangulo con el punto medio del lado puesto. Imagen 3.
Baricentro: Es el cruce de las 3 medianas.
Altura: Es la linea perpendicular a un lado que se extiende asta el vertice opuesto. Cada triangulo tiene 3 alturas.
Ortocentro: Es el cruce de las 3 alturas.
Bisectriz: Es la recta que divide en 2 partes iguales o en un angulo. Existen 3 bisectricez en un triangulo po cada angulo.
Incentro: Es el punto que surge del cruce de las 3 bisectricez.
Circunferencua: Es una linea curva cerrada y plana cuyos puntos equidistan de otro punto interior llamado centro.
Circulo: Es una superficie plana limitasa po una circunferencia.
Centro: Punto central de quien equilista todos los puntos que integran una circunferencia.
Diametro: Es la linea que va de lado a lado de la circunferencia y que pasa por el centro.
Radio: Es la recta que va desde el diametro hasta la circunferencia.
Tangente: Es la recta que pasa por la circunferencia tocando solo un punto de ella.
Punto de tangencia: Es el punto de la circunferencia que toca una tangente.
Secante: Es la recta que corta una circunferencia de lado a lado sin pasar por su centro.
Cuerda: Es la recta que toca 2 puntos de la circunferencia sin tocar el centro y sin salirse de ella.
Arco: Es la porcion de circunferencia delimitada por una cuerda.
Flecha: Es la linea perpendicular a una cuerda que pasa por su punto medio y que sale de la circunferencia.
Cuadrilátero: Es un plano formado por 4 lados donde dos pares de ellos son opuestos entre sí. Todos los cuadriláteros tiene 2 diagonales.
Paralelogramos: Son aquellos con los lados opuestos son paralelos.
Trapecios: Son aquellos donde dos de sus lados opuestos son paralelos.
Trapezoides: Se tienen 2 casos de trapezoides: 1.- Cuando dos de sus lados consecutivos son de la misma magnitud. 2.- Cuando ninguno de sus lados consecutivos son de la misma magnitud.
Polígono: Es una porción cerrada del plano comprendida entre segmentos de recta que se unen por sus extremos.
Polígonos regulares: aquel que tiene todos sus lados iguales, es decir, es un polígono equiángulo.
Polígono irregular cóncavos: Los polígonos cóncavas hay al menos un ángulo que apunta hacia adentro, es decir, un ángulo interior es mayor que 180°.
Polígono irregular convexo: El polígono convexo tiene todos los ángulos interiores apuntando hacia afuera, es decir, todos los ángulos interiores son menores que 180°.
Trigonometría: Rama de las matemáticas, se ocupa exclusivamente de estudiar las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos.
Teorema de Pitágoras: » El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos ».
El plano: Es una superficie infinita que esta formada por puntos y rectas, y donde podemos encontrar figuras geométricas.
Semiplano: A cada una de las partes en que un plano que divido por cualquiera de sus rectas.
Apotema: Es la perpendicular que une el centro del polígono con cualquiera de sus lados.
Perímetro de una figura plana: Es la medida de su superficie.
Números primos: Es un número natural que tiene exactamente dos divisores distintos: él mismo y el 1.
Área: Es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales.
Secantes: Rectas secantes son las que se cortan.
Simetría axial: Es un desplazamiento que intercambia los puntos de los 2 lados de una determinada recta.
El Punto: es una » figura geométrica » dimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. Video 2.
Superficie: Es de hecho un conjunto de puntos de un espacio euclídeo que forma un espacio topológico bidimensional que localmente, es decir, visto de cerca se parece al espacio euclídeo bidimensional.
Espacio tangente: El conjunto de todos los espacios tangentes, debidamente teologizada.
Bibliografía:
Mi cuaderno de geometría y trigonometría de II semestre.
Actividad 2 definiciones de los elementos de la geometría
PUNTO: En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido. http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)
LINEA: En geometría, una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección. http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea
ANGULO: Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente. http://es.wikipedia.org/wiki/%c3%81ngulo
CURVILINEA: es la línea que esta formada por una sucesión de puntos con distintas direcciones entre si.
RECTILINEA: es la sucesión continua, uniforme de puntos en la misma dirección.
cuaderno
RECTA: En geometría euclidiana, la recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.
Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la «pendiente de la recta» y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado «término independiente» u «ordenada al origen» y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano. http://es.wikipedia.org/wiki/Recta
SEMIRECTA: Una semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta. Una semirrecta tiene un primer punto, denominado origen y, por otra parte, se extiende hacia el infinito, como las rectas.
Considerando la biyección entre una recta y los números reales, los reales positivos corresponden a una semirrecta, los reales negativos corresponden a otra semirrecta y el cero corresponde al punto frontera entre las dos semirrectas, también llamado origen. http://es.wikipedia.org/wiki/Semirrecta
SEGMENTO: Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
Así, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este. http://es.wikipedia.org/wiki/Segmento
PERPENDICULARIDAD: En geometría, la perpendicular de una línea o plano, es la que forma ángulo recto con la dada.
La relación de perpendicularidad se puede dar entre:
• Rectas: dos rectas coplanarias son perpendiculares cuando, al cortarse, dividen al plano en cuatro regiones iguales, cada una de los cuales es un ángulo recto. Al punto de intersección de dos rectas perpendiculares se le llama pie de cada una de ellas en la otra.
o Semirrectas: dos semirrectas son perpendiculares, cuando conforman ángulos rectos teniendo o no el mismo punto de origen.
• Planos: dos planos son perpendiculares cuando conforman cuatro ángulos diedros de 90º.
o Semiplanos: dos semiplanos son perpendiculares cuando conforman ángulos diedros de 90°; generalmente, compartiendo la misma recta de origen.
Además, puede existir una relación de perpendicularidad entre los cuatro elementos anteriores, tomados de dos en dos.
Si dos rectas al cortarse forman ángulos adyacentes congruentes, son perpendiculares. Por analogía, si dos planos al cortarse forman ángulos diedros adyacentes congruentes, son perpendiculares.Los lados de un ángulo diedro y sus semiplanos opuestos determinan dos planos perpendiculares). http://es.wikipedia.org/wiki/Perpendicularidad
PARALELISMO: En geometría, el paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos y demás).
En geometría clásica, las rectas o planos paralelos son los equidistantes entre sí y por más que los prolonguemos no pueden encontrarse.
En geometría afín, expresando una variedad lineal como V = p + E, con p punto y E espacio vectorial, se dice que A = a + F es paralela a B = b + G sii F está contenido en G ó G está contenido en F, donde A y B son subvariedades lineales de la misma variedad lineal V y F y G son subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial E. En el plano (afín) (V = ), esto se traduce de la siguiente manera: dos rectas son paralelas si tienen un mismo vector director.
Obsérvese que, en un espacio afín tridimensional, una recta y un plano pueden ser paralelos, y también que la coincidencia de variedades lineales es un caso particular de paralelismo.
Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si o bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningún punto.
De manera semejante, en el espacio, dos planos son paralelos si bien son uno y el mismo plano o bien no comparten ningún punto. http://es.wikipedia.org/wiki/Paralelismo_(matem%C3%A1tica)
OBLICUIDAD: En probabilidad, la oblicuidad es una medida de que tan asimétrica es una distribución alrededor de su media. Debido a la tercer potencia involucrada en su cálculo, también se le llama tercer momento de la distribución y se calcula de la siguiente forma:
Donde N: es el número total de elementos en la distribución, xi: es el elemento i:, : es la media y σ: es la desviación estándar. http://es.wikipedia.org/wiki/Oblicuidad
HORIZONTALIDAD: La horizontalidad es una práctica o propuesta organizacional que implica desarrollar o incentivar un poder de decisión o de participación más o menos igualitario entre los individuos que conforman una organización. La horizontalidad es opcional para una organización y busca una mayor interacción en el grupo para potenciar el liderazgo y la innovación. http://es.wikipedia.org/wiki/Horizontalidad
VERTICALIDAD: Posición perpendicular a la línea del horizonte http://www.wordreference.com/definicion/verticalidad
SISTEMA SEXAGESIMAL: El sistema sexagesimal es un sistema de numeración posicional que emplea la base sesenta. Tuvo su origen en la antigua Babilonia. También fue empleado, en una forma más moderna, por los árabes durante el califato omeya. El sistema sexagesimal se usa para medir tiempos (horas, minutos y segundos) y ángulos (grados, minutos y segundos). En dicho sistema, 60 unidades de un orden forman una unidad. http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_sexagesimal
SISTEMA CIRCULAR: La unidad de medida (unidad de arco), en el sistema circular es el radian. Un radian (Rad.) se define como la medida del ángulo central se subtiende un arco del circulo igual al radio del circulo. Tenemos que la longitud de la circunferencia está dada por c=2 pi(3.1416) r y que toda la circunferencia subtiene un ángulo de 360º; tenemos entonces que : longitud de la circunferencia en radianes es :
360º = 2 p rad. pi= 3.1416 http://www.miportal.edu.sv/sitios/operacionred2008/OR08050996/Video.html
SISTEMA CENTESIMAL: en que resulata dividir el angulo recto en cien partes iguales, constituyendo cada parte un grado centesimal.Por tanto un circulo se divide en 400 partes iguales.
ANGULO AGUDO: Un ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 90o
ANGULO RECTO: es el angulo que mide 900
ANGULO OBTUSO: es el angulo que mide mas de 90o pero menios de 180o
ANGULO LLANO: es aquel que mide 180o
ANGULO CONCAVO: es el angulo mayor que 180o pero menor de 360o
ANGULO PERIGONAL: es aquel que mide 360o
ANGULOS COMPLEMENTARIOS: dos angulos cuya suma dan como resultado 90o
ANGULOS SUPLEMENTARIOS:son dos angulos cuya suma dan 180o
ANGULOS CONJUGADOS: son dos angulos cuya suma dan 360o
ANGULOS CONSECUTIVOS: son aquellos que poseen un mismo vértice y tienen un lado común.
ANGULOS ADYACENTES: son aqellos angulos que tienen el vértice y un lado común, al tiempo que sus otros lados son semirrectas opuestas. De allí resulta que los angulos adyacentes son a la vez consecutivos y suplementarios, porque juntos equivalen a un angulo llano sin poseer ningún punto interior en común.
ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE: son aquellos cuyos lados de unos son semirrectas opuestas del otro.
TRIANGULO EQUILATERO: todos sus lados son iguales y sus angulos también
TRIANGULO ISOSELES: tiene 2 lados iguales
TRIANGULO ESCALENO: tiene 3 lados iguales
TRIANGULO EQUILATERO: tiene un angulo de 90o
TRIANGULO ACUTANGULO: tres angulos menores de 90o
TRIANGULO OBTUSANGULO: tiene un angulo obtuso mayor de 90o
cuaderno
ORTOCENTRO: Se denomina ortocentro (símbolo H) al punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo. Este no es un hecho trivial, pues tres rectas cualquiera, tomadas a pares, podrían intersecarse en tres puntos diferentes, pero en el caso de las alturas de un triángulo dado, puede demostrarse que se intersecan en un solo punto, es decir, en el ortocentro.
El nombre deriva del término griego orto, que quiere decir recto, en referencia al ángulo formado entre las bases y las alturas.1
El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si éste es acutángulo, coincide con el vértice del ángulo recto si es rectángulo, y se halla fuera del triángulo si es obtusángulo.
El ortocentro es el incentro del triángulo órtico (como se observa en la figura). El triángulo órtico de un triángulo es el que tiene por vértices los pies de las tres alturas de éste, es decir, las proyecciones de los vértices sobre los lados. http://es.wikipedia.org/wiki/Ortocentro
BARICENTRO: En geometría, el baricentro o centroide de una superficie contenida en una figura geométrica plana, es un punto tal, que cualquier recta que pasa por él, divide a dicha superficie en dos partes de igual momento respecto a dicha recta.
En física, el baricentro de un cuerpo material coincide con el centro de masas del mismo cuando el cuerpo es homogéneo (densidad uniforme) o cuando la distribución de materia en el cuerpo tiene ciertas propiedades, tales como la simetría.
Sean A1,… An n puntos, y m1,… mn n, números (m como masa). Entonces el baricentro de los ( Ai, mi) es el punto G definido como sigue:
Esta definición depende del punto O, que puede ser cualquiera. Si se toma el origen del plano o del espacio, se obtienen las coordenadas del baricentro como promedio ponderado por los mi de las coordenadas de los puntos Ai:
La definición anterior no equivale a la fórmula siguiente, mucho menos práctica para el cálculo vectorial, pues prescinde de las fracciones (se obtiene tomando O = G):
Un isobaricentro (iso: mismo) es un baricentro con todas las masas iguales entre sí; es usual en tal caso tomarlas iguales a 1. Si no se precisan las masas, el baricentro es por defecto el isobaricentro.
El baricentro coincide con el concepto físico de centro de masa de un cuerpo material en tanto que el cuerpo sea homogéneo. http://es.wikipedia.org/wiki/Baricentro
CIRCUNCENTRO: El Circuncentro (símbolo O) es el punto en el que se intersecan las tres mediatrices de un triángulo y es el centro de la circunferencia circunscrita.
Los vértices de un triángulo, como extremos de cada lado, se encuentran a la misma distancia de los puntos de sus bisectrices, luego el punto donde estas se cortan, será equidistante de los tres vértices: el circuncentro. Dicho punto se suele expresar con la letra O.
Sirve para trazar el círculo que pasa por los tres vértices del triángulo http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Cercle_circonscrit_%C3%A0_un_triangle.svg http://es.wikipedia.org/wiki/Circuncentro
INCENTRO: El Incentro (símbolo I) es el punto en el que se intersecan las tres bisectrices de los ángulos internos del triángulo, y es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo y que equidista de sus tres lados, siendo tangente a dichos lados.
Las coordenadas cartesianas de incentro parte de un vértice de el triángulo trazado. Si los vértices tienen coordenadas , , y , y los respectivos lados opuestos tienen longitudes , , y , el incentro tendrá por coordenadas:
.
Las coordenadas trilineales del incentro son 1 : 1 : 1.
Las coordenadas baricéntricas del incentro son a : b : c. http://es.wikipedia.org/wiki/Incentro
MEDIANA: En el ámbito de la estadística, la mediana es el valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él, una vez ordenados estos. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra. La mediana coincide con el percentil 50, con el segundo cuartil y con el quinto decil. http://es.wikipedia.org/wiki/Mediana_(estad%C3%ADstica)
MEDIATRIZ: La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. También se le llama simetral. http://es.wikipedia.org/wiki/Mediatriz
BICECTRIZ: La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia ) de las semirrectas de un ángulo. http://es.wikipedia.org/wiki/Bisectriz
AXIOMA: Un axioma es una premisa que se considera «evidente» y es aceptada sin requerir una demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo, es toda proposición que no se deduce de otras, sino que constituye una regla general de pensamiento lógico, por oposición a los postulados.1
En matemática, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente, los axiomas se eligen de entre las consideradas «verdades evidentes» porque permiten deducir las demás fórmulas.
En lógica matemática, un postulado es un proposición, no necesariamente evidente: una fórmula bien formada de un lenguaje formal utilizada en una deducción para llegar a una conclusión.
En matemática se distinguen dos tipos de proposiciones: axiomas lógicos y postulados. http://es.wikipedia.org/wiki/Axioma
POSTULADO: Un postulado es una proposición que no es evidente por sí misma ni está demostrada, pero que se acepta ya que no existe otro principio al que pueda ser referida.1
Es diferente de un axioma que, en un sistema hipotético-deductivo, es toda proposición que no se deduce de otra, sino que constituye una regla general de pensamiento lógico, por oposición a los postulados.2
También se denomina postulado a los principios sustentados por una determinada persona, un grupo, o una organización.3
Por ejemplo, en filosofía o psicología, los diferentes enfoques o escuelas suelen diferenciarse en una serie de proposiciones de carácter filosófico. A estas se les llama postulados, como definiciones de carácter opcional que delimitan una concepción de cada disciplina (tipo de método que utiliza, concepción de su objeto de estudio, etc.) Así, la cognición, modificación de conducta o Gestalt tienen distinto punto de partida sobre qué es la mente, la personalidad o la conducta y, a partir de estos postulados, se desarrollo toda la teoría. Toda ciencia suele tener unos puntos de partida de carácter filosófico; incluso la física, al considerar que existen reglas constantes que podemos definir. http://es.wikipedia.org/wiki/Postulado
COROLARIO: Un corolario (del latín corollarium, n. = „la adición“, „el regaldo“; género: neutro; plural: corolarios) es un término que se utiliza en las matemáticas y en la lógica, para designar la evidencia de un teorema o definición ya demostrada, sin necesidad de tener que invertir esfuerzo adicional en su demostración. A menudo se trata de una inferencia, si bien la distinción entre teorema y corolario es tan subjetiva como entre lema y teorema. http://es.wikipedia.org/wiki/Corolario
TEOREMA: Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema formal. Demostrar teoremas es un asunto central en la matemática.
Un teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre la hipótesis y la tesis o conclusión.
Se llamará corolario a una afirmación lógica que sea consecuencia inmediata de un teorema, pudiendo ser demostrada usando las propiedades del teorema previamente demostrado. http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema
CIRCUNFERENCIA: Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanar llamado centro. http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia
Es una línea curva cerrada y plana cuyos puntos equidista de otro punto interior llamado centro.
CENTRO: punto central de quien equidistan todos los puntos que integran una circunferencia
DIAMETRO: es la línea que va de lado a lado de la circunferencia y que pasa por el centro ( es la cuerda mayor de la circunferencia)
RADIO: es la recta que va del centro a un extremo de la circunferencia
TANGENTES: la recta que pasa por la circunferencia tocando solo un punto de ella. Esta recta nunca entra a la circunferencia
PUNTO DE TANGENCIA: es el punto de la circunferencia que toca una tangente
SECANTE: es la recta que corta una circunferencia de lado a lado sin pasar por su centro
CUERDA: es la recta que toca dos puntos de la circunferencia sin tocar el centro y sin salirse de ella.
ARCO: es la porción de la circunferencia delimitada por una cuerda
FLECHA: es la línea perpendicular a una cuerda que pasa por su punto medio y que sale de la circunferencia.
Cuaderno
CUADRILATERO: Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros pueden tener distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales. Otros nombres usados para referirse a este polígono son tetrágono y cuadrángulo. http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadril%C3%A1tero
PARALELOGRAMOS: Un paralelogramo es un tipo especial de cuadrilátero (un polígono formado por cuatro lados) cuyos lados son paralelos dos a dos. http://es.wikipedia.org/wiki/Paralelogramo
TRAPECIOS: Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellos se llama altura. Se denomina mediana al segmento que tiene por extremos los puntos medios de los lados no paralelos. http://es.wikipedia.org/wiki/Trapecio_(geometr%C3%ADa)
TRAPEZOIDES: Un trapezoide es un polígono cuadrilátero tal que ninguno de sus cuatro lados es paralelo a otro.
El trapezoide no tiene propiedades especiales, excepto las que son propias de todo cuadrilátero convexo, como que la suma de sus ángulos internos es de 360 grados. Por este motivo, algunos evitan usar el nombre trapezoide, refiriéndose a él simplemente como cuadrilátero.
Los trapezoides pueden ser inscribibles si la suma de sus ángulos opuestos es de 180°. Del mismo modo, puede ser circunscribible si las sumas de sus pares de lados opuestos son iguales entre sí. http://es.wikipedia.org/wiki/Trapezoide
POLIGONO: es una porción cerrada del plano comprendida entre segmentos de recta que se unen por sus extremos.
La palabra polígono procede del griego antiguo “poli” que significa muchos y “gonos” que significa angulos.
cuaderno
POLIGONOS REGULARES: Un polígono regular es un polígono en el que todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son de la misma medida.
Veamos las distintas características de los polígonos regulares, empleando la figura de un Pentágono para representar un polígono regular genérico.
POLIGONOS IRREGULARES: Los polígonos irregulares no tiene todos sus lados iguales.
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites. http://www.geoka.net/poligonos/poligonos_irregulares.html
GEOMETRIA: La Geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, politopos (paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc).
Es la justificación teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).
Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanías. http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa
los antiguos Egipcios dependían exclusivamente de las aguas del río Nilo para efectuar sus trabajos agrícolas. El Nilo se desbordaba año con año, inundando grandes extensiones de tierra, la cual quedaba así apta para los cultivos. En las riveras del río se median y se distribuían las distintas parcelas para ser asignadas a los agricultores.
Este proceso debía repetirse año con año, pues cada inundación borraba las medidas del año anterior.
Así poco a poco, se fue perfeccionando la técnica de parcelas y nació la Geometría, que etimológicamente significa medición de tierras. Los Egipcios pues crearon la Geometría y la desarrollaron a tal grado que aun hoy tenemos como mudos testigos de ese desarrollo a las grandiosas pirámides de Egipto, cuya antigüedad supera los 5,000 años.
Desarrollo de Contenido
ANGULOS
Cuando dos rectas se encuentran y forman cuatro religiones llamadas ángulos. Cada ángulo esta limitado por dos lados y un vértice.
Es la abertura entre dos lados, los cuales tienen un punto común llamado vértice.
El lado desde el cual se empieza a medir el ángulo se llama Codo Inicial, y aquel donde se termina se llama Lado Terminal.
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Tipos de Ángulos
Angulo Convexo: Se llama ángulo convexo R N M a la intersección del semiplano de borde NM, que contiene el punto R, y el semiplano de borde NR, que contiene el punto N.
Angulo Cóncavo: Es el ángulo que se obtiene si consideramos la unión de los semiplanos anteriores.
Ángulos Consecutivos: Son los pares de ángulos que tienen un lado común y ningún otro punto mas.
ngulo Llano: Cuando los lados de un ángulo son dos semirrectas de una misma recta, el ángulo se llama llano.
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Ángulos Rectos: Sean dos semirrectas de origen de un origen común O y supongámoslas prolongadas hasta formar dos rectas, a y b, que se cortan en O y que dividen al plano en 4 regiones a, b, c y d, cada una de ellas correspondiente a un ángulo. Cuando esos cuatro ángulos son iguales, se dice que cada uno de ellos es un ángulo recto y que sus lados son perpendiculares.
ngulos Oblicuos: Las rectas que se cortan formando ángulos desiguales se llaman oblicuas. A estos ángulos que no son rectos se les llaman oblicuos.
Agudos: Si son menores que un recto.
Obtusos: Si son mayores que un recto.
En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido
Representación gráfica
En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+), círculo (o), cuadrado o triángulo. En relación a otras figuras, suelen representarse con un pequeño segmento perpendicular cuando pertenece a una recta, semirrecta o segmento.
A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc. (a las rectas con letras minúsculas, y a los ángulos con letras griegas).
La forma de representar un punto mediante dos segmentos que se cortan (una pequeña “cruz” +) presupone que el punto es la intersección. Cuando se representa con un pequeño círculo, circunferencia, u otra figura geométrica, presupone que el punto es su centro.
Recta
En geometría euclidiana, la recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.
Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la «pendiente de la recta» y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado «término independiente» u «ordenada al origen» y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.
Geometría analítica de la recta en el plano
La Geometría analítica consiste en emplear operaciones de cálculo para resolver problemas de geometría. En un plano, podemos representar una recta mediante una ecuación, y determinar los valores que cumplan determinadas condiciones, por ejemplo, las de un problema de geometría.
Ecuación de la recta
En una recta, la pendiente es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente)
Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de abscisas X.
La ecuación de la recta que pasa por el punto
Línea
En geometría, una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección
Tipos
Planas (dos dimensiones)
Línea recta, la sucesión continua de puntos en una misma dirección.
Línea curva, de formas redondeadas, con uno o varios centros de curvatura.
Línea quebrada o poligonal, formada por segmentos rectos consecutivos no alineados, presentando puntos angulosos.
poligonal abierta, si no están unidos el primero y último segmentos.
poligonal cerrada, si cada segmento está unido a otros dos.
Línea mixta, una combinación de una línea recta y una curva.
Toda línea es un trazo a través del punto
Segmento
Para el sistema de clasificación de automóviles por segmentos, véase Clasificación de automóviles.
Para otros usos de este término, véase Segmentación.
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
Así, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.
Suma
La suma de varios segmentos consecutivos colineales, da por resultado el segmento determinado por los extremos no comunes de los segmentos considerados. Geométricamente, la suma de segmentos es otro segmento que se obtiene construyendo colinealmente segmentos ordenadamente congruentes con los dados, y procediendo como se indica al principio.
Ángulo
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.
ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE GEOMETRíA
Las Rectas
Las rectas se forman por la unión de puntos que van en la misma dirección.
Como puedes ver en el dibujo, las rectas pueden tener dirección horizontal, vertical u oblicua. Decimos que es oblicua, cuando tiene cualquier otra forma que no es ni horizontal ni vertical.
Recta Horizontal Recta Vertical Recta Oblicua
El plano
El plano es una superficie infinita que está formada por puntos y rectas, y donde podemos encontrar figuras geométricas como: triángulos, rombos, cuadrados, entre muchas otras.
Imagina por un momento, que una parte de ese plano es tu hoja de cuaderno. No olvides que el plano no tiene grosor y es ilimitado, por lo tanto, imagínalo extendiéndose en todas sus direcciones.
Un plano está compuesto por infinitos puntos. Utilizamos el símbolo Ppara referirnos a un plano y debemos dibujar, a lo menos, tres puntos no alineados. El dibujo que ves, es una presentación del plano: P CBD.
Semiplano
Llamamos semiplano, a cada una de las partes en que un plano queda dividido por cualquiera de sus rectas.
A la recta que da lugar a que se formen los dos semiplanos, la llamamos frontera y no es parte de ninguno de los dos semiplanos.
Los puntos
Los puntos nos sirven para definir una posición en el plano. Formamos una línea cuando unimos diferentes puntos. Sin embargo, para distinguir una recta de otra, debemos nombrar dos de sus puntos.
Decimos que una recta pertenece a un plano, cuando todos sus puntos, son también puntos que pertenecen al plano.
Semirrectas
Si marcamos nuestra recta definiendo sólo un punto inicial, entonces tenemos una semirrecta. El punto O, divide nuestra recta en dos partes, formando dos semirrectas.
Es importante saber que el punto O, no pertenece a las semirrectas, sino es sólo la frontera entre las dos semirrectas.
Segmentos
Si dibujamos dos puntos en la recta, marcando con esto dos extremos, tendremos un segmento. En nuestro ejemplo, ; es el segmento .
ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA.
EL PUNTO.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
Un punto se representa con una pequeña cruz y se lo designa con una letra de imprenta mayúscula.
Todo punto pertenece a infinitas rectas, ya que por un punto pasan infinitas rectas.
Línea.
Una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección.
Línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento.
La línea geométrica por definición es un arte invisible. Es la traza que el punto deja al moverse y por lo tanto es un producto suyo. Surge de la alteración del reposo total del punto. Con ella se salta de una situación estática a una dinámica. La línea se halla en el extremo opuesto al elemento primario, es decir al punto, y constituye un elemento derivado o secundario.
En geometría, una línea:
•es recta (sin curvas),
•no tiene grosor,
•y se extiende sin fin en las dos direcciones
No tiene extremos.
Si tiene extremos entonces se llama «segmento de línea».
Puede ser recta, curva o quebrada.
Línea recta
Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta.
Notación: ó
Línea curva
Si el punto cambia continuamente de dirección entonces es una línea curva.
Notación:
Línea quebrada.
Serie de dos o más segmentos rectos conectados extremo a extremo poer que no están en la misma dirección.
LA RECTA.
Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección.
Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.
Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula.
Dos puntos determinan una recta.
Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios
Pueden ser secantes, paralelas y perpendiculares.
“Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella». Tomada del libro de los Elementos de Euclides.
Una recta es el conjunto de todos los puntos del plano, donde las coordenadas de cada punto obedecen una relación de primer grado.
SEMIRECTA.
Una semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta. Una semirrecta tiene un primer punto, denominado origen y, por otra parte, se extiende hacia el infinito, como las rectas.
Una Semirrecta es una línea recta que se extiende desde un punto.
Semirrecta es la parte de una recta formada por un punto llamado origen, y todos los que le siguen en uno de los ordenamientos naturales.
SEGMENTO.
Se llama segmento AB a la intersección del conjunto de puntos de la semirrecta AB y de la semirrecta BA.
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.
Igualdad de segmentos
Dos segmentos son iguales cuando superpuestos coinciden
Segmento nulo
Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.
Segmentos consecutivos
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en común.
Segmentos alineados
Dos segmentos consecutivos están alineados cuando pertenecen a la misma recta.
ANGULO.
Unión de dos rayos.
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
Ángulos:
Agudo: menor de 90°
Recto: 90°
Obtuso: entre 90 y 180°
Llano:180°
Adyacentes: si tienen un lado en común
Complementarios: su suma es 90°
Suplementarios: su suma es 180°
Los ángulos se miden en grados o radianes.
TRIANGULO.
Dados en un plano tres puntos A, B y C no alineados, se llama triángulo a la intersección de los ángulos convexos.
ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA.
EL PUNTO.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
Un punto se representa con una pequeña cruz y se lo designa con una letra de imprenta mayúscula.
Todo punto pertenece a infinitas rectas, ya que por un punto pasan infinitas rectas.
Línea.
Una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección.
Línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento.
La línea geométrica por definición es un arte invisible. Es la traza que el punto deja al moverse y por lo tanto es un producto suyo. Surge de la alteración del reposo total del punto. Con ella se salta de una situación estática a una dinámica. La línea se halla en el extremo opuesto al elemento primario, es decir al punto, y constituye un elemento derivado o secundario.
En geometría, una línea:
•es recta (sin curvas),
•no tiene grosor,
•y se extiende sin fin en las dos direcciones
No tiene extremos.
Si tiene extremos entonces se llama «segmento de línea».
Puede ser recta, curva o quebrada.
Línea recta
Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta.
Notación: ó
Línea curva
Si el punto cambia continuamente de dirección entonces es una línea curva.
Notación:
Línea quebrada.
Serie de dos o más segmentos rectos conectados extremo a extremo poer que no están en la misma dirección.
LA RECTA.
Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección.
Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.
Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula.
Dos puntos determinan una recta.
Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios
Pueden ser secantes, paralelas y perpendiculares.
“Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella». Tomada del libro de los Elementos de Euclides.
Una recta es el conjunto de todos los puntos del plano, donde las coordenadas de cada punto obedecen una relación de primer grado.
SEMIRECTA.
Una semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta. Una semirrecta tiene un primer punto, denominado origen y, por otra parte, se extiende hacia el infinito, como las rectas.
Una Semirrecta es una línea recta que se extiende desde un punto.
Semirrecta es la parte de una recta formada por un punto llamado origen, y todos los que le siguen en uno de los ordenamientos naturales.
SEGMENTO.
Se llama segmento AB a la intersección del conjunto de puntos de la semirrecta AB y de la semirrecta BA.
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.
Igualdad de segmentos
Dos segmentos son iguales cuando superpuestos coinciden
Segmento nulo
Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.
Segmentos consecutivos
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en común.
Segmentos alineados
Dos segmentos consecutivos están alineados cuando pertenecen a la misma recta.
ANGULO.
Unión de dos rayos.
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
Ángulos:
Agudo: menor de 90°
Recto: 90°
Obtuso: entre 90 y 180°
Llano:180°
Adyacentes: si tienen un lado en común
Complementarios: su suma es 90°
Suplementarios: su suma es 180°
Los ángulos se miden en grados o radianes.
TRIANGULO.
Dados en un plano tres puntos A, B y C no alineados, se llama triángulo a la intersección de los ángulos convexos.
ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA
Las Rectas
Las rectas se forman por la unión de puntos que van en la misma dirección.
Como puedes ver en el dibujo, las rectas pueden tener dirección horizontal, vertical u oblicua. Decimos que es oblicua, cuando tiene cualquier otra forma que no es ni horizontal ni vertical.
Recta Horizontal Recta Vertical Recta Oblicua
El plano
El plano es una superficie infinita que está formada por puntos y rectas, y donde podemos encontrar figuras geométricas como: triángulos, rombos, cuadrados, entre muchas otras.
Imagina por un momento, que una parte de ese plano es tu hoja de cuaderno. No olvides que el plano no tiene grosor y es ilimitado, por lo tanto, imagínalo extendiéndose en todas sus direcciones.
Un plano está compuesto por infinitos puntos. Utilizamos el símbolo Ppara referirnos a un plano y debemos dibujar, a lo menos, tres puntos no alineados. El dibujo que ves, es una presentación del plano: P CBD.
Semiplano
Llamamos semiplano, a cada una de las partes en que un plano queda dividido por cualquiera de sus rectas.
A la recta que da lugar a que se formen los dos semiplanos, la llamamos frontera y no es parte de ninguno de los dos semiplanos.
Los puntos
Los puntos nos sirven para definir una posición en el plano. Formamos una línea cuando unimos diferentes puntos. Sin embargo, para distinguir una recta de otra, debemos nombrar dos de sus puntos.
Decimos que una recta pertenece a un plano, cuando todos sus puntos, son también puntos que pertenecen al plano.
Semirrectas
Si marcamos nuestra recta definiendo sólo un punto inicial, entonces tenemos una semirrecta. El punto O, divide nuestra recta en dos partes, formando dos semirrectas.
Es importante saber que el punto O, no pertenece a las semirrectas, sino es sólo la frontera entre las dos semirrectas.
Segmentos
Si dibujamos dos puntos en la recta, marcando con esto dos extremos, tendremos un segmento. En nuestro ejemplo, ; es el segmento .
ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA
Punto (geometría)
La intersección de los ejes de coordenadas cartesianas es un punto llamado origen.
En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
Historia
El concepto de punto, como ente geométrico, surge en la antigua concepción griega de la geometría, compilada en Alejandría por Euclides en su tratado Los Elementos, dando una definición de punto excluyente: «lo que no tiene ninguna parte». El punto, en la geometría clásica se basa en la idea de que era un concepto intuitivo, el ente geométrico «sin dimensiones», y sólo era necesario asumir la noción de punto.
Esa cuestión fue analizada por A. N. Whitehead en: Una investigación sobre los principios naturales de conocimiento (An Inquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge), y El concepto de la Naturaleza (The concept of Nature). En estos libros se expone la «relación de inclusión». En Proceso y Realidad (Process and Reality) Whitehead propone un nuevo enfoque basado en la «relación de conexión» topológica. También H. J. Schmidt plantea una visión totalmente distinta del punto geométrico
Representación gráfica
En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+), círculo (o), cuadrado o triángulo. En relación a otras figuras, suelen representarse con un pequeño segmento perpendicular cuando pertenece a una recta, semirrecta o segmento.
A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc. (a las rectas con letras minúsculas, y a los ángulos con letras griegas).
La forma de representar un punto mediante dos segmentos que se cortan (una pequeña “cruz” +) presupone que el punto es la intersección. Cuando se representa con un pequeño círculo, circunferencia, u otra figura geométrica, presupone que el punto es su centro.
Ángulo
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.
Definiciones
Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano
1. Forma geométrica: Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
2. Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.
Definiciones clásicas
Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclus un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemus, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpus de Antioch, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.
Las unidades de medida de ángulos
Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:
• Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)
• Grado centesimal
• Grado sexagesimal
Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.
Recta
En geometría euclidiana, la recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.
Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la «pendiente de la recta» y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado «término independiente» u «ordenada al origen» y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.
Definiciones y postulados de Euclides relacionados con la recta
Euclides, en su tratado denominado Los Elementos,[1] establece varias definiciones relacionadas con la línea y la línea recta:
• Una línea es una longitud sin anchura (Libro I, definición 2).
• Los extremos de una línea son puntos (Libro I, definición 3).
• Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella (Libro I, definición 4).
También estableció dos postulados relacionados con la línea recta:
• Por dos puntos diferentes sólo pasa una línea recta (Libro I, postulado 1).
• Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales es menor que dos ángulos rectos: las dos rectas, suficientemente alargadas, se cortarán en el mismo lado (Libro I, quinto postulado).
Características de la recta
Algunas de las características de la recta son las siguientes:
• La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos.
• La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la geometría euclidiana.
• La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.
Línea
En geometría, una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección.
Tipos
pueden ser 5 tipo lineales tipos:
Planas (dos dimensiones)
• Línea recta, la sucesión continua de puntos en una misma dirección.
• Línea curva, de formas redondeadas, con uno o varios centros de curvatura.
• Línea quebrada o poligonal, formada por segmentos rectos consecutivos no alineados, presentando puntos angulosos.
o poligonal abierta, si no están unidos el primero y último segmentos.
o poligonal cerrada, si cada segmento está unido a otros dos.
• Línea mixta, una combinación de una línea recta y una curva.
• Toda línea es un trazo a través del punto
Segmento
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
Así, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.
Segmentos consecutivos
Segmentos consecutivos.
Dos segmento son consecutivos cuando tienen en común únicamente un extremo. Según pertenezcan o no a la misma recta, se clasifican en:
• Colineales
• No colineales
Los segmentos consecutivos no colineales, llamados poligonal o quebrada, pueden ser abiertos o cerrados según tengan o no extremos comunes el primer y el último segmento que lo forman. Las poligonales cerradas forman polígonos.
Los segmentos como cantidades
El conjunto de los segmentos métricos, constituye una magnitud, de la que los segmentos son cantidades. Es posible determinar entre ellos relaciones y efectuar las operaciones definidas para los elementos de una magnitud:
Comparación de segmentos
Postulado de las tres posibilidades (Ley de Tricotomía): Dados dos segmentos, debe verificarse una y solo una de las tres posibilidades siguientes:
• Los segmentos son iguales
• El primero es mayor que el segundo
• El primero es menor que el segundo
Posibilidades que se excluyen y se completan, es decir que al cumplirse una dejan de cumplirse las restantes, y fuera de ellas no existe posibilidad alguna. http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:ACP_3.svg http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Angulo_positivo.svg http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Lineline.jpg http://www.youtube.com/watch?v=OvCxN771T6M&feature=player_detailpage
Geometría: es la rama de las matemáticas, que sirve para medir todo lo que hay en la Tierra.
Axioma: Afirmaciones o proporciones que relacionan conceptos. Estos axiomas dan lugar a teorias que pueden ser comprobados gracias a instrumentos como el compás y el teodolito.
Postulado: Son verdades que no necesariamente necesitan ser demostradas.
Linea: ES una suceción indefinida de puntos.
Linea quebrada: Es la linea que esta formada por grupos de lineas formados por puntos que mantienen la misma direccion entre si pero diferente direccion entre las lineas.
Curvilinea: Es la linea que esta formada por una sucesion de puntos con distintas direcciones entre si.
Rectilinea: Es la sucesion continua, uniforme de puntos en la misma dirección.
Recta: se extiende en 2 sentidos ilimitadamente. dos rectas no pueden tener mas que un solo punto en comun. Por dos puntos pasa una y solo una linea recta.Semirecta: Es el conjunto de puntos continuos desde un punto que se extiende hacia otro.
Segmento: Es una porcion de recta que esta limitada por un par de puntos.
Medida de un segmento: Medir un segmento es compararlo con otro elegido como unidad o parametro.
Adicion de segmentos: Es colocar segmentos de medidas diferentes (o iguales según sea el caso) en una recta cualquiera, dispuestos uno seguido del otro.
Sustracción de segmentos: Es colocarlos aquellos de medidas diferentes tomando en cuenta que el menor de ellos sera el segmento sustraendo y estara situado sobre el segmento sustraendo y estara situado sobre el segmento mayor llamado segmento minuendo, de manera que el segmento resultante de la diferencia sera el que quede comprendido como complemento del segmento mayor (segmento minuendo).
Perpendicularidad: La perpendicularidad de una linea o plano es la que forma angulo recto con la dada.
Paralelismo: Una propiedad de la geometria representada por rectas que no se cortan.
Oblicuidad: Dirección inclinada.||Inclinacion que aporta del angulo recto la linea o el plano que se considera respecto de otra u otro.
Sistema sexagesimal: Es un sistema de numeracion posicional que emplea la base sesenta.
Sistema centecimal: Es la circunferencia dividida en 400 partes iguales, llamadas » grados centesimales», cada grado tiene 100 » minutos centesimales» y cada minuto tiene 100 » segundos centesimales» .
Ángulo: Figura geometrica formada por la union de dos semirectas de origen común.
Vertice: Punto de origen común.
Ángulo agudo: Es un ángulo que mide menos de 90°.
Ángulo recto: Es un ángulo que mide 90°.
Ángulo obtuso: Es el ángulo que mide mas de 90° pero menos de 180.°
Ángulo llano: O de lados colineales, es aquel que mide 180° .
Ángulo cóncavo o entrante: Es el ángulo que mayor que 180° pero menor que 360°.
Ángulo perígonal o perígono: Ángulo que se origina cuando un rayo gira y regresa a su posicion original, aquel que mide 360°.
Ángulos complementarios: Son 2 ángulos cuya suma dan como resultado 90°
Ángulos suplementarios: Son 2 angulos cuya suma dan como resultado 180°.
Ángulos conjugados: Son 2 angulos cuya suma dan como resultado 360°.
Ángulos consecutivos o contibuos: Cuando varias rectas tienen en comun un vertice.
Ángulos adyacentes: Que tiene el vértice y un lado común y los otros lados situados uno en prolongación del otro. Forman un angulo llano.
Ángulos opuestos por el vértice: Son los ángulos opuestos cuando se cruzan dos líneas.
Triángulos: Son las figuras con la miníma cantidad de lados posibles. Es el espacio comprendido entre 3 rectas que se intersectan entre sí.
Triángulo equilátero: Todos sus lados son iguales y sus angulos tambien.
Triángulo Isósceles: Solo de sus 2 lados son iguales.
Triángulo Escaleno: Sus 3 lados son desiguales al igual que sus angulos.
Triángulo Rectángulo: Un ángulo recto de 90°.
Triangulo acutángulo: Sus 3 ángulos menores de 90° .
Triángulo Obtusángulo: 1 Angulo obtuso (mayor de 90°).
Mediatriz: ES cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio. Cada triangulo tiene 3 mediatrices.
Circucentro: El cruce de las 3 mediatrices .
Mediana: Es la linea que une al vertice de un triangulo con el punto medio del lado puesto.
Baricentro: Es el cruce de las 3 medianas.
Altura: Es la linea perpendicular a un lado que se extiende asta el vertice opuesto. Cada triangulo tiene 3 alturas.
Ortocentro: Es el cruce de las 3 alturas.
Bisectriz: Es la recta que divide en 2 partes iguales o en un angulo. Existen 3 bisectricez en un triangulo po cada angulo.
Incentro: Es el punto que surge del cruce de las 3 bisectricez.
Circunferencua: Es una linea curva cerrada y plana cuyos puntos equidistan de otro punto interior llamado centro.
Circulo: Es una superficie plana limitasa po una circunferencia.
Centro: Punto central de quien equilista todos los puntos que integran una circunferencia.
Diametro: Es la linea que va de lado a lado de la circunferencia y que pasa por el centro.
Radio: Es la recta que va desde el diametro hasta la circunferencia.
Tangente: Es la recta que pasa por la circunferencia tocando solo un punto de ella.
Punto de tangencia: Es el punto de la circunferencia que toca una tangente.
Secante: Es la recta que corta una circunferencia de lado a lado sin pasar por su centro.
Cuerda: Es la recta que toca 2 puntos de la circunferencia sin tocar el centro y sin salirse de ella.
Arco: Es la porcion de circunferencia delimitada por una cuerda.
Flecha: Es la linea perpendicular a una cuerda que pasa por su punto medio y que sale de la circunferencia.
Cuadrilátero: Es un plano formado por 4 lados donde dos pares de ellos son opuestos entre sí. Todos los cuadriláteros tiene 2 diagonales.
Paralelogramos: Son aquellos con los lados opuestos son paralelos.
Trapecios: Son aquellos donde dos de sus lados opuestos son paralelos.
Trapezoides: Se tienen 2 casos de trapezoides: 1.- Cuando dos de sus lados consecutivos son de la misma magnitud. 2.- Cuando ninguno de sus lados consecutivos son de la misma magnitud.
Polígono: Es una porción cerrada del plano comprendida entre segmentos de recta que se unen por sus extremos.
Polígonos regulares: aquel que tiene todos sus lados iguales, es decir, es un polígono equiángulo.
Polígono irregular cóncavos: Los polígonos cóncavas hay al menos un ángulo que apunta hacia adentro, es decir, un ángulo interior es mayor que 180°.
Polígono irregular convexo: El polígono convexo tiene todos los ángulos interiores apuntando hacia afuera, es decir, todos los ángulos interiores son menores que 180°.
Trigonometría: Rama de las matemáticas, se ocupa exclusivamente de estudiar las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos.
Teorema de Pitágoras: » El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos ».
El plano: Es una superficie infinita que esta formada por puntos y rectas, y donde podemos encontrar figuras geométricas.
Semiplano: A cada una de las partes en que un plano que divido por cualquiera de sus rectas.
Apotema: Es la perpendicular que une el centro del polígono con cualquiera de sus lados.
Perímetro de una figura plana: Es la medida de su superficie.
Números primos: Es un número natural que tiene exactamente dos divisores distintos: él mismo y el 1.
Área: Es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales.
Secantes: Rectas secantes son las que se cortan.
Simetría axial: Es un desplazamiento que intercambia los puntos de los 2 lados de una determinada recta.
El Punto: es una » figura geométrica » dimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional.
Superficie: Es de hecho un conjunto de puntos de un espacio euclídeo que forma un espacio topológico bidimensional que localmente, es decir, visto de cerca se parece al espacio euclídeo bidimensional.
Espacio tangente: El conjunto de todos los espacios tangentes, debidamente teologizada.
Bibliografía:
Mi cuaderno de geometría y trigonometría de II semestre.
Elementos de la Geometria:
*Punto:
En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
Historia
El concepto de punto, como ente geométrico, surge en la antigua concepción griega de la geometría, compilada en Alejandría por Euclides en su tratado Los Elementos, dando una definición de punto excluyente: «lo que no tiene ninguna parte». El punto, en la geometría clásica se basa en la idea de que era un concepto intuitivo, el ente geométrico «sin dimensiones», y sólo era necesario asumir la noción de punto.
Esa cuestión fue analizada por A. N. Whitehead en: Una investigación sobre los principios naturales de conocimiento (An Inquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge), y El concepto de la Naturaleza (The concept of Nature). En estos libros se expone la «relación de inclusión». En Proceso y Realidad (Process and Reality) Whitehead propone un nuevo enfoque basado en la «relación de conexión» topológica. También H. J. Schmidt plantea una visión totalmente distinta del punto geométrico.
Representación gráfica
En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+), círculo (o), cuadrado o triángulo. En relación a otras figuras, suelen representarse con un pequeño segmentoperpendicular cuando pertenece a una recta, semirrecta o segmento.
A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc. (a las rectas con letras minúsculas, y a los ángulos con letras griegas).
La forma de representar un punto mediante dos segmentos que se cortan (una pequeña “cruz” +) presupone que el punto es la intersección. Cuando se representa con un pequeño círculo, circunferencia, u otra figura geométrica, presupone que el punto es su centro.
bibliografía: http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)
imagen: http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:ACP_3.svg
*Linea:
En geometría, una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección.
Tipos
pueden ser 5 tipo lineales tipos:
Planas (dos dimensiones)
Línea recta, la sucesión continua de puntos en una misma dirección.
Línea curva, de formas redondeadas, con uno o varios centros de curvatura.
Línea quebrada o poligonal, formada por segmentos rectos consecutivos no alineados, presentando puntos angulosos.
poligonal abierta, si no están unidos el primero y último segmentos.
poligonal cerrada, si cada segmento está unido a otros dos.
Línea mixta, una combinación de una línea recta y una curva.
Toda línea es un trazo a través del punto.
bibliografia: http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADne
imagen:
*Angulo:
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.
Definiciones
Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano
Forma geométrica: Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.
Definiciones clásicas
Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclus un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemus, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpus de Antioch, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.
bibliografia: http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo
imagen: http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Angulo_positivo.svg
*Recta:
En geometría euclidiana, la recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.
Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la «pendiente de la recta» y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado «término independiente» u «ordenada al origen» y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.
bibliografia: http://es.wikipedia.org/wiki/Recta
imagen:
*Segmento:
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
Así, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.
Operaciones
Se distinguen las siguientes operaciones:
Suma
La suma de varios segmentos consecutivos colineales, da por resultado el segmento determinado por los extremos no comunes de los segmentos considerados. Geométricamente, la suma de segmentos es otro segmento que se obtiene construyendo colinealmente segmentos ordenadamente congruentes con los dados, y procediendo como se indica al principio.
imagen:
bibliografia: http://es.wikipedia.org/wiki/Segmento
video:
Punto
En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
Representacion Grafica
En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+), círculo (o), cuadrado o triángulo. En relación a otras figuras, suelen representarse con un pequeño segmento perpendicular cuando pertenece a una recta, semirrecta o segmento.
A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc. (a las rectas con letras minúsculas, y a los ángulos con letras griegas).
La forma de representar un punto mediante dos segmentos que se cortan (una pequeña “cruz” +) presupone que el punto es la intersección. Cuando se representa con un pequeño círculo, circunferencia, u otra figura geométrica, presupone que el punto es su centro.
Determinacion Geometrica
Un punto puede determinarse con diversos sistemas de referencia:
En el sistema de coordenadas cartesianas, se determina mediante las distancias ortogonales a los ejes principales, que se indican con dos letras o números: (x, y) en el plano; y con tres en el espacio (x, y, z).
En coordenadas polares, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto del eje de referencia: (r, θ).
En coordenadas esféricas, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto de los ejes de referencia: (r, θ, φ)
En coordenadas cilíndricas, mediante coordenadas radial, acimutal y altura: (ρ, φ, z).
También se pueden emplear sistemas de coordenadas elípticas, parabólicas, esferoidales, toridales, etc.
Línea
En geometría, una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección.
pueden ser 5 tipo lineales tipos:
Planas (dos dimensiones)
• Línea recta, la sucesión continua de puntos en una misma dirección.
• Línea curva, de formas redondeadas, con uno o varios centros de curvatura.
• Línea quebrada o poligonal, formada por segmentos rectos consecutivos no alineados, presentando puntos angulosos.
o poligonal abierta, si no están unidos el primero y último segmentos.
o poligonal cerrada, si cada segmento está unido a otros dos.
• Línea mixta, una combinación de una línea recta y una curva.
• Toda línea es un trazo a través del punto
Angulos
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.[1] Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.
Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano
1. Forma geométrica: Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
2. Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.
Definiciones clásicas
Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclus un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemus, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpus de Antioch, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.
Las unidades de medida de ángulos
Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:
• Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)
• Grado centesimal
• Grado sexagesimal
Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.
Clasificación de ángulos
.
Tipo Descripción
Ángulo nulo
Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.
Ángulo agudo
Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de rad.
Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados centesimales).
Ángulo recto
Un ángulo recto es de amplitud igual a rad
Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales).
Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.
La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
Ángulo obtuso
Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a Rad. y menor a Rad.
Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y menos de 200g centesimales).
Ángulo llano, extendido o colineal
El ángulo llano tiene una amplitud de Rad.
Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).
Ángulo completo
o perigonal
Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de Rad.
Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).
Ángulos convexo y cóncavo
En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):[1]
Tipo Descripción
Ángulo convexo
o saliente
Es el que mide menos de Rad.
Equivale a más de 0° y menos de 180° sexagesimales (o más de 0g y menos de 200g centesimales).
Ángulo cóncavo,
reflejo o entrante
Es el que mide más de rad y menos de rad.
Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200g y menos de 400g centesimales).
Ángulos respecto de una circunferencia
Un ángulo, respecto de una circunferencia, puede ser:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos.
La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Véase: arco capaz.)
Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre ésta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones;
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de ésta.
La amplitud de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.
En función de su posición, se denominan:
• ángulo interior o interno de un polígono, es el formado por lados adyacentes, interiormente,
• ángulo exterior o externo de un polígono, es el conformado por un lado y la prolongación del adyacente.
PUNTO
En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
LINEA
En geometría, una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección. Las líneas según la continuidad es su dirección y su distancia que la separa puede ser línea quebrada, curvilínea y rectilínea.
LINEA QUEBRADA
Línea quebrada o poligonal, formada por segmentos rectos consecutivos no alineados, presentando untos angulosos.
poligonal abierta, si no están unidos el primero y último segmentos.
poligonal cerrada, si cada segmento está unido a otros dos.
Curvilínea
Es la línea que esta formada por una sucesión de puntos con distintas direcciones entre si
es una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia, y de curvas abiertas la parábola, la hipérbola o la catenaria. La recta sería el caso límite de una curva de radio infinito.
Rectilínea
la recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.
~~~~~~LOS ELEMENTOS PRINCIPALES DE LA GEOMETRIA~~~~~~
El punto
En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
•El Punto
Es el elemento más pequeño de la geometría. No tiene dimensión. Sólo designa un lugar en el espacio.
Se representan por medio de estos signos: +,x, y se nombran con letras mayúsculas o números
Línea
En geometría, una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección.
•La línea:
Es una sucesión de puntos. Se nombra con letras minúsculas.
Paralelas:
Dos rectas son paralelas cuando equidistan en toda su longitud
Perpendiculares:
Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando un ángulo de 90 grados.
Semirrecta:
Una semirrecta es una porción de recta, que tiene principio pero no final
Segmento:
Un segmento es una porción de recta con principio y final. Se nombra con una letra minúscula o con las letras mayúsculas de los puntos extremos.
ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.
-_-_-_ENLACES EXTERNOS_-_-_- http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa) http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo
los principales elementos de la geometría son:
• El Punto
Es el elemento más pequeño de la geometría. No tiene dimensión. Sólo designa un lugar en el espacio.
Se representan por medio de estos signos: +,x, y se nombran con letras mayúsculas o números.
• La línea
Es una sucesión de puntos. Se nombra con letras minúsculas.
o Recta:
La línea recta es una sucesión ilimitada de puntos en una misma dirección.
Paralelas
Dos rectas son paralelas cuando equidistan en toda su longitud.
Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando un ángulo de 90 grados.
o Semirrecta
Una semirrecta es una porción de recta, que tiene principio pero no final. o Segmento
Un segmento es una porción de recta con principio y final. Se nombra con una letra minúscula o con las letras mayúsculas de los puntos extremos.
1.
¿Qué es un punto?
El punto es el elemento base de la geometría, porque con él determinamos las rectas y los planos. Podemos definirlo también como la intercesión de dos lineas, sirve para indicar una posición y no tiene dimensión.
2.
¿Qué es una recta?
Una recta es una sucesión ininterrumpida de puntos, dos puntos determinan una recta, tienen una dimensión, la longitud.
Tipos de rectas:
• Recta:
La recta propiamente dicha se caracteriza por que los puntos que la forman están en la misma dirección. Tiene una sola dirección y dos sentidos. No se puede medir.
• Semirrecta:
Es linea recta que tiene origen pero no tiene fin, tiene sólo un sentido,y no se puede medir.
• Segmento:
Un segmento es una linea recta que tiene principio y fin, un segmento se puede medir.
• Poligonal:
Se llama recta poligonal aquella que está formada por varias porciones de rectas que están unas a continuación de otras, pero no están alineadas, la linea poligonal puede ser abierta (cuando ningún extremo se une) o cerrada (cuando el primer extremo se une con el ultimo). La linea poligonal cerrada forma una figura plana que se llama polígono.
• Curva:
Una curva está formada por puntos que están en distinta dirección. Puede ser curva abierta (los externos no se unen) curva cerrada (cuyos extremos se unen) y curva mixta (formada por lineas rectas y curvas unidas)
Posiciones de las rectas:
• Dos rectas son paralelas: si no tienen ningún punto en común.
• Dos rectas son secantes: cuando tienen un punto en común
• Dos rectas son perpendiculares: cuando al cortarse forman cuatro ángulos rectos
Posición de las rectas en el espacio: pueden ser
• Horizontal
• Vertical
• Inclinada
La linea curva puede ser:
• Circunferencia, es una curva regular cerrada, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro llamado centro.
• Elipse, es una curva regular cerrada que se diferencia de la anterior porque la suma de la distancia de cada uno de sus puntos respecto a otros dos que están en su interior es siempre igual.
• Espiral es una curva regular abierta que gira sobre si misma.
• Parábola es una curva regular abierta, cada uno de sus puntos está a una distancia siempre igual de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.
3.
¿Qué es un Ángulo?:
Concepto: Un ángulo es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el origen común.
Un ángulo está formado por:
– Lado de un ángulo: cada una de las dos semirrectas.
– Vértice de un ángulo: punto en el que coinciden las dos semirrectas.
– Amplitud: lo más importante del ángulo, es la abertura que hay entre los lados.
¿Cómo se miden los ángulos?
• Los ángulos se miden en grados sexagesimales
o 1º = 60´; 1´= 60´´ ; 1º = 3.600´´
• para medirlos se utiliza el transportador de ángulos
¿Qué es una Bisectriz de un Ángulo?
La Bisectriz de un Ángulo es la semirrecta, que pasando por el vértice, divide el ángulo en otros dos ángulos iguales.
Clasificación de los Ángulos:
1. Ángulo recto: su amplitud es de 90º
2. Ángulo llano: su amplitud es de 180º
3. Ángulo agudo: su amplitud es mayor que 0º y menor que 90º
4. Ángulo obtuso: su amplitud es mayor que 90º y menor que 180º
5. Ángulo completo: su amplitud es de 360º
6. Ángulo nulo: su amplitud es 0º
7. Ángulo convexo: su amplitud es mayor que 0º y menor que 180º
8. Ángulo cóncavo: su amplitud es mayor que 180º
9. Ángulos complementarios: dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus amplitudes es de 90º
10. Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes es de 180º
11. Ángulos adyacentes: dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y suplementarios a la vez.
12. Ángulos consecutivos: dos ángulos son consecutivos cuando tienen el vértice y un lado común
bibliografia http://www.proyectosalonhogar.com/Diversos_Temas/Geometria/Indice.htm
videografía
Elementos de la geometria
Punto
En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
El punto es una “figura geométrica” adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
Recta
La recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano.
Semirrecta
Una semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta. Una semirrecta tiene un primer punto, denominado origen y, por otra parte, se extiende hacia el infinito, como las rectas.
Segmento
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos. Así, dados dos puntos B y C, se le llama segmento BC a la intersección de la semirrecta de origen B que contiene al punto C, y la semirrecta de origen C que contiene al punto AB. Luego, los puntos B y C se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.
Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales. Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una perpendicular a dicha recta. Simplemente significa en ángulos rectos de 90° .
Paralelas
Dos líneas son paralelas si siempre están a la misma distancia se llaman «equidistantes», y no se van a encontrar nunca. También apuntan en la misma dirección. Sólo recuerda: Siempre la misma distancia y no se encuentran nunca.
Angulo
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal. Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.
Los principales elementos de la geometría son:
• El Punto
Es el elemento más pequeño de la geometría. No tiene dimensión. Sólo designa un lugar en el espacio.
Se representan por medio de estos signos: +,x, y se nombran con letras mayúsculas o números.
La línea
Es una sucesión de puntos. Se nombra con letras minúsculas.
• Recta:
La línea recta es una sucesión ilimitada de puntos en una misma dirección.
Paralelas
Dos rectas son paralelas cuando equidistan en toda su longitud.
Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando un ángulo de 90 grados. Semirrecta
Una semirrecta es una porción de recta, que tiene principio pero no final.
Segmento
Un segmento es una porción de recta con principio y final. Se nombra con una letra minúscula o con las letras mayúsculas de los puntos extremos.
• El ángulo
• Los Polígonos
• La Circunferencia
Bibliografía https://dibtecnico.wikispaces.com/1.+ELEMENTOS+DE+LA+GEOMETRIA
Elementos de la geometria
Punto
En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
El punto es una “figura geométrica” adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido. Es el elemento más pequeño de la geometría. No tiene dimensión. Sólo designa un lugar en el espacio.
Recta
La recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano.
Semirrecta
Una semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta. Una semirrecta tiene un primer punto, denominado origen y, por otra parte, se extiende hacia el infinito, como las rectas.
Segmento
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos. Así, dados dos puntos B y C, se le llama segmento BC a la intersección de la semirrecta de origen B que contiene al punto C, y la semirrecta de origen C que contiene al punto AB. Luego, los puntos B y C se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.
Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales. Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una perpendicular a dicha recta. Simplemente significa en ángulos rectos de 90° . Paralelas
Dos líneas son paralelas si siempre están a la misma distancia se llaman «equidistantes», y no se van a encontrar nunca. También apuntan en la misma dirección. Sólo recuerda: Siempre la misma distancia y no se encuentran nunca.
Angulo
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal. Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.
El Punto
Es el elemento más pequeño de la geometría. No tiene dimensión. Sólo designa un lugar en el espacio.
Se representan por medio de estos signos: +,x, y se nombran con letras mayúsculas o números.
• La línea
Es una sucesión de puntos. Se nombra con letras minúsculas.
• Recta:
La línea recta es una sucesión ilimitada de puntos en una misma direcci
o Paralelas
Dos rectas son paralelas cuando equidistan en toda su longitud.
o Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando un ángulo de 90 grados.
o Semirrecta
Una semirrecta es una porción de recta, que tiene principio pero no final.
• Segmento
Un segmento es una porción de recta con principio y final. Se nombra con una letra minúscula o con las letras mayúsculas de los puntos extremos.
o Curva
• El ángulo
• Los Polígonos
• La Circunferencia
LOS ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA.
El Punto
Es el elemento más pequeño de la geometría. No tiene dimensión. Sólo designa un lugar en el espacio.
Se representan por medio de estos signos: +,x, y se nombran con letras mayúsculas o números.
En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
La línea
Es una sucesión de puntos. Se nombra con letras minúsculas.
En geometría, una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección
Recta:
La línea recta es una sucesión ilimitada de puntos en una misma dirección.
En geometría euclidiana, la recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.
Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la «pendiente de la recta» y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado «término independiente» u «ordenada al origen» y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.
Paralelas
Dos rectas son paralelas cuando equidistan en toda su longitud.
Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando un ángulo de 90 grados.
Semirrecta
Una semirrecta es una porción de recta, que tiene principio pero no final.
Segmento
Un segmento es una porción de recta con principio y final. Se nombra con una letra minúscula o con las letras mayúsculas de los puntos extremos.
ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE GEOMETRíA
Las Rectas
Las rectas se forman por la unión de puntos que van en la misma dirección.
Como puedes ver en el dibujo, las rectas pueden tener dirección horizontal, vertical u oblicua. Decimos que es oblicua, cuando tiene cualquier otra forma que no es ni horizontal ni vertical.
Recta Horizontal Recta Vertical Recta Oblicua
El plano
El plano es una superficie infinita que está formada por puntos y rectas, y donde podemos encontrar figuras geométricas como: triángulos, rombos, cuadrados, entre muchas otras.
Imagina por un momento, que una parte de ese plano es tu hoja de cuaderno. No olvides que el plano no tiene grosor y es ilimitado, por lo tanto, imagínalo extendiéndose en todas sus direcciones.
Un plano está compuesto por infinitos puntos. Utilizamos el símbolo Ppara referirnos a un plano y debemos dibujar, a lo menos, tres puntos no alineados. El dibujo que ves, es una presentación del plano: P CBD.
Semiplano
Llamamos semiplano, a cada una de las partes en que un plano queda dividido por cualquiera de sus rectas.
A la recta que da lugar a que se formen los dos semiplanos, la llamamos frontera y no es parte de ninguno de los dos semiplanos.
Los puntos
Los puntos nos sirven para definir una posición en el plano. Formamos una línea cuando unimos diferentes puntos. Sin embargo, para distinguir una recta de otra, debemos nombrar dos de sus puntos.
Decimos que una recta pertenece a un plano, cuando todos sus puntos, son también puntos que pertenecen al plano.
Semirrectas
Si marcamos nuestra recta definiendo sólo un punto inicial, entonces tenemos una semirrecta. El punto O, divide nuestra recta en dos partes, formando dos semirrectas.
Es importante saber que el punto O, no pertenece a las semirrectas, sino es sólo la frontera entre las dos semirrectas.
Segmentos
Si dibujamos dos puntos en la recta, marcando con esto dos extremos, tendremos un segmento. En nuestro ejemplo, ; es el segmento ..
ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA.
EL PUNTO.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
Un punto se representa con una pequeña cruz y se lo designa con una letra de imprenta mayúscula.
Todo punto pertenece a infinitas rectas, ya que por un punto pasan infinitas rectas.
Línea.
Una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección.
Línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento.
La línea geométrica por definición es un arte invisible. Es la traza que el punto deja al moverse y por lo tanto es un producto suyo. Surge de la alteración del reposo total del punto. Con ella se salta de una situación estática a una dinámica. La línea se halla en el extremo opuesto al elemento primario, es decir al punto, y constituye un elemento derivado o secundario.
En geometría, una línea:
•es recta (sin curvas),
•no tiene grosor,
•y se extiende sin fin en las dos direcciones
No tiene extremos.
Si tiene extremos entonces se llama “segmento de línea”.
Puede ser recta, curva o quebrada.
Línea recta
Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta.
Notación: ó
Línea curva
Si el punto cambia continuamente de dirección entonces es una línea curva.
Notación:
Línea quebrada.
Serie de dos o más segmentos rectos conectados extremo a extremo poer que no están en la misma dirección.
LA RECTA.
Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección.
Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.
Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula.
Dos puntos determinan una recta.
Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios
Pueden ser secantes, paralelas y perpendiculares.
“Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella”. Tomada del libro de los Elementos de Euclides.
Una recta es el conjunto de todos los puntos del plano, donde las coordenadas de cada punto obedecen una relación de primer grado.
SEMIRECTA.
Una semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta. Una semirrecta tiene un primer punto, denominado origen y, por otra parte, se extiende hacia el infinito, como las rectas.
Una Semirrecta es una línea recta que se extiende desde un punto.
Semirrecta es la parte de una recta formada por un punto llamado origen, y todos los que le siguen en uno de los ordenamientos naturales.
SEGMENTO.
Se llama segmento AB a la intersección del conjunto de puntos de la semirrecta AB y de la semirrecta BA.
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.
Igualdad de segmentos
Dos segmentos son iguales cuando superpuestos coinciden
Segmento nulo
Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.
Segmentos consecutivos
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en común.
Segmentos alineados
Dos segmentos consecutivos están alineados cuando pertenecen a la misma recta.
ANGULO.
Unión de dos rayos.
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
Ángulos:
Agudo: menor de 90°
Recto: 90°
Obtuso: entre 90 y 180°
Llano:180°
Adyacentes: si tienen un lado en común
Complementarios: su suma es 90°
Suplementarios: su suma es 180°
Los ángulos se miden en grados o radianes.
TRIANGULO.
Dados en un plano tres puntos A, B y C no alineados, se llama triángulo a la intersección de los ángulos convexos.
Triángulo equilátero: Sus tres lados tienen la misma longitud y los miden lo mismo
Triángulo isósceles: Tiene dos lados y dos ángulos iguales Triángulo escaleno: Todos sus lados y todos sus ángulos.
Equilátero Isósceles Escaleno
Por la medida de sus ángulos:
Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto (90º). A los dos lados que forman un ángulo recto se les denomina catetos y al lado restante hipotenusa.
Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90º) y los otros dos son agudos (menor de 90º)
Triángulo acutángulo: Es aquel cuyos tres ángulos son agudos. En particular, el triángulo equilátero es un ejemplo de triángulo acutángulo.
Triángulo oblicuángulo: Cuando no tiene un ángulo interior recto (90º), es decir que sea obtusángulo o acutángulo.
AXIOMA.
Un “axioma” es una proposición evidente por sí misma y por lo tanto no necesita demostración.
Un axioma es una proposición que no tiene que demostrarse.
POSTULADO.
Es una afirmación con pretensión de ser tenida como verdadera, aunque se halla sujeta a verificación.
Proposición que se toma como base para un razonamiento o demostración, cuya verdad se admite sin pruebas.
ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE GEOMETRíA
Las Rectas
Las rectas se forman por la unión de puntos que van en la misma dirección.
Como puedes ver en el dibujo, las rectas pueden tener dirección horizontal, vertical u oblicua. Decimos que es oblicua, cuando tiene cualquier otra forma que no es ni horizontal ni vertical.
Recta Horizontal Recta Vertical Recta Oblicua
El plano
El plano es una superficie infinita que está formada por puntos y rectas, y donde podemos encontrar figuras geométricas como: triángulos, rombos, cuadrados, entre muchas otras.
Imagina por un momento, que una parte de ese plano es tu hoja de cuaderno. No olvides que el plano no tiene grosor y es ilimitado, por lo tanto, imagínalo extendiéndose en todas sus direcciones.
Un plano está compuesto por infinitos puntos. Utilizamos el símbolo Ppara referirnos a un plano y debemos dibujar, a lo menos, tres puntos no alineados. El dibujo que ves, es una presentación del plano: P CBD.
Semiplano
Llamamos semiplano, a cada una de las partes en que un plano queda dividido por cualquiera de sus rectas.
A la recta que da lugar a que se formen los dos semiplanos, la llamamos frontera y no es parte de ninguno de los dos semiplanos.
Los puntos
Los puntos nos sirven para definir una posición en el plano. Formamos una línea cuando unimos diferentes puntos. Sin embargo, para distinguir una recta de otra, debemos nombrar dos de sus puntos.
Decimos que una recta pertenece a un plano, cuando todos sus puntos, son también puntos que pertenecen al plano.
Semirrectas
Si marcamos nuestra recta definiendo sólo un punto inicial, entonces tenemos una semirrecta. El punto O, divide nuestra recta en dos partes, formando dos semirrectas.
Es importante saber que el punto O, no pertenece a las semirrectas, sino es sólo la frontera entre las dos semirrectas.
Segmentos
Si dibujamos dos puntos en la recta, marcando con esto dos extremos, tendremos un segmento. En nuestro ejemplo, ; es el segmento .
BIBLIOGRAFIA http://yachay.stormpages.com/10geo/g0_fund.htm
videos:
Los antiguos Egipcios dependían exclusivamente de las aguas del río Nilo para efectuar sus trabajos agrícolas. El Nilo se desbordaba año con año, inundando grandes extensiones de tierra, la cual quedaba así apta para los cultivos. En las riveras del río se median y se distribuían las distintas parcelas para ser asignadas a los agricultores.
Este proceso debía repetirse año con año, pues cada inundación borraba las medidas del año anterior.
Así poco a poco, se fue perfeccionando la técnica de parcelas y nació la Geometría, que etimológicamente significa medición de tierras. Los Egipcios pues crearon la Geometría y la desarrollaron a tal grado que aun hoy tenemos como mudos testigos de ese desarrollo a las grandiosas pirámides de Egipto, cuya antigüedad supera los 5,000 años.
Desarrollo de Contenido
ANGULOS
Cuando dos rectas se encuentran y forman cuatro religiones llamadas ángulos. Cada ángulo esta limitado por dos lados y un vértice.
Es la abertura entre dos lados, los cuales tienen un punto común llamado vértice.
El lado desde el cual se empieza a medir el ángulo se llama Codo Inicial, y aquel donde se termina se llama Lado Terminal.
Para ver el gráfico seleccione la opción «Descargar» del menú superior
Tipos de Ángulos
Angulo Convexo: Se llama ángulo convexo R N M a la intersección del semiplano de borde NM, que contiene el punto R, y el semiplano de borde NR, que contiene el punto N.
En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
La simetría es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones, y otros objetos materiales o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios.
En condiciones formales, decimos que un objeto es simétrico en lo que concierne a una operación matemática dada, si, cuando aplicado al objeto, esta operación no cambia el objeto o su aspecto. Dos objetos son simétricos uno al otro en lo que concierne a un grupo dado de operaciones si uno es obtenido de otro por algunas operaciones (y viceversa).
Simetría en geometría
Grupo de simetría de la esfera. Cuando hablamos de objetos físicos o elementos geométricos el concepto de simetría está asociado a transformaciones geométricas tales como las rotaciones, las reflexiones o las traslaciones. Así se dice que un objeto presenta:
Simetría esférica si existe simetría bajo cualquier rotación posible, matemáticamente equivale a que el grupo de simetría de un objeto físico o entidad matemática sea SO (3).
Simetría cilíndrica o axial, si existe un eje tal que los giros alrededor de él no conducen a cambios de posición en el espacio, matemáticamente está asociada a un grupo de isometría SO (2).
Simetría reflectiva, se define por la existencia de un único plano, matemáticamente está asociado al grupo SO (1) o su representación equivalente.
Si tratamos además de regiones geométricas infinitas, no acotadas, además puede existir simetría trasnacional.
Un eje de simetría es una línea imaginaria que al dividir una forma cualquiera, lo hace en dos partes, cuyos puntos opuestos son equidistantes entre sí, es decir, quedan simétricos.
Una traslación es un movimiento del plano en una dirección donde los segmentos AA’, BB’,… Tienen la misma longitud y son paralelos.
Propiedades de la traslación
a. La traslación conserva los ángulos, las longitudes, las áreas y la forma.
b. El sentido de los vértices de la figura original y su figura imagen es el mismo.
c. Un segmento, una semirrecta, una recta son paralelos a sus imágenes.
Simetría axial (reflexión)
La simetría axial es la simetría alrededor de un eje, de modo que un sistema tiene simetría axial o acidimetría cuando
al cortar dicho sistema por un semiplano que contiene al eje el resultado es siempre el mismo.
Una simetría axial de eje “e” es una transformación, por tanto a todo punto P del plano le corresponde otro punto P’ también del plano, de manera que el eje e sea la mediatriz del segmento AA’.
Las simetrías axiales son isometrías porque conservan las distancias entre los puntos y sus homólogos.
Propiedades de la simetría axial.
a. La simetría axial conserva longitudes, ángulos, áreas y forma.
b. Los vértices de una figura y de su figura imagen están en sentido contrario.
Actividad 7 correspondiente al lunes 9 de mayo.
En un archivo de Word, guardarán todo la información que encuentren sobre la congruencia, semejanza y homotecia, su definición, características, procedimientos, técnicas y aplicaciones. En un máximo de 5 cuartillas (o sea páginas). Pueden agregar imágenes (solo que no me interesan las imágenes en sí, si no la liga de las imágenes) y videos (pueden ser de Youtube, igual la pura liga basta). Este archivo igual que el anterior no me lo enviarán, si no que lo guardarán hasta que reciban instrucciones de qué hacer con él.
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño, es decir, cuando al poner una figura sobre la otra, ambas coinciden.
Caracteres de congruencia
• Todo segmento/ ángulo es igual a sí mismo (re flexibilidad)
• Si un segmento/ ángulo es igual a otro, entonces éste es igual al primero (simetría)
• Si un seg. / Áng. Es igual a otro, y éste a un tercero, entonces el primero es igual al tercero (transitividad)
La semejanza es la transformación del plano que resulta de componer un movimiento y una homotecia. Llamaremos razón de semejanza a la razón de la homotecia correspondiente.
Propiedad.
La semejanza de triángulos equivale a cualquiera de las siguientes propiedades:
a) Tienen sus ángulos iguales.
b) Tienen los lados correspondientes proporcionales.
c) Tienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman.
Se llama homotecia de centro O y razón k (distinto de cero) a la transformación que hace corresponder a un punto A otro A´, alineado con A y O, tal que: OA´=k•OA. Si k>0 se llama homotecia directa y si k<0 se llama homotecia inversa.
Homotecias de centro el origen de coordenadas
En una homotecia de origen el centro de coordenadas se puede ver con facilidad la relación que existe entre las coordenadas de puntos homotéticos. Si se considera A(x, y) y su homotético A´(x´,y´) la relación que hay entre ellos es la siguiente: x´=kx y´=ky
1) El centro de homotecia es el punto en el que concurren las rectas que determinan los puntos de una figura y sus correspondientes homólogos.
2) La razón de homotecia se calcula hallando el cociente entre OA y OA’ , siendo A un punto cualquiera. El signo de ésta dependerá de la posición de O respecto de A y A'.
3) Una homotecia transforma un segmento AB en otro paralelo A'B', k veces el primero. En consecuencia, la razón también se halla dividiendo la longitud de dos segmentos homólogos.
INDICE:
Elementos de la Geometría
1. el punto
2. línea
3. la recta
4. semirecta
5. segmento
6. angulo
7. triangulo
8. axioma
9. postulado
INTRODUCCION:
Este trabajo consiste en investigar y analizar los conceptos básicos de los elementos de la geometría plana y del espacio, como así también el planteo y soluciones de situaciones problemáticas que requieran el cálculo de perímetro y área de figuras geométricas planas.
La geometría plana trata de aquellos elementos que solo tienen dos dimensiones y, que por lo tanto, se encuentran y operan en un plano.Los elementos básicos con los que se suele trabajar en geometría plana son el punto, la recta, la circunferencia y otras curvas.
1.El punto:
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido. Un punto se representa con una pequeña cruz y se lo designa con una letra de imprenta mayúscula. Todo punto pertenece a infinitas rectas, ya que por un punto pasan infinitas rectas.
2.La línea:
Una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección.
En geometría, una línea:
•es recta (sin curvas),
•no tiene grosor,
•y se extiende sin fin en las dos direcciones
No tiene extremos.
Si tiene extremos entonces se llama “segmento de línea”.
Puede ser recta, curva o quebrada.
-Línea recta
Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta.
-Línea curva
Si el punto cambia continuamente de dirección entonces es una línea curva.
– Línea quebrada.
Serie de dos o más segmentos rectos conectados extremo a extremo poer que no están en la misma dirección.
3.La recta
Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección.
Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.
Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula.
Dos puntos determinan una recta.
Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios
Pueden ser secantes, paralelas y perpendiculares.
4.Semirecta
Una semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta. Una semirrecta tiene un primer punto, denominado origen y, por otra parte, se extiende hacia el infinito, como las rectas.
Una Semirrecta es una línea recta que se extiende desde un punto.
Semirrecta es la parte de una recta formada por un punto llamado origen, y todos los que le siguen en uno de los ordenamientos naturales.
5.Segmento
Se llama segmento AB a la intersección del conjunto de puntos de la semirrecta AB y de la semirrecta BA.
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
-Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.
-Igualdad de segmentos
Dos segmentos son iguales cuando superpuestos coinciden
-Segmento nulo
Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.
-Segmentos consecutivos
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en común.
-Segmentos alineados
Dos segmentos consecutivos están alineados cuando pertenecen a la misma recta.
6.angulo
Unión de dos rayos.
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
Ángulos:
Agudo: menor de 90°
Recto: 90°
Obtuso: entre 90 y 180°
Llano:180°
Adyacentes: si tienen un lado en común
Complementarios: su suma es 90°
Suplementarios: su suma es 180°
Los ángulos se miden en grados o radianes
7.Triangulo
Dados en un plano tres puntos A, B y C no alineados, se llama triángulo a la intersección de los ángulos convexos.
Triángulo equilátero: Sus tres lados tienen la misma longitud y los miden lo mismo
-Triángulo isósceles: Tiene dos lados y dos ángulos iguales Triángulo escaleno: Todos sus lados y todos sus ángulos.
-Equilátero Isósceles Escaleno
Por la medida de sus ángulos:
-Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto (90º). A los dos lados que forman un ángulo recto se les denomina catetos y al lado restante hipotenusa.
-Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90º) y los otros dos son agudos (menor de 90º)
-Triángulo acutángulo: Es aquel cuyos tres ángulos son agudos. En particular, el triángulo equilátero es un ejemplo de triángulo acutángulo.
-Triángulo oblicuángulo: Cuando no tiene un ángulo interior recto (90º), es decir que sea obtusángulo o acutángulo.
8.Axioma
Un “axioma” es una proposición evidente por sí misma y por lo tanto no necesita demostración.
Un axioma es una proposición que no tiene que demostrarse.
9.Postulado
Es una afirmación con pretensión de ser tenida como verdadera, aunque se halla sujeta a verificación.
Proposición que se toma como base para un razonamiento o demostración, cuya verdad se admite sin pruebas.
Videografia:
CONCLUSION:
El trabajo realizado nos ha ayudado a realizar un análisis de los conocimientos adquiridos en años anteriores, referente a la geometría plana.
Gracias a la investigación realizada afianzamos nuestros conocimientos referentes a los elementos fundamentales de la geometría, las rectas notables, clasificamos las relaciones entre cuadriláteros, como también de triángulos, circunferencia y círculos.
Planteamos y resolvemos situaciones problemáticas referente a las figuras mencionadas aplicando fórmulas pertinentes y teoremas fundamentales.
Geometría y Trigonometría 
ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA.
EL PUNTO.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
Un punto se representa con una pequeña cruz y se lo designa con una letra de imprenta mayúscula.
Todo punto pertenece a infinitas rectas, ya que por un punto pasan infinitas rectas.
Línea.
Una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección.
Línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento.
La línea geométrica por definición es un arte invisible. Es la traza que el punto deja al moverse y por lo tanto es un producto suyo. Surge de la alteración del reposo total del punto. Con ella se salta de una situación estática a una dinámica. La línea se halla en el extremo opuesto al elemento primario, es decir al punto, y constituye un elemento derivado o secundario.
En geometría, una línea:
•es recta (sin curvas),
•no tiene grosor,
•y se extiende sin fin en las dos direcciones
No tiene extremos.
Si tiene extremos entonces se llama «segmento de línea».
Puede ser recta, curva o quebrada.
Línea recta
Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta.
Notación: ó
Línea curva
Si el punto cambia continuamente de dirección entonces es una línea curva.
Notación:
Línea quebrada.
Serie de dos o más segmentos rectos conectados extremo a extremo poer que no están en la misma dirección.
LA RECTA.
Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección.
Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.
Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula.
Dos puntos determinan una recta.
Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios
Pueden ser secantes, paralelas y perpendiculares.
“Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella». Tomada del libro de los Elementos de Euclides.
Una recta es el conjunto de todos los puntos del plano, donde las coordenadas de cada punto obedecen una relación de primer grado.
SEMIRECTA.
Una semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta. Una semirrecta tiene un primer punto, denominado origen y, por otra parte, se extiende hacia el infinito, como las rectas.
Una Semirrecta es una línea recta que se extiende desde un punto.
Semirrecta es la parte de una recta formada por un punto llamado origen, y todos los que le siguen en uno de los ordenamientos naturales.
SEGMENTO.
Se llama segmento AB a la intersección del conjunto de puntos de la semirrecta AB y de la semirrecta BA.
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.
Igualdad de segmentos
Dos segmentos son iguales cuando superpuestos coinciden
Segmento nulo
Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.
Segmentos consecutivos
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en común.
Segmentos alineados
Dos segmentos consecutivos están alineados cuando pertenecen a la misma recta.
ANGULO.
Unión de dos rayos.
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
Ángulos:
Agudo: menor de 90°
Recto: 90°
Obtuso: entre 90 y 180°
Llano:180°
Adyacentes: si tienen un lado en común
Complementarios: su suma es 90°
Suplementarios: su suma es 180°
Los ángulos se miden en grados o radianes.
TRIANGULO.
Dados en un plano tres puntos A, B y C no alineados, se llama triángulo a la intersección de los ángulos convexos.
Triángulo equilátero: Sus tres lados tienen la misma longitud y los miden lo mismo
Triángulo isósceles: Tiene dos lados y dos ángulos iguales Triángulo escaleno: Todos sus lados y todos sus ángulos.
Equilátero Isósceles Escaleno
Por la medida de sus ángulos:
Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto (90º). A los dos lados que forman un ángulo recto se les denomina catetos y al lado restante hipotenusa.
Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90º) y los otros dos son agudos (menor de 90º)
Triángulo acutángulo: Es aquel cuyos tres ángulos son agudos. En particular, el triángulo equilátero es un ejemplo de triángulo acutángulo.
Triángulo oblicuángulo: Cuando no tiene un ángulo interior recto (90º), es decir que sea obtusángulo o acutángulo.
AXIOMA.
Un “axioma” es una proposición evidente por sí misma y por lo tanto no necesita demostración.
Un axioma es una proposición que no tiene que demostrarse.
POSTULADO.
Es una afirmación con pretensión de ser tenida como verdadera, aunque se halla sujeta a verificación.
Proposición que se toma como base para un razonamiento o demostración, cuya verdad se admite sin pruebas.
BIBLIOGRAFIA
http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)
http://es.wikipedia.org/wiki/Recta
http://www.arqhys.com/arquitectura/punto.html
http://www.escolar.com/avanzado/geometria001.htm
http://matematicas-nestor.blogspot.com/2008/01/la-recta-geometra-analtica.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Segmento
http://www.geoka.net/geometria/segmento.html
http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/punrecsemirec.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Semirrecta
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t5-geometria/Geometria/node2.html
http://www.xuletas.es/ficha/angulos-y-elementos-geometricos/
imágenes
http://www.google.com.mx/imgres?imgurl=http://escolar2.com.ar/geome/12geom05.gif&imgrefurl=http://www.escolar.com/avanzado/geometria001.htm&usg=__H-5jYrLsCj4IudxcjhPFxXRFyoA=&h=161&w=239&sz=3&hl=es&start=33&zoom=1&tbnid=J9ffJ1vKaw7JNM:&tbnh=123&tbnw=183&ei=pending&prev=/search%3Fq%3Dpunto%2Bgeometria%26um%3D1%26hl%3Des%26rlz%3D1R2ADFA_esMX409%26biw%3D1280%26bih%3D900%26tbm%3Disch0%2C771&um=1&itbs=1&iact=rc&dur=93&page=2&ndsp=31&ved=1t:429,r:3,s:33&tx=119&ty=112&biw=1280&bih=900
http://www.google.com.mx/imgres?imgurl=http://www.lacoctelera.com/matematica/imagen/geo001.gif&imgrefurl=http://matematica.lacoctelera.net/post/2005/08/24/tarea-septimo-b-&usg=__vWqlr7LDE2YQyiUHQ9JzZitkQv0=&h=111&w=123&sz=2&hl=es&start=0&zoom=1&tbnid=Dkl8LLkkRTKPcM:&tbnh=88&tbnw=98&ei=bbPITe_UH8mbtwfX0PjgBw&prev=/search%3Fq%3Dla%2Brecta%2Bgeometria%26um%3D1%26hl%3Des%26rlz%3D1R2ADFA_esMX409%26biw%3D1280%26bih%3D900%26tbm%3Disch&um=1&itbs=1&iact=hc&vpx=887&vpy=289&dur=312&hovh=88&hovw=98&tx=126&ty=82&page=1&ndsp=30&ved=1t:429,r:10,s:0
http://www.google.com.mx/imgres?imgurl=http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/images/line.gif&imgrefurl=http://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/linea.html&usg=__10oi_wGiAXsZi10jp0z7LMlLaKY=&h=115&w=147&sz=2&hl=es&start=614&zoom=1&tbnid=Liv4drInNdVQrM:&tbnh=92&tbnw=117&ei=OrTITd2jIMeatwfjguCBCA&prev=/search%3Fq%3Dla%2Brecta%2Bgeometria%26um%3D1%26hl%3Des%26rlz%3D1R2ADFA_esMX409%26biw%3D1280%26bih%3D900%26tbm%3Disch1%2C14631&chk=sbg&um=1&itbs=1&iact=rc&page=20&ndsp=34&ved=1t:429,r:2,s:614&tx=43&ty=70&biw=1280&bih=900
VIDEOGRAFIA
las ligas de las imagenes no son las correctas.
las ligas no son correctas
ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA.
EL PUNTO.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
Un punto se representa con una pequeña cruz y se lo designa con una letra de imprenta mayúscula.
Todo punto pertenece a infinitas rectas, ya que por un punto pasan infinitas rectas.
Línea.
Una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección.
Línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento.
La línea geométrica por definición es un arte invisible. Es la traza que el punto deja al moverse y por lo tanto es un producto suyo. Surge de la alteración del reposo total del punto. Con ella se salta de una situación estática a una dinámica. La línea se halla en el extremo opuesto al elemento primario, es decir al punto, y constituye un elemento derivado o secundario.
En geometría, una línea:
•es recta (sin curvas),
•no tiene grosor,
•y se extiende sin fin en las dos direcciones
No tiene extremos.
Si tiene extremos entonces se llama «segmento de línea».
Puede ser recta, curva o quebrada.
Línea recta
Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta.
Notación: ó
Línea curva
Si el punto cambia continuamente de dirección entonces es una línea curva.
Notación:
Línea quebrada.
Serie de dos o más segmentos rectos conectados extremo a extremo poer que no están en la misma dirección.
LA RECTA.
Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección.
Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.
Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula.
Dos puntos determinan una recta.
Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios
Pueden ser secantes, paralelas y perpendiculares.
“Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella». Tomada del libro de los Elementos de Euclides.
Una recta es el conjunto de todos los puntos del plano, donde las coordenadas de cada punto obedecen una relación de primer grado.
SEMIRECTA.
Una semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta. Una semirrecta tiene un primer punto, denominado origen y, por otra parte, se extiende hacia el infinito, como las rectas.
Una Semirrecta es una línea recta que se extiende desde un punto.
Semirrecta es la parte de una recta formada por un punto llamado origen, y todos los que le siguen en uno de los ordenamientos naturales.
SEGMENTO.
Se llama segmento AB a la intersección del conjunto de puntos de la semirrecta AB y de la semirrecta BA.
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.
Igualdad de segmentos
Dos segmentos son iguales cuando superpuestos coinciden
Segmento nulo
Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.
Segmentos consecutivos
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en común.
Segmentos alineados
Dos segmentos consecutivos están alineados cuando pertenecen a la misma recta.
ANGULO.
Unión de dos rayos.
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
Ángulos:
Agudo: menor de 90°
Recto: 90°
Obtuso: entre 90 y 180°
Llano:180°
Adyacentes: si tienen un lado en común
Complementarios: su suma es 90°
Suplementarios: su suma es 180°
Los ángulos se miden en grados o radianes.
TRIANGULO.
Dados en un plano tres puntos A, B y C no alineados, se llama triángulo a la intersección de los ángulos convexos.
Triángulo equilátero: Sus tres lados tienen la misma longitud y los miden lo mismo
Triángulo isósceles: Tiene dos lados y dos ángulos iguales Triángulo escaleno: Todos sus lados y todos sus ángulos.
Equilátero Isósceles Escaleno
Por la medida de sus ángulos:
Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto (90º). A los dos lados que forman un ángulo recto se les denomina catetos y al lado restante hipotenusa.
Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90º) y los otros dos son agudos (menor de 90º)
Triángulo acutángulo: Es aquel cuyos tres ángulos son agudos. En particular, el triángulo equilátero es un ejemplo de triángulo acutángulo.
Triángulo oblicuángulo: Cuando no tiene un ángulo interior recto (90º), es decir que sea obtusángulo o acutángulo.
AXIOMA.
Un “axioma” es una proposición evidente por sí misma y por lo tanto no necesita demostración.
Un axioma es una proposición que no tiene que demostrarse.
POSTULADO.
Es una afirmación con pretensión de ser tenida como verdadera, aunque se halla sujeta a verificación.
Proposición que se toma como base para un razonamiento o demostración, cuya verdad se admite sin pruebas.
BIBLIOGRAFIA
http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)
http://es.wikipedia.org/wiki/Recta
http://www.arqhys.com/arquitectura/punto.html
http://www.escolar.com/avanzado/geometria001.htm
http://matematicas-nestor.blogspot.com/2008/01/la-recta-geometra-analtica.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Segmento
http://www.geoka.net/geometria/segmento.html
http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/punrecsemirec.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Semirrecta
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t5-geometria/Geometria/node2.html
http://www.xuletas.es/ficha/angulos-y-elementos-geometricos/
imágenes
http://www.google.com.mx/imgres?imgurl=http://escolar2.com.ar/geome/12geom05.gif&imgrefurl=http://www.escolar.com/avanzado/geometria001.htm&usg=__H-5jYrLsCj4IudxcjhPFxXRFyoA=&h=161&w=239&sz=3&hl=es&start=33&zoom=1&tbnid=J9ffJ1vKaw7JNM:&tbnh=123&tbnw=183&ei=pending&prev=/search%3Fq%3Dpunto%2Bgeometria%26um%3D1%26hl%3Des%26rlz%3D1R2ADFA_esMX409%26biw%3D1280%26bih%3D900%26tbm%3Disch0%2C771&um=1&itbs=1&iact=rc&dur=93&page=2&ndsp=31&ved=1t:429,r:3,s:33&tx=119&ty=112&biw=1280&bih=900
http://www.google.com.mx/imgres?imgurl=http://www.lacoctelera.com/matematica/imagen/geo001.gif&imgrefurl=http://matematica.lacoctelera.net/post/2005/08/24/tarea-septimo-b-&usg=__vWqlr7LDE2YQyiUHQ9JzZitkQv0=&h=111&w=123&sz=2&hl=es&start=0&zoom=1&tbnid=Dkl8LLkkRTKPcM:&tbnh=88&tbnw=98&ei=bbPITe_UH8mbtwfX0PjgBw&prev=/search%3Fq%3Dla%2Brecta%2Bgeometria%26um%3D1%26hl%3Des%26rlz%3D1R2ADFA_esMX409%26biw%3D1280%26bih%3D900%26tbm%3Disch&um=1&itbs=1&iact=hc&vpx=887&vpy=289&dur=312&hovh=88&hovw=98&tx=126&ty=82&page=1&ndsp=30&ved=1t:429,r:10,s:0
http://www.google.com.mx/imgres?imgurl=http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/images/line.gif&imgrefurl=http://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/linea.html&usg=__10oi_wGiAXsZi10jp0z7LMlLaKY=&h=115&w=147&sz=2&hl=es&start=614&zoom=1&tbnid=Liv4drInNdVQrM:&tbnh=92&tbnw=117&ei=OrTITd2jIMeatwfjguCBCA&prev=/search%3Fq%3Dla%2Brecta%2Bgeometria%26um%3D1%26hl%3Des%26rlz%3D1R2ADFA_esMX409%26biw%3D1280%26bih%3D900%26tbm%3Disch1%2C14631&chk=sbg&um=1&itbs=1&iact=rc&page=20&ndsp=34&ved=1t:429,r:2,s:614&tx=43&ty=70&biw=1280&bih=900
VIDEOGRAFIA
la liga de las imagenes no es correcta
Punto
En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/34/ACP_3.svg
Historia
El concepto de punto, como ente geométrico, surge en la antigua concepción griega de la geometría, compilada en Alejandría por Euclides en su tratado Los Elementos, dando una definición de punto excluyente: «lo que no tiene ninguna parte». El punto, en la geometría clásica se basa en la idea de que era un concepto intuitivo, el ente geométrico «sin dimensiones», y sólo era necesario asumir la noción de punto.
Esa cuestión fue analizada por A. N. Whitehead en: Una investigación sobre los principios naturales de conocimiento (An Inquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge), y El concepto de la Naturaleza (The concept of Nature). En estos libros se expone la «relación de inclusión». En Proceso y Realidad (Process and Reality) Whitehead propone un nuevo enfoque basado en la «relación de conexión» topológica. También H. J. Schmidt plantea una
Representación gráfica
En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+), círculo (o), cuadrado o triángulo. En relación a otras figuras, suelen representarse con un pequeño segmento perpendicular cuando pertenece a una recta, semirrecta o segmento.
A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc. (a las rectas con letras minúsculas, y a los ángulos con letras griegas).
La forma de representar un punto mediante dos segmentos que se cortan (una pequeña “cruz” +) presupone que el punto es la intersección. Cuando se representa con un pequeño círculo, circunferencia, u otra figura geométrica, presupone que el punto es su centro.
Determinación geométrica
Un punto puede determinarse con diversos sistemas de referencia:
En el sistema de coordenadas cartesianas, se determina mediante las distancias ortogonales a los ejes principales, que se indican con dos letras o números: (x, y) en el plano; y con tres en el espacio (x, y, z).
En coordenadas polares, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto del eje de referencia: (r, θ).
En coordenadas esféricas, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto de los ejes de referencia: (r, θ, φ)
En coordenadas cilíndricas, mediante coordenadas radial, acimutal y altura: (ρ, φ, z).
También se pueden emplear sistemas de coordenadas elípticas, parabólicas, esferoidales, toridales, etc.
Puntos, rectas y planos: posiciones relativas
En función de su posiciones relativas, existen dos tipos de puntos: colineales y coplanarios. Los denominados colineales son aquellos contenidos en una recta, no importando cuantos puntos sean mientras estén alineados y dentro de la recta. Se denominan puntos coplanarios a aquellos que están contenidos en un mismo plano.
Algunos postulados y teoremas relacionados con el punto
Postulados en geometría euclidiana
• Por un punto pasan infinitas rectas y planos.
• Dos puntos determinan una recta y sólo una.
• Una recta contiene infinitos puntos.
• Un plano contiene infinitos puntos e infinitas rectas.
• El espacio contiene infinitos puntos, rectas y planos.
Estos postulados se pueden generalizar para espacios de n dimensiones.
Teoremas en geometría euclidiana
• Tres puntos no alineados determinan un plano y sólo uno.
Línea
En geometría, una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección
Tipos
pueden ser 5 tipo lineales tipos:
Planas (dos dimensiones)
• Línea recta, la sucesión continua de puntos en una misma dirección.
• Línea curva, de formas redondeadas, con uno o varios centros de curvatura.
• Línea quebrada o poligonal, formada por segmentos rectos consecutivos no alineados, presentando puntos angulosos.
o poligonal abierta, si no están unidos el primero y último segmentos.
o poligonal cerrada, si cada segmento está unido a otros dos.
• Línea mixta, una combinación de una línea recta y una curva.
• Toda línea es un trazo a través del punto
Angulo
Un ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas o rayos que tienen el mismo origen
Los lados del ángulo son las semirrectas que lo forman.
El vértice del ángulo es el punto común que es origen de los lados.
Los ángulos pueden nombrarse de tres formas distintas:
Por las letras mayúsculas correspondientes a las semirrectas, colocando en medio la letra vértice: ó
Por una letra o número colocado en la abertura a
Por la letra del vértice B
Un ángulo completo es el que está delimitado por dos semirrectas que coinciden.
La bisectriz de una ángulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos partes iguales.
Clasificación de los ángulos:
Llano, es el ángulo formado por dos semirrectas opuestas. Tiene sus lados en la misma recta. Su amplitud es la mitad de un ángulo completo, es decir, de 180º.
Ángulo Recto, es uno cualquiera de los ángulos en que la bisectriz divide al llano. Su amplitud o abertura es de 90º.
Agudo, es todo ángulo cuya amplitud sea menor que la del recto, es decir, es como máximo de 90ºObtuso, es aquel cuya amplitud es mayor que la del ángulo recto y menor que la del llano, es decir, está comprendida entre 90º y 180º.
Cóncavo, es el que vale menos que un llano. Por ello se dice que los ángulos cóncavos comprenden a los agudos, rectos y obtusos
Convexo, es el que vale más que un llano.
Ángulos suplementarios, son los que sumados valen 180º, es decir, un ángulo llano.
Cada ángulo se llama suplemento del otro. Así el ángulo es el suplemento del ángulo y viceversa.
Ángulos complementarios, son los que sumados valen 90º, es decir, un ángulo recto.
Ángulos consecutivos, son los que tienen un mismo vértice y un lado común.
Ángulos adyacentes, son ángulos consecutivos cuyos lados no comunes están en línea recta.
Ángulos opuestos por el vértice, son los ángulos en que los lados del uno son prolongaciones opuestas de los lados del otro.
También se dice que son aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.
El instrumento para medir un ángulo en grados sexagesimales se denomina transportador
y es un medio círculo graduado con doble escala, una de 0º a 180º y la otra de 180º a 0º.
Para medir un ángulo, se coloca el punto central del transportador sobre el vértice del ángulo y uno de los lados debe coincidir con la línea del cero.
Ángulo inscrito: Es aquel cuyo vértice está sobre la circunferencia y cuyos lados son secantes. La amplitud de un ángulo inscrito equivale a la mitad de la amplitud del arco que abarca.
Características de los ángulos inscritos:
Dos ángulos inscritos en cada uno de los arcos que una cuerda determina son suplementarios
Todos los ángulos inscritos que abarcan un mismo arco son iguales.
En una misma circunferencia, los arcos cortados por paralelas son iguales
Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es rectoAngulo semiinscrito: Es aquel cuyo vértice está sobre la circunferencia, uno de sus lados es tangente y el otro, secante. Al igual que en el inscrito, su amplitud equivale a la mitad de la amplitud del arco que abarca.
Ángulo interior: es aquel cuyo vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior equivale a la semisuma de los arcos que abarca éste, y su opuesto por el vértice.
Angulo exterior es aquel cuyo vértice es exterior a la circunferencia y sus lados, secantes. La amplitud de un ángulo exterior equivale a la semidiferencia de la amplitudes de los arcos abarcados por él.
Angulo central es aquel que su vértice está en el centro de la circunferencia. Por definición, su amplitud coincide con el arco que abarca.
Bibliografia:
http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)
http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea
http://www.monografias.com/trabajos41/angulos-triangulos/angulos-triangulos.shtml
la primera liga de la imagen no es correcta
Definiciones de los elementos de la Geometría.
Geometría: es la rama de las matemáticas, que sirve para medir todo lo que hay en la Tierra.
Axioma: Afirmaciones o proporciones que relacionan conceptos. Estos axiomas dan lugar a teorias que pueden ser comprobados gracias a instrumentos como el compás y el teodolito.
Postulado: Son verdades que no necesariamente necesitan ser demostradas.
Linea: ES una suceción indefinida de puntos.
Linea quebrada: Es la linea que esta formada por grupos de lineas formados por puntos que mantienen la misma direccion entre si pero diferente direccion entre las lineas.
Curvilinea: Es la linea que esta formada por una sucesion de puntos con distintas direcciones entre si.
Rectilinea: Es la sucesion continua, uniforme de puntos en la misma dirección.
Recta: se extiende en 2 sentidos ilimitadamente. dos rectas no pueden tener mas que un solo punto en comun. Por dos puntos pasa una y solo una linea recta.Semirecta: Es el conjunto de puntos continuos desde un punto que se extiende hacia otro.
Segmento: Es una porcion de recta que esta limitada por un par de puntos.
Medida de un segmento: Medir un segmento es compararlo con otro elegido como unidad o parametro.
Adicion de segmentos: Es colocar segmentos de medidas diferentes (o iguales según sea el caso) en una recta cualquiera, dispuestos uno seguido del otro.
Sustracción de segmentos: Es colocarlos aquellos de medidas diferentes tomando en cuenta que el menor de ellos sera el segmento sustraendo y estara situado sobre el segmento sustraendo y estara situado sobre el segmento mayor llamado segmento minuendo, de manera que el segmento resultante de la diferencia sera el que quede comprendido como complemento del segmento mayor (segmento minuendo).
Perpendicularidad: La perpendicularidad de una linea o plano es la que forma angulo recto con la dada.
Paralelismo: Una propiedad de la geometria representada por rectas que no se cortan.
Oblicuidad: Dirección inclinada.||Inclinacion que aporta del angulo recto la linea o el plano que se considera respecto de otra u otro.
Sistema sexagesimal: Es un sistema de numeracion posicional que emplea la base sesenta.
Sistema centecimal: Es la circunferencia dividida en 400 partes iguales, llamadas » grados centesimales», cada grado tiene 100 » minutos centesimales» y cada minuto tiene 100 » segundos centesimales» .
Ángulo: Figura geometrica formada por la union de dos semirectas de origen común. IMAGEN 1 Video 1.
Vertice: Punto de origen común.
Ángulo agudo: Es un ángulo que mide menos de 90°.
Ángulo recto: Es un ángulo que mide 90°.
Ángulo obtuso: Es el ángulo que mide mas de 90° pero menos de 180.°
Ángulo llano: O de lados colineales, es aquel que mide 180° .
Ángulo cóncavo o entrante: Es el ángulo que mayor que 180° pero menor que 360°.
Ángulo perígonal o perígono: Ángulo que se origina cuando un rayo gira y regresa a su posicion original, aquel que mide 360°.
Ángulos complementarios: Son 2 ángulos cuya suma dan como resultado 90°
Ángulos suplementarios: Son 2 angulos cuya suma dan como resultado 180°.
Ángulos conjugados: Son 2 angulos cuya suma dan como resultado 360°.
Ángulos consecutivos o contibuos: Cuando varias rectas tienen en comun un vertice.
Ángulos adyacentes: Que tiene el vértice y un lado común y los otros lados situados uno en prolongación del otro. Forman un angulo llano.
Ángulos opuestos por el vértice: Son los ángulos opuestos cuando se cruzan dos líneas.
Triángulos: Son las figuras con la miníma cantidad de lados posibles. Es el espacio comprendido entre 3 rectas que se intersectan entre sí.
Triángulo equilátero: Todos sus lados son iguales y sus angulos tambien. Imagen 2
Triángulo Isósceles: Solo de sus 2 lados son iguales.
Triángulo Escaleno: Sus 3 lados son desiguales al igual que sus angulos.
Triángulo Rectángulo: Un ángulo recto de 90°.
Triangulo acutángulo: Sus 3 ángulos menores de 90° .
Triángulo Obtusángulo: 1 Angulo obtuso (mayor de 90°).
Mediatriz: ES cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio. Cada triangulo tiene 3 mediatrices.
Circucentro: El cruce de las 3 mediatrices .
Mediana: Es la linea que une al vertice de un triangulo con el punto medio del lado puesto. Imagen 3.
Baricentro: Es el cruce de las 3 medianas.
Altura: Es la linea perpendicular a un lado que se extiende asta el vertice opuesto. Cada triangulo tiene 3 alturas.
Ortocentro: Es el cruce de las 3 alturas.
Bisectriz: Es la recta que divide en 2 partes iguales o en un angulo. Existen 3 bisectricez en un triangulo po cada angulo.
Incentro: Es el punto que surge del cruce de las 3 bisectricez.
Circunferencua: Es una linea curva cerrada y plana cuyos puntos equidistan de otro punto interior llamado centro.
Circulo: Es una superficie plana limitasa po una circunferencia.
Centro: Punto central de quien equilista todos los puntos que integran una circunferencia.
Diametro: Es la linea que va de lado a lado de la circunferencia y que pasa por el centro.
Radio: Es la recta que va desde el diametro hasta la circunferencia.
Tangente: Es la recta que pasa por la circunferencia tocando solo un punto de ella.
Punto de tangencia: Es el punto de la circunferencia que toca una tangente.
Secante: Es la recta que corta una circunferencia de lado a lado sin pasar por su centro.
Cuerda: Es la recta que toca 2 puntos de la circunferencia sin tocar el centro y sin salirse de ella.
Arco: Es la porcion de circunferencia delimitada por una cuerda.
Flecha: Es la linea perpendicular a una cuerda que pasa por su punto medio y que sale de la circunferencia.
Cuadrilátero: Es un plano formado por 4 lados donde dos pares de ellos son opuestos entre sí. Todos los cuadriláteros tiene 2 diagonales.
Paralelogramos: Son aquellos con los lados opuestos son paralelos.
Trapecios: Son aquellos donde dos de sus lados opuestos son paralelos.
Trapezoides: Se tienen 2 casos de trapezoides: 1.- Cuando dos de sus lados consecutivos son de la misma magnitud. 2.- Cuando ninguno de sus lados consecutivos son de la misma magnitud.
Polígono: Es una porción cerrada del plano comprendida entre segmentos de recta que se unen por sus extremos.
Polígonos regulares: aquel que tiene todos sus lados iguales, es decir, es un polígono equiángulo.
Polígono irregular cóncavos: Los polígonos cóncavas hay al menos un ángulo que apunta hacia adentro, es decir, un ángulo interior es mayor que 180°.
Polígono irregular convexo: El polígono convexo tiene todos los ángulos interiores apuntando hacia afuera, es decir, todos los ángulos interiores son menores que 180°.
Trigonometría: Rama de las matemáticas, se ocupa exclusivamente de estudiar las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos.
Teorema de Pitágoras: » El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos ».
El plano: Es una superficie infinita que esta formada por puntos y rectas, y donde podemos encontrar figuras geométricas.
Semiplano: A cada una de las partes en que un plano que divido por cualquiera de sus rectas.
Apotema: Es la perpendicular que une el centro del polígono con cualquiera de sus lados.
Perímetro de una figura plana: Es la medida de su superficie.
Números primos: Es un número natural que tiene exactamente dos divisores distintos: él mismo y el 1.
Área: Es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales.
Secantes: Rectas secantes son las que se cortan.
Simetría axial: Es un desplazamiento que intercambia los puntos de los 2 lados de una determinada recta.
El Punto: es una » figura geométrica » dimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. Video 2.
Superficie: Es de hecho un conjunto de puntos de un espacio euclídeo que forma un espacio topológico bidimensional que localmente, es decir, visto de cerca se parece al espacio euclídeo bidimensional.
Espacio tangente: El conjunto de todos los espacios tangentes, debidamente teologizada.
Bibliografía:
Mi cuaderno de geometría y trigonometría de II semestre.
Videografía 2: http://youtu.be/OvCxN771T6M
Videografía 1: http://youtu.be/5rXKbuwWh80
Imagen 1 : http://2.bp.blogspot.com/_fVFFx4ZCEQ0/TOLVYdbyl8I/AAAAAAAAAAo/u8qIHTbcZEw/s1600/angulos02.gif
Imagen 2 : http://iesgarciamorato.org/Dep_Plastica/images/triangulos-web.jpg
Imagen 3 : http://4.bp.blogspot.com/_ZUsvf69aOrQ/TMYQEMyvAMI/AAAAAAAAAIc/zrFxV_mNYu4/s320/mediat.gif
Actividad 2 definiciones de los elementos de la geometría
PUNTO: En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)
LINEA: En geometría, una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección.
http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea
ANGULO: Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.
http://es.wikipedia.org/wiki/%c3%81ngulo
CURVILINEA: es la línea que esta formada por una sucesión de puntos con distintas direcciones entre si.
RECTILINEA: es la sucesión continua, uniforme de puntos en la misma dirección.
cuaderno
RECTA: En geometría euclidiana, la recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.
Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la «pendiente de la recta» y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado «término independiente» u «ordenada al origen» y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.
http://es.wikipedia.org/wiki/Recta
SEMIRECTA: Una semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta. Una semirrecta tiene un primer punto, denominado origen y, por otra parte, se extiende hacia el infinito, como las rectas.
Considerando la biyección entre una recta y los números reales, los reales positivos corresponden a una semirrecta, los reales negativos corresponden a otra semirrecta y el cero corresponde al punto frontera entre las dos semirrectas, también llamado origen.
http://es.wikipedia.org/wiki/Semirrecta
SEGMENTO: Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
Así, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.
http://es.wikipedia.org/wiki/Segmento
PERPENDICULARIDAD: En geometría, la perpendicular de una línea o plano, es la que forma ángulo recto con la dada.
La relación de perpendicularidad se puede dar entre:
• Rectas: dos rectas coplanarias son perpendiculares cuando, al cortarse, dividen al plano en cuatro regiones iguales, cada una de los cuales es un ángulo recto. Al punto de intersección de dos rectas perpendiculares se le llama pie de cada una de ellas en la otra.
o Semirrectas: dos semirrectas son perpendiculares, cuando conforman ángulos rectos teniendo o no el mismo punto de origen.
• Planos: dos planos son perpendiculares cuando conforman cuatro ángulos diedros de 90º.
o Semiplanos: dos semiplanos son perpendiculares cuando conforman ángulos diedros de 90°; generalmente, compartiendo la misma recta de origen.
Además, puede existir una relación de perpendicularidad entre los cuatro elementos anteriores, tomados de dos en dos.
Si dos rectas al cortarse forman ángulos adyacentes congruentes, son perpendiculares. Por analogía, si dos planos al cortarse forman ángulos diedros adyacentes congruentes, son perpendiculares.Los lados de un ángulo diedro y sus semiplanos opuestos determinan dos planos perpendiculares).
http://es.wikipedia.org/wiki/Perpendicularidad
PARALELISMO: En geometría, el paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos y demás).
En geometría clásica, las rectas o planos paralelos son los equidistantes entre sí y por más que los prolonguemos no pueden encontrarse.
En geometría afín, expresando una variedad lineal como V = p + E, con p punto y E espacio vectorial, se dice que A = a + F es paralela a B = b + G sii F está contenido en G ó G está contenido en F, donde A y B son subvariedades lineales de la misma variedad lineal V y F y G son subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial E. En el plano (afín) (V = ), esto se traduce de la siguiente manera: dos rectas son paralelas si tienen un mismo vector director.
Obsérvese que, en un espacio afín tridimensional, una recta y un plano pueden ser paralelos, y también que la coincidencia de variedades lineales es un caso particular de paralelismo.
Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si o bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningún punto.
De manera semejante, en el espacio, dos planos son paralelos si bien son uno y el mismo plano o bien no comparten ningún punto.
http://es.wikipedia.org/wiki/Paralelismo_(matem%C3%A1tica)
OBLICUIDAD: En probabilidad, la oblicuidad es una medida de que tan asimétrica es una distribución alrededor de su media. Debido a la tercer potencia involucrada en su cálculo, también se le llama tercer momento de la distribución y se calcula de la siguiente forma:
Donde N: es el número total de elementos en la distribución, xi: es el elemento i:, : es la media y σ: es la desviación estándar.
http://es.wikipedia.org/wiki/Oblicuidad
HORIZONTALIDAD: La horizontalidad es una práctica o propuesta organizacional que implica desarrollar o incentivar un poder de decisión o de participación más o menos igualitario entre los individuos que conforman una organización. La horizontalidad es opcional para una organización y busca una mayor interacción en el grupo para potenciar el liderazgo y la innovación.
http://es.wikipedia.org/wiki/Horizontalidad
VERTICALIDAD: Posición perpendicular a la línea del horizonte
http://www.wordreference.com/definicion/verticalidad
SISTEMA SEXAGESIMAL: El sistema sexagesimal es un sistema de numeración posicional que emplea la base sesenta. Tuvo su origen en la antigua Babilonia. También fue empleado, en una forma más moderna, por los árabes durante el califato omeya. El sistema sexagesimal se usa para medir tiempos (horas, minutos y segundos) y ángulos (grados, minutos y segundos). En dicho sistema, 60 unidades de un orden forman una unidad.
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_sexagesimal
SISTEMA CIRCULAR: La unidad de medida (unidad de arco), en el sistema circular es el radian. Un radian (Rad.) se define como la medida del ángulo central se subtiende un arco del circulo igual al radio del circulo. Tenemos que la longitud de la circunferencia está dada por c=2 pi(3.1416) r y que toda la circunferencia subtiene un ángulo de 360º; tenemos entonces que : longitud de la circunferencia en radianes es :
360º = 2 p rad. pi= 3.1416
http://www.miportal.edu.sv/sitios/operacionred2008/OR08050996/Video.html
SISTEMA CENTESIMAL: en que resulata dividir el angulo recto en cien partes iguales, constituyendo cada parte un grado centesimal.Por tanto un circulo se divide en 400 partes iguales.
ANGULO AGUDO: Un ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 90o
ANGULO RECTO: es el angulo que mide 900
ANGULO OBTUSO: es el angulo que mide mas de 90o pero menios de 180o
ANGULO LLANO: es aquel que mide 180o
ANGULO CONCAVO: es el angulo mayor que 180o pero menor de 360o
ANGULO PERIGONAL: es aquel que mide 360o
ANGULOS COMPLEMENTARIOS: dos angulos cuya suma dan como resultado 90o
ANGULOS SUPLEMENTARIOS:son dos angulos cuya suma dan 180o
ANGULOS CONJUGADOS: son dos angulos cuya suma dan 360o
ANGULOS CONSECUTIVOS: son aquellos que poseen un mismo vértice y tienen un lado común.
ANGULOS ADYACENTES: son aqellos angulos que tienen el vértice y un lado común, al tiempo que sus otros lados son semirrectas opuestas. De allí resulta que los angulos adyacentes son a la vez consecutivos y suplementarios, porque juntos equivalen a un angulo llano sin poseer ningún punto interior en común.
ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE: son aquellos cuyos lados de unos son semirrectas opuestas del otro.
TRIANGULO EQUILATERO: todos sus lados son iguales y sus angulos también
TRIANGULO ISOSELES: tiene 2 lados iguales
TRIANGULO ESCALENO: tiene 3 lados iguales
TRIANGULO EQUILATERO: tiene un angulo de 90o
TRIANGULO ACUTANGULO: tres angulos menores de 90o
TRIANGULO OBTUSANGULO: tiene un angulo obtuso mayor de 90o
cuaderno
ORTOCENTRO: Se denomina ortocentro (símbolo H) al punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo. Este no es un hecho trivial, pues tres rectas cualquiera, tomadas a pares, podrían intersecarse en tres puntos diferentes, pero en el caso de las alturas de un triángulo dado, puede demostrarse que se intersecan en un solo punto, es decir, en el ortocentro.
El nombre deriva del término griego orto, que quiere decir recto, en referencia al ángulo formado entre las bases y las alturas.1
El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si éste es acutángulo, coincide con el vértice del ángulo recto si es rectángulo, y se halla fuera del triángulo si es obtusángulo.
El ortocentro es el incentro del triángulo órtico (como se observa en la figura). El triángulo órtico de un triángulo es el que tiene por vértices los pies de las tres alturas de éste, es decir, las proyecciones de los vértices sobre los lados.
http://es.wikipedia.org/wiki/Ortocentro
BARICENTRO: En geometría, el baricentro o centroide de una superficie contenida en una figura geométrica plana, es un punto tal, que cualquier recta que pasa por él, divide a dicha superficie en dos partes de igual momento respecto a dicha recta.
En física, el baricentro de un cuerpo material coincide con el centro de masas del mismo cuando el cuerpo es homogéneo (densidad uniforme) o cuando la distribución de materia en el cuerpo tiene ciertas propiedades, tales como la simetría.
Sean A1,… An n puntos, y m1,… mn n, números (m como masa). Entonces el baricentro de los ( Ai, mi) es el punto G definido como sigue:
Esta definición depende del punto O, que puede ser cualquiera. Si se toma el origen del plano o del espacio, se obtienen las coordenadas del baricentro como promedio ponderado por los mi de las coordenadas de los puntos Ai:
La definición anterior no equivale a la fórmula siguiente, mucho menos práctica para el cálculo vectorial, pues prescinde de las fracciones (se obtiene tomando O = G):
Un isobaricentro (iso: mismo) es un baricentro con todas las masas iguales entre sí; es usual en tal caso tomarlas iguales a 1. Si no se precisan las masas, el baricentro es por defecto el isobaricentro.
El baricentro coincide con el concepto físico de centro de masa de un cuerpo material en tanto que el cuerpo sea homogéneo.
http://es.wikipedia.org/wiki/Baricentro
CIRCUNCENTRO: El Circuncentro (símbolo O) es el punto en el que se intersecan las tres mediatrices de un triángulo y es el centro de la circunferencia circunscrita.
Los vértices de un triángulo, como extremos de cada lado, se encuentran a la misma distancia de los puntos de sus bisectrices, luego el punto donde estas se cortan, será equidistante de los tres vértices: el circuncentro. Dicho punto se suele expresar con la letra O.
Sirve para trazar el círculo que pasa por los tres vértices del triángulo
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Cercle_circonscrit_%C3%A0_un_triangle.svg
http://es.wikipedia.org/wiki/Circuncentro
INCENTRO: El Incentro (símbolo I) es el punto en el que se intersecan las tres bisectrices de los ángulos internos del triángulo, y es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo y que equidista de sus tres lados, siendo tangente a dichos lados.
Las coordenadas cartesianas de incentro parte de un vértice de el triángulo trazado. Si los vértices tienen coordenadas , , y , y los respectivos lados opuestos tienen longitudes , , y , el incentro tendrá por coordenadas:
.
Las coordenadas trilineales del incentro son 1 : 1 : 1.
Las coordenadas baricéntricas del incentro son a : b : c.
http://es.wikipedia.org/wiki/Incentro
MEDIANA: En el ámbito de la estadística, la mediana es el valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él, una vez ordenados estos. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra. La mediana coincide con el percentil 50, con el segundo cuartil y con el quinto decil.
http://es.wikipedia.org/wiki/Mediana_(estad%C3%ADstica)
MEDIATRIZ: La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. También se le llama simetral.
http://es.wikipedia.org/wiki/Mediatriz
BICECTRIZ: La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia ) de las semirrectas de un ángulo.
http://es.wikipedia.org/wiki/Bisectriz
AXIOMA: Un axioma es una premisa que se considera «evidente» y es aceptada sin requerir una demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo, es toda proposición que no se deduce de otras, sino que constituye una regla general de pensamiento lógico, por oposición a los postulados.1
En matemática, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente, los axiomas se eligen de entre las consideradas «verdades evidentes» porque permiten deducir las demás fórmulas.
En lógica matemática, un postulado es un proposición, no necesariamente evidente: una fórmula bien formada de un lenguaje formal utilizada en una deducción para llegar a una conclusión.
En matemática se distinguen dos tipos de proposiciones: axiomas lógicos y postulados.
http://es.wikipedia.org/wiki/Axioma
POSTULADO: Un postulado es una proposición que no es evidente por sí misma ni está demostrada, pero que se acepta ya que no existe otro principio al que pueda ser referida.1
Es diferente de un axioma que, en un sistema hipotético-deductivo, es toda proposición que no se deduce de otra, sino que constituye una regla general de pensamiento lógico, por oposición a los postulados.2
También se denomina postulado a los principios sustentados por una determinada persona, un grupo, o una organización.3
Por ejemplo, en filosofía o psicología, los diferentes enfoques o escuelas suelen diferenciarse en una serie de proposiciones de carácter filosófico. A estas se les llama postulados, como definiciones de carácter opcional que delimitan una concepción de cada disciplina (tipo de método que utiliza, concepción de su objeto de estudio, etc.) Así, la cognición, modificación de conducta o Gestalt tienen distinto punto de partida sobre qué es la mente, la personalidad o la conducta y, a partir de estos postulados, se desarrollo toda la teoría. Toda ciencia suele tener unos puntos de partida de carácter filosófico; incluso la física, al considerar que existen reglas constantes que podemos definir.
http://es.wikipedia.org/wiki/Postulado
COROLARIO: Un corolario (del latín corollarium, n. = „la adición“, „el regaldo“; género: neutro; plural: corolarios) es un término que se utiliza en las matemáticas y en la lógica, para designar la evidencia de un teorema o definición ya demostrada, sin necesidad de tener que invertir esfuerzo adicional en su demostración. A menudo se trata de una inferencia, si bien la distinción entre teorema y corolario es tan subjetiva como entre lema y teorema.
http://es.wikipedia.org/wiki/Corolario
TEOREMA: Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema formal. Demostrar teoremas es un asunto central en la matemática.
Un teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre la hipótesis y la tesis o conclusión.
Se llamará corolario a una afirmación lógica que sea consecuencia inmediata de un teorema, pudiendo ser demostrada usando las propiedades del teorema previamente demostrado.
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema
CIRCUNFERENCIA: Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanar llamado centro.
http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia
Es una línea curva cerrada y plana cuyos puntos equidista de otro punto interior llamado centro.
CENTRO: punto central de quien equidistan todos los puntos que integran una circunferencia
DIAMETRO: es la línea que va de lado a lado de la circunferencia y que pasa por el centro ( es la cuerda mayor de la circunferencia)
RADIO: es la recta que va del centro a un extremo de la circunferencia
TANGENTES: la recta que pasa por la circunferencia tocando solo un punto de ella. Esta recta nunca entra a la circunferencia
PUNTO DE TANGENCIA: es el punto de la circunferencia que toca una tangente
SECANTE: es la recta que corta una circunferencia de lado a lado sin pasar por su centro
CUERDA: es la recta que toca dos puntos de la circunferencia sin tocar el centro y sin salirse de ella.
ARCO: es la porción de la circunferencia delimitada por una cuerda
FLECHA: es la línea perpendicular a una cuerda que pasa por su punto medio y que sale de la circunferencia.
Cuaderno
CUADRILATERO: Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los cuadriláteros pueden tener distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales. Otros nombres usados para referirse a este polígono son tetrágono y cuadrángulo.
http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadril%C3%A1tero
PARALELOGRAMOS: Un paralelogramo es un tipo especial de cuadrilátero (un polígono formado por cuatro lados) cuyos lados son paralelos dos a dos.
http://es.wikipedia.org/wiki/Paralelogramo
TRAPECIOS: Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellos se llama altura. Se denomina mediana al segmento que tiene por extremos los puntos medios de los lados no paralelos.
http://es.wikipedia.org/wiki/Trapecio_(geometr%C3%ADa)
TRAPEZOIDES: Un trapezoide es un polígono cuadrilátero tal que ninguno de sus cuatro lados es paralelo a otro.
El trapezoide no tiene propiedades especiales, excepto las que son propias de todo cuadrilátero convexo, como que la suma de sus ángulos internos es de 360 grados. Por este motivo, algunos evitan usar el nombre trapezoide, refiriéndose a él simplemente como cuadrilátero.
Los trapezoides pueden ser inscribibles si la suma de sus ángulos opuestos es de 180°. Del mismo modo, puede ser circunscribible si las sumas de sus pares de lados opuestos son iguales entre sí.
http://es.wikipedia.org/wiki/Trapezoide
POLIGONO: es una porción cerrada del plano comprendida entre segmentos de recta que se unen por sus extremos.
La palabra polígono procede del griego antiguo “poli” que significa muchos y “gonos” que significa angulos.
cuaderno
POLIGONOS REGULARES: Un polígono regular es un polígono en el que todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son de la misma medida.
Veamos las distintas características de los polígonos regulares, empleando la figura de un Pentágono para representar un polígono regular genérico.
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:PoliReg_02.svg
Una característica de los polígonos regulares, es que se pueden trazar inscritos en una circunferencia que tocará cada uno de los vértices del polígono. A medida que crece el número de lados de un polígono regular, su apariencia se asemeja cada vez más a la de una circunferencia.
http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_regular
POLIGONOS IRREGULARES: Los polígonos irregulares no tiene todos sus lados iguales.
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
http://www.geoka.net/poligonos/poligonos_irregulares.html
GEOMETRIA: La Geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, politopos (paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc).
Es la justificación teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).
Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanías.
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa
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Clasificación de angulos
partes del circulo
los antiguos Egipcios dependían exclusivamente de las aguas del río Nilo para efectuar sus trabajos agrícolas. El Nilo se desbordaba año con año, inundando grandes extensiones de tierra, la cual quedaba así apta para los cultivos. En las riveras del río se median y se distribuían las distintas parcelas para ser asignadas a los agricultores.
Este proceso debía repetirse año con año, pues cada inundación borraba las medidas del año anterior.
Así poco a poco, se fue perfeccionando la técnica de parcelas y nació la Geometría, que etimológicamente significa medición de tierras. Los Egipcios pues crearon la Geometría y la desarrollaron a tal grado que aun hoy tenemos como mudos testigos de ese desarrollo a las grandiosas pirámides de Egipto, cuya antigüedad supera los 5,000 años.
Desarrollo de Contenido
ANGULOS
Cuando dos rectas se encuentran y forman cuatro religiones llamadas ángulos. Cada ángulo esta limitado por dos lados y un vértice.
Es la abertura entre dos lados, los cuales tienen un punto común llamado vértice.
El lado desde el cual se empieza a medir el ángulo se llama Codo Inicial, y aquel donde se termina se llama Lado Terminal.
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Tipos de Ángulos
Angulo Convexo: Se llama ángulo convexo R N M a la intersección del semiplano de borde NM, que contiene el punto R, y el semiplano de borde NR, que contiene el punto N.
Angulo Cóncavo: Es el ángulo que se obtiene si consideramos la unión de los semiplanos anteriores.
Ángulos Consecutivos: Son los pares de ángulos que tienen un lado común y ningún otro punto mas.
ngulo Llano: Cuando los lados de un ángulo son dos semirrectas de una misma recta, el ángulo se llama llano.
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Ángulos Rectos: Sean dos semirrectas de origen de un origen común O y supongámoslas prolongadas hasta formar dos rectas, a y b, que se cortan en O y que dividen al plano en 4 regiones a, b, c y d, cada una de ellas correspondiente a un ángulo. Cuando esos cuatro ángulos son iguales, se dice que cada uno de ellos es un ángulo recto y que sus lados son perpendiculares.
ngulos Oblicuos: Las rectas que se cortan formando ángulos desiguales se llaman oblicuas. A estos ángulos que no son rectos se les llaman oblicuos.
Agudos: Si son menores que un recto.
Obtusos: Si son mayores que un recto.
Punto
En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido
Representación gráfica
En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+), círculo (o), cuadrado o triángulo. En relación a otras figuras, suelen representarse con un pequeño segmento perpendicular cuando pertenece a una recta, semirrecta o segmento.
A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc. (a las rectas con letras minúsculas, y a los ángulos con letras griegas).
La forma de representar un punto mediante dos segmentos que se cortan (una pequeña “cruz” +) presupone que el punto es la intersección. Cuando se representa con un pequeño círculo, circunferencia, u otra figura geométrica, presupone que el punto es su centro.
Recta
En geometría euclidiana, la recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.
Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la «pendiente de la recta» y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado «término independiente» u «ordenada al origen» y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.
Geometría analítica de la recta en el plano
La Geometría analítica consiste en emplear operaciones de cálculo para resolver problemas de geometría. En un plano, podemos representar una recta mediante una ecuación, y determinar los valores que cumplan determinadas condiciones, por ejemplo, las de un problema de geometría.
Ecuación de la recta
En una recta, la pendiente es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente)
Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de abscisas X.
La ecuación de la recta que pasa por el punto
Línea
En geometría, una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección
Tipos
Planas (dos dimensiones)
Línea recta, la sucesión continua de puntos en una misma dirección.
Línea curva, de formas redondeadas, con uno o varios centros de curvatura.
Línea quebrada o poligonal, formada por segmentos rectos consecutivos no alineados, presentando puntos angulosos.
poligonal abierta, si no están unidos el primero y último segmentos.
poligonal cerrada, si cada segmento está unido a otros dos.
Línea mixta, una combinación de una línea recta y una curva.
Toda línea es un trazo a través del punto
Segmento
Para el sistema de clasificación de automóviles por segmentos, véase Clasificación de automóviles.
Para otros usos de este término, véase Segmentación.
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
Así, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.
Suma
La suma de varios segmentos consecutivos colineales, da por resultado el segmento determinado por los extremos no comunes de los segmentos considerados. Geométricamente, la suma de segmentos es otro segmento que se obtiene construyendo colinealmente segmentos ordenadamente congruentes con los dados, y procediendo como se indica al principio.
Ángulo
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.
____________________________________________________________
bibliografia
http://es.wikipedia.org/wiki/Angulo
http://es.wikipedia.org/wiki/Segmento
http://es.wikipedia.org/wiki/Recta
http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)
ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE GEOMETRíA
Las Rectas
Las rectas se forman por la unión de puntos que van en la misma dirección.
Como puedes ver en el dibujo, las rectas pueden tener dirección horizontal, vertical u oblicua. Decimos que es oblicua, cuando tiene cualquier otra forma que no es ni horizontal ni vertical.
Recta Horizontal Recta Vertical Recta Oblicua
El plano
El plano es una superficie infinita que está formada por puntos y rectas, y donde podemos encontrar figuras geométricas como: triángulos, rombos, cuadrados, entre muchas otras.
Imagina por un momento, que una parte de ese plano es tu hoja de cuaderno. No olvides que el plano no tiene grosor y es ilimitado, por lo tanto, imagínalo extendiéndose en todas sus direcciones.
Un plano está compuesto por infinitos puntos. Utilizamos el símbolo Ppara referirnos a un plano y debemos dibujar, a lo menos, tres puntos no alineados. El dibujo que ves, es una presentación del plano: P CBD.
Semiplano
Llamamos semiplano, a cada una de las partes en que un plano queda dividido por cualquiera de sus rectas.
A la recta que da lugar a que se formen los dos semiplanos, la llamamos frontera y no es parte de ninguno de los dos semiplanos.
Los puntos
Los puntos nos sirven para definir una posición en el plano. Formamos una línea cuando unimos diferentes puntos. Sin embargo, para distinguir una recta de otra, debemos nombrar dos de sus puntos.
Decimos que una recta pertenece a un plano, cuando todos sus puntos, son también puntos que pertenecen al plano.
Semirrectas
Si marcamos nuestra recta definiendo sólo un punto inicial, entonces tenemos una semirrecta. El punto O, divide nuestra recta en dos partes, formando dos semirrectas.
Es importante saber que el punto O, no pertenece a las semirrectas, sino es sólo la frontera entre las dos semirrectas.
Segmentos
Si dibujamos dos puntos en la recta, marcando con esto dos extremos, tendremos un segmento. En nuestro ejemplo, ; es el segmento .
http://yachay.stormpages.com/10geo/g0_fund.htm
VIDEO:
ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA.
EL PUNTO.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
Un punto se representa con una pequeña cruz y se lo designa con una letra de imprenta mayúscula.
Todo punto pertenece a infinitas rectas, ya que por un punto pasan infinitas rectas.
Línea.
Una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección.
Línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento.
La línea geométrica por definición es un arte invisible. Es la traza que el punto deja al moverse y por lo tanto es un producto suyo. Surge de la alteración del reposo total del punto. Con ella se salta de una situación estática a una dinámica. La línea se halla en el extremo opuesto al elemento primario, es decir al punto, y constituye un elemento derivado o secundario.
En geometría, una línea:
•es recta (sin curvas),
•no tiene grosor,
•y se extiende sin fin en las dos direcciones
No tiene extremos.
Si tiene extremos entonces se llama «segmento de línea».
Puede ser recta, curva o quebrada.
Línea recta
Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta.
Notación: ó
Línea curva
Si el punto cambia continuamente de dirección entonces es una línea curva.
Notación:
Línea quebrada.
Serie de dos o más segmentos rectos conectados extremo a extremo poer que no están en la misma dirección.
LA RECTA.
Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección.
Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.
Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula.
Dos puntos determinan una recta.
Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios
Pueden ser secantes, paralelas y perpendiculares.
“Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella». Tomada del libro de los Elementos de Euclides.
Una recta es el conjunto de todos los puntos del plano, donde las coordenadas de cada punto obedecen una relación de primer grado.
SEMIRECTA.
Una semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta. Una semirrecta tiene un primer punto, denominado origen y, por otra parte, se extiende hacia el infinito, como las rectas.
Una Semirrecta es una línea recta que se extiende desde un punto.
Semirrecta es la parte de una recta formada por un punto llamado origen, y todos los que le siguen en uno de los ordenamientos naturales.
SEGMENTO.
Se llama segmento AB a la intersección del conjunto de puntos de la semirrecta AB y de la semirrecta BA.
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.
Igualdad de segmentos
Dos segmentos son iguales cuando superpuestos coinciden
Segmento nulo
Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.
Segmentos consecutivos
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en común.
Segmentos alineados
Dos segmentos consecutivos están alineados cuando pertenecen a la misma recta.
ANGULO.
Unión de dos rayos.
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
Ángulos:
Agudo: menor de 90°
Recto: 90°
Obtuso: entre 90 y 180°
Llano:180°
Adyacentes: si tienen un lado en común
Complementarios: su suma es 90°
Suplementarios: su suma es 180°
Los ángulos se miden en grados o radianes.
TRIANGULO.
Dados en un plano tres puntos A, B y C no alineados, se llama triángulo a la intersección de los ángulos convexos.
Triángulo equilátero: Sus tres lados tienen la misma longitud y los miden lo mismo
Triángulo isósceles: Tiene dos lados y dos ángulos iguales Triángulo escaleno: Todos sus lados y todos sus ángulos.
Equilátero Isósceles Escaleno
Por la medida de sus ángulos:
Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto (90º). A los dos lados que forman un ángulo recto se les denomina catetos y al lado restante hipotenusa.
Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90º) y los otros dos son agudos (menor de 90º)
Triángulo acutángulo: Es aquel cuyos tres ángulos son agudos. En particular, el triángulo equilátero es un ejemplo de triángulo acutángulo.
Triángulo oblicuángulo: Cuando no tiene un ángulo interior recto (90º), es decir que sea obtusángulo o acutángulo.
AXIOMA.
Un “axioma” es una proposición evidente por sí misma y por lo tanto no necesita demostración.
Un axioma es una proposición que no tiene que demostrarse.
POSTULADO.
Es una afirmación con pretensión de ser tenida como verdadera, aunque se halla sujeta a verificación.
Proposición que se toma como base para un razonamiento o demostración, cuya verdad se admite sin pruebas.
BIBLIOGRAFIA
http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)
http://es.wikipedia.org/wiki/Recta
http://www.arqhys.com/arquitectura/punto.html
http://www.escolar.com/avanzado/geometria001.htm
http://matematicas-nestor.blogspot.com/2008/01/la-recta-geometra-analtica.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Segmento
http://www.geoka.net/geometria/segmento.html
http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/punrecsemirec.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Semirrecta
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t5-geometria/Geometria/node2.html
http://www.xuletas.es/ficha/angulos-y-elementos-geometricos/
imágenes
VIDEOGRAFIA
ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA.
EL PUNTO.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
Un punto se representa con una pequeña cruz y se lo designa con una letra de imprenta mayúscula.
Todo punto pertenece a infinitas rectas, ya que por un punto pasan infinitas rectas.
Línea.
Una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección.
Línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento.
La línea geométrica por definición es un arte invisible. Es la traza que el punto deja al moverse y por lo tanto es un producto suyo. Surge de la alteración del reposo total del punto. Con ella se salta de una situación estática a una dinámica. La línea se halla en el extremo opuesto al elemento primario, es decir al punto, y constituye un elemento derivado o secundario.
En geometría, una línea:
•es recta (sin curvas),
•no tiene grosor,
•y se extiende sin fin en las dos direcciones
No tiene extremos.
Si tiene extremos entonces se llama «segmento de línea».
Puede ser recta, curva o quebrada.
Línea recta
Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta.
Notación: ó
Línea curva
Si el punto cambia continuamente de dirección entonces es una línea curva.
Notación:
Línea quebrada.
Serie de dos o más segmentos rectos conectados extremo a extremo poer que no están en la misma dirección.
LA RECTA.
Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección.
Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.
Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula.
Dos puntos determinan una recta.
Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios
Pueden ser secantes, paralelas y perpendiculares.
“Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella». Tomada del libro de los Elementos de Euclides.
Una recta es el conjunto de todos los puntos del plano, donde las coordenadas de cada punto obedecen una relación de primer grado.
SEMIRECTA.
Una semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta. Una semirrecta tiene un primer punto, denominado origen y, por otra parte, se extiende hacia el infinito, como las rectas.
Una Semirrecta es una línea recta que se extiende desde un punto.
Semirrecta es la parte de una recta formada por un punto llamado origen, y todos los que le siguen en uno de los ordenamientos naturales.
SEGMENTO.
Se llama segmento AB a la intersección del conjunto de puntos de la semirrecta AB y de la semirrecta BA.
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.
Igualdad de segmentos
Dos segmentos son iguales cuando superpuestos coinciden
Segmento nulo
Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.
Segmentos consecutivos
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en común.
Segmentos alineados
Dos segmentos consecutivos están alineados cuando pertenecen a la misma recta.
ANGULO.
Unión de dos rayos.
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
Ángulos:
Agudo: menor de 90°
Recto: 90°
Obtuso: entre 90 y 180°
Llano:180°
Adyacentes: si tienen un lado en común
Complementarios: su suma es 90°
Suplementarios: su suma es 180°
Los ángulos se miden en grados o radianes.
TRIANGULO.
Dados en un plano tres puntos A, B y C no alineados, se llama triángulo a la intersección de los ángulos convexos.
Triángulo equilátero: Sus tres lados tienen la misma longitud y los miden lo mismo
Triángulo isósceles: Tiene dos lados y dos ángulos iguales Triángulo escaleno: Todos sus lados y todos sus ángulos.
Equilátero Isósceles Escaleno
Por la medida de sus ángulos:
Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto (90º). A los dos lados que forman un ángulo recto se les denomina catetos y al lado restante hipotenusa.
Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90º) y los otros dos son agudos (menor de 90º)
Triángulo acutángulo: Es aquel cuyos tres ángulos son agudos. En particular, el triángulo equilátero es un ejemplo de triángulo acutángulo.
Triángulo oblicuángulo: Cuando no tiene un ángulo interior recto (90º), es decir que sea obtusángulo o acutángulo.
AXIOMA.
Un “axioma” es una proposición evidente por sí misma y por lo tanto no necesita demostración.
Un axioma es una proposición que no tiene que demostrarse.
POSTULADO.
Es una afirmación con pretensión de ser tenida como verdadera, aunque se halla sujeta a verificación.
Proposición que se toma como base para un razonamiento o demostración, cuya verdad se admite sin pruebas.
BIBLIOGRAFIA
http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)
http://es.wikipedia.org/wiki/Recta
http://www.arqhys.com/arquitectura/punto.html
http://www.escolar.com/avanzado/geometria001.htm
http://matematicas-nestor.blogspot.com/2008/01/la-recta-geometra-analtica.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Segmento
http://www.geoka.net/geometria/segmento.html
http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/punrecsemirec.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Semirrecta
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t5-geometria/Geometria/node2.html
http://www.xuletas.es/ficha/angulos-y-elementos-geometricos/
imágenes
VIDEOGRAFIA
profe tome en cuenta este.
ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA
Las Rectas
Las rectas se forman por la unión de puntos que van en la misma dirección.
Como puedes ver en el dibujo, las rectas pueden tener dirección horizontal, vertical u oblicua. Decimos que es oblicua, cuando tiene cualquier otra forma que no es ni horizontal ni vertical.
Recta Horizontal Recta Vertical Recta Oblicua
El plano
El plano es una superficie infinita que está formada por puntos y rectas, y donde podemos encontrar figuras geométricas como: triángulos, rombos, cuadrados, entre muchas otras.
Imagina por un momento, que una parte de ese plano es tu hoja de cuaderno. No olvides que el plano no tiene grosor y es ilimitado, por lo tanto, imagínalo extendiéndose en todas sus direcciones.
Un plano está compuesto por infinitos puntos. Utilizamos el símbolo Ppara referirnos a un plano y debemos dibujar, a lo menos, tres puntos no alineados. El dibujo que ves, es una presentación del plano: P CBD.
Semiplano
Llamamos semiplano, a cada una de las partes en que un plano queda dividido por cualquiera de sus rectas.
A la recta que da lugar a que se formen los dos semiplanos, la llamamos frontera y no es parte de ninguno de los dos semiplanos.
Los puntos
Los puntos nos sirven para definir una posición en el plano. Formamos una línea cuando unimos diferentes puntos. Sin embargo, para distinguir una recta de otra, debemos nombrar dos de sus puntos.
Decimos que una recta pertenece a un plano, cuando todos sus puntos, son también puntos que pertenecen al plano.
Semirrectas
Si marcamos nuestra recta definiendo sólo un punto inicial, entonces tenemos una semirrecta. El punto O, divide nuestra recta en dos partes, formando dos semirrectas.
Es importante saber que el punto O, no pertenece a las semirrectas, sino es sólo la frontera entre las dos semirrectas.
Segmentos
Si dibujamos dos puntos en la recta, marcando con esto dos extremos, tendremos un segmento. En nuestro ejemplo, ; es el segmento .
Video:
ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA
Punto (geometría)
La intersección de los ejes de coordenadas cartesianas es un punto llamado origen.
En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
Historia
El concepto de punto, como ente geométrico, surge en la antigua concepción griega de la geometría, compilada en Alejandría por Euclides en su tratado Los Elementos, dando una definición de punto excluyente: «lo que no tiene ninguna parte». El punto, en la geometría clásica se basa en la idea de que era un concepto intuitivo, el ente geométrico «sin dimensiones», y sólo era necesario asumir la noción de punto.
Esa cuestión fue analizada por A. N. Whitehead en: Una investigación sobre los principios naturales de conocimiento (An Inquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge), y El concepto de la Naturaleza (The concept of Nature). En estos libros se expone la «relación de inclusión». En Proceso y Realidad (Process and Reality) Whitehead propone un nuevo enfoque basado en la «relación de conexión» topológica. También H. J. Schmidt plantea una visión totalmente distinta del punto geométrico
Representación gráfica
En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+), círculo (o), cuadrado o triángulo. En relación a otras figuras, suelen representarse con un pequeño segmento perpendicular cuando pertenece a una recta, semirrecta o segmento.
A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc. (a las rectas con letras minúsculas, y a los ángulos con letras griegas).
La forma de representar un punto mediante dos segmentos que se cortan (una pequeña “cruz” +) presupone que el punto es la intersección. Cuando se representa con un pequeño círculo, circunferencia, u otra figura geométrica, presupone que el punto es su centro.
Ángulo
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.
Definiciones
Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano
1. Forma geométrica: Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
2. Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.
Definiciones clásicas
Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclus un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemus, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpus de Antioch, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.
Las unidades de medida de ángulos
Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:
• Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)
• Grado centesimal
• Grado sexagesimal
Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.
Recta
En geometría euclidiana, la recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.
Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la «pendiente de la recta» y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado «término independiente» u «ordenada al origen» y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.
Definiciones y postulados de Euclides relacionados con la recta
Euclides, en su tratado denominado Los Elementos,[1] establece varias definiciones relacionadas con la línea y la línea recta:
• Una línea es una longitud sin anchura (Libro I, definición 2).
• Los extremos de una línea son puntos (Libro I, definición 3).
• Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella (Libro I, definición 4).
También estableció dos postulados relacionados con la línea recta:
• Por dos puntos diferentes sólo pasa una línea recta (Libro I, postulado 1).
• Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales es menor que dos ángulos rectos: las dos rectas, suficientemente alargadas, se cortarán en el mismo lado (Libro I, quinto postulado).
Características de la recta
Algunas de las características de la recta son las siguientes:
• La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos.
• La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la geometría euclidiana.
• La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.
Línea
En geometría, una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección.
Tipos
pueden ser 5 tipo lineales tipos:
Planas (dos dimensiones)
• Línea recta, la sucesión continua de puntos en una misma dirección.
• Línea curva, de formas redondeadas, con uno o varios centros de curvatura.
• Línea quebrada o poligonal, formada por segmentos rectos consecutivos no alineados, presentando puntos angulosos.
o poligonal abierta, si no están unidos el primero y último segmentos.
o poligonal cerrada, si cada segmento está unido a otros dos.
• Línea mixta, una combinación de una línea recta y una curva.
• Toda línea es un trazo a través del punto
Segmento
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Lineline.jpg
http://www.youtube.com/watch?v=OvCxN771T6M&feature=player_detailpage
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
Así, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.
Segmentos consecutivos
Segmentos consecutivos.
Dos segmento son consecutivos cuando tienen en común únicamente un extremo. Según pertenezcan o no a la misma recta, se clasifican en:
• Colineales
• No colineales
Los segmentos consecutivos no colineales, llamados poligonal o quebrada, pueden ser abiertos o cerrados según tengan o no extremos comunes el primer y el último segmento que lo forman. Las poligonales cerradas forman polígonos.
Los segmentos como cantidades
El conjunto de los segmentos métricos, constituye una magnitud, de la que los segmentos son cantidades. Es posible determinar entre ellos relaciones y efectuar las operaciones definidas para los elementos de una magnitud:
Comparación de segmentos
Postulado de las tres posibilidades (Ley de Tricotomía): Dados dos segmentos, debe verificarse una y solo una de las tres posibilidades siguientes:
• Los segmentos son iguales
• El primero es mayor que el segundo
• El primero es menor que el segundo
Posibilidades que se excluyen y se completan, es decir que al cumplirse una dejan de cumplirse las restantes, y fuera de ellas no existe posibilidad alguna.
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:ACP_3.svg
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Angulo_positivo.svg
hay dos ligas que no están correctas.
Definiciones de los elementos de la Geometría.
Geometría: es la rama de las matemáticas, que sirve para medir todo lo que hay en la Tierra.
Axioma: Afirmaciones o proporciones que relacionan conceptos. Estos axiomas dan lugar a teorias que pueden ser comprobados gracias a instrumentos como el compás y el teodolito.
Postulado: Son verdades que no necesariamente necesitan ser demostradas.
Linea: ES una suceción indefinida de puntos.
Linea quebrada: Es la linea que esta formada por grupos de lineas formados por puntos que mantienen la misma direccion entre si pero diferente direccion entre las lineas.
Curvilinea: Es la linea que esta formada por una sucesion de puntos con distintas direcciones entre si.
Rectilinea: Es la sucesion continua, uniforme de puntos en la misma dirección.
Recta: se extiende en 2 sentidos ilimitadamente. dos rectas no pueden tener mas que un solo punto en comun. Por dos puntos pasa una y solo una linea recta.Semirecta: Es el conjunto de puntos continuos desde un punto que se extiende hacia otro.
Segmento: Es una porcion de recta que esta limitada por un par de puntos.
Medida de un segmento: Medir un segmento es compararlo con otro elegido como unidad o parametro.
Adicion de segmentos: Es colocar segmentos de medidas diferentes (o iguales según sea el caso) en una recta cualquiera, dispuestos uno seguido del otro.
Sustracción de segmentos: Es colocarlos aquellos de medidas diferentes tomando en cuenta que el menor de ellos sera el segmento sustraendo y estara situado sobre el segmento sustraendo y estara situado sobre el segmento mayor llamado segmento minuendo, de manera que el segmento resultante de la diferencia sera el que quede comprendido como complemento del segmento mayor (segmento minuendo).
Perpendicularidad: La perpendicularidad de una linea o plano es la que forma angulo recto con la dada.
Paralelismo: Una propiedad de la geometria representada por rectas que no se cortan.
Oblicuidad: Dirección inclinada.||Inclinacion que aporta del angulo recto la linea o el plano que se considera respecto de otra u otro.
Sistema sexagesimal: Es un sistema de numeracion posicional que emplea la base sesenta.
Sistema centecimal: Es la circunferencia dividida en 400 partes iguales, llamadas » grados centesimales», cada grado tiene 100 » minutos centesimales» y cada minuto tiene 100 » segundos centesimales» .
Ángulo: Figura geometrica formada por la union de dos semirectas de origen común.
Vertice: Punto de origen común.
Ángulo agudo: Es un ángulo que mide menos de 90°.
Ángulo recto: Es un ángulo que mide 90°.
Ángulo obtuso: Es el ángulo que mide mas de 90° pero menos de 180.°
Ángulo llano: O de lados colineales, es aquel que mide 180° .
Ángulo cóncavo o entrante: Es el ángulo que mayor que 180° pero menor que 360°.
Ángulo perígonal o perígono: Ángulo que se origina cuando un rayo gira y regresa a su posicion original, aquel que mide 360°.
Ángulos complementarios: Son 2 ángulos cuya suma dan como resultado 90°
Ángulos suplementarios: Son 2 angulos cuya suma dan como resultado 180°.
Ángulos conjugados: Son 2 angulos cuya suma dan como resultado 360°.
Ángulos consecutivos o contibuos: Cuando varias rectas tienen en comun un vertice.
Ángulos adyacentes: Que tiene el vértice y un lado común y los otros lados situados uno en prolongación del otro. Forman un angulo llano.
Ángulos opuestos por el vértice: Son los ángulos opuestos cuando se cruzan dos líneas.
Triángulos: Son las figuras con la miníma cantidad de lados posibles. Es el espacio comprendido entre 3 rectas que se intersectan entre sí.
Triángulo equilátero: Todos sus lados son iguales y sus angulos tambien.
Triángulo Isósceles: Solo de sus 2 lados son iguales.
Triángulo Escaleno: Sus 3 lados son desiguales al igual que sus angulos.
Triángulo Rectángulo: Un ángulo recto de 90°.
Triangulo acutángulo: Sus 3 ángulos menores de 90° .
Triángulo Obtusángulo: 1 Angulo obtuso (mayor de 90°).
Mediatriz: ES cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio. Cada triangulo tiene 3 mediatrices.
Circucentro: El cruce de las 3 mediatrices .
Mediana: Es la linea que une al vertice de un triangulo con el punto medio del lado puesto.
Baricentro: Es el cruce de las 3 medianas.
Altura: Es la linea perpendicular a un lado que se extiende asta el vertice opuesto. Cada triangulo tiene 3 alturas.
Ortocentro: Es el cruce de las 3 alturas.
Bisectriz: Es la recta que divide en 2 partes iguales o en un angulo. Existen 3 bisectricez en un triangulo po cada angulo.
Incentro: Es el punto que surge del cruce de las 3 bisectricez.
Circunferencua: Es una linea curva cerrada y plana cuyos puntos equidistan de otro punto interior llamado centro.
Circulo: Es una superficie plana limitasa po una circunferencia.
Centro: Punto central de quien equilista todos los puntos que integran una circunferencia.
Diametro: Es la linea que va de lado a lado de la circunferencia y que pasa por el centro.
Radio: Es la recta que va desde el diametro hasta la circunferencia.
Tangente: Es la recta que pasa por la circunferencia tocando solo un punto de ella.
Punto de tangencia: Es el punto de la circunferencia que toca una tangente.
Secante: Es la recta que corta una circunferencia de lado a lado sin pasar por su centro.
Cuerda: Es la recta que toca 2 puntos de la circunferencia sin tocar el centro y sin salirse de ella.
Arco: Es la porcion de circunferencia delimitada por una cuerda.
Flecha: Es la linea perpendicular a una cuerda que pasa por su punto medio y que sale de la circunferencia.
Cuadrilátero: Es un plano formado por 4 lados donde dos pares de ellos son opuestos entre sí. Todos los cuadriláteros tiene 2 diagonales.
Paralelogramos: Son aquellos con los lados opuestos son paralelos.
Trapecios: Son aquellos donde dos de sus lados opuestos son paralelos.
Trapezoides: Se tienen 2 casos de trapezoides: 1.- Cuando dos de sus lados consecutivos son de la misma magnitud. 2.- Cuando ninguno de sus lados consecutivos son de la misma magnitud.
Polígono: Es una porción cerrada del plano comprendida entre segmentos de recta que se unen por sus extremos.
Polígonos regulares: aquel que tiene todos sus lados iguales, es decir, es un polígono equiángulo.
Polígono irregular cóncavos: Los polígonos cóncavas hay al menos un ángulo que apunta hacia adentro, es decir, un ángulo interior es mayor que 180°.
Polígono irregular convexo: El polígono convexo tiene todos los ángulos interiores apuntando hacia afuera, es decir, todos los ángulos interiores son menores que 180°.
Trigonometría: Rama de las matemáticas, se ocupa exclusivamente de estudiar las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos.
Teorema de Pitágoras: » El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos ».
El plano: Es una superficie infinita que esta formada por puntos y rectas, y donde podemos encontrar figuras geométricas.
Semiplano: A cada una de las partes en que un plano que divido por cualquiera de sus rectas.
Apotema: Es la perpendicular que une el centro del polígono con cualquiera de sus lados.
Perímetro de una figura plana: Es la medida de su superficie.
Números primos: Es un número natural que tiene exactamente dos divisores distintos: él mismo y el 1.
Área: Es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales.
Secantes: Rectas secantes son las que se cortan.
Simetría axial: Es un desplazamiento que intercambia los puntos de los 2 lados de una determinada recta.
El Punto: es una » figura geométrica » dimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional.
Superficie: Es de hecho un conjunto de puntos de un espacio euclídeo que forma un espacio topológico bidimensional que localmente, es decir, visto de cerca se parece al espacio euclídeo bidimensional.
Espacio tangente: El conjunto de todos los espacios tangentes, debidamente teologizada.
Bibliografía:
Mi cuaderno de geometría y trigonometría de II semestre.
Video 2: http://youtu.be/OvCxN771T6M
Video 1: http://youtu.be/5rXKbuwWh80
Imagen 1 :
Imagen 2 :
Imagen 3 :
Elementos de la Geometria:
*Punto:
En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
Historia
El concepto de punto, como ente geométrico, surge en la antigua concepción griega de la geometría, compilada en Alejandría por Euclides en su tratado Los Elementos, dando una definición de punto excluyente: «lo que no tiene ninguna parte». El punto, en la geometría clásica se basa en la idea de que era un concepto intuitivo, el ente geométrico «sin dimensiones», y sólo era necesario asumir la noción de punto.
Esa cuestión fue analizada por A. N. Whitehead en: Una investigación sobre los principios naturales de conocimiento (An Inquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge), y El concepto de la Naturaleza (The concept of Nature). En estos libros se expone la «relación de inclusión». En Proceso y Realidad (Process and Reality) Whitehead propone un nuevo enfoque basado en la «relación de conexión» topológica. También H. J. Schmidt plantea una visión totalmente distinta del punto geométrico.
Representación gráfica
En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+), círculo (o), cuadrado o triángulo. En relación a otras figuras, suelen representarse con un pequeño segmentoperpendicular cuando pertenece a una recta, semirrecta o segmento.
A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc. (a las rectas con letras minúsculas, y a los ángulos con letras griegas).
La forma de representar un punto mediante dos segmentos que se cortan (una pequeña “cruz” +) presupone que el punto es la intersección. Cuando se representa con un pequeño círculo, circunferencia, u otra figura geométrica, presupone que el punto es su centro.
bibliografía:
http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)
imagen:
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:ACP_3.svg
*Linea:
En geometría, una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección.
Tipos
pueden ser 5 tipo lineales tipos:
Planas (dos dimensiones)
Línea recta, la sucesión continua de puntos en una misma dirección.
Línea curva, de formas redondeadas, con uno o varios centros de curvatura.
Línea quebrada o poligonal, formada por segmentos rectos consecutivos no alineados, presentando puntos angulosos.
poligonal abierta, si no están unidos el primero y último segmentos.
poligonal cerrada, si cada segmento está unido a otros dos.
Línea mixta, una combinación de una línea recta y una curva.
Toda línea es un trazo a través del punto.
bibliografia:
http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADne
imagen:
*Angulo:
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.
Definiciones
Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano
Forma geométrica: Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.
Definiciones clásicas
Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclus un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemus, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpus de Antioch, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.
bibliografia:
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo
imagen:
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Angulo_positivo.svg
*Recta:
En geometría euclidiana, la recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.
Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la «pendiente de la recta» y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado «término independiente» u «ordenada al origen» y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.
bibliografia:
http://es.wikipedia.org/wiki/Recta
imagen:
*Segmento:
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
Así, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.
Operaciones
Se distinguen las siguientes operaciones:
Suma
La suma de varios segmentos consecutivos colineales, da por resultado el segmento determinado por los extremos no comunes de los segmentos considerados. Geométricamente, la suma de segmentos es otro segmento que se obtiene construyendo colinealmente segmentos ordenadamente congruentes con los dados, y procediendo como se indica al principio.
imagen:
bibliografia:
http://es.wikipedia.org/wiki/Segmento
video:
dos de las ligas de las imagenes no son correctas
Elementos de la Geometria
Punto
En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
Representacion Grafica
En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+), círculo (o), cuadrado o triángulo. En relación a otras figuras, suelen representarse con un pequeño segmento perpendicular cuando pertenece a una recta, semirrecta o segmento.
A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc. (a las rectas con letras minúsculas, y a los ángulos con letras griegas).
La forma de representar un punto mediante dos segmentos que se cortan (una pequeña “cruz” +) presupone que el punto es la intersección. Cuando se representa con un pequeño círculo, circunferencia, u otra figura geométrica, presupone que el punto es su centro.
Determinacion Geometrica
Un punto puede determinarse con diversos sistemas de referencia:
En el sistema de coordenadas cartesianas, se determina mediante las distancias ortogonales a los ejes principales, que se indican con dos letras o números: (x, y) en el plano; y con tres en el espacio (x, y, z).
En coordenadas polares, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto del eje de referencia: (r, θ).
En coordenadas esféricas, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto de los ejes de referencia: (r, θ, φ)
En coordenadas cilíndricas, mediante coordenadas radial, acimutal y altura: (ρ, φ, z).
También se pueden emplear sistemas de coordenadas elípticas, parabólicas, esferoidales, toridales, etc.
Línea
En geometría, una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección.
pueden ser 5 tipo lineales tipos:
Planas (dos dimensiones)
• Línea recta, la sucesión continua de puntos en una misma dirección.
• Línea curva, de formas redondeadas, con uno o varios centros de curvatura.
• Línea quebrada o poligonal, formada por segmentos rectos consecutivos no alineados, presentando puntos angulosos.
o poligonal abierta, si no están unidos el primero y último segmentos.
o poligonal cerrada, si cada segmento está unido a otros dos.
• Línea mixta, una combinación de una línea recta y una curva.
• Toda línea es un trazo a través del punto
Angulos
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.[1] Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.
Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano
1. Forma geométrica: Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
2. Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.
Definiciones clásicas
Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclus un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemus, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpus de Antioch, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.
Las unidades de medida de ángulos
Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:
• Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)
• Grado centesimal
• Grado sexagesimal
Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.
Clasificación de ángulos
.
Tipo Descripción
Ángulo nulo
Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.
Ángulo agudo
Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de rad.
Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados centesimales).
Ángulo recto
Un ángulo recto es de amplitud igual a rad
Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales).
Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.
La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
Ángulo obtuso
Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a Rad. y menor a Rad.
Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y menos de 200g centesimales).
Ángulo llano, extendido o colineal
El ángulo llano tiene una amplitud de Rad.
Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).
Ángulo completo
o perigonal
Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de Rad.
Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).
Ángulos convexo y cóncavo
En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):[1]
Tipo Descripción
Ángulo convexo
o saliente
Es el que mide menos de Rad.
Equivale a más de 0° y menos de 180° sexagesimales (o más de 0g y menos de 200g centesimales).
Ángulo cóncavo,
reflejo o entrante
Es el que mide más de rad y menos de rad.
Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200g y menos de 400g centesimales).
Ángulos respecto de una circunferencia
Un ángulo, respecto de una circunferencia, puede ser:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos.
La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Véase: arco capaz.)
Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre ésta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones;
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de ésta.
La amplitud de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.
En función de su posición, se denominan:
• ángulo interior o interno de un polígono, es el formado por lados adyacentes, interiormente,
• ángulo exterior o externo de un polígono, es el conformado por un lado y la prolongación del adyacente.
Bibliografía: http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_%28geometr%C3%ADa%29
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo
http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea
PUNTO
En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
LINEA
En geometría, una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección. Las líneas según la continuidad es su dirección y su distancia que la separa puede ser línea quebrada, curvilínea y rectilínea.
LINEA QUEBRADA
Línea quebrada o poligonal, formada por segmentos rectos consecutivos no alineados, presentando untos angulosos.
poligonal abierta, si no están unidos el primero y último segmentos.
poligonal cerrada, si cada segmento está unido a otros dos.
http://www.google.com/imgres?imgurl=http://bp2.blogger.com/_a_pAcLDWNZQ/RtJYY7aDIcI/AAAAAAAAAC0/TvY_Zg1XnOs/s320/linea%2Bquebrada.jpg&imgrefurl=http://concepbas.blogspot.com/2007_08_01_archive.html&usg=__z62ySX9ED3dBCWPvtLXKSQs2uJU=&h=320&w=289&sz=11&hl=es&start=0&zoom=1&tbnid=PK45CUueRBsLIM:&tbnh=127&tbnw=91&ei=wJ_MTeDqE-Pj0QHuhZzkBA&prev=/search%3Fq%3Dlinea%2Bquebrada%26um%3D1%26hl%3Des%26sa%3DN%26rlz%3D1R2GGLL_es%26biw%3D894%26bih%3D527%26tbm%3Disch&um=1&itbs=1&iact=rc&dur=609&page=1&ndsp=13&ved=1t:429,r:12,s:0&tx=61&ty=88
Curvilínea
Es la línea que esta formada por una sucesión de puntos con distintas direcciones entre si
es una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia, y de curvas abiertas la parábola, la hipérbola o la catenaria. La recta sería el caso límite de una curva de radio infinito.
Rectilínea
la recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.
~~~~~~LOS ELEMENTOS PRINCIPALES DE LA GEOMETRIA~~~~~~
El punto
En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
•El Punto
Es el elemento más pequeño de la geometría. No tiene dimensión. Sólo designa un lugar en el espacio.
Se representan por medio de estos signos: +,x, y se nombran con letras mayúsculas o números
Línea
En geometría, una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección.
•La línea:
Es una sucesión de puntos. Se nombra con letras minúsculas.
Paralelas:
Dos rectas son paralelas cuando equidistan en toda su longitud
Perpendiculares:
Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando un ángulo de 90 grados.
Semirrecta:
Una semirrecta es una porción de recta, que tiene principio pero no final
Segmento:
Un segmento es una porción de recta con principio y final. Se nombra con una letra minúscula o con las letras mayúsculas de los puntos extremos.
ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.
-_-_-_ENLACES EXTERNOS_-_-_-
http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)
http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo
los principales elementos de la geometría son:
• El Punto
Es el elemento más pequeño de la geometría. No tiene dimensión. Sólo designa un lugar en el espacio.
Se representan por medio de estos signos: +,x, y se nombran con letras mayúsculas o números.
• La línea
Es una sucesión de puntos. Se nombra con letras minúsculas.
o Recta:
La línea recta es una sucesión ilimitada de puntos en una misma dirección.
Paralelas
Dos rectas son paralelas cuando equidistan en toda su longitud.
Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando un ángulo de 90 grados.
o Semirrecta
Una semirrecta es una porción de recta, que tiene principio pero no final.
Un segmento es una porción de recta con principio y final. Se nombra con una letra minúscula o con las letras mayúsculas de los puntos extremos.
o Curva
• El ángulo
• Los Polígonos
• La Circunferencia
Bibliografia
https://dibtecnico.wikispaces.com/1.+ELEMENTOS+DE+LA+GEOMETRIA
1.
¿Qué es un punto?
El punto es el elemento base de la geometría, porque con él determinamos las rectas y los planos. Podemos definirlo también como la intercesión de dos lineas, sirve para indicar una posición y no tiene dimensión.
2.
¿Qué es una recta?
Una recta es una sucesión ininterrumpida de puntos, dos puntos determinan una recta, tienen una dimensión, la longitud.
Tipos de rectas:
• Recta:
La recta propiamente dicha se caracteriza por que los puntos que la forman están en la misma dirección. Tiene una sola dirección y dos sentidos. No se puede medir.
• Semirrecta:
Es linea recta que tiene origen pero no tiene fin, tiene sólo un sentido,y no se puede medir.
• Segmento:
Un segmento es una linea recta que tiene principio y fin, un segmento se puede medir.
• Poligonal:
Se llama recta poligonal aquella que está formada por varias porciones de rectas que están unas a continuación de otras, pero no están alineadas, la linea poligonal puede ser abierta (cuando ningún extremo se une) o cerrada (cuando el primer extremo se une con el ultimo). La linea poligonal cerrada forma una figura plana que se llama polígono.
• Curva:
Una curva está formada por puntos que están en distinta dirección. Puede ser curva abierta (los externos no se unen) curva cerrada (cuyos extremos se unen) y curva mixta (formada por lineas rectas y curvas unidas)
Posiciones de las rectas:
• Dos rectas son paralelas: si no tienen ningún punto en común.
• Dos rectas son secantes: cuando tienen un punto en común
• Dos rectas son perpendiculares: cuando al cortarse forman cuatro ángulos rectos
Posición de las rectas en el espacio: pueden ser
• Horizontal
• Vertical
• Inclinada
La linea curva puede ser:
• Circunferencia, es una curva regular cerrada, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro llamado centro.
• Elipse, es una curva regular cerrada que se diferencia de la anterior porque la suma de la distancia de cada uno de sus puntos respecto a otros dos que están en su interior es siempre igual.
• Espiral es una curva regular abierta que gira sobre si misma.
• Parábola es una curva regular abierta, cada uno de sus puntos está a una distancia siempre igual de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.
3.
¿Qué es un Ángulo?:
Concepto: Un ángulo es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el origen común.
Un ángulo está formado por:
– Lado de un ángulo: cada una de las dos semirrectas.
– Vértice de un ángulo: punto en el que coinciden las dos semirrectas.
– Amplitud: lo más importante del ángulo, es la abertura que hay entre los lados.
¿Cómo se miden los ángulos?
• Los ángulos se miden en grados sexagesimales
o 1º = 60´; 1´= 60´´ ; 1º = 3.600´´
• para medirlos se utiliza el transportador de ángulos
¿Qué es una Bisectriz de un Ángulo?
La Bisectriz de un Ángulo es la semirrecta, que pasando por el vértice, divide el ángulo en otros dos ángulos iguales.
Clasificación de los Ángulos:
1. Ángulo recto: su amplitud es de 90º
2. Ángulo llano: su amplitud es de 180º
3. Ángulo agudo: su amplitud es mayor que 0º y menor que 90º
4. Ángulo obtuso: su amplitud es mayor que 90º y menor que 180º
5. Ángulo completo: su amplitud es de 360º
6. Ángulo nulo: su amplitud es 0º
7. Ángulo convexo: su amplitud es mayor que 0º y menor que 180º
8. Ángulo cóncavo: su amplitud es mayor que 180º
9. Ángulos complementarios: dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus amplitudes es de 90º
10. Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes es de 180º
11. Ángulos adyacentes: dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y suplementarios a la vez.
12. Ángulos consecutivos: dos ángulos son consecutivos cuando tienen el vértice y un lado común
bibliografia
http://www.proyectosalonhogar.com/Diversos_Temas/Geometria/Indice.htm
videografía
Elementos de la geometria
Punto
En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
El punto es una “figura geométrica” adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
Recta
La recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano.
Semirrecta
Una semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta. Una semirrecta tiene un primer punto, denominado origen y, por otra parte, se extiende hacia el infinito, como las rectas.
Segmento
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos. Así, dados dos puntos B y C, se le llama segmento BC a la intersección de la semirrecta de origen B que contiene al punto C, y la semirrecta de origen C que contiene al punto AB. Luego, los puntos B y C se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.
Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales. Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una perpendicular a dicha recta. Simplemente significa en ángulos rectos de 90° .
Paralelas
Dos líneas son paralelas si siempre están a la misma distancia se llaman «equidistantes», y no se van a encontrar nunca. También apuntan en la misma dirección. Sólo recuerda: Siempre la misma distancia y no se encuentran nunca.
Angulo
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal. Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.
Los principales elementos de la geometría son:
Semirrecta
• El Punto
Es el elemento más pequeño de la geometría. No tiene dimensión. Sólo designa un lugar en el espacio.
Se representan por medio de estos signos: +,x, y se nombran con letras mayúsculas o números.
La línea
Es una sucesión de puntos. Se nombra con letras minúsculas.
• Recta:
La línea recta es una sucesión ilimitada de puntos en una misma dirección.
Paralelas
Dos rectas son paralelas cuando equidistan en toda su longitud.
Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando un ángulo de 90 grados.
Una semirrecta es una porción de recta, que tiene principio pero no final.
Segmento
Un segmento es una porción de recta con principio y final. Se nombra con una letra minúscula o con las letras mayúsculas de los puntos extremos.
• El ángulo
• Los Polígonos
• La Circunferencia
Bibliografía
https://dibtecnico.wikispaces.com/1.+ELEMENTOS+DE+LA+GEOMETRIA
Elementos de la geometria
Paralelas
Punto
En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
El punto es una “figura geométrica” adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido. Es el elemento más pequeño de la geometría. No tiene dimensión. Sólo designa un lugar en el espacio.
Recta
La recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano.
Semirrecta
Una semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta. Una semirrecta tiene un primer punto, denominado origen y, por otra parte, se extiende hacia el infinito, como las rectas.
Segmento
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos. Así, dados dos puntos B y C, se le llama segmento BC a la intersección de la semirrecta de origen B que contiene al punto C, y la semirrecta de origen C que contiene al punto AB. Luego, los puntos B y C se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.
Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales. Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una perpendicular a dicha recta. Simplemente significa en ángulos rectos de 90° .
Dos líneas son paralelas si siempre están a la misma distancia se llaman «equidistantes», y no se van a encontrar nunca. También apuntan en la misma dirección. Sólo recuerda: Siempre la misma distancia y no se encuentran nunca.
Angulo
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal. Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.
LOS ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA
Los principales elementos de la geometría son:
El Punto
Es el elemento más pequeño de la geometría. No tiene dimensión. Sólo designa un lugar en el espacio.
Se representan por medio de estos signos: +,x, y se nombran con letras mayúsculas o números.
• La línea
Es una sucesión de puntos. Se nombra con letras minúsculas.
• Recta:
La línea recta es una sucesión ilimitada de puntos en una misma direcci
o Paralelas
Dos rectas son paralelas cuando equidistan en toda su longitud.
o Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando un ángulo de 90 grados.
o Semirrecta
Una semirrecta es una porción de recta, que tiene principio pero no final.
• Segmento
Un segmento es una porción de recta con principio y final. Se nombra con una letra minúscula o con las letras mayúsculas de los puntos extremos.
o Curva
• El ángulo
• Los Polígonos
• La Circunferencia
LOS ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA.
El Punto
Es el elemento más pequeño de la geometría. No tiene dimensión. Sólo designa un lugar en el espacio.
Se representan por medio de estos signos: +,x, y se nombran con letras mayúsculas o números.
En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
La línea
Es una sucesión de puntos. Se nombra con letras minúsculas.
En geometría, una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección
Recta:
La línea recta es una sucesión ilimitada de puntos en una misma dirección.
En geometría euclidiana, la recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula.
Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la «pendiente de la recta» y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado «término independiente» u «ordenada al origen» y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.
Paralelas
Dos rectas son paralelas cuando equidistan en toda su longitud.
Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando un ángulo de 90 grados.
Semirrecta
Una semirrecta es una porción de recta, que tiene principio pero no final.
Segmento
Un segmento es una porción de recta con principio y final. Se nombra con una letra minúscula o con las letras mayúsculas de los puntos extremos.
ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE GEOMETRíA
Las Rectas
Las rectas se forman por la unión de puntos que van en la misma dirección.
Como puedes ver en el dibujo, las rectas pueden tener dirección horizontal, vertical u oblicua. Decimos que es oblicua, cuando tiene cualquier otra forma que no es ni horizontal ni vertical.
Recta Horizontal Recta Vertical Recta Oblicua
El plano
El plano es una superficie infinita que está formada por puntos y rectas, y donde podemos encontrar figuras geométricas como: triángulos, rombos, cuadrados, entre muchas otras.
Imagina por un momento, que una parte de ese plano es tu hoja de cuaderno. No olvides que el plano no tiene grosor y es ilimitado, por lo tanto, imagínalo extendiéndose en todas sus direcciones.
Un plano está compuesto por infinitos puntos. Utilizamos el símbolo Ppara referirnos a un plano y debemos dibujar, a lo menos, tres puntos no alineados. El dibujo que ves, es una presentación del plano: P CBD.
Semiplano
Llamamos semiplano, a cada una de las partes en que un plano queda dividido por cualquiera de sus rectas.
A la recta que da lugar a que se formen los dos semiplanos, la llamamos frontera y no es parte de ninguno de los dos semiplanos.
Los puntos
Los puntos nos sirven para definir una posición en el plano. Formamos una línea cuando unimos diferentes puntos. Sin embargo, para distinguir una recta de otra, debemos nombrar dos de sus puntos.
Decimos que una recta pertenece a un plano, cuando todos sus puntos, son también puntos que pertenecen al plano.
Semirrectas
Si marcamos nuestra recta definiendo sólo un punto inicial, entonces tenemos una semirrecta. El punto O, divide nuestra recta en dos partes, formando dos semirrectas.
Es importante saber que el punto O, no pertenece a las semirrectas, sino es sólo la frontera entre las dos semirrectas.
Segmentos
Si dibujamos dos puntos en la recta, marcando con esto dos extremos, tendremos un segmento. En nuestro ejemplo, ; es el segmento ..
ELEMENTOS DE LA GEOMETRIA.
EL PUNTO.
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.
Un punto se representa con una pequeña cruz y se lo designa con una letra de imprenta mayúscula.
Todo punto pertenece a infinitas rectas, ya que por un punto pasan infinitas rectas.
Línea.
Una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección.
Línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento.
La línea geométrica por definición es un arte invisible. Es la traza que el punto deja al moverse y por lo tanto es un producto suyo. Surge de la alteración del reposo total del punto. Con ella se salta de una situación estática a una dinámica. La línea se halla en el extremo opuesto al elemento primario, es decir al punto, y constituye un elemento derivado o secundario.
En geometría, una línea:
•es recta (sin curvas),
•no tiene grosor,
•y se extiende sin fin en las dos direcciones
No tiene extremos.
Si tiene extremos entonces se llama “segmento de línea”.
Puede ser recta, curva o quebrada.
Línea recta
Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta.
Notación: ó
Línea curva
Si el punto cambia continuamente de dirección entonces es una línea curva.
Notación:
Línea quebrada.
Serie de dos o más segmentos rectos conectados extremo a extremo poer que no están en la misma dirección.
LA RECTA.
Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección.
Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.
Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula.
Dos puntos determinan una recta.
Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios
Pueden ser secantes, paralelas y perpendiculares.
“Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella”. Tomada del libro de los Elementos de Euclides.
Una recta es el conjunto de todos los puntos del plano, donde las coordenadas de cada punto obedecen una relación de primer grado.
SEMIRECTA.
Una semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta. Una semirrecta tiene un primer punto, denominado origen y, por otra parte, se extiende hacia el infinito, como las rectas.
Una Semirrecta es una línea recta que se extiende desde un punto.
Semirrecta es la parte de una recta formada por un punto llamado origen, y todos los que le siguen en uno de los ordenamientos naturales.
SEGMENTO.
Se llama segmento AB a la intersección del conjunto de puntos de la semirrecta AB y de la semirrecta BA.
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.
Igualdad de segmentos
Dos segmentos son iguales cuando superpuestos coinciden
Segmento nulo
Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.
Segmentos consecutivos
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en común.
Segmentos alineados
Dos segmentos consecutivos están alineados cuando pertenecen a la misma recta.
ANGULO.
Unión de dos rayos.
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
Ángulos:
Agudo: menor de 90°
Recto: 90°
Obtuso: entre 90 y 180°
Llano:180°
Adyacentes: si tienen un lado en común
Complementarios: su suma es 90°
Suplementarios: su suma es 180°
Los ángulos se miden en grados o radianes.
TRIANGULO.
Dados en un plano tres puntos A, B y C no alineados, se llama triángulo a la intersección de los ángulos convexos.
Triángulo equilátero: Sus tres lados tienen la misma longitud y los miden lo mismo
Triángulo isósceles: Tiene dos lados y dos ángulos iguales Triángulo escaleno: Todos sus lados y todos sus ángulos.
Equilátero Isósceles Escaleno
Por la medida de sus ángulos:
Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto (90º). A los dos lados que forman un ángulo recto se les denomina catetos y al lado restante hipotenusa.
Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90º) y los otros dos son agudos (menor de 90º)
Triángulo acutángulo: Es aquel cuyos tres ángulos son agudos. En particular, el triángulo equilátero es un ejemplo de triángulo acutángulo.
Triángulo oblicuángulo: Cuando no tiene un ángulo interior recto (90º), es decir que sea obtusángulo o acutángulo.
AXIOMA.
Un “axioma” es una proposición evidente por sí misma y por lo tanto no necesita demostración.
Un axioma es una proposición que no tiene que demostrarse.
POSTULADO.
Es una afirmación con pretensión de ser tenida como verdadera, aunque se halla sujeta a verificación.
Proposición que se toma como base para un razonamiento o demostración, cuya verdad se admite sin pruebas.
ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE GEOMETRíA
Recta Vertical
Recta Oblicua
Las Rectas
Las rectas se forman por la unión de puntos que van en la misma dirección.
Como puedes ver en el dibujo, las rectas pueden tener dirección horizontal, vertical u oblicua. Decimos que es oblicua, cuando tiene cualquier otra forma que no es ni horizontal ni vertical.
Recta Horizontal
El plano
El plano es una superficie infinita que está formada por puntos y rectas, y donde podemos encontrar figuras geométricas como: triángulos, rombos, cuadrados, entre muchas otras.
Imagina por un momento, que una parte de ese plano es tu hoja de cuaderno. No olvides que el plano no tiene grosor y es ilimitado, por lo tanto, imagínalo extendiéndose en todas sus direcciones.
Un plano está compuesto por infinitos puntos. Utilizamos el símbolo Ppara referirnos a un plano y debemos dibujar, a lo menos, tres puntos no alineados. El dibujo que ves, es una presentación del plano: P CBD.
Semiplano
Llamamos semiplano, a cada una de las partes en que un plano queda dividido por cualquiera de sus rectas.
A la recta que da lugar a que se formen los dos semiplanos, la llamamos frontera y no es parte de ninguno de los dos semiplanos.
Los puntos
Los puntos nos sirven para definir una posición en el plano. Formamos una línea cuando unimos diferentes puntos. Sin embargo, para distinguir una recta de otra, debemos nombrar dos de sus puntos.
Decimos que una recta pertenece a un plano, cuando todos sus puntos, son también puntos que pertenecen al plano.
Semirrectas
Si marcamos nuestra recta definiendo sólo un punto inicial, entonces tenemos una semirrecta. El punto O, divide nuestra recta en dos partes, formando dos semirrectas.
Es importante saber que el punto O, no pertenece a las semirrectas, sino es sólo la frontera entre las dos semirrectas.
Segmentos
Si dibujamos dos puntos en la recta, marcando con esto dos extremos, tendremos un segmento. En nuestro ejemplo, ; es el segmento .
BIBLIOGRAFIA
http://yachay.stormpages.com/10geo/g0_fund.htm
videos:
by.A.A.T
Introducción
Los antiguos Egipcios dependían exclusivamente de las aguas del río Nilo para efectuar sus trabajos agrícolas. El Nilo se desbordaba año con año, inundando grandes extensiones de tierra, la cual quedaba así apta para los cultivos. En las riveras del río se median y se distribuían las distintas parcelas para ser asignadas a los agricultores.
Este proceso debía repetirse año con año, pues cada inundación borraba las medidas del año anterior.
Así poco a poco, se fue perfeccionando la técnica de parcelas y nació la Geometría, que etimológicamente significa medición de tierras. Los Egipcios pues crearon la Geometría y la desarrollaron a tal grado que aun hoy tenemos como mudos testigos de ese desarrollo a las grandiosas pirámides de Egipto, cuya antigüedad supera los 5,000 años.
Desarrollo de Contenido
ANGULOS
Cuando dos rectas se encuentran y forman cuatro religiones llamadas ángulos. Cada ángulo esta limitado por dos lados y un vértice.
Es la abertura entre dos lados, los cuales tienen un punto común llamado vértice.
El lado desde el cual se empieza a medir el ángulo se llama Codo Inicial, y aquel donde se termina se llama Lado Terminal.
Para ver el gráfico seleccione la opción «Descargar» del menú superior
Tipos de Ángulos
Angulo Convexo: Se llama ángulo convexo R N M a la intersección del semiplano de borde NM, que contiene el punto R, y el semiplano de borde NR, que contiene el punto N.
En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.
La simetría es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones, y otros objetos materiales o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios.
En condiciones formales, decimos que un objeto es simétrico en lo que concierne a una operación matemática dada, si, cuando aplicado al objeto, esta operación no cambia el objeto o su aspecto. Dos objetos son simétricos uno al otro en lo que concierne a un grupo dado de operaciones si uno es obtenido de otro por algunas operaciones (y viceversa).
Simetría en geometría
Grupo de simetría de la esfera. Cuando hablamos de objetos físicos o elementos geométricos el concepto de simetría está asociado a transformaciones geométricas tales como las rotaciones, las reflexiones o las traslaciones. Así se dice que un objeto presenta:
Simetría esférica si existe simetría bajo cualquier rotación posible, matemáticamente equivale a que el grupo de simetría de un objeto físico o entidad matemática sea SO (3).
Simetría cilíndrica o axial, si existe un eje tal que los giros alrededor de él no conducen a cambios de posición en el espacio, matemáticamente está asociada a un grupo de isometría SO (2).
Simetría reflectiva, se define por la existencia de un único plano, matemáticamente está asociado al grupo SO (1) o su representación equivalente.
Si tratamos además de regiones geométricas infinitas, no acotadas, además puede existir simetría trasnacional.
Un eje de simetría es una línea imaginaria que al dividir una forma cualquiera, lo hace en dos partes, cuyos puntos opuestos son equidistantes entre sí, es decir, quedan simétricos.
Una traslación es un movimiento del plano en una dirección donde los segmentos AA’, BB’,… Tienen la misma longitud y son paralelos.
Propiedades de la traslación
a. La traslación conserva los ángulos, las longitudes, las áreas y la forma.
b. El sentido de los vértices de la figura original y su figura imagen es el mismo.
c. Un segmento, una semirrecta, una recta son paralelos a sus imágenes.
Simetría axial (reflexión)
La simetría axial es la simetría alrededor de un eje, de modo que un sistema tiene simetría axial o acidimetría cuando
al cortar dicho sistema por un semiplano que contiene al eje el resultado es siempre el mismo.
Una simetría axial de eje “e” es una transformación, por tanto a todo punto P del plano le corresponde otro punto P’ también del plano, de manera que el eje e sea la mediatriz del segmento AA’.
Las simetrías axiales son isometrías porque conservan las distancias entre los puntos y sus homólogos.
Propiedades de la simetría axial.
a. La simetría axial conserva longitudes, ángulos, áreas y forma.
b. Los vértices de una figura y de su figura imagen están en sentido contrario.
Actividad 7 correspondiente al lunes 9 de mayo.
En un archivo de Word, guardarán todo la información que encuentren sobre la congruencia, semejanza y homotecia, su definición, características, procedimientos, técnicas y aplicaciones. En un máximo de 5 cuartillas (o sea páginas). Pueden agregar imágenes (solo que no me interesan las imágenes en sí, si no la liga de las imágenes) y videos (pueden ser de Youtube, igual la pura liga basta). Este archivo igual que el anterior no me lo enviarán, si no que lo guardarán hasta que reciban instrucciones de qué hacer con él.
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño, es decir, cuando al poner una figura sobre la otra, ambas coinciden.
Caracteres de congruencia
• Todo segmento/ ángulo es igual a sí mismo (re flexibilidad)
• Si un segmento/ ángulo es igual a otro, entonces éste es igual al primero (simetría)
• Si un seg. / Áng. Es igual a otro, y éste a un tercero, entonces el primero es igual al tercero (transitividad)
La semejanza es la transformación del plano que resulta de componer un movimiento y una homotecia. Llamaremos razón de semejanza a la razón de la homotecia correspondiente.
Propiedad.
La semejanza de triángulos equivale a cualquiera de las siguientes propiedades:
a) Tienen sus ángulos iguales.
b) Tienen los lados correspondientes proporcionales.
c) Tienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman.
Se llama homotecia de centro O y razón k (distinto de cero) a la transformación que hace corresponder a un punto A otro A´, alineado con A y O, tal que: OA´=k•OA. Si k>0 se llama homotecia directa y si k<0 se llama homotecia inversa.
Homotecias de centro el origen de coordenadas
En una homotecia de origen el centro de coordenadas se puede ver con facilidad la relación que existe entre las coordenadas de puntos homotéticos. Si se considera A(x, y) y su homotético A´(x´,y´) la relación que hay entre ellos es la siguiente: x´=kx y´=ky
1) El centro de homotecia es el punto en el que concurren las rectas que determinan los puntos de una figura y sus correspondientes homólogos.
2) La razón de homotecia se calcula hallando el cociente entre OA y OA’ , siendo A un punto cualquiera. El signo de ésta dependerá de la posición de O respecto de A y A'.
3) Una homotecia transforma un segmento AB en otro paralelo A'B', k veces el primero. En consecuencia, la razón también se halla dividiendo la longitud de dos segmentos homólogos.
INDICE:
Elementos de la Geometría
1. el punto
2. línea
3. la recta
4. semirecta
5. segmento
6. angulo
7. triangulo
8. axioma
9. postulado
INTRODUCCION:
Este trabajo consiste en investigar y analizar los conceptos básicos de los elementos de la geometría plana y del espacio, como así también el planteo y soluciones de situaciones problemáticas que requieran el cálculo de perímetro y área de figuras geométricas planas.
La geometría plana trata de aquellos elementos que solo tienen dos dimensiones y, que por lo tanto, se encuentran y operan en un plano.Los elementos básicos con los que se suele trabajar en geometría plana son el punto, la recta, la circunferencia y otras curvas.
1.El punto:
El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido. Un punto se representa con una pequeña cruz y se lo designa con una letra de imprenta mayúscula. Todo punto pertenece a infinitas rectas, ya que por un punto pasan infinitas rectas.
2.La línea:
Una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección.
En geometría, una línea:
•es recta (sin curvas),
•no tiene grosor,
•y se extiende sin fin en las dos direcciones
No tiene extremos.
Si tiene extremos entonces se llama “segmento de línea”.
Puede ser recta, curva o quebrada.
-Línea recta
Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta.
-Línea curva
Si el punto cambia continuamente de dirección entonces es una línea curva.
– Línea quebrada.
Serie de dos o más segmentos rectos conectados extremo a extremo poer que no están en la misma dirección.
3.La recta
Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección.
Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.
Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula.
Dos puntos determinan una recta.
Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios
Pueden ser secantes, paralelas y perpendiculares.
4.Semirecta
Una semirrecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta. Una semirrecta tiene un primer punto, denominado origen y, por otra parte, se extiende hacia el infinito, como las rectas.
Una Semirrecta es una línea recta que se extiende desde un punto.
Semirrecta es la parte de una recta formada por un punto llamado origen, y todos los que le siguen en uno de los ordenamientos naturales.
5.Segmento
Se llama segmento AB a la intersección del conjunto de puntos de la semirrecta AB y de la semirrecta BA.
Un segmento, en geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
-Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.
-Igualdad de segmentos
Dos segmentos son iguales cuando superpuestos coinciden
-Segmento nulo
Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.
-Segmentos consecutivos
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en común.
-Segmentos alineados
Dos segmentos consecutivos están alineados cuando pertenecen a la misma recta.
6.angulo
Unión de dos rayos.
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
Ángulos:
Agudo: menor de 90°
Recto: 90°
Obtuso: entre 90 y 180°
Llano:180°
Adyacentes: si tienen un lado en común
Complementarios: su suma es 90°
Suplementarios: su suma es 180°
Los ángulos se miden en grados o radianes
7.Triangulo
Dados en un plano tres puntos A, B y C no alineados, se llama triángulo a la intersección de los ángulos convexos.
Triángulo equilátero: Sus tres lados tienen la misma longitud y los miden lo mismo
-Triángulo isósceles: Tiene dos lados y dos ángulos iguales Triángulo escaleno: Todos sus lados y todos sus ángulos.
-Equilátero Isósceles Escaleno
Por la medida de sus ángulos:
-Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto (90º). A los dos lados que forman un ángulo recto se les denomina catetos y al lado restante hipotenusa.
-Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90º) y los otros dos son agudos (menor de 90º)
-Triángulo acutángulo: Es aquel cuyos tres ángulos son agudos. En particular, el triángulo equilátero es un ejemplo de triángulo acutángulo.
-Triángulo oblicuángulo: Cuando no tiene un ángulo interior recto (90º), es decir que sea obtusángulo o acutángulo.
8.Axioma
Un “axioma” es una proposición evidente por sí misma y por lo tanto no necesita demostración.
Un axioma es una proposición que no tiene que demostrarse.
9.Postulado
Es una afirmación con pretensión de ser tenida como verdadera, aunque se halla sujeta a verificación.
Proposición que se toma como base para un razonamiento o demostración, cuya verdad se admite sin pruebas.
Videografia:
CONCLUSION:
El trabajo realizado nos ha ayudado a realizar un análisis de los conocimientos adquiridos en años anteriores, referente a la geometría plana.
Gracias a la investigación realizada afianzamos nuestros conocimientos referentes a los elementos fundamentales de la geometría, las rectas notables, clasificamos las relaciones entre cuadriláteros, como también de triángulos, circunferencia y círculos.
Planteamos y resolvemos situaciones problemáticas referente a las figuras mencionadas aplicando fórmulas pertinentes y teoremas fundamentales.
Bibliografia
http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)
http://es.wikipedia.org/wiki/Recta
http://www.arqhys.com/arquitectura/punto.html
http://www.escolar.com/avanzado/geometria001.htm
http://matematicas-nestor.blogspot.com/2008/01/la-recta-geometra-analtica.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Segmento
http://www.geoka.net/geometria/segmento.html
http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/punrecsemirec.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Semirrecta
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t5-geometria/Geometria/node2.html
http://www.xuletas.es/ficha/angulos-y-elementos-geometricos/