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18. Aplicaciones de las funciones trigonométricas.
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Geometría y Trigonometría 
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.
Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Trigonometría.
Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.
Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a una circunferencia de radio unidad de centro O.
Bibliografia:
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica
Videografia:
Aplicaciones de las funciones trigonométricas:
La funciones trigonometricas son útiles para estudiar un movimiento vibratorio u oscilante, como puede ser
el de una partícula de una cuerda de guitarra en vibración, o un resorte que se ha comprimido o estirado, para
luego soltarlo y dejarlo oscilante de un lado a otro. El tipo fundamental de desplazamiento de partículas en
esos ejemplos se llama movimiento armónico.
Movimiento armónico simple, movimiento rectilíneo con aceleración variable producido por las fuerzas que
se originan cuando un cuerpo se separa de su posición de equilibrio.
Un cuerpo oscila cuando se mueve periódicamente respecto a su posición de equilibrio. El movimiento
armónico simple es el más importante de los movimientos oscilatorios, pues constituye una buena
aproximación a muchas de las oscilaciones que se dan en la naturaleza y es muy sencillo de describir
matemáticamente. Se llama armónico porque la ecuación que lo define es función del seno o del coseno.
Para ayudar a la descripción del movimiento armónico, imagínese un punto P que se mueve a velocidad
constante en la circunferencia de radio a (con el sentido invariable)
bibliografia:
Haz clic para acceder a movimarmonicomarvin.pdf
Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Trigonometría.
Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.
bibliografia:
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica
videografia:
APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN LA RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS.
En la resolución de Triángulos Rectángulos existen 3 formas:
A)Cuando tenemos la medida de los 3 lados.
B)Cuando tenemos el valor de una función trigonométrica y empleamos el teorema de Pitágoras para encontrar el valor faltante.
C)Cuando tenemos el valor de un cateto y un ángulo agudo.
PRIMERA APLICACIÓN:
Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, determinar las funciones trigonométricas del ángulo señalado.
IMAGEN.
SEGUNDA APLICACIÓN.
Imagen.
TERCERA APLICACIÓN:
Resolver el triángulo rectángulo ABC sabiendo que <A=37° Y EL CATETO ADYACENTE ES =6.4m
IMAGEN.
VIDEO.
bibliografia
http://members.tripod.com/jorge_cetis10.mx/objetivo39.html
Obtener el ángulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante que va, desde la punta del primero hasta el piso, y que tiene un largo de 13.75 m
Ahora se tienen únicamente los valores de dos lados, con los cuales se debe obtener e! valor del ángulo.
Procedimiento:
a)Trazar un triángulo rectángulo anotando en el los datos.
b) Seleccionar la función trigonométrica que relacione a los lados conocidos con el ángulo.
c) Sustituir las literales por sus valores numéricos.
d) Efectuar la división indicada.
cos = 0.5454
e) Obtener, en las tablas de funciones trigonométricas o con la calculadora, el valor del ángulo.
f) Dar respuesta al problema.
El �ngulo formado por el poste y el cable tirante es de 56� 57'
Para resolver algunos problemas, donde se aplica la trigonometría, es conveniente conocer lo que es un ángulo de elevación y un ángulo de depresión.
APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Las razones trigonométricas se emplean en la resolución de triángulos rectángulos, esto es, en el círlculo de uno o más de sus lados o ángulos, con un mínimo de datos.
Para aplicar estas razones, es necesario conocer el valor numérico de dos de sus elementos (que pueden ser dos lados o un ángulo agudo y un lado) para encontrar el valor desconocido de otro de ellos.
Existen dos casos en la resolución de triángulos rectángulos cuyo procedimiento se ejemplifica a continuación.
1.-Obtención del valor de un lado, conocidos un ángulo y un lado
Ejemplo:
Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un ángulo de 60 con respecto al piso.
Procedimiento:
a) Trazar el triángulo rectángulo anotando los datos e indicando, con una letra, el lado que se desea calcular.
b) Seleccionar una razón trigonométrica que relacione al ángulo y lado conocidos con el lado que se desea calcular.
c) Despejar algebraicamente la letra que representa el lado que se desea calcular.
d) Sustituir las literales por sus valores numéricos de acuerdo con los datos.
e) Obtener el valor natural del ángulo por medio de las tablas trigonométricas o de la calculadora y efectuar las operaciones.
c = 5 m
f) Dar soluci�n al problema.
c = longitud de la escalera
Por lo tanto, la escalera mide 5 m.
VIDEO
bibliografia
http://www.pps.k12.or.us/district/depts/edmedia/videoteca/curso3/htmlb/SEC_43.HTM
APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN LA RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS.
El propósito será hallar todas las desconocidas de un triángulo rectángulo, dadas las unidades de los lados o la unidad de un ángulo agudo y la de un lado. Las funciones trigonométricas juegan un papel importante en este proceso.
Recuerda que un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo de 90 grados. Se localiza el triángulo rectángulo en el Cuadrante I del sistema de coordenadas y utilizamos la definición de las seis funciones trigonométricas que implica los lados de un triángulo, como se ilustra a continuación:
http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/trig6.htm
El lado b se conoce como el lado opuesto de un ángulo q, el lado a es el lado adyacente del ángulo q y el lado c es la hipotenusa.
En la resolución de Triángulos Rectángulos existen 3 formas:
A)Cuando tenemos la medida de los 3 lados.
B)Cuando tenemos el valor de una función trigonométrica y empleamos el teorema de Pitágoras para encontrar el valor faltante.
C)Cuando tenemos el valor de un cateto y un ángulo agudo.
PRIMERA APLICACIÓN:
Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, determinar las funciones trigonométricas del ángulo señalado.
SEGUNDA APLICACIÓN:
TERCERA APLICACIÓN:
Resolver el triángulo rectángulo ABC sabiendo que
Las funciones trigonometricas se emplean en la resolucion de triangulos rectangulos, esto es, en el calculo de uno o mas de sus lados o angulos, con un minimo de datos.
Para aplicar estas razones, es necesario conocer el valor numerico de dos de sus elementos (que pueden ser dos lados o un angulo agudo y un lado) para encontrar el valor desconocido de otro de ellos.
Existen dos casos en la resolucion de triangulos rectangulos cuyo procedimiento se ejemplifica a continuacion.
1.-Obtencion del valor de un lado, conocidos un angulo y un lado
Ejemplo:
Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un angulo de 60 con respecto al piso.
Procedimiento:
Trazar el triangulo rectangulo anotando los datos e indicando, con una letra, el lado que se desea calcular.
Seleccionar una funcion trigonometrica que relacione al angulo y lado conocidos con el lado que se desea calcular.
Despejar algebraicamente la letra que representa el lado que se desea calcular.
Sustituir las literales por sus valores numericos de acuerdo con los datos.
Obtener el valor natural del angulo por medio de las tablas trigonometricas o de la calculadora y efectuar las operaciones.
c = 5 m
f) Dar solucion al problema.
c = longitud de la escalera
Por lo tanto, la escalera mide 5 m.
Obtencion del valor de un angulo agudo, conocidos dos lados del triangulo
Obtener el angulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante que va, desde la punta del primero hasta el piso, y que tiene un largo de 13.75 m
Ahora se tienen unicamente los valores de dos lados, con los cuales se debe obtener e! valor del angulo.
Procedimiento:
a)Trazar un triangulo rectangulo anotando en los datos.
b) Seleccionar la funcion trigonometrica que relacione a los lados conocidos con el angulo.
Sustituir las literales por sus valores numericos.
Efectuar la division indicada.
cos = 0.5454
e) Obtener, en las tablas de funciones trigonometricas o con la calculadora, el valor del angulo.
Dar respuesta al problema.
El angulo formado por el poste y el cable tirante es de 56 57′
Para resolver algunos problemas, donde se aplica la trigonometria, es conveniente conocer lo que es un angulo de elevacion y un angulo de depresion.
Bibliografia:
http://members.tripod.com/jorge_cetis10.mx/objetivo39.html
http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/trig6.htm
http://www.pps.k12.or.us/district/depts/edmedia/videoteca/curso3/htmlb/SEC_43.HTM
Videografia:
Funciones Trigonometricas .
Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:
Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo, tienes algunas posibilidades:
Una consiste en dibujar con mucho cuidadito triángulos distintos con ángulos 90º, 60º y 30º y calcular los resultados de las divisiones anteriores (el cateto opuesto al ángulo de 60º dividido por la longitud de la hipotenusa) para así comprobar que siempre se obtiene el mismo resultado (aprox 0.87).
Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando triángulos, midiendo y dividiendo las longitudes con ayuda de algún programa informático (Cabri, Dr.Geo, etc.).
Otra es ir hasta el primer applet que te encuentres en esta página (pero sin saltarte lo que viene a continuación).
Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos que sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aprox 0.64).
A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y se escribe sen(40º) = 0.64.
(Estas explicaciones se tratarán con más detalle en clase y a partir de aquí definiremos las razones trigonométricas de ángulos agudos de triángulos rectángulos).
1. DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS:
En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.
sen(B) = AC/BC
cos(B) = BA/BC
tan(B) = AC/BA
Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones prácticas.
Pero antes de continuar verás a continuación un applet que te permitirá dibujar triángulos rectángulos en los que el valor de un ángulo agudo lo fijas tú, el tamaño del triángulo lo puedes cambiar y el applet te mostrará que los valores del seno, coseno y tangente no dependen más que del ángulo, no del tamaño del triángulo.
2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUALESQUIERA:
Las razones trigonométricas se generalizan para ángulos cualesquiera utilizando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro está situado en el origen. Los ángulos se miden en sentido antihorario y desde la dirección positiva del eje de abscisas.
En el siguiente applet podrás variar el ángulo, y para el valor del ángulo elegido aparecerá un triángulo rectángulo OPQ. La hipotenusa es el radio, por lo que mide 1. Para un valor concreto del ángulo se llama sen(a) al cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud de la hipotenusa: PQ/OQ = PQ/1 = PQ. De la misma forma generalizamos el concepto de coseno: llamaremos cos(a) a la longitud de la proyección del radio sobre el eje de abscisas, cos(a) = OQ. (OQ/OP = OQ/1 = OQ)
Los segmentos PQ se miden sobre el eje de ordenadas (vertical) y por ello, dependiendo del valor del ángulo, tienen signo positivo o negativo.
Los segmentos OQ los medimos sobre el eje de abcisas (horizontal), por lo que el seno del ángulo elegido será positivo o negativo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre.
La tangente de un ángulo cualquiera la obtendremos dividiendo el valor del seno entre el del coseno.
Las razones trigonométricas de ángulos negativos se obtienen igual, pero los ángulos los medimos en sentido contrario (en sentido horario).
3. PROPIEDADES IMPORTANTES:
Existen algunas propiedades importantes que serán explicadas en clase:
a) sen2(a) + cos2(a) = 1 (Esta igualdad se conoce con el nombre de fórmula fundamental de la trigonometría). (Se demuestra fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OPQ)
b) tan(a) = sen(a)/cos(a). (Se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente)
c) los valores del seno y del coseno están comprendidos entre -1 y 1.
4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
Al estar definidos los senos, cosenos y tangentes para cualquier ángulo (¿las tangentes existen para cualquier ángulo?), dan lugar al concepto de funciones trigonométricas: función seno, función coseno y función tangente. Es imprescindible familiarizarse con las gráficas de cada una de estas funciones y conocer sus características principales.
A continuación mostramos un applet que permite ver como se genera la gráfica de la función seno (sinusoide) al ir variando el ángulo
Funciones Trigonométricas
Función Seno:
La función Seno se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa:
Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:
el seno del ángulo alpha será:
Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa del seno:
cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "sin" (dice "sin" y no "sen" porque en inglés la función seno se escribe "sin"):
para este caso, el resultado da: 53.13010…
que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
Función Cosecante
La función cosecante es parecida a la función seno, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto opuesto entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto opuesto
en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la cosecante:
sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la cosecante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso del seno. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote "¿Cómo lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitución:
y ya.
Gráfica de la función Seno
Si graficas la función y = sen(x) en un plano cartesiano, obtendrías la siguiente figura:
Observa que la función no pasa de 1 por arriba y de -1 por abajo. Se dice entónces que la función está "acotada" entre -1 y +1. Los valores para los que la función llega hasta +1 o -1 son los múltiplos impares de ¶ / 2 , o sea:
con n entero y mayor que cero.
La función seno(x) tiene periodo de 2¶, esto es, que cuando x es igual a 2¶, la función se vuelve a repetir tomando los valores que tomó a partir del cero.
Función Coseno:
La función Coseno se obtiene de dividir el cateto adyacente de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa:
Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:
el coseno del ángulo alpha será:
Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa del coseno:
cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "cos":
para este caso, el resultado da: 53.13010…
que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
Función Secante
La función secante es parecida a la función coseno, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto adyacente entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto adyacente:
en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la secante:
sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la secante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso del coseno. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote "¿Cómo lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitución
y ya.
Gráfica de la función Coseno
Si graficas la función Coseno en un plano cartesiano, ésta se vería así:
Observa que la función se parece muchísimo a la función Seno. La diferencia está en que el coseno comienza en el +1 [o sea y(0) = +1], y el seno en el 0 [ o sea y(0) = 0]. Esto se debe a que la función coseno está desfasada medio periódo respecto de la función seno.
Igual que en la función Seno, la función coseno sólo puede tomar valores entre -1 y +1. A esto se le dice "acotada", que significa que tiene límites de los cuáles ya no pasa.
La función es periódica ( o sea que se repite su forma a lo largo del eje x) y su periodo vale 2¶ (o sea que cuando x toma el valor de 2¶, la función vuelve a tomar los valores que tomó desde el cero otra vez.
Los valores para los que la función Coseno se vuelve +1 o -1 son los múltiplos enteros de ¶, o sea:
n¶ con n cualquier entero incluyendo el cero.
Función Tangente:
La función Tangente se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre el cateto adyacente:
Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:
la tangente del ángulo alpha será:
Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa de la tangente:
cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "tan":
para este caso, el resultado da: 53.13010…
que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
La función tangente se puede también definir a través de las funciones seno y coseno como sigue:
y el resultado es el mismitito que dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente.
Función Cotangente
La función cotangente es parecida a la función tangente, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente, se divide el cateto adyacente entre el cateto opuesto
hay otras notaciones válidas para la contangente, algunos la prefieren escribir de alguna de las siguientes formas:
pero es la misma función.
En principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la tangente (la arcocotangente), por ejemplo, para el problema de arriba sería:
sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la cotangente) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso de la tangente. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote "¿Cómo lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitución:
y ya.
Gráfica de la función Tangente
Si graficaras la función y = tan (x) en un plano cartesiano, ésta se vería así:
los puntos donde la función se va a infinito se llaman "asíntotas" y en esos valores la función tangente no está definida. Esta función tiene periodo ¶ (recuerda que en radianes ¶ = 180°). Es decir que cuando la x toma los múltiplos de ¶, la función vuelve a tomar los valores que tomó desde el cero, y la función se repite así hasta infinito.
Observa que a diferencia de las funciones seno y coseno, la función tangente no está "acotada", o sea limitada en el eje de las y's, sino que puede tomar cualquier valor y no como la función seno o coseno que sólo pueden tomar valores entre el +1 y el -1.
Fórmulas e Identidades Trigonométricas
La siguiente es una lista de fórmulas trigonométricas muy útiles para resolver muchos problemas:
Fundamentales
sen(-x) = -sen(x)
cos(-x) = cos(x)
tan(-x) = -tan(x)
sen2x + cos2x = 1
1 + tan2x = sec2x
1 + cotan2x = csc2x
sen ( ¶ – x) = sen (x)
cos ( ¶ – x) = -cos (x)
tan ( ¶ – x) = -tan (x)
Suma y resta de dos ángulos en funciones trigonométricas
sen (u + v) = sen (u)cos (v) + cos(u)sen(v)
sen (u – v) = sen (u)cos (v) – cos(u)sen(v)
cos (u + v) = cos(u) cos(v) – sen(u)sen(v)
cos (u – v) = cos(u) cos(v) + sen(u)sen(v)
Fórmulas para la suma del doble del ángulo
sen(2x) = 2sen(x)cos(x)
cos(2x) = 2cos2(x) – 1
cos(2x) = cos2(x) – sen2(x)
cos(2x) = 1 – 2sen2(x)
Fórmulas para el cuadrado de la función
Fórmulas para el cuadrado de la función con la mitad del ángulo
Fórmulas para la tangente de la mitad del ángulo
Fórmulas para el producto de seno y coseno
Fórmulas para la suma y resta de senos y cosenos
Identidades entre funciones trigonométricas
Ley de los seno
Ley del Coseno
La ley de los Senos y ley del coseno se basan en éste triángulo:
Tabla de coseno y seno de los ángulos principales
BIBLIOGRAFIA:
http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/funciones/seno7.htm
http://www.monografias.com/trabajos13/trigo/trigo.shtml#tri
APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.
En la resolución de Triángulos Rectángulos existen 3 formas:
A)Cuando tenemos la medida de los 3 lados.
B)Cuando tenemos el valor de una función trigonométrica y empleamos el teorema de Pitágoras para encontrar el valor faltante.
C)Cuando tenemos el valor de un cateto y un ángulo agudo.
PRIMERA APLICACIÓN:
Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, determinar las funciones trigonométricas del ángulo señalado.
SEGUNDA APLICACIÓN:
TERCERA APLICACIÓN:
Resolver el triángulo rectángulo ABC sabiendo que
Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.
1. Se conocen la hipotenusa y un cateto
Resolver el triángulo conociendo:
a = 415 m y b = 280 m.
sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 = 42° 25′
C = 90° – 42° 25′ = 47° 35′
c = a cos B c = 415 • 0.7381 = 306. 31 m
2. Se conocen los dos catetos
Resolver el triángulo conociendo:
b = 33 m y c = 21 m .
tg B = 33/21 = 1.5714 B = 57° 32′
C = 90° − 57° 32′ = 32° 28′
a = b/sen B a = 33/0.8347 = 39.12 m
3. Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo
Resolver el triángulo conociendo:
a = 45 m y B = 22°.
C = 90° – 22° = 68°
b = a sen 22° b = 45 • 0.3746 = 16.85 m
c = a cos 22° c = 45 • 0.9272 = 41.72 m
4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo
Resolver el triángulo conociendo:
b = 5.2 m y B = 37º
C = 90° – 37° = 53º
a = b/sen B a = 5.2/0.6018 = 8.64 m
c = b • cotg B c = 5.2 • 1.3270 = 6. 9 m
BIBLIOGRAFIA:
http://www.vitutor.com/al/trigo/tri_12.html
http://members.tripod.com/jorge_cetis10.mx/objetivo39.html
http://www.youtube.com
LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:
Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo, tienes algunas posibilidades:
Una consiste en dibujar con mucho cuidadito triángulos distintos con ángulos 90º, 60º y 30º y calcular los resultados de las divisiones anteriores (el cateto opuesto al ángulo de 60º dividido por la longitud de la hipotenusa) para así comprobar que siempre se obtiene el mismo resultado (aprox 0.87).
Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando triángulos, midiendo y dividiendo las longitudes con ayuda de algún programa informático (Cabri, Dr.Geo, etc.).
Otra es ir hasta el primer applet que te encuentres en esta página (pero sin saltarte lo que viene a continuación).
Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos que sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aprox 0.64).
A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y se escribe sen(40º) = 0.64.
(Estas explicaciones se tratarán con más detalle en clase y a partir de aquí definiremos las razones trigonométricas de ángulos agudos de triángulos rectángulos).
1. DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS:
En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.
seno de θ = sen θ = y/r
coseno de θ = cos θ = x/r
tangente de θ = tg θ = y/x
cotangente de θ = ctg θ = x/y
secante de θ = sec θ = r/x
cosecante de θ = csc θ = r/y.
Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones prácticas.
Pero antes de continuar verás a continuación un applet que te permitirá dibujar triángulos rectángulos en los que el valor de un ángulo agudo lo fijas tú, el tamaño del triángulo lo puedes cambiar y el applet te mostrará que los valores del seno, coseno y tangente no dependen más que del ángulo, no del tamaño del triángulo.
2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUALESQUIERA:
Las razones trigonométricas se generalizan para ángulos cualesquiera utilizando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro está situado en el origen. Los ángulos se miden en sentido antihorario y desde la dirección positiva del eje de abscisas.
En el siguiente applet podrás variar el ángulo, y para el valor del ángulo elegido aparecerá un triángulo rectángulo OPQ. La hipotenusa es el radio, por lo que mide 1. Para un valor concreto del ángulo se llama sen(a) al cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud de la hipotenusa: PQ/OQ = PQ/1 = PQ. De la misma forma generalizamos el concepto de coseno: llamaremos cos(a) a la longitud de la proyección del radio sobre el eje de abscisas, cos(a) = OQ. (OQ/OP = OQ/1 = OQ)
Los segmentos PQ se miden sobre el eje de ordenadas (vertical) y por ello, dependiendo del valor del ángulo, tienen signo positivo o negativo.
Los segmentos OQ los medimos sobre el eje de abcisas (horizontal), por lo que el seno del ángulo elegido será positivo o negativo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre.
La tangente de un ángulo cualquiera la obtendremos dividiendo el valor del seno entre el del coseno.
Las razones trigonométricas de ángulos negativos se obtienen igual, pero los ángulos los medimos en sentido contrario (en sentido horario).
3. PROPIEDADES IMPORTANTES:
Existen algunas propiedades importantes que serán explicadas en clase:
a) sen2(a) + cos2(a) = 1 (Esta igualdad se conoce con el nombre de fórmula fundamental de la trigonometría). (Se demuestra fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OPQ)
b) tan(a) = sen(a)/cos(a). (Se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente)
c) los valores del seno y del coseno están comprendidos entre -1 y 1.
4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
Al estar definidos los senos, cosenos y tangentes para cualquier ángulo (¿las tangentes existen para cualquier ángulo?), dan lugar al concepto de funciones trigonométricas: función seno, función coseno y función tangente. Es imprescindible familiarizarse con las gráficas de cada una de estas funciones y conocer sus características principales.
Las definiciones son verdaderas y no cambian para ángulos
positivos y negativos mayores que 360º en valor numérico.
Sistema de cuadrantes:
Teorema del Seno
Este teorema es muy útil y práctico para resolver problemas
de trigonometría, en que el triángulo no el rectángulo y se conocen
más ángulos que lados. Se define de la siguiente manera:
Carlos Oliva – Mary Carmen Santana – Alexis Rojas C. Funciones Trigonométricas 6
Teorema del Coseno
Este teorema es muy útil y práctico para resolver problemas de
trigonometría, en que el triángulo no el rectángulo y se conocen más
lados que ángulos. Se define como:
5. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES:
csc θ = 1/sen θ
sec θ = 1/cos θ
ctg θ = 1/tg θ
tg θ = sen θ/cos θ
sen² θ + cos² θ = 1
1 + tg² θ = sec² θ
APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN LA RESOLUCION DE LOS TRIANGULOS RECTANGULOS
En la resolución de Triángulos Rectángulos existen 3 formas:
A)Cuando tenemos la medida de los 3 lados.
B)Cuando tenemos el valor de una función trigonométrica y empleamos el teorema de Pitágoras para encontrar el valor faltante.
C)Cuando tenemos el valor de un cateto y un ángulo agudo.
PRIMERA APLICACIÓN:
Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, determinar las funciones trigonométricas del ángulo señalado.
SEGUNDA APLICACIÓN:
TERCERA APLICACIÓN:
Resolver el triángulo rectángulo ABC sabiendo que
EXPLICACIÓN:
Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.
1. Se conocen la hipotenusa y un cateto
Resolver el triángulo conociendo:
a = 415 m y b = 280 m.
sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 = 42° 25′
C = 90° – 42° 25′ = 47° 35′
c = a cos B c = 415 • 0.7381 = 306. 31 m
2. Se conocen los dos catetos
Resolver el triángulo conociendo:
b = 33 m y c = 21 m .
tg B = 33/21 = 1.5714 B = 57° 32′
C = 90° − 57° 32′ = 32° 28′
a = b/sen B a = 33/0.8347 = 39.12 m
3. Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo
Resolver el triángulo conociendo:
a = 45 m y B = 22°.
C = 90° – 22° = 68°
b = a sen 22° b = 45 • 0.3746 = 16.85 m
c = a cos 22° c = 45 • 0.9272 = 41.72 m
4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo
Resolver el triángulo conociendo:
b = 5.2 m y B = 37º
C = 90° – 37° = 53º
a = b/sen B a = 5.2/0.6018 = 8.64 m
c = b • cotg B c = 5.2 • 1.3270 = 6. 9
APLICACIONES PARA LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
La funciones trigonometricas son útiles para estudiar un movimiento vibratorio u oscilante, como puede ser
el de una partícula de una cuerda de guitarra en vibración, o un resorte que se ha comprimido o estirado, para
luego soltarlo y dejarlo oscilante de un lado a otro. El tipo fundamental de desplazamiento de partículas en
esos ejemplos se llama movimiento armónico.
Movimiento armónico simple, movimiento rectilíneo con aceleración variable producido por las fuerzas que
se originan cuando un cuerpo se separa de su posición de equilibrio.
Un cuerpo oscila cuando se mueve periódicamente respecto a su posición de equilibrio. El movimiento
armónico simple es el más importante de los movimientos oscilatorios, pues constituye una buena
aproximación a muchas de las oscilaciones que se dan en la naturaleza y es muy sencillo de describir
matemáticamente. Se llama armónico porque la ecuación que lo define es función del seno o del coseno
Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Trigonometría.
Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.
Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).
Función Abreviatura Equivalencias (en radianes)
Seno sin (sen)
Coseno cos
Tangente tan
Cotangente ctg
Secante sec
Cosecante csc (cosec)
BIBLIOGRAFIA:
Haz clic para acceder a movimarmonicomarvin.pdf
http://www.youtube.com
Resolución de triángulos rectángulos.
Los triángulos se componen de tres segmentos de línea. Se reúnen para formar tres ángulos. Los tamaños de los ángulos y las longitudes de los lados están relacionados entre sí. Si usted sabe el tamaño (longitud) de tres de los seis vértices del triángulo (por lo menos una parte debe ser incluido), usted puede encontrar el tamaño de los restantes lados y ángulos. Si el triángulo es un triángulo rectángulo, puede utilizar simples razones trigonométricas para encontrar las piezas faltantes. En un triángulo en general (agudo u obtuso), es necesario utilizar otras técnicas, incluyendo la ley de cosenos y la ley de los senos. También puede encontrar el área de triángulos utilizando razones trigonométricas.
Todos los triángulos están formados por tres lados y tres ángulos. Si los tres ángulos del triángulo son etiquetados ∠ A, B y C ∠ ∠, a continuación, los tres lados del triángulo deben ser etiquetados como a, b, yc. La figura 1 ilustra cómo las letras minúsculas se usan para nombrar los lados del triángulo que son opuestos los ángulos nombre con letras mayúsculas correspondientes. Si cualquiera de los tres de estas seis medidas se conocen (aparte de saber las medidas de los tres ángulos), entonces usted puede calcular los valores de las otras tres medidas. El proceso de encontrar las medidas faltantes que se conoce como la solución del triángulo. Si el triángulo es un triángulo rectángulo, entonces uno de los ángulos es de 90 °. Por lo tanto, puede resolver el triángulo rectángulo si se dan las medidas de dos de los tres lados o si se le da la medida de un lado y uno de los otros dos ángulos.
Ejemplo 1: Resolver el triángulo rectángulo se muestra en la Figura 1 (b) si ∠ B = 22 °
Debido a que los tres ángulos de un triángulo deben sumar 180 °, ∠ A ∠ B = 90 por lo tanto ∠ A = 68 °.
La siguiente es una forma alternativa de resolver para los lados A y C:
Esta solución alternativa puede ser más fácil porque no se trata de la división.
Ejemplo 2: Resolver el triángulo rectángulo se muestra en la Figura 1 (b) si b = 8 y A = 13.
Usted puede utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar el lado que falta, pero las relaciones trigonométricas se utilizan en su lugar. Los dos que faltan medidas del ángulo se encontró por primera vez y luego la parte que falta.
Ejemplo 3: Un avión de gran tamaño (plano A) volar a 26.000 pies de lugares de interés de un avión más pequeño (plano B) que viaja a una altitud de 24.000 pies. El ángulo de depresión es de 40 °. ¿Cuál es la distancia de línea de vista (x) entre los dos planos
En la figura, se puede encontrar la solución utilizando el seno de 40
Biblografia:
http://www.cliffsnotes.com/study_guide/Solving-Right-Triangles.topicArticleId-11658,articleId-11571.html
Aplicacion de las funciones trigonometricas en la resolucion de triangulos rectangulos
Una de las aplicaciones más inmediatas de la trigonometría es la resolución de triángulos. En este curso se abordan únicamente los triángulos rectángulos.
También veremos como resolver triángulos no rectángulos por descomposición en triángulos rectángulos.
Resolver un triángulo es conocer el valor de sus tres lados y sus tres ángulos.
El uso de las razones trigonométricas junto con el teorema de Pitágoras, nos permiten resolver cualquier triángulo rectángulo conociendo dos datos, uno de ellos ha de ser un lado.
.- CONOCIDOS UN LADO Y UN ÁNGULO
El proceso es similar al caso anterior.
Se calcula otro lado mediante la razón trigonométrica adecuada del ángulo conocido.
El tercer lado mediante el teorema de Pitágoras; o bien, mediante otra razón trigonométrica.
El otro ángulo es 90 – ángulo conocido.
3.- TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS.
Como ya se ha dicho, pueden resolverse triángulos no rectángulos aplicando correctamente las razones trigonométricas.
Los problemas más frecuentes son los que se presentan a continuación. Realmente son el mismo problema, basta con considerar x negativo o positivo. Habitualmente el problema es calcular la altura h.
La resolución numérica es similar, la solución de la situación de la derecha es :
Ejercicio.
Desde un punto del suelo se observa el pico de una montaña con ángulo de 30º. Si avanzamos 400 m en la dirección de la montaña, el pico se ve bajo ángulo de 60º.
¿Cual es la altura de la montaña?
Piensa cual de las dos situaciones responde a este enunciado. Puedes comprobar en uno de los applet la solución. Cuidado con las unidades.
Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones prácticas.
Pero antes de continuar verás a continuación un applet que te permitirá dibujar triángulos rectángulos en los que el valor de un ángulo agudo lo fijas tú, el tamaño del triángulo lo puedes cambiar y el applet te mostrará que los valores del seno, coseno y tangente no dependen más que del ángulo, no del tamaño del triángulo.
2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUALESQUIERA:
Las razones trigonométricas se generalizan para ángulos cualesquiera utilizando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro está situado en el origen. Los ángulos se miden en sentido antihorario y desde la dirección positiva del eje de abscisas.
En el siguiente applet podrás variar el ángulo, y para el valor del ángulo elegido aparecerá un triángulo rectángulo OPQ. La hipotenusa es el radio, por lo que mide 1. Para un valor concreto del ángulo se llama sen(a) al cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud de la hipotenusa: PQ/OQ = PQ/1 = PQ. De la misma forma generalizamos el concepto de coseno: llamaremos cos(a) a la longitud de la proyección del radio sobre el eje de abscisas, cos(a) = OQ. (OQ/OP = OQ/1 = OQ)
Los segmentos PQ se miden sobre el eje de ordenadas (vertical) y por ello, dependiendo del valor del ángulo, tienen signo positivo o negativo.
Los segmentos OQ los medimos sobre el eje de abcisas (horizontal), por lo que el seno del ángulo elegido será positivo o negativo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre.
La tangente de un ángulo cualquiera la obtendremos dividiendo el valor del seno entre el del coseno.
Las razones trigonométricas de ángulos negativos se obtienen igual, pero los ángulos los medimos en sentido contrario (en sentido horario).
3. PROPIEDADES IMPORTANTES:
Existen algunas propiedades importantes que serán explicadas en clase:
a) sen2(a) + cos2(a) = 1 (Esta igualdad se conoce con el nombre de fórmula fundamental de la trigonometría). (Se demuestra fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OPQ)
b) tan(a) = sen(a)/cos(a). (Se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente).
Bibliografia
Haz clic para acceder a movimarmonicomarvin.pdf
Videografia
–Alexa Espino Solis–
APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.
En la resolución de Triángulos Rectángulos existen 3 formas:
A)Cuando tenemos la medida de los 3 lados.
B)Cuando tenemos el valor de una función trigonométrica y empleamos el teorema de Pitágoras para encontrar el valor faltante.
C)Cuando tenemos el valor de un cateto y un ángulo agudo.
PRIMERA APLICACIÓN:
Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, determinar las funciones trigonométricas del ángulo señalado.
SEGUNDA APLICACIÓN:
TERCERA APLICACIÓN:
Resolver el triángulo rectángulo ABC sabiendo que
Las funciones trigonometricas se emplean en la resolucion de triangulos rectangulos, esto es, en el calculo de uno o mas de sus lados o angulos, con un minimo de datos.
Para aplicar estas razones, es necesario conocer el valor numerico de dos de sus elementos (que pueden ser dos lados o un angulo agudo y un lado) para encontrar el valor desconocido de otro de ellos.
Existen dos casos en la resolucion de triangulos rectangulos cuyo procedimiento se ejemplifica a continuacion.
1.-Obtencion del valor de un lado, conocidos un angulo y un lado
Ejemplo:
Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un angulo de 60 grados con respecto al piso.
Procedimiento:
a) Trazar el triangulo rectangulo anotando los datos e indicando, con una letra, el lado que se desea calcular.
b) Seleccionar una funcion trigonometrica que relacione al angulo y lado conocidos con el lado que se desea calcular
c) Despejar algebraicamente la letra que representa el lado que se desea calcular.
d) Sustituir las literales por sus valores numericos de acuerdo con los datos.
e) Obtener el valor natural del angulo por medio de las tablas trigonometricas o de la calculadora y efectuar las operaciones.
c = 5 m
f) Dar solucion al problema.
c = longitud de la escalera
Por lo tanto, la escalera mide 5 m.
2. Obtencion del valor de un angulo agudo, conocidos dos lados del triangulo
Obtener el angulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante que va, desde la punta del primero hasta el piso, y que tiene un largo de 13.75 m
Ahora se tienen unicamente los valores de dos lados, con los cuales se debe obtener e! valor del angulo.
Procedimiento:
a)Trazar un triangulo rectangulo anotando en el los datos.
b) Seleccionar la funcion trigonometrica que relacione a los lados conocidos con el angulo.
c) Sustituir las literales por sus valores numericos.
d) Efectuar la division indicada.
cos = 0.5454
e) Obtener, en las tablas de funciones trigonometricas o con la calculadora, el valor del angulo.
f) Dar respuesta al problema.
El angulo formado por el poste y el cable tirante es de 56o 57′
Para resolver algunos problemas, donde se aplica la trigonometria, es conveniente conocer lo que es un angulo de elevacion y un angulo de depresion.
Ejemplos:
bibliografía:
http://members.tripod.com/jorge_cetis10.mx/objetivo39.html
http://www.pps.k12.or.us/district/depts/edmedia/videoteca/curso3/htmlb/SEC_43.HTM
videografia:
-Alexa Espino Solis 2 H-
APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.
En la resolución de Triángulos Rectángulos existen 3 formas:
A)Cuando tenemos la medida de los 3 lados.
B)Cuando tenemos el valor de una función trigonométrica y empleamos el teorema de Pitágoras para encontrar el valor faltante.
C)Cuando tenemos el valor de un cateto y un ángulo agudo.
PRIMERA APLICACIÓN:
Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, determinar las funciones trigonométricas del ángulo señalado.
SEGUNDA APLICACIÓN:
TERCERA APLICACIÓN:
Resolver el triángulo rectángulo ABC sabiendo que
Imagen 1:
video 1:
Bibliografía:
http://members.tripod.com/jorge_cetis10.mx/objetivo39.html
Aplicación de las funciones trigonométricas en la resolución de triángulos rectángulos.
Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.
1. Se conocen la hipotenusa y un cateto
Resolver el triángulo conociendo:
a = 415 m y b = 280 m.
sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 = 42° 25′
C = 90° – 42° 25′ = 47° 35′
c = a cos B c = 415 • 0.7381 = 306. 31 m
2. Se conocen los dos catetos
Resolver el triángulo conociendo:
b = 33 m y c = 21 m .
tg B = 33/21 = 1.5714 B = 57° 32′
C = 90° − 57° 32′ = 32° 28′
a = b/sen B a = 33/0.8347 = 39.12 m
3. Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo.
Resolver el triángulo conociendo:
a = 45 m y B = 22°.
C = 90° – 22° = 68°
b = a sen 22° b = 45 • 0.3746 = 16.85 m
c = a cos 22° c = 45 • 0.9272 = 41.72 m
4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo
Resolver el triángulo conociendo:
b = 5.2 m y B = 37º
C = 90° – 37° = 53º
a = b/sen B a = 5.2/0.6018 = 8.64 m
c = b • cotg B c = 5.2 • 1.3270 = 6. 9 m
Bibliografia:
http://members.tripod.com/jorge_cetis10.mx/objetivo39.html
http://www.vitutor.com/al/trigo/tri_12.html
videografía:
Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.
1. Se conocen la hipotenusa y un cateto
Resolver el triángulo conociendo:
a = 415 m y b = 280 m.
sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 = 42° 25′
C = 90° – 42° 25′ = 47° 35′
c = a cos B c = 415 • 0.7381 = 306. 31 m
2. Se conocen los dos catetos
Resolver el triángulo conociendo:
b = 33 m y c = 21 m .
tg B = 33/21 = 1.5714 B = 57° 32′
C = 90° − 57° 32′ = 32° 28′
a = b/sen B a = 33/0.8347 = 39.12 m
3. Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo
Resolver el triángulo conociendo:
a = 45 m y B = 22°.
C = 90° – 22° = 68°
b = a sen 22° b = 45 • 0.3746 = 16.85 m
c = a cos 22° c = 45 • 0.9272 = 41.72 m
4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo
Resolver el triángulo conociendo:
b = 5.2 m y B = 37º
C = 90° – 37° = 53º
a = b/sen B a = 5.2/0.6018 = 8.64 m
c = b • cotg B c = 5.2 • 1.3270 = 6. 9 m
Bibliografia:
http://members.tripod.com/jorge_cetis10.mx/objetivo39.html
http://www.vitutor.com/al/trigo/tri_12.html
videografía:
Resolución de triángulos rectángulos.
Videografía:
videografía:
APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.
En la resolución de Triángulos Rectángulos existen 3 formas:
A)Cuando tenemos la medida de los 3 lados.
B)Cuando tenemos el valor de una función trigonométrica y empleamos el teorema de Pitágoras para encontrar el valor faltante.
C)Cuando tenemos el valor de un cateto y un ángulo agudo.
PRIMERA APLICACIÓN:
Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, determinar las funciones trigonométricas del ángulo señalado.
SEGUNDA APLICACIÓN:
TERCERA APLICACIÓN:
Resolver el triángulo rectángulo ABC sabiendo que
RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS.
Resolver un triángulo significa encontrar los valores de sus tres lados y de los tres ángulos que ellos determinan, a partir del conocimiento de algunos de sus seis elementos.
Teoremas preliminares.
Teorema de Pitágoras. c = (a 2 + b 2.) 1/2
La suma de los ángulos interiores de un triángulo
A + B + C = 2R
= 180º
De donde se deduce que en un triángulo
rectángulo los ángulos agudos son complementarios. A+B= 90º
Casos de resolución de triángulos rectángulos
Consideremos cuatro casos en los que siempre partimos de dos cantidades conocidas.
En un triángulo rectángulo se conoce siempre un ángulo, el ángulo recto (90º).
1 e r caso: Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo.
2 d o caso: Se conocen la hipotenusa y un cateto.
3 e r caso: Se conocen un cateto y un ángulo agudo.
4 t o caso: Se conocen los dos catetos..
Ejemplo 1. Resolver un triángulo rectángulo donde a=30m, b=40m.
Datos Incógnitas
a = 30m c = ?
b = 40m A = ?
C = 90º B = ?
Sabemos por Pitágoras
c = (a 2 + b 2.) 1/2 sen θ = a/c = 30/50
= (30 2 m2+ 40 2 m2 )1/2 = 0,6000
= (2500m2) 1/2 θ = sen -1(0,600)
= 50m θ = 36,870 0
sen θ = b/c
= 40/50
= 0,800
= 53,130º
Ejemplo 2. En el triángulo rectángulo de sen A = 3/5 y a= 90; Hallar c.
Aplicando funciones trigonométricas sen A= a/c y a,
Tenemos: a/c = 90/c
3/5 = 90/c
Despejando c. c =90(5)/30
c = 150
Generalmente se hace uso de las funciones reales, (aún cuando el ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función «x» como el precio y la cantidad de producto como «y».
Función Afín
Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la oferta y la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. Por ejemplo, si un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. La ley más simple es una relación del tipo P= mx + b, donde P es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes.
Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina. Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del experimento psicológico de Stenberg, sobre recuperación de información.
Esta dada por la formula y=mx+b donde m y b son números reales llamados pendiente y ordenada al origen respectivamente. Su gráfica es una recta.
Dada la ecuación y=mx+b:
Si m=0, entonces y=b. Es decir, se obtiene la función constante, cuya gráfica es una recta paralela al eje x que pasa por el punto (0,b).
Si b=0, entonces y=mx. Esta ecuación tiene por gráfica una recta que pasa por el origen de coordenadas (0,0).
Función Cuadrática
El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial.
Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres.
Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales de los organismos.
Existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado de explicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus cálculos la ecuación cuadrática. Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura S de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por S= V0t – ½ gt2, donde S es la altura, V0 es la velocidad inicial de la partícula, g es la constante de gravedad y t es el tiempo.
La función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son:
Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo.
Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.
Eje de simetría: x = xv.
intersección con el eje y.
Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.
Función Logarítmica
La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicas para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud R de un terremoto está definida como R= Log (A/A0) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar, que está a 100 kilómetros del epicentro del terremoto).
Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica les permite determinar la brillantez y la magnitud.
En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el cálculo del volumen «L» en decibeles de un sólido, para el cual se emplea la siguiente ecuación L= 10 . Log (I/I0) , donde I es la intensidad del sonido (la energía cayendo en una unidad de área por segundo), I0 es la intensidad de sonido más baja que el oído humano puede oír (llamado umbral auditivo). Una conversación en voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles.
El logaritmo en base b de un número a es igual a N, si la base b elevada a N da como resultado a.
Logb a = N si bN = a
Notación logarítmica
Notación exponencial
bibliografia: http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml#apli
videografia:
APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN LA RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS.
Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Si miramos el triángulo de la izquierda podemos describir tres razones que son intrínsecas de los ángulos agudos, ya que las razones sólamente dependen del ángulo α debido al teorema de Thales.
• Gracias a estas definiciones podemos calcular razones trigonométricas aproximadamente dibujando y midiendo simplemente.
• Estas razones trigonométricas evidentemente no dependen del triángulo que tracemos sólo dependen del ángulo.
Ejemplo
Tenemos un triángulo como el de la figura y queremos saber sus razones trigonométricas así que medimos sus tres lados a= 60mm b= 80mm c= 100mm
Relaciones entre las razones trigonométricas del mismo ángulo
Las razones trigonometricas, es decir el sin, cos, tan son dependientes, esto quiere decir que si sabemos una, sabemos las tres. Estas relaciones son las siguientes:
Relaciones trigonométricas fundamentales
Nota importante: El cuadrado de estas razones no se expresa sino así Es conveniente que se aprendan, hay que tener en cuenta que la mayor parte (seguramente toda) de la literatura matemática usa esa notación.
Demostración
Aplicamos Pitagoras:
Ejemplos
Se conoce el cos 53=0,6 y se quiere calcular cuánto valen
Se conoce la tangente de un ángulo y se quiere calcular cuánto valen
Utilización de la calculadora en trigonometría
Todas las calculadoras científicas del mercado disponen de teclas para las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Sin embargo, es importante tener en cuenta dos factores de interés:
• En algunos modelos se introduce el valor del ángulo y luego se pulsa la tecla de la razón trigonométrica para obtener su valor, mientras que en otros se hace justamente al revés, primero se pulsa la tecla de la razón deseada, luego se introduce el valor del ángulo y por último la tecla de resultado (generalmente =) nos muestra el resultado en la pantalla.
• Las calculadoras científicas utilizan tres sistemas de medida angular, los radianes (RAD), los grados sexagesimales (DEG) y los gradianes (GRAD). Es muy importante tener en cuenta este factor, ya que no es lo mismo sin(100o) = 0,984807753 que sin(100rad) = − 0,506365641 o sin(100gra) = 1. La conversión entre los sistemas es la siguiente: 180o = πrad = 200gra
Resolución de triangulos rectángulos
Cuando decimos resolver un triángulo nos referimos a que encontramos todas sus magnitudes desconocidas, es decir la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos, a partir de las conocidas.
Triángulos rectángulos
Si un triángulo es rectángulo en realidad ya sabemos una cosa, que tiene un ángulo de 90º, así que nos hará falta menos información para resolverlo. Podemos resolver un tirángulo rectángulo si conocemos:
• Dos lados
o Podemos calcular el tercer lado con el Teorema de Pitágoras
o Cuando sabemos lo que miden los tres lados es fácil encontrar los ángulos a partir de las razones trigonométricas y de la relación entre los ángulos de un triángulo.
Ejemplo Tenemos este triángulo y sabemos que
• Un ángulo y un lado
o Los lados se calculan mediante la razón trigonométrica del ángulo que tenemos y con la longitud del lado que tenemos
o El ángulo que nos falta se calcula recordando que los ángulos de un triángulo suman entre los tres 180º siempre.
Ejemplo imagen por hacer Tenemos este triángulo y conocemos
Resolución de triángulos no rectángulos. Estrategia de la altura
Queremos resolver un triángulo como el de la figura. Sabemos que miden dos de sus lados y el ángulo
Para resolverlo lo que hacemos es trazar la siguiente altura x, obtenemos así dos triángulos rectángulos:
Del primer triángulo (el 1) conocemos obtendremos x e y.
Del segundo triángulo:
Finalmente para encontrar c aplicamos Pitágoras:
imagen por hacer Tenemos un triángulo como el siguiente y queremos encontrar que vale x, sabemos que a=30 \alpha=40 \beta=60
Algunos resultados muy útiles
Esto que viene a continuación uno podria deducirlo. Pero igual que las tablas de multiplicar que se pueden deducir sumando repetidas veces un número es mejor memorizarlo ya que aparecen con frecuencia.
Proyección d un segmento
imagen por hacerCuando proyectamos un segmento sobre una recta la longitud de dicha proyección es la misma que la del segmento multiplicada por el coseno del angulo que formar segmento y recta.
Altura de un triangulo
imagen por hacerSi cojemos cualquier lado del triángulo (que no sea la base) y lo multiplicamos por el seno del ángulo que forma este con la base obtendremos la altura del triángulo.
Area de un triangulo
imagen por hacerEl area del triangulo es la misma que la mitad del producto de dos de sus lados multiplicado por el seno que forman
Ejemplos
imagen por hacerEl Sr. Amon Pep de Sasini ha creado una escultrura de un gusano gignate como el de la figura y quiere ponerlo en su jardín circular de 10 metros de diametro, ¿le cabe?
El gusano esta formado por 4 segmentos de y los angulos que forman con el suelo son .
El gusano cabrá si la suma de las proyecciones cabe:
Por lo tanto el Sr. de Sasini puede poner el gusano tranquilamente.
imagen por hacerDepués de la creación del gusano el Sr. de Sasini y satisfecho con suestros servicios de proyecciones nos encarga calcular los metros cuadrados de cesped que debe comprar para embellecer su jardín triangular como el que muestra este boceto.
Razones trigonométricas de ángulos obtusos
imagen por hacerSi queremos conocer las razones trigonométricas de un angulo obtuso , basta fijarse en la figura para ver que son fáciles de obtener, a través de su angulo suplementario
La tngente es un poco menos intuitiva, pero también es facil de entender: imagen por hacer La tangente de un angulo obtuso es siempre negativa.
Resolución de triangulos cualesquiera
Podría parecer que este apartado es inútil debido a que ya se ha aprendido a resolver triangulos cualesquiera con la estrategia de la altura. Sin embargo existen dos teoremas que no agilizarán mucho las cosas sin que tengamos que hacer tantos pasos como con la estratégia de la altura.
Teorema del seno
imagen por hacerIntuitivamente uno puede ver que el angulo mayor de un triangulo tiene enfrente el lado mayor, y el angulo menor de un triangulo tiene enfrente el lado menor.
El teorema del seno dice esto precisamente, un poco más formalmente:
Si tenemos un triangulo de lados y ángulos
Se cumple que:
Demostración
imagen por hacer Lo demostraremos a partir de la estrategia de la altura.
Dibujamos la altura h desde el vértice C. Los triángulos AHC y BCH son rectángulos los dos.
Tenemos que:
Para encontrar la igualdad trazamos h desde el vértice B y procedemos igual que antes.
Aplicaciones
Antes de continuar hay que advertir que cuando nuestra incognita sea uno de los angulos y apliquemos el teorema del seno hay dos soluciones debido a que los angulos suplementarios tienen el mismo seno. Tendremos que comprobar si las soluciones son validas.
• Triangulos cualesquiera con dos ángulos y un lado conocidos
Ejemplo
imagen por hacer Tenemos un triangulo como el de la figura, y queremos resolverlo.
Conocemos un lado y dos ángulos
Podríamos aplicar el teorema del seno si tuviesemos Para encontrarlo recordemos que todos los angulos de un triangulo deben sumar
Había un error el ángulo vale 37º
• Dos lados y el angulo opuesto de uno de ellos conocido
Ejemplo
imagen por hacer Ahora nos encontramos con el siguiente problema:
Conocemos tenemos que encontrar
Solo tiene una solución, pero podria haber tenido dos o ninguna, juega con los valeres de a y investiga, haciendo dibujos, el por qué de todo esto.
Teorema del coseno
imagen por hacer Si cogemos un triangulo rectangulo y el angulo de 90^\circ lo disminuimos es intuitivo de que la «hipotenusa» se hará más corta, y si lo hago más grande esta se hará más grande. Pues esto es lo que nos dice el teorema del coseno, en realidad podríamos decir que el teorema del coseno es el teorema de Pitagoras versión 2.0
imagen por hacerTenemos un triangulo cualquiera, se cumple que:
Demostración
Dibujamos la altura h, perpendicular a b
Aplicamos Pitagoras a AHB y BHC
Se puede comprobar que tanto para todos los tipos de triángulos sale la misma fórmula.
Aplicaciones
Hay cuatro casos de problemas que se aconsejan resolver por el teorema del coseno
• Conocemos tres lados y queremos conocer cualquier angulo
• Conocemos dos lados y el angulo opuesto a uno de ellos y queremos conocer el otro lado
• Conocemos dos lados y el angulo que forman y queremos saber el otro lado
• Conocemos dos lados y el angulo que forman y queremos conocer otro angulo. Para este último caso deberemos aplicar el teorema del coseno primero para saber el lado que nos falta y después el teorema del seno para saber el angulo
Ejemplo
imagen por hacerEl señor Vuy Pam Boli aconsejado por el senyor de Sasini, decide hacernos una consulta sobre caza. El tiene una escopeta que alcanza 200m y resulta que desde su puesto de caza el ve dos arboles donde suelen parar los pajaros, sin embargo uno de ellos (el C) es dificil medir la distancia que le separa de A. Sin embargo el segundo arbol si es accesible así que medimos la distancia que resulta ser de 220m. Desde donde estamos vemos que existe una senda así que podemos medir el segmento que resulta ser de 90 m y el angulo que forman es de . Nos queda entonces por saber si el Sr. Pam Boli le alcanza el arma al arbol C
\to Dumbo… estaba mal el resultado, es 138.88… sorry. Por lo tanto puede disparar solo al arbol C El ángulo es de .
Bibliografías:
http://es.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_Bachillerato_LOGSE/Resoluci%C3%B3n_de_tri%C3%A1ngulos
Video grafías:
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
La funciones trigonometricas son útiles para estudiar un movimiento vibratorio u oscilante, como puede ser
el de una partícula de una cuerda de guitarra en vibración, o un resorte que se ha comprimido o estirado, para
luego soltarlo y dejarlo oscilante de un lado a otro. El tipo fundamental de desplazamiento de partículas en
esos ejemplos se llama movimiento armónico.
Movimiento armónico simple, movimiento rectilíneo con aceleración variable producido por las fuerzas que
se originan cuando un cuerpo se separa de su posición de equilibrio.
Un cuerpo oscila cuando se mueve periódicamente respecto a su posición de equilibrio. El movimiento
armónico simple es el más importante de los movimientos oscilatorios, pues constituye una buena
aproximación a muchas de las oscilaciones que se dan en la naturaleza y es muy sencillo de describir
matemáticamente. Se llama armónico porque la ecuación que lo define es función del seno o del coseno.
Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.
En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a ¶x2+ y2, aplicando el teorema de Pitágoras.
La variación de los valores de las funciones trigonométricas para diversos ángulos se pueden representar gráficamente (ver figuras adjuntas). Se puede ver con claridad en estas curvas que todas las funciones trigonométricas son periódicas, es decir, el valor de cada una se repite a intervalos regulares llamados periodos. El periodo de todas las funciones, excepto la tangente y la cotangente, es 360° o 2p radianes. La tangente y la cotangente tienen un periodo de 180° o p radianes.
Bibliografia
Video
Funciones Trigonometricas:
Sea θ el ángulo cuya variación está dada por el intervalo -360º ≤ θ ≤ 360º.
Para los fines de definición de tal ángulo y de sus funciones trigonométricas es conveniente usar el sistema coordenado rectangular. Los enunciados que siguen se aplican a cada una de las cuatro posiciones que aparecen en la figura.
Si a una recta que coincide con el eje X se la hace girar en el plano coordenado XY en torno del origen O a una posición OA, se dice que se ha generado un ángulo XOA=θ que tiene a OX por lado inicial y a OA por lado final. Si la rotación se hace en el sentido contrario a las manecillas de un reloj, se dice que el ángulo es positivo; y si la rotación es en el mismo sentido de las manecillas, se dice que el ángulo es negativo. Se dice también que el ángulo está en el mismo cuadrante que su lado final.
Sobre el lado final OA tomemos un punto cualquiera P diferente de O, y de coordenadas ( x , y ). Desde P bajemos una perpendicular PB al eje X. El segmento de recta OP se llama radio vector, se designa por r, y se toma siempre como positivo. En el triángulo OPB, OB = x y PB = y tienen los sign de las pitagoras .Este teorema es muy útil y práctico para resolver problemas de trigonometría, en que el triángulo no el rectángulo y se conocen más lados que ángulos.
Fórmulas de reducción:
sen (90º ± θ) = cos θ
cos (90º ± θ) = ± sen θ
tg (90º ± θ) = ± ctg θ
sen (180º ± θ) = ± sen θ
cos (180º ± θ) = -cos θ
tg (180º ± θ) = ± tg θ
sen (270º ± θ) = -cos θ
cos (270º ± θ) = ± sen θ
tg (270º ± θ) = ± ctg θ
sen (360º ± θ) = ± sen θ
cos (360º ± θ) = cos θ
tg (360º ± θ) = ± tg θ
ÁNGULOS AGUDOS:
En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.
sen(B) = AC/BC
cos(B) = BA/BC
tan(B) = AC/BA
Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones prácticas.
Pero antes de continuar verás a continuación un applet que te permitirá dibujar triángulos rectángulos en los que el valor de un ángulo agudo lo fijas tú, el tamaño del triángulo lo puedes cambiar y el applet te mostrará que los valores del seno, coseno y tangente no dependen más que del ángulo, no del tamaño del triángulo.
Funciónes Trigonometricas:
f(x) = sen x
Dominio:
Recorrido: [−1, 1]
Período:
Continuidad: Continua en
Impar: sen(−x) = −sen x
f(x) = cos x
Dominio:
Recorrido: [−1, 1]
Período:
Continuidad: Continua en
Par: cos(−x) = cos x
Función tangente
f(x) = tg x
Dominio:
Recorrido:
Continuidad: Continua en
Período:
Impar: tg(−x) = −tg x
Función cotangente
f(x) = cotg x
Dominio:
Recorrido:
Continuidad: Continua en
Período:
Impar: cotg(−x) = −cotg x
Función secante
f(x) = sec x
Dominio:
Recorrido: (− ∞, −1] [1, ∞)
Período:
Continuidad: Continua en
Par: sec(−x) = sec x
Función cosecante
f(x) = cosec x
Dominio:
Recorrido: (− ∞, −1] [1, ∞)
Período:
Continuidad: Continua en
Impar: cosec(−x) = −cosec x
Introducción
En nuestros tiempos de avances tecnológicos es necesario y casi prioritario el uso de cálculos y funciones que a pesar que fueron creadas hace mucho tiempo siempre van a ser información y material de vanguardia en el moderno mundo de hoy, es necesario acotar que en el siguiente trabajo abordaremos temas de gran importancia en la matemáticas específicamente en el area de trigonometría en donde estudiaremos sus funciones y algo mas.
Dentro de los puntos que abordaremos estan los siguientes:
Teorema de Pitágoras
Ley de los Senos
Ley del Coseno
Funciones trigonométricas
Función Seno y Cosecante
Función Coseno y Secante
Función Tangente y Cotangente
trigonométricas.
Si multiplicas los quebrados y el paréntesis cuadrado, te da (el paréntesis cuadrado sólo multiplica a los números de arriba, a los 1’s pues)
que es lo que queríamos demostrar.
Problemas típicos con geometría en el Círculo Unitario
Supónte que te piden encontrar el coseno y el seno de 225° por método gráfico (geometría) en el círculo unitario.
Primero entónces grafícalo en el círculo unitario para ver en hasta dónde llega el ángulo:
Llegó hasta el lado negativo de las x’s y de las y’s. Eso significa que los valores del coseno(225°) y del seno(225°) van a ser negativos, porque los lados del triángulo están en la parte negativa de los ejes.
Luego trata de ver si puedes encontrar el ángulo del triángulo, pero en términos de un ángulo que ya conozcas. Por ejemplo, para éste problema, vemos que la mitad del ángulo mide 180°:
osea que el ángulo que nos piden (225°) son 180° + 45° (porque 180° mas 45° nos dan 225°)
entónces , el ángulo , es 45°.
Entónces, el coseno de 225° es lo mismo que el coseno de 45° sólo que negativo porque el lado de las x’s del tríangulo quedó en los negativos.
Así también, el seno de 225° es lo mismo que el seno de 45° sólo que negativo porque el lado de las y’s del tríangulo quedó también en los negativos.
Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Trigonometría.
Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.
Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:
La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
El [[Cateto|cateto opuesto] es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.
El [[Cateto|cateto adyacente]es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.
Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:
Estas identidades son aveces usadas como las definiciones de las funciones seno y coseno. Con frecuencia se utilizan como el punto de partida para el tratamiento riguroso de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones (por ejemplo en las Series de Fourier), debido a que la teoría de las series infinitas puede ser desarrollada a partir de la base del sistema de números reales, independientemente de cualquier consideración geométrica. La diferenciabilidad y continuidad de estas funciones es entonces establecida a partir de las definiciones de series por si misma.
El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia, y gran parte de los fundamentos de trigonometría fueron desarrollados por los matemáticos de la Antigua Grecia, de la India y estudiosos musulmanes.
El primer uso de la función seno (sin(·)) aparece en el Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Las funciones trigonométricas fueron estudiadas por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.), Aryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, al-Khwarizmi, Abu’l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-Din Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (ca. 1400), Rheticus, y el alumno de éste, Valentin Otho. La obra de Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum (1748) fue la que estableció el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa, definiéndolas como series infinitas presentadas en las llamadas «Fórmulas de Euler».
La noción de que debería existir alguna correspondencia estándar entre la longitud de los lados de un triángulo siguió a la idea de que triángulos similares mantienen la misma proporción entre sus lados. Esto es, que para cualquier triángulo semejante, la relación entre la hipotenusa y otro de sus lados es constante. Si la hipotenusa es el doble de larga, así serán los catetos. Justamente estas proporciones son las que expresan las funciones trigonométricas.
BIBIOGRAFIA:
http://www.youtube.com
http://www.thatquiz.org/es/previewtest?NPXP4027
APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.
En la resolución de Triángulos Rectángulos existen 3 formas:
A) Cuando tenemos la medida de los 3 lados.
B) Cuando tenemos el valor de una función trigonométrica y empleamos el teorema de Pitágoras para encontrar el valor faltante.
C) Cuando tenemos el valor de un cateto y un ángulo agudo.
PRIMERA APLICACIÓN:
Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, determinar las funciones trigonométricas del ángulo señalado.
SEGUNDA APLICACIÓN:
TERCERA APLICACIÓN:
Aplicación de las funciones trigonométricas en la resolución de triángulos rectángulos
Los triángulos se componen de tres segmentos de línea. Se reúnen para formar tres ángulos. Los tamaños de los ángulos y las longitudes de los lados están relacionados entre sí. Si usted sabe el tamaño (longitud) de tres de los seis vértices del triángulo (por lo menos una parte debe ser incluido), usted puede encontrar el tamaño de los restantes lados y ángulos. Si el triángulo es un triángulo rectángulo, puede utilizar simples razones trigonométricas para encontrar las piezas faltantes. En un triángulo en general (agudo u obtuso), es necesario utilizar otras técnicas, incluyendo la ley de cosenos y la ley de los senos. También puede encontrar el área de triángulos utilizando razones trigonométricas.
Todos los triángulos están formados por tres lados y tres ángulos. Si los tres ángulos del triángulo son etiquetados ∠ A, B y C ∠ ∠, a continuación, los tres lados del triángulo deben ser etiquetados como a, b, yc. La figura 1 ilustra cómo las letras minúsculas se usan para nombrar los lados del triángulo que son opuestos los ángulos nombre con letras mayúsculas correspondientes. Si cualquiera de los tres de estas seis medidas se conocen (aparte de saber las medidas de los tres ángulos), entonces usted puede calcular los valores de las otras tres medidas. El proceso de encontrar las medidas faltantes que se conoce como la solución del triángulo. Si el triángulo es un triángulo rectángulo, entonces uno de los ángulos es de 90 °. Por lo tanto, puede resolver el triángulo rectángulo si se dan las medidas de dos de los tres lados o si se le da la medida de un lado y uno de los otros dos ángulos.
Figura 1
Dibujo para el Ejemplo 1.
Ejemplo 1: Resolver el triángulo rectángulo se muestra en la Figura 1 (b) si ∠ B = 22 °
Debido a que los tres ángulos de un triángulo deben sumar 180 °, ∠ A ∠ B = 90 por lo tanto ∠ A = 68 °.
La siguiente es una forma alternativa de resolver para los lados A y C:
Esta solución alternativa puede ser más fácil porque no se trata de la división.
Ejemplo 2: Resolver el triángulo rectángulo se muestra en la Figura 1 (b) si b = 8 y A = 13.
Usted puede utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar el lado que falta, pero las relaciones trigonométricas se utilizan en su lugar. Los dos que faltan medidas del ángulo se encontró por primera vez y luego la parte que falta.
En muchas aplicaciones, desde ciertos ángulos se denominan con nombres especiales. Dos de estos nombres especiales son el ángulo de elevación y el ángulo de la depresión. Los ejemplos mostrados en la Figura 2 hacer uso de estos términos.
Figura 2
a) El ángulo de elevación y b) el ángulo de la depresión.
Ejemplo 3: Un avión de gran tamaño (plano A) volar a 26.000 pies de lugares de interés de un avión más pequeño (plano B) que viaja a una altitud de 24.000 pies. El ángulo de depresión es de 40 °. ¿Cuál es la distancia de línea de vista (x) entre los dos planos?
Figura 3 ilustra las condiciones de este problema.
Figura 3
Dibujo para el Ejemplo 3.
En la figura 3 , se puede encontrar la solución utilizando el seno de 40 °:
Ejemplo 4: Una escalera de mano debe llegar a la cima de un edificio. La base de la escalera será de 25 ‘de la base del edificio. El ángulo de elevación de la base de la escalera a la parte superior del edificio es de 64 °. Encuentra la altura del edificio (h) y la longitud de la escalera (m).
Figura 4 ilustra las condiciones de este problema.
Figura 4
Dibujo para el ejemplo 4.
Ejemplo 5: Un leñador se quiere determinar la altura de un árbol alto. Él está a cierta distancia del árbol y se determina que el ángulo de elevación de la parte superior del árbol es de 40 °. Se mueve 30 ‘más cerca del árbol, y ahora el ángulo de elevación es de 50 °. Si los ojos del leñador son 5 ‘por encima del suelo, la altura es el árbol?
Figura 5 puede ayudar a visualizar el problema.
Figura 5
Dibujo para el ejemplo 5.
En el triángulo rectángulo pequeño y desde el triángulo rectángulo grande, las siguientes relaciones son evidentes:
Sustituyendo la primera ecuación en el rendimiento de la segunda
Tenga en cuenta que 5 ‘se debe agregar al valor de x para obtener la altura del árbol, o 90,06 metros de altura.
Ejemplo 6: El uso de la figura 6 , encontrar la longitud de los lados x e y y el área del triángulo grande.
Figura 6
Dibujo para el ejemplo 6.
Debido a que este es un triángulo isósceles, y los lados opuestos son iguales ángulos iguales, los valores de x e y son las mismas. Si el triángulo está dividido en dos triángulos rectángulos, la base de cada uno será de 6. Por lo tanto,
http://www.cliffsnotes.com/…/Solving-Right-Triangles.topicArticleId-11658, articleId-11571.html
imagenes
videos
La funciones trigonometricas son útiles para estudiar un movimiento vibratorio u oscilante, como puede ser el de una partícula de una cuerda de guitarra en vibración, o un resorte que se ha comprimido o estirado, para luego soltarlo y dejarlo oscilante de un lado a otro. El tipo fundamental de desplazamiento de partículas en esos ejemplos se llama movimiento armónico.
Movimiento armónico simple, movimiento rectilíneo con aceleración variable producido por las fuerzas que se originan cuando un cuerpo se separa de su posición de equilibrio.
Un cuerpo oscila cuando se mueve periódicamente respecto a su posición de equilibrio. El movimiento armónico simple es el más importante de los movimientos oscilatorios, pues constituye una buena aproximación a muchas de las oscilaciones que se dan en la naturaleza y es muy sencillo de describir matemáticamente. Se llama armónico porque la ecuación que lo define es función del seno o del coseno.
Supóngase que la posición inicial de P es A(0,a), y que θ es el ángulo descrito por el segmento OP luego de haber transcurrido t unidades de tiempo. La velocidad angular ω de OP es la rapidez a la cambia el valor de θ por la unidad de tiempo. Decir que P se mueve en la circunferencia con una rapidez invariable equivale a decir que la velocidad angular ω es constante. Si así es, entonces θ = ω t. Por ejemplo si ω = 6πradianes, entonces θ =6π t.
Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º.
http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/funciones/seno7.htm
Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo, tienes algunas posibilidades:
Una consiste en dibujar con mucho cuidadito triángulos distintos con ángulos 90º, 60º y 30º y calcular los resultados de las divisiones anteriores (el cateto opuesto al ángulo de 60º dividido por la longitud de la hipotenusa) para así comprobar que siempre se obtiene el mismo resultado (aprox 0.87).
Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando triángulos, midiendo y dividiendo las longitudes con ayuda de algún programa informático (Cabri, Dr.Geo, etc.).
Otra es ir hasta el primer applet que te encuentres en esta página (pero sin saltarte lo que viene a continuación).
Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos que sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aprox 0.64).
A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y se escribe sen(40º) = 0.64.
(Estas explicaciones se tratarán con más detalle en clase y a partir de aquí definiremos las razones trigonométricas de ángulos agudos de triángulos rectángulos).
bibliografia:
Haz clic para acceder a movimarmonicomarvin.pdf
http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/funciones/seno7.htm
videografia:
Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Trigonometría.
Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.
Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).
Función Abreviatura Equivalencias (en radianes)
Seno sin (sen)
Coseno cos
Tangente tan
Cotangente ctg
Secante sec
Cosecante csc (cosec)
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:
La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
El [[Cateto|cateto opuesto] es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.
El [[Cateto|cateto adyacente]es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.
Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:
1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:
El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:
3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:
4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:
5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:
6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:
[editar] Funciones trigonométricas de ángulos notables
Animación de la función seno. 0° 30° 45° 60° 90°
sen 0 1
cos 1 0
tan 0 1
BIBLIOGRAFIA
Haz clic para acceder a movimarmonicomarvin.pdf
En un triángulo rectángulo existe siempre un ángulo recto (90º) recibiendo el lado opuesto al ángulo recto el nombre de hipotenusa y los otros lados el nombre de catetos. De una forma general, se suele usar una notación que es nombrar los ángulos con las mayúsculas A, B y C y reservan las mismas letras minúsculas a, b y c para los lados opuestos a cada ángulo. De forma general se suele reservar la letra C para el ángulo recto y por tanto c sería la hipotenusa. Esta al menos es la notación que nosotros usaremos.
En cualquier triángulo rectángulo se tienen que cumplir las relaciones trigonométricas, y así se cumple:
a = c*sen A = c*cos B (b = c*sen B = c*cos A) a= b*tan A = b/tan B (b= a*tan B = a/tan A) etc.
y además se cumplirá el conocido Teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2
Resolver un triángulo consiste en calcular todos sus elementos (3 lados y 3 ángulos) conocidos al menos tres de ellos. En el caso de un triángulo rectángulo además del ángulo de 90º, se necesitan otros dos datos, de modo que según cuáles se conozcan, se pueden presentar cuatro casos:
I) La hipotenusa y uno de los ángulos agudos. (c, A)
II) Un cateto y el ángulo opuesto a él. ( a, A )
III) La hipotenusa y uno de los catetos. (c, a)
IV) Los dos catetos. ( a, b)
________________________________________
Utilizando las anteriormente mencionadas relaciones trigonométricas y la relación entre los ángulos de un triángulo, podremos resolver en el cuaderno y con ayuda de la calculadora cualquier caso de triángulo como los Ejemplos y Ejercicios que se indican a continuación. Para facilitar esta labor cada uno de los casos mencionados anteriormente será ampliado y pormenorizado a continuación.
1.- En la escena que aparece a la izquierda puedes ver un triángulo rectángulo trazado a partir de la posición de los vértices A y B y de sus respectivos ángulos A y B.
Sitúa el pulsador Paso en 1. Para ver diferentes triángulos puedes cambiar cada uno de los parámetros, pulsando sobre los pulsadores Rojo-Azul o bien escribiendo directamente el valor.
Puedes aumentar o disminuir el tamaño del triángulo que ves en la escena usando el zoom de la izquierda.
El botón Inicio restaura los valores iniciales.
.- Una vez que tengas los ángulos adecuados para obtener un triángulo rectángulo, puedes observar que su orientación en el espacio o su cambio de tamaño no destruye su característica derectángulo siempre que no cambiemos el ángulo. Para cambiar la orientación o tamaño puedes pinchar sobre uno de los vértices A o B mediante el ratón y arrastrarlo hacia cualquier zona de la pantalla.
Observa que esto te permite «construir» un triángulo rectángulo en la forma y orientación que tu desees
3.- Una vez analizados los anteriores aspectos prueba ahora a cambiar el valor del Paso en la escena.
Podrás observar que: el Paso 2 te permite analizar lados del triángulo
y el Paso 3, los ángulos del triángulo.
4.- Con los anteriores elementos podrás tratar de completar en tu cuaderno los ejercicios que se proponen a continuación. Debes de usar la escena correspondiente a cada tipo solamente como ayuday comprobación de aquello que tú calculas.
Funciones trigonométricas
1. Funciones trigonométricas
INTRODUCCIÓN
Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:
Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo, tienes algunas posibilidades:
Una consiste en dibujar con mucho cuidadito triángulos distintos con ángulos 90º, 60º y 30º y calcular los resultados de las divisiones anteriores (el cateto opuesto al ángulo de 60º dividido por la longitud de la hipotenusa) para así comprobar que siempre se obtiene el mismo resultado (aprox 0.87).
Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando triángulos, midiendo y dividiendo las longitudes con ayuda de algún programa informático (Cabri, Dr.Geo, etc.).
Otra es ir hasta el primer applet que te encuentres en esta página (pero sin saltarte lo que viene a continuación).
Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos que sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aprox 0.64).
A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y se escribe sen(40º) = 0.64.
(Estas explicaciones se tratarán con más detalle en clase y a partir de aquí definiremos las razones trigonométricas de ángulos agudos de triángulos rectángulos).
DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.
sen(B) = AC/BC
cos(B) = BA/BC
tan(B) = AC/BA
Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones prácticas.
Pero antes de continuar verás a continuación un applet que te permitirá dibujar triángulos rectángulos en los que el valor de un ángulo agudo lo fijas tú, el tamaño del triángulo lo puedes cambiar y el applet te mostrará que los valores del seno, coseno y tangente no dependen más que del ángulo, no del tamaño del triángulo.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUALESQUIERA:
Las razones trigonométricas se generalizan para ángulos cualesquiera utilizando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro está situado en el origen. Los ángulos se miden en sentido antihorario y desde la dirección positiva del eje de abscisas.
En el siguiente applet podrás variar el ángulo, y para el valor del ángulo elegido aparecerá un triángulo rectángulo OPQ. La hipotenusa es el radio, por lo que mide 1. Para un valor concreto del ángulo se llama sen(a) al cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud de la hipotenusa: PQ/OQ = PQ/1 = PQ. De la misma forma generalizamos el concepto de coseno: llamaremos cos(a) a la longitud de la proyección del radio sobre el eje de abscisas, cos(a) = OQ. (OQ/OP = OQ/1 = OQ)
Los segmentos PQ se miden sobre el eje de ordenadas (vertical) y por ello, dependiendo del valor del ángulo, tienen signo positivo o negativo.
Los segmentos OQ los medimos sobre el eje de abcisas (horizontal), por lo que el seno del ángulo elegido será positivo o negativo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre.
La tangente de un ángulo cualquiera la obtendremos dividiendo el valor del seno entre el del coseno.
Las razones trigonométricas de ángulos negativos se obtienen igual, pero los ángulos los medimos en sentido contrario (en sentido horario).
PROPIEDADES IMPORTANTES:
Existen algunas propiedades importantes que serán explicadas en clase:
a) sen2(a) + cos2(a) = 1 (Esta igualdad se conoce con el nombre de fórmula fundamental de la trigonometría). (Se demuestra fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OPQ)
b) tan(a) = sen(a)/cos(a). (Se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente)
c) los valores del seno y del coseno están comprendidos entre -1 y 1.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
Al estar definidos los senos, cosenos y tangentes para cualquier ángulo (¿las tangentes existen para cualquier ángulo?), dan lugar al concepto de funciones trigonométricas: función seno, función coseno y función tangente. Es imprescindible familiarizarse con las gráficas de cada una de estas funciones y conocer sus características principales.
A continuación mostramos un applet que permite ver como se genera la gráfica de la función seno (sinusoide) al ir variando el ángulo
Imagenes:
videos:
1. Aplicación de las funciones trigonométricas
Una de las aplicaciones más inmediatas de la trigonometría es la resolución de triángulos. En este curso se abordan únicamente los triángulos rectángulos.
También veremos como resolver triángulos no rectángulos por descomposición en triángulos rectángulos.
Resolver un triángulo es conocer el valor de sus tres lados y sus tres ángulos.
El uso de las razones trigonométricas junto con el teorema de Pitágoras, nos permiten resolver cualquier triángulo rectángulo conociendo dos datos, uno de ellos ha de ser un lado.
CONOCIDOS DOS LADOS.
El tercer lado se calcula aplicando el teorema de Pitágoras.
Uno de los ángulos agudos aplicando la razón trigonométrica que relacione los dos lados conocidos.
Para calcular el otro ángulo agudo basta considerar que la suma de los ángulos agudos es 90º.
CONOCIDOS UN LADO Y UN ÁNGULO
El proceso es similar al caso anterior.
Se calcula otro lado mediante la razón trigonométrica adecuada del ángulo conocido.
El tercer lado mediante el teorema de Pitágoras; o bien, mediante otra razón trigonométrica.
Se conocen la hipotenusa y un cateto
El otro ángulo es 90 – ángulo conocido.
video:
imagenes:
Signos de las funciones trigonométricas:
De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado terminal del ángulo y teniendo en cuenta que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas es siempre positiva, y aplicando la “ley de los signos”, las funciones trigonométricas pueden ser positivas o negativas.
En la tabla de la parte inferior se resumen los signos de las funciones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes.
http://memotube.bligoo.com.mx/media/users/10/518272/images/public/49870/funciones2.jpg?v=1302658591310
Los signos de las funciones de trigonometría en cuadrantes
Cuando triángulos parcela en trigonometría, funciones trigonométricas tienen signos diferentes, dependiendo del cuadrante que son. En el cuadrante I, por ejemplo, todas las funciones son positivas.
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.
Razones Trigonométricas Recíprocas
Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:
• cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo.
En la primera escena vas a poder observar el signo que tiene la función seno en cada uno de los cuadrantes. Como la cosecante de un ángulo y su seno son números inversos tendrán siempre el mismo signo.
.- Observa que el signo del seno depende del signo de y, ya que r siempre es positivo.
.- Observa que el signo del seno depende del signo de x, ya que r siempre es positivo.
En esta última escena vas a poder observar el signo que tiene la función tangente en cada uno de los cuadrantes. Como la cotangente de un ángulo y su tangente son números inversos tendrán siempre el mismo signo.
.- Observa que el signo de la tangente depende de los signos de x y de y.
PRIMER CUADRANTE:
Ya que “x”, “y”, “r”, son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
sen cosec tg cotg cos sec
+ + + + + +
EN EL SEGUNDO CUADRANTE, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
sen cosec tg cotg cos sec
EN EL TERCER CUADRANTE, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa = +) : , la cotangente) resultan positivas .
sen cosec tg cotg cos sec
EN EL CUARTO CUADRANTE, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
sen cosec tg cotg cos sec
*Cuando el lado terminal de ángulo esta en el cuarto cuadrante las “x” tienen signo positivo y las “y” signo negativo..
Para el cálculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron tablas trigonométricas. La primera de estas tablas fue desarrollada por Johann Müller Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informática, en prácticamente todos los lenguajes de programación existen librerías de funciones que realizan estos cálculos, incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto.
APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN LA RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS.
LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:
Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo, tienes algunas posibilidades:
Una consiste en dibujar con mucho cuidadito triángulos distintos con ángulos 90º, 60º y 30º y calcular los resultados de las divisiones anteriores (el cateto opuesto al ángulo de 60º dividido por la longitud de la hipotenusa) para así comprobar que siempre se obtiene el mismo resultado (aprox 0.87).
Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando triángulos, midiendo y dividiendo las longitudes con ayuda de algún programa informático (Cabri, Dr.Geo, etc.).
Otra es ir hasta el primer applet que te encuentres en esta página (pero sin saltarte lo que viene a continuación).
Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos que sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aprox 0.64).
A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y se escribe sen(40º) = 0.64.
(Estas explicaciones se tratarán con más detalle en clase y a partir de aquí definiremos las razones trigonométricas de ángulos agudos de triángulos rectángulos).
1. DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS:
En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.
seno de θ = sen θ = y/r
coseno de θ = cos θ = x/r
tangente de θ = tg θ = y/x
cotangente de θ = ctg θ = x/y
secante de θ = sec θ = r/x
cosecante de θ = csc θ = r/y.
Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones prácticas.
Pero antes de continuar verás a continuación un applet que te permitirá dibujar triángulos rectángulos en los que el valor de un ángulo agudo lo fijas tú, el tamaño del triángulo lo puedes cambiar y el applet te mostrará que los valores del seno, coseno y tangente no dependen más que del ángulo, no del tamaño del triángulo.
2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUALESQUIERA:
Las razones trigonométricas se generalizan para ángulos cualesquiera utilizando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro está situado en el origen. Los ángulos se miden en sentido antihorario y desde la dirección positiva del eje de abscisas.
En el siguiente applet podrás variar el ángulo, y para el valor del ángulo elegido aparecerá un triángulo rectángulo OPQ. La hipotenusa es el radio, por lo que mide 1. Para un valor concreto del ángulo se llama sen(a) al cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud de la hipotenusa: PQ/OQ = PQ/1 = PQ. De la misma forma generalizamos el concepto de coseno: llamaremos cos(a) a la longitud de la proyección del radio sobre el eje de abscisas, cos(a) = OQ. (OQ/OP = OQ/1 = OQ)
Los segmentos PQ se miden sobre el eje de ordenadas (vertical) y por ello, dependiendo del valor del ángulo, tienen signo positivo o negativo.
Los segmentos OQ los medimos sobre el eje de abcisas (horizontal), por lo que el seno del ángulo elegido será positivo o negativo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre.
La tangente de un ángulo cualquiera la obtendremos dividiendo el valor del seno entre el del coseno.
Las razones trigonométricas de ángulos negativos se obtienen igual, pero los ángulos los medimos en sentido contrario (en sentido horario).
3. PROPIEDADES IMPORTANTES:
Existen algunas propiedades importantes que serán explicadas en clase:
a) sen2(a) + cos2(a) = 1 (Esta igualdad se conoce con el nombre de fórmula fundamental de la trigonometría). (Se demuestra fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OPQ)
b) tan(a) = sen(a)/cos(a). (Se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente)
c) los valores del seno y del coseno están comprendidos entre -1 y 1.
4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
Al estar definidos los senos, cosenos y tangentes para cualquier ángulo (¿las tangentes existen para cualquier ángulo?), dan lugar al concepto de funciones trigonométricas: función seno, función coseno y función tangente. Es imprescindible familiarizarse con las gráficas de cada una de estas funciones y conocer sus características principales.
Las definiciones son verdaderas y no cambian para ángulos
positivos y negativos mayores que 360º en valor numérico.
Sistema de cuadrantes:
Teorema del Seno
Este teorema es muy útil y práctico para resolver problemas
de trigonometría, en que el triángulo no el rectángulo y se conocen
más ángulos que lados. Se define de la siguiente manera:
Carlos Oliva – Mary Carmen Santana – Alexis Rojas C. Funciones Trigonométricas 6
Teorema del Coseno
Este teorema es muy útil y práctico para resolver problemas de
trigonometría, en que el triángulo no el rectángulo y se conocen más
lados que ángulos. Se define como:
5. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES:
csc θ = 1/sen θ
sec θ = 1/cos θ
ctg θ = 1/tg θ
tg θ = sen θ/cos θ
sen² θ + cos² θ = 1
1 + tg² θ = sec² θ
*En la resolución de Triángulos Rectángulos existen 3 formas:
A)Cuando tenemos la medida de los 3 lados.
PRIMERA APLICACIÓN:
Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, determinar las funciones trigonométricas del ángulo señalado.
B)Cuando tenemos el valor de una función trigonométrica y empleamos el teorema de Pitágoras para encontrar el valor faltante.
SEGUNDA APLICACIÓN
C)Cuando tenemos el valor de un cateto y un ángulo agudo.
TERCERA APLICACIÓN:
Resolver el triángulo rectángulo ABC sabiendo que <A=37° Y EL CATETO ADYACENTE ES =6.4m
VIDEO.
bibliografia
http://members.tripod.com/jorge_cetis10.mx/objetivo39.html
*Las razones trigonométricas se emplean en la resolución de triángulos rectángulos, esto es, en el círlculo de uno o más de sus lados o ángulos, con un mínimo de datos.
Para aplicar estas razones, es necesario conocer el valor numérico de dos de sus elementos (que pueden ser dos lados o un ángulo agudo y un lado) para encontrar el valor desconocido de otro de ellos.
Existen dos casos en la resolución de triángulos rectángulos cuyo procedimiento se ejemplifica a continuación.
1.-Obtención del valor de un lado, conocidos un ángulo y un lado
Ejemplo:
Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un ángulo de 60 con respecto al piso.
Procedimiento:
a) Trazar el triángulo rectángulo anotando los datos e indicando, con una letra, el lado que se desea calcular.
b) Seleccionar una razón trigonométrica que relacione al ángulo y lado conocidos con el lado que se desea calcular.
c) Despejar algebraicamente la letra que representa el lado que se desea calcular.
d) Sustituir las literales por sus valores numéricos de acuerdo con los datos.
e) Obtener el valor natural del ángulo por medio de las tablas trigonométricas o de la calculadora y efectuar las operaciones.
c = 5 m
f) Dar solución al problema.
c = longitud de la escalera
Por lo tanto, la escalera mide 5 m.
super.*_*
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para entender la matemática
tienes que ser un genio oh ponerle mucho esfuerzo