un triángulo cuando se sabe a,b,c = [s(s-a)(s-b)(s-c)] cuando s = (a+b+c)/2 (La
fórmula de Herón)
polígono regular = (1/2) n sen(360°/n) S2
cuando n = # de lados y S = la largura desde el centro a un punto
Volúmenes
un cubo = a3
un prisma rectangular = a b c
un prisma irregular = b h
un cilindro = b h = pi r2 h
una pirámide = (1/3) b h
un cono = (1/3) b h = (1/3) pi r2 h
una esfera = (4/3) pi r3
un elipsoide = (4/3) pi r1 r2 r3
Áreas de Superficies
un cubo = 6 a2
un prisma:
(área lateral) = perímetro (b) L
(área total) = perímetro(b) L + 2b
una esfera = 4 pi r2
Entre los más asombrosos hallazgos que relata la Historia de la Matemática está el cálculo que hizo Arquímedes, tal vez el más brillante de los sabios de la Antigüedad griega, del área de un círculo de radio .
Para hacer este cálculo, Arquímedes imaginó el círculo como estando formado por infinitas circunferencias concéntricas y de radios cada vez menores.
Luego, imaginó que tomaba la más exterior de las circunferencias y la ‘rectificaba’, es decir, la convertía en un segmento de recta de longitud (él sabía que ésta era su longitud.
Tomando todas las otras circunferencias y rectificándolas para colocar los segmentos de recta obtenidos sobre el segmento , de manera que un extremo siempre coincidiera con el punto A.
Como la longitud de las circunferencias va disminuyendo proporcionalmente al radio de cada una de ellas, él concluye que la figura obtenida es un triángulo rectángulo, cuya área debe ser igual a la del círculo original. Como el área del triángulo era conocida, y en este caso igual a , ( como base, como altura), y sabiendo que , resulta que el área del círculo es igual a .
El procedimiento a seguir para medir el volumen de un objeto, dependerá del estado en que se encuentre: gaseoso, líquido o sólido.
En el caso de nubes gaseosas el volumen varía considerablemente según la temperatura y presión; también depende de si está o no contenido en un recipiente y, si lo está, adoptará la forma y el tamaño de dicho recipiente. Si la masa gaseosa está disuelta en la atmósfera, es difícil precisar que se entiende por volumen.
Para medir el volumen de un líquido, se emplean diversos recipientes graduados, dependiendo de la exactitud con la que se desee conocer dicho volumen.
Algunos sólidos tienen formas sencillas y su volumen puede calcularse en base a la geometría clásica. Por ejemplo, el volumen de un sólido puede calcularse aplicando conocimiento que proviene de la geometría.
Midiendo sus dimensiones, y aplicando una fórmula adecuada, podemos determinar su volumen. Así, el volumen de un paralelepípedo recto se determina midiendo las tres aristas concurrentes a un vértice y multiplicándolas; el cubo es un caso especial de paralelepípedo en el que todas sus aristas son iguales y su volumen se obtiene elevando a tres su arista.
En general, existen procedimientos similares para obtener el volumen de otros cuerpos como los prismas y las pirámides. Estos cuerpos geométricos tienen una característica que los agrupa: el volumen de los paralelepípedos, los prismas y los cilindros, (sean ellos rectos u oblicuos), se obtiene multiplicando la medida de su área basal por la medida de su altura y en el caso de las pirámides y conos, (también rectos u oblicuos) su volumen es igual a un tercio del producto entre la medida del área basal y su altura.
Volumen.
La cantidad de espacio tridimensional que ocupa un objeto. Capacidad.
Para este ejemplo el volumen es 4×5×10 = 200 unidades3
las unidades de volumen incluyen:
Métrica:centímetros cúbicos (cm3), metros cúbicos (m3), litros.
Imperial: Onza líquida, pulgada cúbica, pie cúbico, pintas, galones, bushels (celemines).
Área
El tamaño de una superficie.
La cantidad de espacio dentro de los límites de un objeto plano (bi-dimensional) como un triángulo o un círculo.
Estas áreas son iguales (9)
Área y volumen del tetraedro
Área y volumen del octaedro.
Área y volumen del dodecaedro
Área y volumen del cubo
Área y volumen del cono
Área y volumen del prisma
Areas y volúmenes (Formulas , desglosado y mas explicito)
Unidades de volumen.
La unidad principal de volumen es el metro cúbico, que es el volumen que tiene un cubo de 1 m de arista.
Cada unidad de volumen es 1.000 veces mayor que la inmediatamente inferior y 1.000 veces menor que la inmediatamente superior. Por ejemplo:
45,76 hm3 • 1.000.000.000 = 45.760.000.000 dm3
760,04 dam3 : 1.000.000 = 0,00076004 km3
Las medidas de volumen se pueden expresar de forma compleja e incompleja, recordando que las unidades van de 1.000 en 1.000 y que a cada unidad le corresponden tres cifras. Así, 13,425 hm3 18,75 dam3, expresado en m3, es:
Profe.. vi la publicacion de anylu, y el principio es igual que el mio:/ investgare mas pero el principio yo lo investigue por mi parte:D gracias
Áreas
un cuadrado = a2
un rectángulo = ab
un paralelogramo = bh
un trapesoide = (h/2) (b1 + b2)
un círculo = pi r2
un elipse = pi r1 r2
un triángulo = (1/2) b h
un triángulo equilátero = (1/4) (3) a2
un triángulo cuando se sabe SAS = (1/2) a b sin C
un triángulo cuando se sabe a,b,c = [s(s-a)(s-b)(s-c)] cuando s = (a+b+c)/2 (La fórmula de Herón)
polígono regular = (1/2) n sen(360°/n) S2
cuando n = # de lados y S = la largura desde el centro a un punto
Volúmenes
un cubo = a3
un prisma rectangular = a b c
un prisma irregular = b h
un cilindro = b h = pi r2 h
una pirámide = (1/3) b h
un cono = (1/3) b h = (1/3) pi r2 h una esfera = (4/3) pi r3
un elipsoide = (4/3) pi r1 r2 r3
Triángulo Es la porción de plano limitada por tres segmentos de recta.
Paralelogramo Son los cuadriláteros que tienen sus lados opuestos iguales y paralelos.
Cuadrado Cuadrilátero de cuatro lados y 4 ángulos iguales.
Rombo Cuadrilátero cuyas dos diagonales se cruzan en ángulo de 90º
Trapecio Cuadrilátero que tiene dos de sus lados paralelos y los otros dos no.
Polígono regular Es la porción de plano limitada por segmentos de recta, es regular si todos sus lados y ángulos son iguales.
Círculo Es la porción de plano limitada por la circunferencia.
volumenes
Prisma Cuerpo geométrico cuyas bases son dos poligonos iguales y paralelos y sus caras laterales son paralelogramos
Ortoedro Prisma cuyas bases son dos rectángulos.
Cubo Ortoedro donde las tres dimensiones son iguales.
Pirámide Cuerpo geométrico cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales triangulos
Cilindro Es el Cuerpo geometrico engendrado por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados
Cono Es el Cuerpo geometrico engendrado por la revolución de un triángulo rectángulo alrededor de uno
Esfera Cuerpo geometrico engendrado por la revolución completa de un semicírculo alrededor de su diámetro.
1. Áreas y volúmenes:
Definición de area:
El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término “área” como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.
Definición de volúmenes:
El volumen es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un cuerpo. Es una función derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones.
En matemáticas el volumen es una medida que se define como los demás conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico.
En física, el volumen es una magnitud física extensiva asociada a la propiedad de los cuerpos físicos de ser extensos, que a su vez se debe al principio de exclusión de Pauli.
La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico, aunque temporalmente también acepta el litro, que se utiliza comúnmente en la vida práctica.
Formulas de areas:
Área de un cuadrado:
Área de un rectángulo:
Imágenes:
Área de un rombo
Imágenes:
Área de un romboide:
Imágenes:
Área de un trapecio:
Imágenes:
Área de un polígono:
Imágenes:
El área se obtiene triangulando el polígono y sumando el área de dichos triángulos.
Área de un triángulo :
Imágenes:
Área de un polígono regular:
Imágenes:
Formulas del volumen:
Cilindro
Imágenes:
Volumen:
Cono:
Imágenes:
Volumen:
Cubo:
Imágenes:
Volumen:
Prisma:
Imagen:
Volumen:
Pirámide:
Imagen:
Volumen:
Icosaedro:
Imagen:
Volúmenes:
Características del volumen
Nos movemos en 4 dimensiones, lineal, superficie, volumen y tiempo. En matemáticas y física se utilizan los siguientes símbolos para expresar a cada uno de ellos.
m (metro)= lineal, distancia entre dos puntos
m2 (metro cuadrado), superficie largo x ancho
m3 (metro cúbico)= volumen.largo x ancho x alto El volumen por ejemplo en la pintura, lo dio el español Salvador Dalí en sus cuadros, donde parece que las pinturas no entraran en una simple tela
Características del area:
La provincia del Darién está bajo la influencia de un clima húmedo y cálido, pudiendo advertirse variaciones dentro de la zona debido a condiciones topográficas locales.
Se registra una máxima absoluta de 35.5°C y una mínima de 17.2°C, fluctuando la media anual entre 25° y 26°C.
Las variaciones térmicas durante el año son mínimas; en cambio, no lo son las precipitaciones pluviales a través del año, en que se registra un período seco relativo que puede durar de tres a cuatro meses (enero a abril) y un período húmedo que va de mayo a diciembre. Dichas variaciones afectan las tierras situadas en el área de influencia del estuario del río Tuira, los valles del Chucunaque y Sambú, y las ubicadas a lo largo de la Carretera Panamericana hasta aproximadamente la altura de El Real.
Las lluvias, que se distribuyen en forma irregular a través del año son copiosas en las tierras montañosas próximas a la costa atlántica (3 000 mm – 4 000 mm) y aumentan en las montañas del Pacífico, al sudeste de la región (4 000 mm – 5 000 mm). En las áreas centrales y al sudoeste las precipitaciones disminuyen sensiblemente, fluctuando entre 1 700 mm y 2 800 mm anuales.
Dentro del ámbito fisiográfico que presenta la zona, se pueden diferenciar en forma muy generalizada los siguientes paisajes fisiográficos.
i. Paisaje aluvial
Se caracteriza principalmente por su topografía plana, y se halla formado tanto por sedimentos frescos de origen fluvial como marino. Los suelos, originados de depósitos fluviales se extienden constituyendo una estrecha faja a lo largo de los principales ríos y reciben sedimentos nuevos por efecto de las inundaciones que se producen en forma eventual o periódica; en cambio, los suelos derivados de materiales marinos o fluviomarinos forman la faja litoral de tierras muy pobremente drenadas (manglares); la napa freática permanece en la superficie o muy próxima a ella en la mayor parte del tiempo y soportan inundaciones muy severas producidas por las mareas y desbordamiento de las aguas de los ríos en zonas cercanas a sus desembocaduras.
De acuerdo con el mapa geológico de la región oriental, Proyecto Minero Fase II, la zona estudiada presenta una secuencia estratigráfica cuyo orden de sucesión cronológica va desde el cuaternario reciente hasta el cretácico.
El cuaternario reciente comprende todas aquellas tierras pantanosas derivadas de sedimentos fluviomarinos que bordean el área de influencia del río Tuira y la desembocadura de los ríos Taimatí, Sambú y Jaqué. A esto se agregan las fajas de depósito fluvial recientes que se extienden a lo largo de los principales ríos de la zona.
El drenaje natural de la zona se efectúa a través de varios ríos, como el Chucunaque, Balsas, Yapé, Capetí, Cupé, Pirre y otros, que después de haber recibido las aguas de numerosos cursos menores desembocan en el principal colector, el río Tuira. También existen otros cauces, como el Sabana, el Congo, el Cucunatí y el Jaqué, que vierten sus aguas directamente al mar.
En términos generales, en el paisaje ondulado y colinoso, así como en el montañoso, la evacuación de las aguas de lluvia se efectúa rápidamente y sin limitaciones de ninguna índole debido a una red de drenaje predominantemente densa tipificada por numerosas vertientes que descienden de las tierras altas muy accidentadas
AREA Y VOLUME:El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficial. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término «área» como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).Su unidad es el metro cuadrado.
El volumen es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un cuerpo. Es una función derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones.
En matemáticas el volumen es una medida que se define como los demás conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico.
En física, el volumen es una magnitud física extensiva asociada a la propiedad de los cuerpos físicos de ser extensos, que a su vez se debe al principio de exclusión de Pauli.
La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico, aunque temporalmente también acepta el litro, que se utiliza comúnmente en la vida práctica.
La cantidad de espacio dentro de los límites de un objeto plano (bi-dimensional) como un triángulo o un círculo.
Definición de volumen.
Con el término volumen se puede hacer referencia a varias y diferentes cuestiones.
En primer lugar volumen puede ser elespacio que ocupa un cuerpo en determinado lugar, es decir, la cantidad de espacio que ocupa su materia y que por la condición de impenetrables de los cuerpos no podrá ser ocupada por otro cuerpo a la vez. Pero además volumen es la propiedad intrínseca de esa materia que nos permitirá distinguir un tipo de materia de otra, una sustancia de otra, ya que todas ostentan un volumen específico.
En tanto y sin tener nada que ver con lo que mencionábamos en el párrafo anterior, el volumen es la percepción subjetiva de una persona tiene sobre cualquier sonido que escucha. La intensidad de los sonidos estará determinada por la energía o potencia acústica que atraviesa por segundo una superficie, cuanto mayor sea la potencia de un sonido, mayor será el volumen que experimentará ese sonido por supuesto.
La percepción de cualquier volumen sigue siempre una escala logarítmica que se mide en decibelios y estará determinado por el nivel de potencia acústica que ostente cada sonido en particular.
Y finalmente el término volumen posee una especial importancia en el ámbito literario o en el vocabulario de aquellas personas afectas a la colección y lectura de libros, ya que con dicho término se designa al cuerpo material de un libro encuadernado, ya sea que contiene a la obra completa o bien uno o algunos tomos que conforman la misma.
Formulas de área
Formulas de volumen.
Características del volumen.
Nos movemos en 4 dimensiones, lineal, superficie, volumen y tiempo
Procedimientos para medir el área
• Sobre una hoja de papel transparente se dibuja el perímetro del arrea que se quiere medir.
• Se divide el arrea por secciones adoptándolas a figuras geométricas regulares como triángulos, cuadriláteros y trapecios, etc.
• Se calcula el arrea de cada figura aplicando las formulas correspondientes.
A1 = (b X h) / 2 A2 = (b X h) / 2 A3 = (b X h) / 2 A4 = (b X h) / 2
At = A1 + A2 + A3 + A4
• Según la escala del mapa, se hace la conversión de este resultado a su equivalente en el terreno.
• Mediante papel milimetrado o cuadriculado.
Procedimiento para medir el volumen
Es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo.
El volumen es una magnitud física derivada. La unidad para medir volúmenes en el Sistema Internacional es el metro cúbico (m3) que corresponde al espacio que hay en el interior de un cubo de 1 m de lado. Sin embargo, se utilizan más sus submúltiplos, el decímetro cúbico (dm3) y el centímetro cúbico (cm3). Sus equivalencias con el metro cúbico son: 1 m3 = 1 000 dm3
1 m3 = 1 000 000 cm3
Para medir el volumen de los líquidos y los gases también podemos fijarnos en la capacidad del recipiente que los contiene, utilizando las unidades de capacidad, especialmente el litro (l) y el mililitro (ml). Existe una equivalencias entre las unidades de volumen y las de capacidad:
1 l = 1 dm3 1 ml= 1 cm3
En química general el dispositivo de uso más frecuente para medir volúmenes es la probeta. Cuando se necesita más exactitud se usan pipetas o buretas.
Las probetas son recipientes de vidrio graduados que sirven para medir el volumen de líquidos(leyendo la división correspondiente al nivel alcanzado por el líquido) y sólidos (midiendo el volumen del líquido desplazado por el sólido, es decir la diferencia entre el nivel alcanzado por el líquido solo y con el sólido sumergido).
Unidades de medida del área
Unidades de superficie
El metro cuadrado es la unidad principal de superficie en el Sistema métrico decimal. Los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado son los siguientes:. Cada unidad de superficie es 100 veces mayor que la unidad inmediatamente inferior y 100 veces menor que la inmediatamente superior….
Superficie y área
Para medir una superficie se utilizan las unidades de superficie. El área de una figura es la medida de su superficie.
Otras medidas de superficie
Para expresar medidas de superficie que se refieren a extensiones de fincas, campos, terrenos, etc., se utilizan las llamadas unidades agrarias.
Unidades de medida del volumen.
MEDIDAS de VOLUMEN.
El volumen de un cuerpo es el espacio que éste ocupa. Para medirlo, se debe ver cuantas veces entra en él una unidad de volumen utilizada como unidad de medida. Esta unidad se llama metro cúbico, y corresponde a un cubo de un metro de lado.
Para medir volúmenes mayores y menores que el metro cúbico, se utilizan sus múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 1.000 en 1.000.
El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término «área» como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.
Definición de volúmenes:
El volumen es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un cuerpo. Es una función derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones.
En matemáticas el volumen es una medida que se define como los demás conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico.
En física, el volumen es una magnitud física extensiva asociada a la propiedad de los cuerpos físicos de ser extensos, que a su vez se debe al principio de exclusión de Pauli.
La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico, aunque temporalmente también acepta el litro, que se utiliza comúnmente en la vida práctica.
Área de un rombo
Imágenes:
Área de un romboide:
Imágenes: http://www.vitutor.com/geo/eso/s_f.html
Área de un trapecio:
Imágenes:
Área de un polígono:
Imágenes:
El área se obtiene triangulando el polígono y sumando el área de dichos triángulos.
Área de un triángulo :
Imágenes: http://www.vitutor.co.uk/geo/eso/images/74.gif
Área de un polígono regular:
Imágenes:
Formulas del volumen:
Cilindro
Imágenes:
Volumen:
Cono:
Volumen:
Cubo:
Volumen:
Prisma:
Imagen:
Volumen:
Pirámide:
Imagen:
Volumen:
Icosaedro:
Imagen:
Volúmenes:
Características del volumen
Nos movemos en 4 dimensiones, lineal, superficie, volumen y tiempo. En matemáticas y física se utilizan los siguientes símbolos para expresar a cada uno de ellos.
m (metro)= lineal, distancia entre dos puntos
m2 (metro cuadrado), superficie largo x ancho
m3 (metro cúbico)= volumen.largo x ancho x alto El volumen por ejemplo en la pintura, lo dio el español Salvador Dalí en sus cuadros, donde parece que las pinturas no entraran en una simple tela
Características del area:
La provincia del Darién está bajo la influencia de un clima húmedo y cálido, pudiendo advertirse variaciones dentro de la zona debido a condiciones topográficas locales.
Se registra una máxima absoluta de 35.5°C y una mínima de 17.2°C, fluctuando la media anual entre 25° y 26°C.
Las variaciones térmicas durante el año son mínimas; en cambio, no lo son las precipitaciones pluviales a través del año, en que se registra un período seco relativo que puede durar de tres a cuatro meses (enero a abril) y un período húmedo que va de mayo a diciembre. Dichas variaciones afectan las tierras situadas en el área de influencia del estuario del río Tuira, los valles del Chucunaque y Sambú, y las ubicadas a lo largo de la Carretera Panamericana hasta aproximadamente la altura de El Real.
Las lluvias, que se distribuyen en forma irregular a través del año son copiosas en las tierras montañosas próximas a la costa atlántica (3 000 mm – 4 000 mm) y aumentan en las montañas del Pacífico, al sudeste de la región (4 000 mm – 5 000 mm). En las áreas centrales y al sudoeste las precipitaciones disminuyen sensiblemente, fluctuando entre 1 700 mm y 2 800 mm anuales.
Dentro del ámbito fisiográfico que presenta la zona, se pueden diferenciar en forma muy generalizada los siguientes paisajes fisiográficos.
En términos generales, en el paisaje ondulado y colinoso, así como en el montañoso, la evacuación de las aguas de lluvia se efectúa rápidamente y sin limitaciones de ninguna índole debido a una red de drenaje predominantemente densa tipificada por numerosas vertientes que descienden de las tierras altas muy accidentadas.
ÁREAS.
NOMBRE: Triángulo
DEFINICIÓN: Es la porción de plano limitada por tres segmentos de recta
FIGURA.
TÉRMINOS: h=altura
b=base
FÓRMULA:
NOMBRE:Paralelogramo.
DEFINICIÓN:Son los cuadriláteros que tienen sus lados opuestos iguales y paralelos.
FIGURA.
TÉRMINOS: h=altura b=base
FóRMULA: A=b.h.
NOMBRE: Cuadrado.
DEFINICIÓN: Cuadrilátero de cuatro lados y 4 ángulos iguales.
FIGURA.
TÉRMINOS: l=lado d=diagonal.
FÓRMULA:
NOMBRE: Rombo
DEFINICIÓN: Cuadrilátero cuyas dos diagonales se cruzan en ángulo de 90º.
FIGURA.
TERMINOS: d=diagonal mayor d’=diagonal menor.
FÓRMULA:
NOMBRE:
Trapecio.
DEFINICIÓN:
Cuadrilátero que tiene dos de sus lados paralelos y los otros dos no.
FIGURA:
TÉRMINOS:b=base mayor b’=base menor h=altura.
FÓRMULA:
NOMBRE: Polígono regular.
DEFINICIÓN: Es la porción de plano limitada por segmentos de recta, es regular si todos sus lados y ángulos son iguales.
FIGURA.
TÉRMINOS: a=apotema l=lado n=número de lados.
FÓRMULA:
NOMBRE: Círculo.
DEFINICIÓN: Es la porción de plano limitada por la circunferencia.
FIGURA.
TÉRMINOS: r=radio.
FÓRMULA: A=p.r².
VOLÚMENES.
NOMBRE: Prisma.
DEFINICIÓN: Cuerpo geométrico cuyas bases son dos poligonos iguales y paralelos y sus caras laterales son paralelogramos.
FIGURA.
TÉRMINOS: B=área de la base h=altura.
FÓRMULA: V=h.B.
NOMBRE: Ortoedro.
DEFINICIÓN: Prisma cuyas bases son dos rectángulos.
FIGURA.
TÉRMINOS: l=largo a=ancho h=altura.
FÓRMULA: V=h.l.a.
NOMBRE: Cubo.
DEFINICIÓN: Ortoedro donde las tres dimensiones son iguales.
FIGURA.
TÉRMINOS: a=lado.
FÓRMULA: V=a³.
NOMBRE: Pirámide.
DEFINICIÓN Cuerpo geométrico cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales triángulos.
FIGURA.
TÉRMINOS: B=área de la base h=altura.
FÓRMULA:
NOMBRE: Cilindro.
DEFINICIÓN: Es el Cuerpo geométrico engendrado por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
FIGURA.
TÉRMINOS: r=radio.
h=altura.
FÓRMULA: V=h.p.r².
NOMBRE: Cono.
DEFINICIÓN: Es el Cuerpo geometrico engendrado por la revolución de un triángulo rectángulo alrededor de uno.
FIGURA.
TÉRMINOS: r=radio.
h=altura.
FÓRMULA:
NOMBRE: Esfera.
DEFINICIÓN: Cuerpo geométrico engendrado por la revolución completa de un semicírculo alrededor de su diámetro.
FIGURA.
TÉRMINOS: r=radio.
FÓRMULA:
ÁREAS Y VOLÚMENES.
El área de una figura geométrica es todo el espacio que queda encerrado entre los límites de esa figura.
Para calcular el área de algunas figuras se utilizan las fórmulas que aparecen dentro del dibujo de abajo.
En cada caso, debe reemplazarse los valores conocidos en los problemas expuestos y calcular los valores pedidos.
Con ayuda del formulario expuesto, se puede hacer uso de las fórmulas para resolver problemas.
En el medio circundante hay muchas de estas figuras y es bastante común que se requiera conocer su área, por lo que en la práctica es muy útil saber aplicar estas fórmulas.
Ejemplos:
1.- Una mesa circular tiene un área de 5.027 cm2 ¿cuánto mide su radio?
Reemplazamos valores y queda 5.027 = 3,1416 • r2
Resolvemos:
O bien
r2 = 1.600 (radio al cuadrado vale 1.600) (radio solo, vale la raíz cuadrada de 1.600)
r = 40 cm
2.- Un plato tiene un diámetro de 16 cm ¿cuál es su área?
La fórmula es
Sabemos que el diámetro (d) de la circunferencia es igual a dos radios (2r), por lo tanto el radio (r) será igual al diámetro (16 cm) dividido por 2, o sea, r = 8.
Reemplazamos los valores, y queda
A = 3,1416 • r2
A = 3,1416 • 82
A = 3,1416 • 64
A = 201 cm2
El tamaño de una superficie.
La cantidad de espacio dentro de los límites de un objeto plano (bi-dimensional) como un triángulo o un círculo. El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término «área» como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.
Medición del volumen de un objeto
El procedimiento a seguir para medir el volúmen de un objeto, dependerá del estado en que se encuentre: gaseoso, líquido o sólido.
El volumen es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un cuerpo. Es una función derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones.
En matemáticas el volumen es una medida que se define como los demás conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico.
En física, el volumen es una magnitud física extensiva asociada a la propiedad de los cuerpos físicos de ser extensos, que a su vez se debe al principio de exclusión de Pauli.
La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico, aunque temporalmente también acepta el litro, que se utiliza comúnmente en la vida práctica.
En el caso de nubes gaseosas el volumen varía considerablemente según la temperatura y presión; también depende de si esté o no contenido en un recipiente y, si lo está, adoptará la forma y el tamaño de dicho recipiente. Si la masa gaseosa está disuelta en la atmósfera, es difícil precisar que se entiende por volumen.
Para medir el volumen de un líquido, se emplean diversos recipientes graduados, dependiendo de la exactitud con la que se desee conocer dicho volumen.
Algunos sólidos tienen formas sencillas y su volumen puede calcularse en base a la geometría clásica. Por ejemplo, el volumen de un sólido puede calcularse aplicando conocimiento que proviene de la geometría.
Midiendo sus dimensiones, y aplicando una fórmula adecuada, podemos determinar su volumen. Así, el volumen de un paralelepípedo recto se determina midiendo las tres aristas concurrentes a un vértice y multiplicándolas; el cubo es un caso especial de paralelepípedo en el que todas sus aristas son iguales y su volumen se obtiene elevando a tres su arista.
En general, existen procedimientos similares para obtener el volumen de otros cuerpos como los prismas y las pirámides. Estos cuerpos geométricos tienen una característica que los agrupa: el volumen de los paralelepípedos, los prismas y los cilindros, (sean ellos rectos u oblicuos), se obtiene multiplicando la medida de su área basal por la medida de su altura y en el caso de las pirámides y conos, (también rectos u oblicuos) su volumen es igual a un tercio del producto entre la medida del área basal y su altura. La esfera es un caso especial, ya que su volumen es:
Si un sólido tiene una forma a la que no es posible aplicar alguna fórmula conocida, se pueden aplicar otros procedimientos tales como el principio de Cavalieri o el método de desplazamiento de agua, en el cual dicho desplazamiento es provocado por un cuerpo al sumergirlo en un recipiente con agua.
El volumen de un cuerpo es un número que indica la cantidad de espacio que el ocupa. Este número se acompaña por una unidad de medida pertinente que permite dimensionar el volumen medido.
Volumen en cuerpos poliédricos regulares
El volumen de un cuerpo regular es un número que se obtiene comparando el volumen del cuerpo con la unidad. Consideraremos a la unidad como un cubo de arista uno y por definición su volumen será 1. Entonces, la medida del volumen de un cuerpo será igual al número de cubos unitarios que contenga. Por ejemplo, considerando el cubo unidad que se indica en la figura, el cuerpo adjunto está formado por 25 cubos unidad. Podemos afirmar entonces que el cuerpo del ejemplo tiene 25 unidades de volúmen .
Unidades de medida del volumen
Las unidades de volumen son estandarizaciones que permiten dimensionar el número que indica el volumen. Como unidad base, se considera a un cubo cuya arista mide un centímetro o un metro, un kilómetro, etc. Por definición su volumen tendrá el valor 1, acompañado de la unidad de su arista elevada a tres. Por ejemplo, en la figura siguiente, el volumen del cubo mide un centímetro cubico y se abrevia por 1 cm3 .
Volumen del cubo unidad = 1 cm3
En la siguiente tabla se muestra las unidades de medida de volumen más utilizadas:
Arista del cubo unidad Unidad de Volumen asociada Abreviatura
1 Milímetro Milímetro cúbico mm3
1 Centímetro Centímetro cúbico cm3
1 Decámetro Decámetro cúbico dm3
1 Metro Metro cúbico m3
1 Decámetro Decámetro cúbico Dm3
1 Hectómetro Hectómetro cúbico Hm3
1 Kilómetro Kilómetro cúbico Km3
Si la unidad de volumen del cubo unidad es el centímetro cúbico, entonces todos los volúmenes obtenidos a partir de el estarán en centímetros cúbicos. Se sigue la misma analogía si el cubo unidad tiene otra unidad de volumen.
AREA
El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puedetriangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término «área» como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
VOLUMEN
El volumen es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un cuerpo. Es una función derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones.
En matemáticas el volumen es una medida que se define como los demás conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico.
En física, el volumen es una magnitud física extensiva asociada a la propiedad de los cuerpos físicos de ser extensos, que a su vez se debe al principio de exclusión de Pauli.
La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico, aunque temporalmente también acepta el litro, que se utiliza comúnmente en la vida práctica.
La cantidad de espacio dentro de los límites de un objeto plano (bi-dimensional) como un triángulo o un círculo.
Así como sucede con muchísimos términos, el término área ostenta varias significaciones dependiendo del contexto en el cual se lo utilice.
En un contexto bien general y recurrente, se llama área a aquel espacio de tierra comprendido entre ciertos límites preestablecidos.
Por otro lado, para la geometría, un área será la extensión o superficie comprendida dentro de una figura de dos dimensiones, que se expresará en unidades de medidas llamadas superficiales.
El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término «área» como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.
• El área de un triángulo es igual al semiproducto entre la longitud de una base y la altura relativa a esta:3
Donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (Se puede considerar cualquier lado como base)
• Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, con lo cual el área es igual al semi producto de los catetos:
donde a y b son los catetos.
El procedimiento a seguir para medir el volumen de un objeto, dependerá del estado en que se encuentre: gaseoso, líquido o sólido.
En el caso de nubes gaseosas el volumen varía considerablemente según la temperatura y presión; también depende de si está o no contenido en un recipiente y, si lo está, adoptará la forma y el tamaño de dicho recipiente. Si la masa gaseosa está disuelta en la atmósfera, es difícil precisar qué se entiende por volumen.
Para medir el volumen de un líquido, se emplean diversos recipientes graduados, dependiendo de la exactitud con la que se desee conocer dicho volumen.
Algunos sólidos tienen formas sencillas y su volumen puede calcularse en base a la geometría clásica. Por ejemplo, el volumen de un sólido puede calcularse aplicando conocimiento que proviene de la geometría.
Midiendo sus dimensiones, y aplicando una fórmula adecuada, podemos determinar su volumen. Así, el volumen de un paralelepípedo recto se determina midiendo las tres aristas concurrentes a un vértice y multiplicándolas; el cubo es un caso especial de paralelepípedo en el que todas sus aristas son iguales y su volumen se obtiene elevando a tres su arista.
En general, existen procedimientos similares para obtener el volumen de otros cuerpos como los prismas y las pirámides. Estos cuerpos geométricos tienen una característica que los agrupa: el volumen de los paralelepípedos, los prismas y los cilindros, (sean ellos rectos u oblicuos), se obtiene multiplicando la medida de su área basal por la medida de su altura y en el caso de las pirámides y conos, (también rectos u oblicuos) su volumen es igual a un tercio del producto entre la medida del área basal y su altura. La esfera es un caso especial, ya que su volumen es.
Si un sólido tiene una forma a la que no es posible aplicar alguna fórmula conocida, se pueden aplicar otros procedimientos tales como el principio de Cavalieri o el método de desplazamiento de agua, en el cual dicho desplazamiento es provocado por un cuerpo al sumergirlo en un recipiente con agua.
El volumen de un cuerpo es un número que indica la cantidad de espacio que él ocupa. Este número se acompaña por una unidad de medida pertinente que permite dimensionar el volumen medido.
Volumen en cuerpos poliédricos regulares
El volumen de un cuerpo regular es un número que se obtiene comparando el volumen del cuerpo con la unidad. Consideraremos a la unidad como un cubo de arista uno y por definición su volumen será 1. Entonces, la medida del volumen de un cuerpo será igual al número de cubos unitarios que contenga. Por ejemplo, considerando el cubo unidad que se indica en la figura, el cuerpo adjunto está formado por 25 cubos unidad. Podemos afirmar entonces que el cuerpo del ejemplo tiene 25 unidades de volumen .
En la siguiente tabla se muestra las unidades de medida de volumen más utilizadas:
Arista del cubo unidad Unidad de Volumen asociada Abreviatura
1 Milímetro Milímetro cúbico mm3
1 Centímetro Centímetro cíbico cm3
1 Decímetro Decímetro cúbico dm3
1 Metro Metro cúbico m3
1 Decámetro Decámetro cúbico Dm3
1 Hectómetro Hectómetro cúbico Hm3
1 Kilómetro Kilómetro cúbico Km3
Areas y volumenes
El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término «área» como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.
La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométrica proviene de la antigüedad. En el Antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto.
El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva entraña más dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y cincunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con este sistema, que se conoce como método de exhausción de Eudoxo, consiguió hallar la fórmula para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares, así como el cálculo aproximado del número π.
El volumen es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. El volumen es una magnitud física derivada. La unidad para medir volúmenes en el Sistema Internacional es el metro cúbico (m3) que corresponde al espacio que hay en el interior de un cubo de 1 m de lado. Sin embargo, se utilizan más sus submúltiplos, el decímetro cúbico (dm3) y el centímetro cúbico (cm3). Sus equivalencias con el metro cúbico son:
1 m3 = 1 000 dm3
1 m3 = 1 000 000 cm3
Para medir el volumen de los líquidos y los gases también podemos fijarnos en la capacidad del recipiente que los contiene, utilizando las unidades de capacidad, especialmente el litro (l) y el mililitro (ml). Existe una equivalencias entre las unidades de volumen y las de capacidad:
1 l = 1 dm3 1 ml= 1 cm3
En química general el dispositivo de uso más frecuente para medir volúmenes es la probeta. Cuando se necesita más exactitud se usan pipetas o buretas.
Las probetas son recipientes de vidrio graduados que sirven para medir el volumen de líquidos (leyendo la división correspondiente al nivel alcanzado por el líquido) y sólidos (midiendo el volumen del líquido desplazado por el sólido, es decir la diferencia entre el nivel alcanzado por el líquido solo y con el sólido sumergido).
Nombre Dibujo Desarrollo Área Volumen
Cubo o
Hexaedro
A = 6a2 V = a3
Paralelepípedo
u ortoedro
A = 2(ab + ac + bc) V = abc
Prisma
AT = 2AB + AL V = ABH
Cilindro
Pirámide
AT = AB + AL
Cono
Tronco de
pirámide
AT = AB1 + AB2 + AL
Tronco
de cono
Esfera
CÁLCULO DE ÁREA DE FIGURAS PLANAS
Triángulo Trapecio
A = (b • h) / 2 A = (B + b)
Cuadrado Paralelogramo
A = l 2 A = b • h
Rectángulo Polígono regular
A = a • b A = (P • a) / 2
Rombo
A = (D • d) / 2 Circunferencia A = • r 2
Áreas
El área es la medida de la región o superficie encerrada por de una figura geométrica.
El volumen de un cuerpo es el espacio que éste ocupa. Para medirlo, se debe ver cuántas veces entra en él una unidad de volumen utilizada como unidad de medida. Esta unidad se llama metro cúbico, y corresponde a un cubo de un metro de lado.
Para medir volúmenes mayores y menores que el metro cúbico, se utilizan sus múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 1.000 en 1.000.
AREAS Y VOLUMENES
es un útil curso del área de Matemáticas que ha sido consultado en 18013 ocasiones. En caso de estar funcionando incorrectamente, por favor reporta el problema para proceder a solucionarlo.
Se utiliza el método de doble integración para calcular el área o el centro de gravedad de una región A, limitada superiormente por la curva y=f2(x), inferiormente de y=f1(x), a la izquierda por la recta x=a y a la derecha por x=b. pero es de considerar aplicaciones concretas, vamos a procesar el concepto de integral doble de una función F(x, y) de dos variables x e y. Las aplicaciones físicas resultan inmediatamente eligiendo expresiones particulares para F(x, y); esto es,
F(x, y)= 1, o F(x, y)= y,
Cuando se trate de calcular el área, o el momento del área respecto al eje x.
La notación
«A» F(x, y)dA
Ahora para designar la integral doble, extendida a la región A, de la función F(x, y). Imaginémonos la región A cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x e y. Estas rectas dividen al plano en pequeñas áreas rectangulares,
A=xy=yx
algunas de las cuales yacen por completo en la región A, otra son exteriores y otras, finalmente, quedan atravesadas por su contorno. No tendremos pendientes las que están de A y podemos tomar o no en consideración aquella que se haya parcialmente dentro. Concretamente, fijemos la atención en A interiores al contorno que numeramos en cierto orden
A1, A2…….An
sea (xk, yk) un punto cualquiera de Ak y formemos la suma
Si la función F(x, y) es continua en todo punto de A y si las curvas toman su contorno son continuas y tiene longitud total finita, cuando se hace más tupida, de forma que x y y tienden a cero (podemos poner y= 2x 0), el límite
Existe, y se expresa por la notación utilizada en la ecuación «A» F(x, y) dA
La integral doble «A» F(x, y) dA se puede interpretar como un volumen, al menos en el caso de que F(x, y) sea positiva. Supongamos, por ejemplo, que la región de la base de un sólido F2 cuya altura es el punto (x, y) esta dado en
z= F(x, y)
El término
F(xk, yk) Ak
Representa una aproximación razonable del volumen de aquella porción que tiene por base Ak. La suma Sn de la ecuación A=xy=yx nos da así una aproximación del volumen total del sólido, del límite A1, A2…….An proporciona un volumen exacto.
La utilidad de este concepto de integral doble seria solo aparente si tuviésemos que hallar el límite de estas sumas, A1, A2…….An para dar respuesta numérica a los diversos problemas particulares que se planteen. Pero afortunadamente, existen métodos para calcular la integral doble mediante integrales sucesivas. Esto es, en la práctica, integral doble se reduce al cálculo u otra de las siguientes integrales iteradas:
«A» F(x,y) dx dy o «A» F(x,y) dy dx
Que vamos a explicar a continuación. Antes de ello observemos que existen un método (que no demostraremos), el cual asegura que las integrales iteradas no son iguales entre sí y a la integral doble «A» F(x, y)dA, con tal que la función sea continua en A y sobre su contorno, si este no es demasiado completa, las condiciones necesarias para ella se cumplen para los ejemplos.
Vamos a explicar ahora el significado de la notación
«A» F(x,y) dy dx
El resultado de la integral » F(x,y) dy respecto a y, (Manteniendo fijo x) y calcularla en función resultante entre los límites y=f1(x) e y=f2(x);
para integrar el resultado de a) respecto a x entre los límites x=a y x=b.
Partimos de la integral interior y realizamos integraciones sucesivas como sigue:
Considerando x como constante se hace la integración respecto a y.
Podemos adquirir ideas del significado geométrico de la ecuación de manera siguiente. Imaginemos un sólido cuya base sea la región A del plano siendo
z= F(x, y) su altura en el punto (x, y) de A. [Supondremos a simplificar, que F(x, y) es positiva.] Imaginemos ahora rebanadas de sólido determinadas por planos perpendiculares al eje x en x y x+dx. Aproximadamente el volumen de cada rebanada mediante la diferencial del volumen.
dV = A(x)dx,
Siendo A(x) el área de la sección del sólido por el plano trazado por x. Esta viene dada por la f2 por la integral
donde x se considera constante, dependiendo de los límites de integración del área plana considerada. Esto es, los límites y son aquellas funciones de x que representan las curvas de contornos de A. Finalmente, se ve que la integral iterada de la ecuación coincide con
ÁREA POR DOBLE INTEGRACIÓN
La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano xy. Esta área esta dada por una cualquiera de las integrales
Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y, y después respecto a x; es decir
Es constante, si el área esta limitada a la izquierda por la curva x=g1(y), a la derecha por la curva x=g2(y), inferiormente por la recta y=c y superiormente por xy=d, (figura 3), Es preferible integrar primero respecto a x [que puede ir desde g1(y) a g2(y)] y después respecto a y; es decir como
Para interpretar la primera integración respecto a x, como suma de todos los elementos
dA= dxdy
situados en una faja horizontal que se extiende desde la curva x=g1(y) a izquierda hasta la curva x=g2(y) a la derecha. El cálculo de esta integral es
Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales.
AREA
El área de una figura es la porción del plano que cubre. Para medir las superficies se utiliza como unidad de medida el cuadrado cuyo lado es de longitud 1. Las áreas se miden en centímetros cuadrados, decímetros cuadrados y metros cuadrados o, simplemente, en unidades de área cuando se quiera que éstas sean otras, como, por ejemplo, la cuadrícula de un papel cuadriculado.
Área del rectángulo: es el área más sencilla para calcular. Es el resultado de multiplicar la longitud de sus lados o también, como se dice habitualmente, se obtiene multiplicando la base (b) por la altura (h).
Fórmula: Área del rectángulo = base • altura A = b • h
Área del paralelogramo: Si consideramos el paralelogramo ABCD. La base AB desde C y D se hacen perpendiculares sobre la base AB.
Los triángulos ADM y BCN son iguales. Por tanto, el área del paralelogramo ABCD es la misma que la del rectángulo MNCD. Observamos que las dos figuras tienen la misma base y la misma altura. Este proceso nos permite afirmar que el área de un paralelogramo es, también, el producto de su base por su altura.
Fórmula: Área del paralelogramo = base • altura A = b • h
Área del cuadrado: en un cuadrado la base y la altura son iguales a su lado y por tanto:
Fórmula: Área del cuadrado de lado c = lado al cuadrado A = c2
Área del triángulo: consideremos un triángulo cualquiera ABC, de base AB. Dibujemos una paralela a AB que pase por C y una paralela a AC que pase por B. Éstas se encuentran en un punto D.
Los triángulos ABC y BCD serán iguales. Por tanto, la superficie del paralelogramo ABCD será el doble del área del triángulo ABC.
Fórmula: Área del paralelogramo ABCD = 2 • área del triángulo ABC
O bien,
Área del triángulo ABC = área del paralelogramo : 2
Para calcular el área de otros polígonos se dibujan las diagonales necesarias con el fin de que queden descompuestos en triángulos; después se calcula el área de estos triángulos y se suman los valores obtenidos.
Área = área triángulo 1 + área triángulo 2 + área triángulo 3 + área triángulo 4 + área triángulo 5.
Área del rombo: en el rombo, las dos diagonales, d y D, lo descomponen en cuatro triángulos iguales que tienen como base la mitad de una diagonal (base = b = d : 2 y como altura la mitad de la otra diagonal (altura = h = D : 2).
La superficie de cada uno de los triángulos será:
A = (base . altura) : 2 = (d:2).(D:2) : 2 = d • D : 8
Y, en consecuencia, el área del rombo será el área de uno de estos triángulos multiplicada por 4:
Área del rombo = 4 • área del triángulo = 4 • (d • D) : 8 = (d • D) : 2
Área del trapecio: considera un trapecio ABCD de base AB. Se acostumbra a denominar bases a los lados paralelos del trapecio. El lado más grande de los dos será la base mayor, que representaremos por B, y el otro la base menor, que representaremos con b.
La diagonal divide el trapecio en dos triángulos: ABC, de base AB, y ACD, de base DC. Ambos triángulos tienen la misma altura que el trapecio. El área del trapecio será la suma de las áreas de los dos triángulos. El triángulo ABC tiene como base la mayor del trapecio y su altura es la del trapecio; el triángulo ACD tiene como base la menor del trapecio y su altura es la del trapecio.
Área del trapecio = (B • h) : 2 + (b • h) : 2 = (B • h + b • h) • 2 = (B + b) • h : 2 =
(B + b : 2) • h
Fórmula que se suele enunciar así: el área del trapecio es igual al resultado de multiplicar la semisuma de las bases por la altura.
Área de los polígonos regulares: consideremos diversos polígonos regulares, como un triángulo equilátero, un cuadrado, un hexágono regular o un octógono regular. Todos ellos tienen un centro definido. Si unimos dicho centro con los vértices de cada uno de los polígonos, se descompondrán en tantos triángulos como lados tiene.
Todos los triángulos resultantes de la descomposición son iguales y tienen como base un lado (c), y su altura es la apotema del polígono (a). El área de estos triángulos será:
Fórmula: Área del triángulo = (c • a) : 2
Por lo tanto, el área del polígono regular será el resultado de multiplicar esta área por el número de triángulos que se han formado. A (polígono) = número de lados • área del triángulo.
Área polígono regular de n lados = n• (c•a :2) = (n•c•a) : 2 = ((n • c) : 2)• a
Cn es el perímetro del polígono y, como ya hemos dicho que se acostumbra a representar con la p la mitad del perímetro (semiperímetro), tendremos que
(c • n) : 2 = p, y podemos formular:
Área del polígono regular = semiperímetro por apotema = p • a
Volumen
1.- Medida del espacio ocupado por un cuerpo.
El volumen de los cuerpos es el resultado de sus tres dimensiones: ancho, alto y profundidad. El volumen resulta de la relación entre peso y densidad.
2.- En escultura y pintura, la manera de tratar la tridimensionalidad de las masas.
En escultura, se le llama volumen a una estructura formal tridimensional, así como también volumen a las partes componentes del todo escultórico, cuando éstas tiene el carácter de masas.
En pintura, el volumen es la sugerencia de peso y masa lograda por medios estrictamente pictóricos que reflejan características tridimensionales.
3.- En arquitectura, el conjunto exterior de un edificio, que encierra el espacio interior.
CUBO
El cubo es un sólido limitado por seis cuadrados iguales, también se le conoce con el nombre de hexaedro
Para calcular su área lateral, su área total así como para ver su desarrollo pulsar sobre la figura anterior
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen del cubo = arista elevada al cubo
PRISMAS
Prisma regular es un cuerpo geométrico limitado por dos polígonos paralelos e iguales, llamados bases, y por tantos rectángulos como lados tenga cada base.
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen del prisma = área de la base . altura
A continuación están dibujados los prismas triangular, cuadrangular y hexagonal. Pulsando en cada una de ellas podremos observar el desarrollo de la figura correspondiente, así como las fórmulas para calcular el área lateral y total.
PIRÁMIDES
Pirámide regular es un sólido que tiene por base un polígono y cuyas caras son triángulos que se reúnen en un mismo punto llamado vértice.
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen de la pirámide = (área de la base . altura) / 3
A continuación están dibujados el tetraedro, la pirámide triangular y la cuadrangular. Pulsando en cada una de ellas podremos observar el desarrollo de la figura correspondiente, así como las fórmulas para calcular el área lateral y total.
Tetraedro: es una pirámide formada por cuatro triángulos equiláteros. Cualquier cara, por tanto, puede ser la base.
Pirámide triangular: la base es un triángulo equilátero y las caras laterales son triángulos isósceles.
Pirámide cuadrangular: aquí la base es un cuadrado, teniendo cuatro caras laterales.
CONO
El cono es el sólido engendrado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos.
Para calcular su área lateral, su área total así como para ver su desarrollo pulsar sobre la figura anterior
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen del cono = (área de la base.altura) / 3
CILINDRO
El cilindro es el sólido engendrado por un rectángulo al girar en torno a uno de sus lados.
Para calcular su área lateral, su área total así como para ver su desarrollo pulsar sobre la figura anterior
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen del cilindro = área de la base.altura
ESFERA
La esfera es el sólido engendrado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro.
Para calcular su área se emplea la siguiente fórmula:
Área de la esfera = 4 .3’14.radio al cuadrado
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen de la esfera = 4/3 .3’14.radio al cubo
Áreas y volúmenes
a. Descripción del Area
La formación matemática de los futuros maestros de Primaria se iniciará
con una revisión y afianzamiento de las competencias que utilizará en su
labor docente, prosiguiendo luego a abordarlas a un nivel de creciente
amplitud, profundidad y rigor. La formación en la respectiva tecnología
curricular es paralela. El área ofrece herramientas para el análisis,
modelación, cálculo, medición y estimación de la realidad, que facilitan
mayor precisión para la comprensión de problemas y mejores
posibilidades de predicción. De este modo, impulsa significativamente el
desarrollo intelectual de los estudiantes.
Definicion volumen
Volumen permite nombrar a la corpulencia o bulto de algo.De esta forma,se refiere ala magnbitud fisica que expresa la extension de un cuerpo de tres dimensiones (largo,ancho y alto). El volumen tambien es la intensidad del sonido y cuerpo material de un liro encuadernado.Para la geometria,se trata del espacio ocupado por un cuerpo,mientras que para la numismatica es el grosor de una moneda o una medalla.
Áreas
un cuadrado = a2
un rectángulo = ab
un paralelogramo = bh
un trapesoide = (h/2) (b1 + b2)
un círculo = pi r2
un elipse = pi r1 r2
un triángulo = (1/2) b h
un triángulo equilátero = (1/4) (3) a2
un triángulo cuando se sabe SAS = (1/2) a b sin C
un triángulo cuando se sabe a,b,c = [s(s-a)(s-b)(s-c)] cuando s = (a+b+c)/2 (La fórmula de Herón)
polígono regular = (1/2) n sen(360°/n) S2
cuando n = # de lados y S = la largura desde el centro a un punto
________________________________________
Volúmenes
un cubo = a3
un prisma rectangular = a b c
un prisma irregular = b h
un cilindro = b h = pi r2 h
una pirámide = (1/3) b h
un cono = (1/3) b h = (1/3) pi r2 h
una esfera = (4/3) pi r3
un elipsoide = (4/3) pi r1 r2 r3
Operaciones
+,-,*,/ = operaciones fundamentales
± = operaciones dobles
[y]√(x) = raíz «y» de «x»
|x| = valor absoluto de «x»
(xˆy) = «x» elevado a la «y»
≤,,≥ Desigualdades
≠,= = Ecuaciones
Λ = y
~= Aproximadamente
«sub(#)» = subindices º = grados∞ = infinito
π = pi (3,14)
ε = épsilon (2,71)
≈ = congruente
x≡y(mod z) = «x» congruente con «y» modulo «z»
∑ (x;y;z) = suma de todos los valores indicados
∫ (x;y) = integral de «x» a «y»
«sup(#)» = supraindices
– Tipos
f(x) = función en base a «x»
Log (x) = función logaritmica en base 10 de «x»
Ln (x) = función logaritmica natural (base épsilon) de «x»
sin (x), cos (x), tan (x), csc (x), sec (x), cot (x), arcsin (x), arccos (x), arctan (x), arccsc (x), arcsec (x), arccot (x) = expresiones trigonométricas de «x»
CUADRO DE AREAS Y VOLUMENES
AREAS
NOMBRE DEFINICION FIGURA TERMINOS FORMULA
Triángulo Es la porción de plano limitada por tres segmentos de recta. h=altura
b=base
Paralelogramo Son los cuadriláteros que tienen sus lados opuestos iguales y paralelos. h=altura b=base A=b.h
Cuadrado Cuadrilátero de cuatro lados y 4 ángulos iguales. l=lado d=diagonal
Rombo Cuadrilátero cuyas dos diagonales se cruzan en ángulo de 90º d=diagonal mayor d’=diagonal menor
Trapecio Cuadrilátero que tiene dos de sus lados paralelos y los otros dos no. b=base mayor b’=base menor h=altura
Polígono regular Es la porción de plano limitada por segmentos de recta, es regular si todos sus lados y ángulos son iguales. a=apotema l=lado n=número de lados
Círculo Es la porción de plano limitada por la circunferencia. r=radio A=p.r²
VOLUMENES
NOMBRE DEFINICION FIGURA TERMINOS FORMULA
Prisma Cuerpo geométrico cuyas bases son dos poligonos iguales y paralelos y sus caras laterales son paralelogramos B=área de la base h=altura V=h.B
Ortoedro Prisma cuyas bases son dos rectángulos. l=largo a=ancho h=altura V=h.l.a
Cubo Ortoedro donde las tres dimensiones son iguales. a=lado V=a³
Pirámide Cuerpo geométrico cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales triangulos B=área de la base h=altura
Cilindro Es el Cuerpo geometrico engendrado por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados r=radio
h=altura V=h.p.r²
Cono Es el Cuerpo geometrico engendrado por la revolución de un triángulo rectángulo alrededor de uno r=radio
h=altura
Esfera Cuerpo geometrico engendrado por la revolución completa de un semicírculo alrededor de su diámetro. r=radio
AREAS Y VOLUMENES:
Áreas
un cuadrado = a2
un rectángulo = ab
un paralelogramo = bh
un trapesoide = (h/2) (b1 + b2)
un círculo = pi r2
un elipse = pi r1 r2
un triángulo = (1/2) b h
un triángulo equilátero = (1/4)(3) a2
un triángulo cuando se sabe SAS = (1/2) a b sin C
un triángulo cuando se sabe a,b,c = [s(s-a)(s-b)(s-c)] cuando s = (a+b+c)/2 (La
fórmula de Herón)
polígono regular = (1/2) n sen(360°/n) S2
cuando n = # de lados y S = la largura desde el centro a un punto
Volúmenes
un cubo = a3
un prisma rectangular = a b c
un prisma irregular = b h
un cilindro = b h = pi r2 h
una pirámide = (1/3) b h
un cono = (1/3) b h = (1/3) pi r2 h
una esfera = (4/3) pi r3
un elipsoide = (4/3) pi r1 r2 r3
Áreas de Superficies
un cubo = 6 a2
un prisma:
(área lateral) = perímetro (b) L
(área total) = perímetro(b) L + 2b
una esfera = 4 pi r2
Entre los más asombrosos hallazgos que relata la Historia de la Matemática está el cálculo que hizo Arquímedes, tal vez el más brillante de los sabios de la Antigüedad griega, del área de un círculo de radio .
Para hacer este cálculo, Arquímedes imaginó el círculo como estando formado por infinitas circunferencias concéntricas y de radios cada vez menores.
Luego, imaginó que tomaba la más exterior de las circunferencias y la ‘rectificaba’, es decir, la convertía en un segmento de recta de longitud (él sabía que ésta era su longitud.
Tomando todas las otras circunferencias y rectificándolas para colocar los segmentos de recta obtenidos sobre el segmento , de manera que un extremo siempre coincidiera con el punto A.
Como la longitud de las circunferencias va disminuyendo proporcionalmente al radio de cada una de ellas, él concluye que la figura obtenida es un triángulo rectángulo, cuya área debe ser igual a la del círculo original. Como el área del triángulo era conocida, y en este caso igual a , ( como base, como altura), y sabiendo que , resulta que el área del círculo es igual a .
El procedimiento a seguir para medir el volumen de un objeto, dependerá del estado en que se encuentre: gaseoso, líquido o sólido.
En el caso de nubes gaseosas el volumen varía considerablemente según la temperatura y presión; también depende de si está o no contenido en un recipiente y, si lo está, adoptará la forma y el tamaño de dicho recipiente. Si la masa gaseosa está disuelta en la atmósfera, es difícil precisar que se entiende por volumen.
Para medir el volumen de un líquido, se emplean diversos recipientes graduados, dependiendo de la exactitud con la que se desee conocer dicho volumen.
Algunos sólidos tienen formas sencillas y su volumen puede calcularse en base a la geometría clásica. Por ejemplo, el volumen de un sólido puede calcularse aplicando conocimiento que proviene de la geometría.
Midiendo sus dimensiones, y aplicando una fórmula adecuada, podemos determinar su volumen. Así, el volumen de un paralelepípedo recto se determina midiendo las tres aristas concurrentes a un vértice y multiplicándolas; el cubo es un caso especial de paralelepípedo en el que todas sus aristas son iguales y su volumen se obtiene elevando a tres su arista.
En general, existen procedimientos similares para obtener el volumen de otros cuerpos como los prismas y las pirámides. Estos cuerpos geométricos tienen una característica que los agrupa: el volumen de los paralelepípedos, los prismas y los cilindros, (sean ellos rectos u oblicuos), se obtiene multiplicando la medida de su área basal por la medida de su altura y en el caso de las pirámides y conos, (también rectos u oblicuos) su volumen es igual a un tercio del producto entre la medida del área basal y su altura.
El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficial. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término «área» como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.
La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométrica proviene de la antigüedad. En el Antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto.
El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva entraña más dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y cincunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con este sistema, que se conoce como método de exhausción de Eudoxo, consiguió hallar la fórmula para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares, así como el cálculo aproximado del número π.
El volumen
Es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un cuerpo.
Es una función derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones.
En matemáticas el volumen es una medida que se define como los demás conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico.
En física, el volumen es una magnitud física extensiva asociada a la propiedad de los cuerpos físicos de ser extensos, que a su vez se debe al principio de exclusión de Pauli.
La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico, aunque temporalmente también acepta el litro, que se utiliza comúnmente en la vida práctica.
Se clasifican en tres categorías:
Unidades de volumen sólido. Miden al volumen de un cuerpo utilizando unidades de longitud elevadas a la tercera potencia. Se le dice volumen sólido porque en geometría se utiliza para medir el espacio que ocupan los cuerpos tridimensionales, y se da por hecho que el interior de esos cuerpos no es hueco sino que es sólido.
Unidades de volumen líquido. Estas unidades fueron creadas para medir el volumen que ocupan los líquidos dentro de un recipiente.
Unidades de volumen de áridos, también llamadas tradicionalmente unidades de capacidad. Estas unidades fueron creadas para medir el volumen que ocupan las cosechas (legumbres, tubérculos, forrajes y frutas) almacenadas en graneros y silos. Estas unidades fueron creadas porque hace muchos años no existía un método adecuado para pesar todas las cosechas en un tiempo breve, y era más práctico hacerlo usando volúmenes áridos. Actualmente estas unidades son poco utilizadas porque ya existe tecnología para pesar la cosecha en tiempo breve.
Geometría y Trigonometría 
AREAS Y VOLUMENES.
Áreas
un cuadrado = a2
un rectángulo = ab
un paralelogramo = bh
un trapesoide = (h/2) (b1 + b2)
un círculo = pi r2
un elipse = pi r1 r2
un triángulo = (1/2) b h
un triángulo equilátero = (1/4)(3) a2
un triángulo cuando se sabe SAS = (1/2) a b sin C
un triángulo cuando se sabe a,b,c = [s(s-a)(s-b)(s-c)] cuando s = (a+b+c)/2 (La
fórmula de Herón)
polígono regular = (1/2) n sen(360°/n) S2
cuando n = # de lados y S = la largura desde el centro a un punto
Volúmenes
un cubo = a3
un prisma rectangular = a b c
un prisma irregular = b h
un cilindro = b h = pi r2 h
una pirámide = (1/3) b h
un cono = (1/3) b h = (1/3) pi r2 h
una esfera = (4/3) pi r3
un elipsoide = (4/3) pi r1 r2 r3
Áreas de Superficies
un cubo = 6 a2
un prisma:
(área lateral) = perímetro (b) L
(área total) = perímetro(b) L + 2b
una esfera = 4 pi r2
Entre los más asombrosos hallazgos que relata la Historia de la Matemática está el cálculo que hizo Arquímedes, tal vez el más brillante de los sabios de la Antigüedad griega, del área de un círculo de radio .
Para hacer este cálculo, Arquímedes imaginó el círculo como estando formado por infinitas circunferencias concéntricas y de radios cada vez menores.
Luego, imaginó que tomaba la más exterior de las circunferencias y la ‘rectificaba’, es decir, la convertía en un segmento de recta de longitud (él sabía que ésta era su longitud.
Tomando todas las otras circunferencias y rectificándolas para colocar los segmentos de recta obtenidos sobre el segmento , de manera que un extremo siempre coincidiera con el punto A.
Como la longitud de las circunferencias va disminuyendo proporcionalmente al radio de cada una de ellas, él concluye que la figura obtenida es un triángulo rectángulo, cuya área debe ser igual a la del círculo original. Como el área del triángulo era conocida, y en este caso igual a , ( como base, como altura), y sabiendo que , resulta que el área del círculo es igual a .
El procedimiento a seguir para medir el volumen de un objeto, dependerá del estado en que se encuentre: gaseoso, líquido o sólido.
En el caso de nubes gaseosas el volumen varía considerablemente según la temperatura y presión; también depende de si está o no contenido en un recipiente y, si lo está, adoptará la forma y el tamaño de dicho recipiente. Si la masa gaseosa está disuelta en la atmósfera, es difícil precisar que se entiende por volumen.
Para medir el volumen de un líquido, se emplean diversos recipientes graduados, dependiendo de la exactitud con la que se desee conocer dicho volumen.
Algunos sólidos tienen formas sencillas y su volumen puede calcularse en base a la geometría clásica. Por ejemplo, el volumen de un sólido puede calcularse aplicando conocimiento que proviene de la geometría.
Midiendo sus dimensiones, y aplicando una fórmula adecuada, podemos determinar su volumen. Así, el volumen de un paralelepípedo recto se determina midiendo las tres aristas concurrentes a un vértice y multiplicándolas; el cubo es un caso especial de paralelepípedo en el que todas sus aristas son iguales y su volumen se obtiene elevando a tres su arista.
En general, existen procedimientos similares para obtener el volumen de otros cuerpos como los prismas y las pirámides. Estos cuerpos geométricos tienen una característica que los agrupa: el volumen de los paralelepípedos, los prismas y los cilindros, (sean ellos rectos u oblicuos), se obtiene multiplicando la medida de su área basal por la medida de su altura y en el caso de las pirámides y conos, (también rectos u oblicuos) su volumen es igual a un tercio del producto entre la medida del área basal y su altura.
BIBLIOGRAFIA:
http://math2.org/math/geometry/es-areasvols.htm
http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/volumen_desarrollo.htm
VIDEOGRAFIA:
IMÁGENES:
Volumen.
La cantidad de espacio tridimensional que ocupa un objeto. Capacidad.
Para este ejemplo el volumen es 4×5×10 = 200 unidades3
las unidades de volumen incluyen:
Métrica:centímetros cúbicos (cm3), metros cúbicos (m3), litros.
Imperial: Onza líquida, pulgada cúbica, pie cúbico, pintas, galones, bushels (celemines).
Área
El tamaño de una superficie.
La cantidad de espacio dentro de los límites de un objeto plano (bi-dimensional) como un triángulo o un círculo.
Estas áreas son iguales (9)
Área y volumen del tetraedro
Área y volumen del octaedro.
Área y volumen del dodecaedro
Área y volumen del cubo
Área y volumen del cono
Área y volumen del prisma
Areas y volúmenes (Formulas , desglosado y mas explicito)
Unidades de volumen.
La unidad principal de volumen es el metro cúbico, que es el volumen que tiene un cubo de 1 m de arista.
Cada unidad de volumen es 1.000 veces mayor que la inmediatamente inferior y 1.000 veces menor que la inmediatamente superior. Por ejemplo:
45,76 hm3 • 1.000.000.000 = 45.760.000.000 dm3
760,04 dam3 : 1.000.000 = 0,00076004 km3
Las medidas de volumen se pueden expresar de forma compleja e incompleja, recordando que las unidades van de 1.000 en 1.000 y que a cada unidad le corresponden tres cifras. Así, 13,425 hm3 18,75 dam3, expresado en m3, es:
Bibliografia :
http://www.kalipedia.com/matematicas-aritmetica/tema/unidades/unidades-volumen.html?x=20070926klpmatari_390.Kes&ap=0
http://personal5.iddeo.es/ztt/For/Fi1_Areas_Volumenes.htm
http://www.vitutor.com/geo/esp/v_f.html
http://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/volumen.html
http://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/area.html
Videografia:
Profe.. vi la publicacion de anylu, y el principio es igual que el mio:/ investgare mas pero el principio yo lo investigue por mi parte:D gracias
Áreas
una esfera = (4/3) pi r3
un cuadrado = a2
un rectángulo = ab
un paralelogramo = bh
un trapesoide = (h/2) (b1 + b2)
un círculo = pi r2
un elipse = pi r1 r2
un triángulo = (1/2) b h
un triángulo equilátero = (1/4) (3) a2
un triángulo cuando se sabe SAS = (1/2) a b sin C
un triángulo cuando se sabe a,b,c = [s(s-a)(s-b)(s-c)] cuando s = (a+b+c)/2 (La fórmula de Herón)
polígono regular = (1/2) n sen(360°/n) S2
cuando n = # de lados y S = la largura desde el centro a un punto
Volúmenes
un cubo = a3
un prisma rectangular = a b c
un prisma irregular = b h
un cilindro = b h = pi r2 h
una pirámide = (1/3) b h
un cono = (1/3) b h = (1/3) pi r2 h
un elipsoide = (4/3) pi r1 r2 r3
Triángulo Es la porción de plano limitada por tres segmentos de recta.
Paralelogramo Son los cuadriláteros que tienen sus lados opuestos iguales y paralelos.
Cuadrado Cuadrilátero de cuatro lados y 4 ángulos iguales.
Rombo Cuadrilátero cuyas dos diagonales se cruzan en ángulo de 90º
Trapecio Cuadrilátero que tiene dos de sus lados paralelos y los otros dos no.
Polígono regular Es la porción de plano limitada por segmentos de recta, es regular si todos sus lados y ángulos son iguales.
Círculo Es la porción de plano limitada por la circunferencia.
volumenes
Prisma Cuerpo geométrico cuyas bases son dos poligonos iguales y paralelos y sus caras laterales son paralelogramos
Ortoedro Prisma cuyas bases son dos rectángulos.
Cubo Ortoedro donde las tres dimensiones son iguales.
Pirámide Cuerpo geométrico cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales triangulos
Cilindro Es el Cuerpo geometrico engendrado por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados
Cono Es el Cuerpo geometrico engendrado por la revolución de un triángulo rectángulo alrededor de uno
Esfera Cuerpo geometrico engendrado por la revolución completa de un semicírculo alrededor de su diámetro.
1. Áreas y volúmenes:
Definición de area:
El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término “área” como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.
Definición de volúmenes:
El volumen es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un cuerpo. Es una función derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones.
En matemáticas el volumen es una medida que se define como los demás conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico.
En física, el volumen es una magnitud física extensiva asociada a la propiedad de los cuerpos físicos de ser extensos, que a su vez se debe al principio de exclusión de Pauli.
La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico, aunque temporalmente también acepta el litro, que se utiliza comúnmente en la vida práctica.
Formulas de areas:
Área de un cuadrado:
Área de un rectángulo:
Imágenes:
Área de un rombo
Imágenes:
Área de un romboide:
Imágenes:
Área de un trapecio:
Imágenes:
Área de un polígono:
Imágenes:
El área se obtiene triangulando el polígono y sumando el área de dichos triángulos.
Área de un triángulo :
Imágenes:
Área de un polígono regular:
Imágenes:
Formulas del volumen:
Cilindro
Imágenes:
Volumen:
Cono:
Imágenes:
Volumen:
Cubo:
Imágenes:
Volumen:
Prisma:
Imagen:
Volumen:
Pirámide:
Imagen:
Volumen:
Icosaedro:
Imagen:
Volúmenes:
Características del volumen
Nos movemos en 4 dimensiones, lineal, superficie, volumen y tiempo. En matemáticas y física se utilizan los siguientes símbolos para expresar a cada uno de ellos.
m (metro)= lineal, distancia entre dos puntos
m2 (metro cuadrado), superficie largo x ancho
m3 (metro cúbico)= volumen.largo x ancho x alto El volumen por ejemplo en la pintura, lo dio el español Salvador Dalí en sus cuadros, donde parece que las pinturas no entraran en una simple tela
Características del area:
La provincia del Darién está bajo la influencia de un clima húmedo y cálido, pudiendo advertirse variaciones dentro de la zona debido a condiciones topográficas locales.
Se registra una máxima absoluta de 35.5°C y una mínima de 17.2°C, fluctuando la media anual entre 25° y 26°C.
Las variaciones térmicas durante el año son mínimas; en cambio, no lo son las precipitaciones pluviales a través del año, en que se registra un período seco relativo que puede durar de tres a cuatro meses (enero a abril) y un período húmedo que va de mayo a diciembre. Dichas variaciones afectan las tierras situadas en el área de influencia del estuario del río Tuira, los valles del Chucunaque y Sambú, y las ubicadas a lo largo de la Carretera Panamericana hasta aproximadamente la altura de El Real.
Las lluvias, que se distribuyen en forma irregular a través del año son copiosas en las tierras montañosas próximas a la costa atlántica (3 000 mm – 4 000 mm) y aumentan en las montañas del Pacífico, al sudeste de la región (4 000 mm – 5 000 mm). En las áreas centrales y al sudoeste las precipitaciones disminuyen sensiblemente, fluctuando entre 1 700 mm y 2 800 mm anuales.
Dentro del ámbito fisiográfico que presenta la zona, se pueden diferenciar en forma muy generalizada los siguientes paisajes fisiográficos.
i. Paisaje aluvial
Se caracteriza principalmente por su topografía plana, y se halla formado tanto por sedimentos frescos de origen fluvial como marino. Los suelos, originados de depósitos fluviales se extienden constituyendo una estrecha faja a lo largo de los principales ríos y reciben sedimentos nuevos por efecto de las inundaciones que se producen en forma eventual o periódica; en cambio, los suelos derivados de materiales marinos o fluviomarinos forman la faja litoral de tierras muy pobremente drenadas (manglares); la napa freática permanece en la superficie o muy próxima a ella en la mayor parte del tiempo y soportan inundaciones muy severas producidas por las mareas y desbordamiento de las aguas de los ríos en zonas cercanas a sus desembocaduras.
De acuerdo con el mapa geológico de la región oriental, Proyecto Minero Fase II, la zona estudiada presenta una secuencia estratigráfica cuyo orden de sucesión cronológica va desde el cuaternario reciente hasta el cretácico.
El cuaternario reciente comprende todas aquellas tierras pantanosas derivadas de sedimentos fluviomarinos que bordean el área de influencia del río Tuira y la desembocadura de los ríos Taimatí, Sambú y Jaqué. A esto se agregan las fajas de depósito fluvial recientes que se extienden a lo largo de los principales ríos de la zona.
El drenaje natural de la zona se efectúa a través de varios ríos, como el Chucunaque, Balsas, Yapé, Capetí, Cupé, Pirre y otros, que después de haber recibido las aguas de numerosos cursos menores desembocan en el principal colector, el río Tuira. También existen otros cauces, como el Sabana, el Congo, el Cucunatí y el Jaqué, que vierten sus aguas directamente al mar.
En términos generales, en el paisaje ondulado y colinoso, así como en el montañoso, la evacuación de las aguas de lluvia se efectúa rápidamente y sin limitaciones de ninguna índole debido a una red de drenaje predominantemente densa tipificada por numerosas vertientes que descienden de las tierras altas muy accidentadas
se tiene ke publicar cada una de las formulas de cada una de las figuras?
tienes que hacer tu investigacioon completa todo lo que creas que es realmente importante(:
AREA Y VOLUME:El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficial. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término «área» como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).Su unidad es el metro cuadrado.
El volumen es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un cuerpo. Es una función derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones.
En matemáticas el volumen es una medida que se define como los demás conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico.
En física, el volumen es una magnitud física extensiva asociada a la propiedad de los cuerpos físicos de ser extensos, que a su vez se debe al principio de exclusión de Pauli.
La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico, aunque temporalmente también acepta el litro, que se utiliza comúnmente en la vida práctica.
Definición de área.
El tamaño de una superficie.
La cantidad de espacio dentro de los límites de un objeto plano (bi-dimensional) como un triángulo o un círculo.
Definición de volumen.
Con el término volumen se puede hacer referencia a varias y diferentes cuestiones.
En primer lugar volumen puede ser elespacio que ocupa un cuerpo en determinado lugar, es decir, la cantidad de espacio que ocupa su materia y que por la condición de impenetrables de los cuerpos no podrá ser ocupada por otro cuerpo a la vez. Pero además volumen es la propiedad intrínseca de esa materia que nos permitirá distinguir un tipo de materia de otra, una sustancia de otra, ya que todas ostentan un volumen específico.
En tanto y sin tener nada que ver con lo que mencionábamos en el párrafo anterior, el volumen es la percepción subjetiva de una persona tiene sobre cualquier sonido que escucha. La intensidad de los sonidos estará determinada por la energía o potencia acústica que atraviesa por segundo una superficie, cuanto mayor sea la potencia de un sonido, mayor será el volumen que experimentará ese sonido por supuesto.
La percepción de cualquier volumen sigue siempre una escala logarítmica que se mide en decibelios y estará determinado por el nivel de potencia acústica que ostente cada sonido en particular.
Y finalmente el término volumen posee una especial importancia en el ámbito literario o en el vocabulario de aquellas personas afectas a la colección y lectura de libros, ya que con dicho término se designa al cuerpo material de un libro encuadernado, ya sea que contiene a la obra completa o bien uno o algunos tomos que conforman la misma.
Formulas de área
Formulas de volumen.
Características del volumen.
Nos movemos en 4 dimensiones, lineal, superficie, volumen y tiempo
Procedimientos para medir el área
• Sobre una hoja de papel transparente se dibuja el perímetro del arrea que se quiere medir.
• Se divide el arrea por secciones adoptándolas a figuras geométricas regulares como triángulos, cuadriláteros y trapecios, etc.
• Se calcula el arrea de cada figura aplicando las formulas correspondientes.
A1 = (b X h) / 2 A2 = (b X h) / 2 A3 = (b X h) / 2 A4 = (b X h) / 2
At = A1 + A2 + A3 + A4
• Según la escala del mapa, se hace la conversión de este resultado a su equivalente en el terreno.
• Mediante papel milimetrado o cuadriculado.
Procedimiento para medir el volumen
Es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo.
El volumen es una magnitud física derivada. La unidad para medir volúmenes en el Sistema Internacional es el metro cúbico (m3) que corresponde al espacio que hay en el interior de un cubo de 1 m de lado. Sin embargo, se utilizan más sus submúltiplos, el decímetro cúbico (dm3) y el centímetro cúbico (cm3). Sus equivalencias con el metro cúbico son: 1 m3 = 1 000 dm3
1 m3 = 1 000 000 cm3
Para medir el volumen de los líquidos y los gases también podemos fijarnos en la capacidad del recipiente que los contiene, utilizando las unidades de capacidad, especialmente el litro (l) y el mililitro (ml). Existe una equivalencias entre las unidades de volumen y las de capacidad:
1 l = 1 dm3 1 ml= 1 cm3
En química general el dispositivo de uso más frecuente para medir volúmenes es la probeta. Cuando se necesita más exactitud se usan pipetas o buretas.
Las probetas son recipientes de vidrio graduados que sirven para medir el volumen de líquidos(leyendo la división correspondiente al nivel alcanzado por el líquido) y sólidos (midiendo el volumen del líquido desplazado por el sólido, es decir la diferencia entre el nivel alcanzado por el líquido solo y con el sólido sumergido).
Unidades de medida del área
Unidades de superficie
El metro cuadrado es la unidad principal de superficie en el Sistema métrico decimal. Los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado son los siguientes:. Cada unidad de superficie es 100 veces mayor que la unidad inmediatamente inferior y 100 veces menor que la inmediatamente superior….
Superficie y área
Para medir una superficie se utilizan las unidades de superficie. El área de una figura es la medida de su superficie.
Otras medidas de superficie
Para expresar medidas de superficie que se refieren a extensiones de fincas, campos, terrenos, etc., se utilizan las llamadas unidades agrarias.
Unidades de medida del volumen.
MEDIDAS de VOLUMEN.
El volumen de un cuerpo es el espacio que éste ocupa. Para medirlo, se debe ver cuantas veces entra en él una unidad de volumen utilizada como unidad de medida. Esta unidad se llama metro cúbico, y corresponde a un cubo de un metro de lado.
Para medir volúmenes mayores y menores que el metro cúbico, se utilizan sus múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 1.000 en 1.000.
Bibliografía:
http://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/area.html
http://www.definicionabc.com/audio/volumen.php
http://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20091102145855AACqbTC
http://www.escolar.com/matem/22medvolu.htm
http://www.escolar.com/matem/22medvolu.htm
http://concurso.cnice.mec.es/cnice2005/93_iniciacion_interactiva_materia/curso/materiales/propiedades/volumen.htm
http://html.rincondelvago.com/medicion-de-areas.html
Videografía:
Area y Volumen:
El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término «área» como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.
Definición de volúmenes:
El volumen es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un cuerpo. Es una función derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones.
En matemáticas el volumen es una medida que se define como los demás conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico.
En física, el volumen es una magnitud física extensiva asociada a la propiedad de los cuerpos físicos de ser extensos, que a su vez se debe al principio de exclusión de Pauli.
La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico, aunque temporalmente también acepta el litro, que se utiliza comúnmente en la vida práctica.
Área de un rombo
Imágenes:
Área de un romboide:
Imágenes:
http://www.vitutor.com/geo/eso/s_f.html
Área de un trapecio:
Imágenes:
Área de un polígono:
Imágenes:
El área se obtiene triangulando el polígono y sumando el área de dichos triángulos.
Área de un triángulo :
Imágenes: http://www.vitutor.co.uk/geo/eso/images/74.gif
Área de un polígono regular:
Imágenes:
Formulas del volumen:
Cilindro
Imágenes:
Volumen:
Cono:
Volumen:
Cubo:
Volumen:
Prisma:
Imagen:
Volumen:
Pirámide:
Imagen:
Volumen:
Icosaedro:
Imagen:
Volúmenes:
Características del volumen
Nos movemos en 4 dimensiones, lineal, superficie, volumen y tiempo. En matemáticas y física se utilizan los siguientes símbolos para expresar a cada uno de ellos.
m (metro)= lineal, distancia entre dos puntos
m2 (metro cuadrado), superficie largo x ancho
m3 (metro cúbico)= volumen.largo x ancho x alto El volumen por ejemplo en la pintura, lo dio el español Salvador Dalí en sus cuadros, donde parece que las pinturas no entraran en una simple tela
Características del area:
La provincia del Darién está bajo la influencia de un clima húmedo y cálido, pudiendo advertirse variaciones dentro de la zona debido a condiciones topográficas locales.
Se registra una máxima absoluta de 35.5°C y una mínima de 17.2°C, fluctuando la media anual entre 25° y 26°C.
Las variaciones térmicas durante el año son mínimas; en cambio, no lo son las precipitaciones pluviales a través del año, en que se registra un período seco relativo que puede durar de tres a cuatro meses (enero a abril) y un período húmedo que va de mayo a diciembre. Dichas variaciones afectan las tierras situadas en el área de influencia del estuario del río Tuira, los valles del Chucunaque y Sambú, y las ubicadas a lo largo de la Carretera Panamericana hasta aproximadamente la altura de El Real.
Las lluvias, que se distribuyen en forma irregular a través del año son copiosas en las tierras montañosas próximas a la costa atlántica (3 000 mm – 4 000 mm) y aumentan en las montañas del Pacífico, al sudeste de la región (4 000 mm – 5 000 mm). En las áreas centrales y al sudoeste las precipitaciones disminuyen sensiblemente, fluctuando entre 1 700 mm y 2 800 mm anuales.
Dentro del ámbito fisiográfico que presenta la zona, se pueden diferenciar en forma muy generalizada los siguientes paisajes fisiográficos.
En términos generales, en el paisaje ondulado y colinoso, así como en el montañoso, la evacuación de las aguas de lluvia se efectúa rápidamente y sin limitaciones de ninguna índole debido a una red de drenaje predominantemente densa tipificada por numerosas vertientes que descienden de las tierras altas muy accidentadas.
Aéreas y volúmenes
ÁREAS.
NOMBRE: Triángulo
DEFINICIÓN: Es la porción de plano limitada por tres segmentos de recta
FIGURA.
TÉRMINOS: h=altura
b=base
FÓRMULA:
NOMBRE:Paralelogramo.
DEFINICIÓN:Son los cuadriláteros que tienen sus lados opuestos iguales y paralelos.
FIGURA.
TÉRMINOS: h=altura b=base
FóRMULA: A=b.h.
NOMBRE: Cuadrado.
DEFINICIÓN: Cuadrilátero de cuatro lados y 4 ángulos iguales.
FIGURA.
TÉRMINOS: l=lado d=diagonal.
FÓRMULA:
NOMBRE: Rombo
DEFINICIÓN: Cuadrilátero cuyas dos diagonales se cruzan en ángulo de 90º.
FIGURA.
TERMINOS: d=diagonal mayor d’=diagonal menor.
FÓRMULA:
NOMBRE:
Trapecio.
DEFINICIÓN:
Cuadrilátero que tiene dos de sus lados paralelos y los otros dos no.
FIGURA:
TÉRMINOS:b=base mayor b’=base menor h=altura.
FÓRMULA:
NOMBRE: Polígono regular.
DEFINICIÓN: Es la porción de plano limitada por segmentos de recta, es regular si todos sus lados y ángulos son iguales.
FIGURA.
TÉRMINOS: a=apotema l=lado n=número de lados.
FÓRMULA:
NOMBRE: Círculo.
DEFINICIÓN: Es la porción de plano limitada por la circunferencia.
FIGURA.
TÉRMINOS: r=radio.
FÓRMULA: A=p.r².
VOLÚMENES.
NOMBRE: Prisma.
DEFINICIÓN: Cuerpo geométrico cuyas bases son dos poligonos iguales y paralelos y sus caras laterales son paralelogramos.
FIGURA.
TÉRMINOS: B=área de la base h=altura.
FÓRMULA: V=h.B.
NOMBRE: Ortoedro.
DEFINICIÓN: Prisma cuyas bases son dos rectángulos.
FIGURA.
TÉRMINOS: l=largo a=ancho h=altura.
FÓRMULA: V=h.l.a.
NOMBRE: Cubo.
DEFINICIÓN: Ortoedro donde las tres dimensiones son iguales.
FIGURA.
TÉRMINOS: a=lado.
FÓRMULA: V=a³.
NOMBRE: Pirámide.
DEFINICIÓN Cuerpo geométrico cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales triángulos.
FIGURA.
TÉRMINOS: B=área de la base h=altura.
FÓRMULA:
NOMBRE: Cilindro.
DEFINICIÓN: Es el Cuerpo geométrico engendrado por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
FIGURA.
TÉRMINOS: r=radio.
h=altura.
FÓRMULA: V=h.p.r².
NOMBRE: Cono.
DEFINICIÓN: Es el Cuerpo geometrico engendrado por la revolución de un triángulo rectángulo alrededor de uno.
FIGURA.
TÉRMINOS: r=radio.
h=altura.
FÓRMULA:
NOMBRE: Esfera.
DEFINICIÓN: Cuerpo geométrico engendrado por la revolución completa de un semicírculo alrededor de su diámetro.
FIGURA.
TÉRMINOS: r=radio.
FÓRMULA:
VIDEOS.
ÁREAS Y VOLÚMENES.
El área de una figura geométrica es todo el espacio que queda encerrado entre los límites de esa figura.
Para calcular el área de algunas figuras se utilizan las fórmulas que aparecen dentro del dibujo de abajo.
En cada caso, debe reemplazarse los valores conocidos en los problemas expuestos y calcular los valores pedidos.
Con ayuda del formulario expuesto, se puede hacer uso de las fórmulas para resolver problemas.
En el medio circundante hay muchas de estas figuras y es bastante común que se requiera conocer su área, por lo que en la práctica es muy útil saber aplicar estas fórmulas.
Ejemplos:
1.- Una mesa circular tiene un área de 5.027 cm2 ¿cuánto mide su radio?
Reemplazamos valores y queda 5.027 = 3,1416 • r2
(radio solo, vale la raíz cuadrada de 1.600)
Resolvemos:
O bien
r2 = 1.600 (radio al cuadrado vale 1.600)
r = 40 cm
2.- Un plato tiene un diámetro de 16 cm ¿cuál es su área?
La fórmula es
Sabemos que el diámetro (d) de la circunferencia es igual a dos radios (2r), por lo tanto el radio (r) será igual al diámetro (16 cm) dividido por 2, o sea, r = 8.
Reemplazamos los valores, y queda
A = 3,1416 • r2
A = 3,1416 • 82
A = 3,1416 • 64
A = 201 cm2
El tamaño de una superficie.
La cantidad de espacio dentro de los límites de un objeto plano (bi-dimensional) como un triángulo o un círculo. El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término «área» como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.
Medición del volumen de un objeto
El procedimiento a seguir para medir el volúmen de un objeto, dependerá del estado en que se encuentre: gaseoso, líquido o sólido.
El volumen es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un cuerpo. Es una función derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones.
En matemáticas el volumen es una medida que se define como los demás conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico.
En física, el volumen es una magnitud física extensiva asociada a la propiedad de los cuerpos físicos de ser extensos, que a su vez se debe al principio de exclusión de Pauli.
La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico, aunque temporalmente también acepta el litro, que se utiliza comúnmente en la vida práctica.
En el caso de nubes gaseosas el volumen varía considerablemente según la temperatura y presión; también depende de si esté o no contenido en un recipiente y, si lo está, adoptará la forma y el tamaño de dicho recipiente. Si la masa gaseosa está disuelta en la atmósfera, es difícil precisar que se entiende por volumen.
Para medir el volumen de un líquido, se emplean diversos recipientes graduados, dependiendo de la exactitud con la que se desee conocer dicho volumen.
Algunos sólidos tienen formas sencillas y su volumen puede calcularse en base a la geometría clásica. Por ejemplo, el volumen de un sólido puede calcularse aplicando conocimiento que proviene de la geometría.
Midiendo sus dimensiones, y aplicando una fórmula adecuada, podemos determinar su volumen. Así, el volumen de un paralelepípedo recto se determina midiendo las tres aristas concurrentes a un vértice y multiplicándolas; el cubo es un caso especial de paralelepípedo en el que todas sus aristas son iguales y su volumen se obtiene elevando a tres su arista.
En general, existen procedimientos similares para obtener el volumen de otros cuerpos como los prismas y las pirámides. Estos cuerpos geométricos tienen una característica que los agrupa: el volumen de los paralelepípedos, los prismas y los cilindros, (sean ellos rectos u oblicuos), se obtiene multiplicando la medida de su área basal por la medida de su altura y en el caso de las pirámides y conos, (también rectos u oblicuos) su volumen es igual a un tercio del producto entre la medida del área basal y su altura. La esfera es un caso especial, ya que su volumen es:
Si un sólido tiene una forma a la que no es posible aplicar alguna fórmula conocida, se pueden aplicar otros procedimientos tales como el principio de Cavalieri o el método de desplazamiento de agua, en el cual dicho desplazamiento es provocado por un cuerpo al sumergirlo en un recipiente con agua.
El volumen de un cuerpo es un número que indica la cantidad de espacio que el ocupa. Este número se acompaña por una unidad de medida pertinente que permite dimensionar el volumen medido.
Volumen en cuerpos poliédricos regulares
El volumen de un cuerpo regular es un número que se obtiene comparando el volumen del cuerpo con la unidad. Consideraremos a la unidad como un cubo de arista uno y por definición su volumen será 1. Entonces, la medida del volumen de un cuerpo será igual al número de cubos unitarios que contenga. Por ejemplo, considerando el cubo unidad que se indica en la figura, el cuerpo adjunto está formado por 25 cubos unidad. Podemos afirmar entonces que el cuerpo del ejemplo tiene 25 unidades de volúmen .
Unidades de medida del volumen
Las unidades de volumen son estandarizaciones que permiten dimensionar el número que indica el volumen. Como unidad base, se considera a un cubo cuya arista mide un centímetro o un metro, un kilómetro, etc. Por definición su volumen tendrá el valor 1, acompañado de la unidad de su arista elevada a tres. Por ejemplo, en la figura siguiente, el volumen del cubo mide un centímetro cubico y se abrevia por 1 cm3 .
Volumen del cubo unidad = 1 cm3
En la siguiente tabla se muestra las unidades de medida de volumen más utilizadas:
Arista del cubo unidad Unidad de Volumen asociada Abreviatura
1 Milímetro Milímetro cúbico mm3
1 Centímetro Centímetro cúbico cm3
1 Decámetro Decámetro cúbico dm3
1 Metro Metro cúbico m3
1 Decámetro Decámetro cúbico Dm3
1 Hectómetro Hectómetro cúbico Hm3
1 Kilómetro Kilómetro cúbico Km3
Si la unidad de volumen del cubo unidad es el centímetro cúbico, entonces todos los volúmenes obtenidos a partir de el estarán en centímetros cúbicos. Se sigue la misma analogía si el cubo unidad tiene otra unidad de volumen.
VIDEOS:
BIBLIOGRAFIAS:
http://personal5.iddeo.es/ztt/For/Fi1_Areas_Volumenes.htm
http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/volumen_desarrollo.htm
http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/volumen_desarrollo.htm
AREA
El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puedetriangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término «área» como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
VOLUMEN
El volumen es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un cuerpo. Es una función derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones.
En matemáticas el volumen es una medida que se define como los demás conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico.
En física, el volumen es una magnitud física extensiva asociada a la propiedad de los cuerpos físicos de ser extensos, que a su vez se debe al principio de exclusión de Pauli.
La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico, aunque temporalmente también acepta el litro, que se utiliza comúnmente en la vida práctica.
BIBLIOGRAFIA
http://es.wikipedia.org/wiki/Volumen
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea
http://personal5.iddeo.es/ztt/For/Fi1_Areas_Volumenes.htm
VIDEOGRAFIA
Tarea#5.
El tamaño de una superficie.
La cantidad de espacio dentro de los límites de un objeto plano (bi-dimensional) como un triángulo o un círculo.
Así como sucede con muchísimos términos, el término área ostenta varias significaciones dependiendo del contexto en el cual se lo utilice.
En un contexto bien general y recurrente, se llama área a aquel espacio de tierra comprendido entre ciertos límites preestablecidos.
Por otro lado, para la geometría, un área será la extensión o superficie comprendida dentro de una figura de dos dimensiones, que se expresará en unidades de medidas llamadas superficiales.
El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término «área» como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.
• El área de un triángulo es igual al semiproducto entre la longitud de una base y la altura relativa a esta:3
Donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (Se puede considerar cualquier lado como base)
• Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, con lo cual el área es igual al semi producto de los catetos:
donde a y b son los catetos.
El procedimiento a seguir para medir el volumen de un objeto, dependerá del estado en que se encuentre: gaseoso, líquido o sólido.
En el caso de nubes gaseosas el volumen varía considerablemente según la temperatura y presión; también depende de si está o no contenido en un recipiente y, si lo está, adoptará la forma y el tamaño de dicho recipiente. Si la masa gaseosa está disuelta en la atmósfera, es difícil precisar qué se entiende por volumen.
Para medir el volumen de un líquido, se emplean diversos recipientes graduados, dependiendo de la exactitud con la que se desee conocer dicho volumen.
Algunos sólidos tienen formas sencillas y su volumen puede calcularse en base a la geometría clásica. Por ejemplo, el volumen de un sólido puede calcularse aplicando conocimiento que proviene de la geometría.
Midiendo sus dimensiones, y aplicando una fórmula adecuada, podemos determinar su volumen. Así, el volumen de un paralelepípedo recto se determina midiendo las tres aristas concurrentes a un vértice y multiplicándolas; el cubo es un caso especial de paralelepípedo en el que todas sus aristas son iguales y su volumen se obtiene elevando a tres su arista.
En general, existen procedimientos similares para obtener el volumen de otros cuerpos como los prismas y las pirámides. Estos cuerpos geométricos tienen una característica que los agrupa: el volumen de los paralelepípedos, los prismas y los cilindros, (sean ellos rectos u oblicuos), se obtiene multiplicando la medida de su área basal por la medida de su altura y en el caso de las pirámides y conos, (también rectos u oblicuos) su volumen es igual a un tercio del producto entre la medida del área basal y su altura. La esfera es un caso especial, ya que su volumen es.
Si un sólido tiene una forma a la que no es posible aplicar alguna fórmula conocida, se pueden aplicar otros procedimientos tales como el principio de Cavalieri o el método de desplazamiento de agua, en el cual dicho desplazamiento es provocado por un cuerpo al sumergirlo en un recipiente con agua.
El volumen de un cuerpo es un número que indica la cantidad de espacio que él ocupa. Este número se acompaña por una unidad de medida pertinente que permite dimensionar el volumen medido.
Volumen en cuerpos poliédricos regulares
El volumen de un cuerpo regular es un número que se obtiene comparando el volumen del cuerpo con la unidad. Consideraremos a la unidad como un cubo de arista uno y por definición su volumen será 1. Entonces, la medida del volumen de un cuerpo será igual al número de cubos unitarios que contenga. Por ejemplo, considerando el cubo unidad que se indica en la figura, el cuerpo adjunto está formado por 25 cubos unidad. Podemos afirmar entonces que el cuerpo del ejemplo tiene 25 unidades de volumen .
En la siguiente tabla se muestra las unidades de medida de volumen más utilizadas:
Arista del cubo unidad Unidad de Volumen asociada Abreviatura
1 Milímetro Milímetro cúbico mm3
1 Centímetro Centímetro cíbico cm3
1 Decímetro Decímetro cúbico dm3
1 Metro Metro cúbico m3
1 Decámetro Decámetro cúbico Dm3
1 Hectómetro Hectómetro cúbico Hm3
1 Kilómetro Kilómetro cúbico Km3
Bibliografía:
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/area.html
http://www.raulybarra.com/notijoya/archivosnotijoya2/2matematicas_volumen.htm
VIDEOGRAFIA:
Areas y volumenes
El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término «área» como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.
La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométrica proviene de la antigüedad. En el Antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto.
El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva entraña más dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y cincunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con este sistema, que se conoce como método de exhausción de Eudoxo, consiguió hallar la fórmula para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares, así como el cálculo aproximado del número π.
El volumen es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo. El volumen es una magnitud física derivada. La unidad para medir volúmenes en el Sistema Internacional es el metro cúbico (m3) que corresponde al espacio que hay en el interior de un cubo de 1 m de lado. Sin embargo, se utilizan más sus submúltiplos, el decímetro cúbico (dm3) y el centímetro cúbico (cm3). Sus equivalencias con el metro cúbico son:
1 m3 = 1 000 dm3
1 m3 = 1 000 000 cm3
Para medir el volumen de los líquidos y los gases también podemos fijarnos en la capacidad del recipiente que los contiene, utilizando las unidades de capacidad, especialmente el litro (l) y el mililitro (ml). Existe una equivalencias entre las unidades de volumen y las de capacidad:
1 l = 1 dm3 1 ml= 1 cm3
En química general el dispositivo de uso más frecuente para medir volúmenes es la probeta. Cuando se necesita más exactitud se usan pipetas o buretas.
Las probetas son recipientes de vidrio graduados que sirven para medir el volumen de líquidos (leyendo la división correspondiente al nivel alcanzado por el líquido) y sólidos (midiendo el volumen del líquido desplazado por el sólido, es decir la diferencia entre el nivel alcanzado por el líquido solo y con el sólido sumergido).
Bibliografía
Área
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea
Volumen
http://concurso.cnice.mec.es/cnice2005/93_iniciacion_interactiva_materia/curso/materiales/propiedades/volumen.htm
Nombre Dibujo Desarrollo Área Volumen
Cubo o
Hexaedro
A = 6a2 V = a3
Paralelepípedo
u ortoedro
A = 2(ab + ac + bc) V = abc
Prisma
AT = 2AB + AL V = ABH
Cilindro
Pirámide
AT = AB + AL
Cono
Tronco de
pirámide
AT = AB1 + AB2 + AL
Tronco
de cono
Esfera
CÁLCULO DE ÁREA DE FIGURAS PLANAS
Triángulo Trapecio
A = (b • h) / 2 A = (B + b)
Cuadrado Paralelogramo
A = l 2 A = b • h
Rectángulo Polígono regular
A = a • b A = (P • a) / 2
Rombo
A = (D • d) / 2 Circunferencia A = • r 2
Áreas
El área es la medida de la región o superficie encerrada por de una figura geométrica.
El volumen de un cuerpo es el espacio que éste ocupa. Para medirlo, se debe ver cuántas veces entra en él una unidad de volumen utilizada como unidad de medida. Esta unidad se llama metro cúbico, y corresponde a un cubo de un metro de lado.
Para medir volúmenes mayores y menores que el metro cúbico, se utilizan sus múltiplos y submúltiplos, que aumentan o disminuyen de 1.000 en 1.000.
(Video)
(Informacion)
http://www.ditutor.com/geometria/areas.html
AREAS Y VOLUMENES
es un útil curso del área de Matemáticas que ha sido consultado en 18013 ocasiones. En caso de estar funcionando incorrectamente, por favor reporta el problema para proceder a solucionarlo.
Se utiliza el método de doble integración para calcular el área o el centro de gravedad de una región A, limitada superiormente por la curva y=f2(x), inferiormente de y=f1(x), a la izquierda por la recta x=a y a la derecha por x=b. pero es de considerar aplicaciones concretas, vamos a procesar el concepto de integral doble de una función F(x, y) de dos variables x e y. Las aplicaciones físicas resultan inmediatamente eligiendo expresiones particulares para F(x, y); esto es,
F(x, y)= 1, o F(x, y)= y,
Cuando se trate de calcular el área, o el momento del área respecto al eje x.
La notación
«A» F(x, y)dA
Ahora para designar la integral doble, extendida a la región A, de la función F(x, y). Imaginémonos la región A cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x e y. Estas rectas dividen al plano en pequeñas áreas rectangulares,
A=xy=yx
algunas de las cuales yacen por completo en la región A, otra son exteriores y otras, finalmente, quedan atravesadas por su contorno. No tendremos pendientes las que están de A y podemos tomar o no en consideración aquella que se haya parcialmente dentro. Concretamente, fijemos la atención en A interiores al contorno que numeramos en cierto orden
A1, A2…….An
sea (xk, yk) un punto cualquiera de Ak y formemos la suma
Si la función F(x, y) es continua en todo punto de A y si las curvas toman su contorno son continuas y tiene longitud total finita, cuando se hace más tupida, de forma que x y y tienden a cero (podemos poner y= 2x 0), el límite
Existe, y se expresa por la notación utilizada en la ecuación «A» F(x, y) dA
La integral doble «A» F(x, y) dA se puede interpretar como un volumen, al menos en el caso de que F(x, y) sea positiva. Supongamos, por ejemplo, que la región de la base de un sólido F2 cuya altura es el punto (x, y) esta dado en
z= F(x, y)
El término
F(xk, yk) Ak
Representa una aproximación razonable del volumen de aquella porción que tiene por base Ak. La suma Sn de la ecuación A=xy=yx nos da así una aproximación del volumen total del sólido, del límite A1, A2…….An proporciona un volumen exacto.
La utilidad de este concepto de integral doble seria solo aparente si tuviésemos que hallar el límite de estas sumas, A1, A2…….An para dar respuesta numérica a los diversos problemas particulares que se planteen. Pero afortunadamente, existen métodos para calcular la integral doble mediante integrales sucesivas. Esto es, en la práctica, integral doble se reduce al cálculo u otra de las siguientes integrales iteradas:
«A» F(x,y) dx dy o «A» F(x,y) dy dx
Que vamos a explicar a continuación. Antes de ello observemos que existen un método (que no demostraremos), el cual asegura que las integrales iteradas no son iguales entre sí y a la integral doble «A» F(x, y)dA, con tal que la función sea continua en A y sobre su contorno, si este no es demasiado completa, las condiciones necesarias para ella se cumplen para los ejemplos.
Vamos a explicar ahora el significado de la notación
«A» F(x,y) dy dx
El resultado de la integral » F(x,y) dy respecto a y, (Manteniendo fijo x) y calcularla en función resultante entre los límites y=f1(x) e y=f2(x);
para integrar el resultado de a) respecto a x entre los límites x=a y x=b.
Partimos de la integral interior y realizamos integraciones sucesivas como sigue:
Considerando x como constante se hace la integración respecto a y.
Podemos adquirir ideas del significado geométrico de la ecuación de manera siguiente. Imaginemos un sólido cuya base sea la región A del plano siendo
z= F(x, y) su altura en el punto (x, y) de A. [Supondremos a simplificar, que F(x, y) es positiva.] Imaginemos ahora rebanadas de sólido determinadas por planos perpendiculares al eje x en x y x+dx. Aproximadamente el volumen de cada rebanada mediante la diferencial del volumen.
dV = A(x)dx,
Siendo A(x) el área de la sección del sólido por el plano trazado por x. Esta viene dada por la f2 por la integral
donde x se considera constante, dependiendo de los límites de integración del área plana considerada. Esto es, los límites y son aquellas funciones de x que representan las curvas de contornos de A. Finalmente, se ve que la integral iterada de la ecuación coincide con
ÁREA POR DOBLE INTEGRACIÓN
La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano xy. Esta área esta dada por una cualquiera de las integrales
Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y, y después respecto a x; es decir
Es constante, si el área esta limitada a la izquierda por la curva x=g1(y), a la derecha por la curva x=g2(y), inferiormente por la recta y=c y superiormente por xy=d, (figura 3), Es preferible integrar primero respecto a x [que puede ir desde g1(y) a g2(y)] y después respecto a y; es decir como
Para interpretar la primera integración respecto a x, como suma de todos los elementos
dA= dxdy
situados en una faja horizontal que se extiende desde la curva x=g1(y) a izquierda hasta la curva x=g2(y) a la derecha. El cálculo de esta integral es
Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales.
Area y volumen de esfera.avi
http://www.youtube.com
Ejercicio resuelto..Compartir.
AREA
El área de una figura es la porción del plano que cubre. Para medir las superficies se utiliza como unidad de medida el cuadrado cuyo lado es de longitud 1. Las áreas se miden en centímetros cuadrados, decímetros cuadrados y metros cuadrados o, simplemente, en unidades de área cuando se quiera que éstas sean otras, como, por ejemplo, la cuadrícula de un papel cuadriculado.
Área del rectángulo: es el área más sencilla para calcular. Es el resultado de multiplicar la longitud de sus lados o también, como se dice habitualmente, se obtiene multiplicando la base (b) por la altura (h).
Fórmula: Área del rectángulo = base • altura A = b • h
Área del paralelogramo: Si consideramos el paralelogramo ABCD. La base AB desde C y D se hacen perpendiculares sobre la base AB.
Los triángulos ADM y BCN son iguales. Por tanto, el área del paralelogramo ABCD es la misma que la del rectángulo MNCD. Observamos que las dos figuras tienen la misma base y la misma altura. Este proceso nos permite afirmar que el área de un paralelogramo es, también, el producto de su base por su altura.
Fórmula: Área del paralelogramo = base • altura A = b • h
Área del cuadrado: en un cuadrado la base y la altura son iguales a su lado y por tanto:
Fórmula: Área del cuadrado de lado c = lado al cuadrado A = c2
Área del triángulo: consideremos un triángulo cualquiera ABC, de base AB. Dibujemos una paralela a AB que pase por C y una paralela a AC que pase por B. Éstas se encuentran en un punto D.
Los triángulos ABC y BCD serán iguales. Por tanto, la superficie del paralelogramo ABCD será el doble del área del triángulo ABC.
Fórmula: Área del paralelogramo ABCD = 2 • área del triángulo ABC
O bien,
Área del triángulo ABC = área del paralelogramo : 2
Para calcular el área de otros polígonos se dibujan las diagonales necesarias con el fin de que queden descompuestos en triángulos; después se calcula el área de estos triángulos y se suman los valores obtenidos.
Área = área triángulo 1 + área triángulo 2 + área triángulo 3 + área triángulo 4 + área triángulo 5.
Área del rombo: en el rombo, las dos diagonales, d y D, lo descomponen en cuatro triángulos iguales que tienen como base la mitad de una diagonal (base = b = d : 2 y como altura la mitad de la otra diagonal (altura = h = D : 2).
La superficie de cada uno de los triángulos será:
A = (base . altura) : 2 = (d:2).(D:2) : 2 = d • D : 8
Y, en consecuencia, el área del rombo será el área de uno de estos triángulos multiplicada por 4:
Área del rombo = 4 • área del triángulo = 4 • (d • D) : 8 = (d • D) : 2
Área del trapecio: considera un trapecio ABCD de base AB. Se acostumbra a denominar bases a los lados paralelos del trapecio. El lado más grande de los dos será la base mayor, que representaremos por B, y el otro la base menor, que representaremos con b.
La diagonal divide el trapecio en dos triángulos: ABC, de base AB, y ACD, de base DC. Ambos triángulos tienen la misma altura que el trapecio. El área del trapecio será la suma de las áreas de los dos triángulos. El triángulo ABC tiene como base la mayor del trapecio y su altura es la del trapecio; el triángulo ACD tiene como base la menor del trapecio y su altura es la del trapecio.
Área del trapecio = (B • h) : 2 + (b • h) : 2 = (B • h + b • h) • 2 = (B + b) • h : 2 =
(B + b : 2) • h
Fórmula que se suele enunciar así: el área del trapecio es igual al resultado de multiplicar la semisuma de las bases por la altura.
Área de los polígonos regulares: consideremos diversos polígonos regulares, como un triángulo equilátero, un cuadrado, un hexágono regular o un octógono regular. Todos ellos tienen un centro definido. Si unimos dicho centro con los vértices de cada uno de los polígonos, se descompondrán en tantos triángulos como lados tiene.
Todos los triángulos resultantes de la descomposición son iguales y tienen como base un lado (c), y su altura es la apotema del polígono (a). El área de estos triángulos será:
Fórmula: Área del triángulo = (c • a) : 2
Por lo tanto, el área del polígono regular será el resultado de multiplicar esta área por el número de triángulos que se han formado. A (polígono) = número de lados • área del triángulo.
Área polígono regular de n lados = n• (c•a :2) = (n•c•a) : 2 = ((n • c) : 2)• a
Cn es el perímetro del polígono y, como ya hemos dicho que se acostumbra a representar con la p la mitad del perímetro (semiperímetro), tendremos que
(c • n) : 2 = p, y podemos formular:
Área del polígono regular = semiperímetro por apotema = p • a
Volumen
1.- Medida del espacio ocupado por un cuerpo.
El volumen de los cuerpos es el resultado de sus tres dimensiones: ancho, alto y profundidad. El volumen resulta de la relación entre peso y densidad.
2.- En escultura y pintura, la manera de tratar la tridimensionalidad de las masas.
En escultura, se le llama volumen a una estructura formal tridimensional, así como también volumen a las partes componentes del todo escultórico, cuando éstas tiene el carácter de masas.
En pintura, el volumen es la sugerencia de peso y masa lograda por medios estrictamente pictóricos que reflejan características tridimensionales.
3.- En arquitectura, el conjunto exterior de un edificio, que encierra el espacio interior.
CUBO
El cubo es un sólido limitado por seis cuadrados iguales, también se le conoce con el nombre de hexaedro
Para calcular su área lateral, su área total así como para ver su desarrollo pulsar sobre la figura anterior
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen del cubo = arista elevada al cubo
PRISMAS
Prisma regular es un cuerpo geométrico limitado por dos polígonos paralelos e iguales, llamados bases, y por tantos rectángulos como lados tenga cada base.
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen del prisma = área de la base . altura
A continuación están dibujados los prismas triangular, cuadrangular y hexagonal. Pulsando en cada una de ellas podremos observar el desarrollo de la figura correspondiente, así como las fórmulas para calcular el área lateral y total.
PIRÁMIDES
Pirámide regular es un sólido que tiene por base un polígono y cuyas caras son triángulos que se reúnen en un mismo punto llamado vértice.
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen de la pirámide = (área de la base . altura) / 3
A continuación están dibujados el tetraedro, la pirámide triangular y la cuadrangular. Pulsando en cada una de ellas podremos observar el desarrollo de la figura correspondiente, así como las fórmulas para calcular el área lateral y total.
Tetraedro: es una pirámide formada por cuatro triángulos equiláteros. Cualquier cara, por tanto, puede ser la base.
Pirámide triangular: la base es un triángulo equilátero y las caras laterales son triángulos isósceles.
Pirámide cuadrangular: aquí la base es un cuadrado, teniendo cuatro caras laterales.
CONO
El cono es el sólido engendrado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos.
Para calcular su área lateral, su área total así como para ver su desarrollo pulsar sobre la figura anterior
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen del cono = (área de la base.altura) / 3
CILINDRO
El cilindro es el sólido engendrado por un rectángulo al girar en torno a uno de sus lados.
Para calcular su área lateral, su área total así como para ver su desarrollo pulsar sobre la figura anterior
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen del cilindro = área de la base.altura
ESFERA
La esfera es el sólido engendrado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro.
Para calcular su área se emplea la siguiente fórmula:
Área de la esfera = 4 .3’14.radio al cuadrado
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen de la esfera = 4/3 .3’14.radio al cubo
VIDEOGRAFIA
BIBLIOGRAFIA
http://www.mailxmail.com/curso-geometria-basica/area-figuras-planas-2
http://www.bbo.arrakis.es/geom/
Áreas y volúmenes
a. Descripción del Area
La formación matemática de los futuros maestros de Primaria se iniciará
con una revisión y afianzamiento de las competencias que utilizará en su
labor docente, prosiguiendo luego a abordarlas a un nivel de creciente
amplitud, profundidad y rigor. La formación en la respectiva tecnología
curricular es paralela. El área ofrece herramientas para el análisis,
modelación, cálculo, medición y estimación de la realidad, que facilitan
mayor precisión para la comprensión de problemas y mejores
posibilidades de predicción. De este modo, impulsa significativamente el
desarrollo intelectual de los estudiantes.
Definicion volumen
Volumen permite nombrar a la corpulencia o bulto de algo.De esta forma,se refiere ala magnbitud fisica que expresa la extension de un cuerpo de tres dimensiones (largo,ancho y alto). El volumen tambien es la intensidad del sonido y cuerpo material de un liro encuadernado.Para la geometria,se trata del espacio ocupado por un cuerpo,mientras que para la numismatica es el grosor de una moneda o una medalla.
Áreas
un cuadrado = a2
un rectángulo = ab
un paralelogramo = bh
un trapesoide = (h/2) (b1 + b2)
un círculo = pi r2
un elipse = pi r1 r2
un triángulo = (1/2) b h
un triángulo equilátero = (1/4) (3) a2
un triángulo cuando se sabe SAS = (1/2) a b sin C
un triángulo cuando se sabe a,b,c = [s(s-a)(s-b)(s-c)] cuando s = (a+b+c)/2 (La fórmula de Herón)
polígono regular = (1/2) n sen(360°/n) S2
cuando n = # de lados y S = la largura desde el centro a un punto
________________________________________
Volúmenes
un cubo = a3
un prisma rectangular = a b c
un prisma irregular = b h
un cilindro = b h = pi r2 h
una pirámide = (1/3) b h
un cono = (1/3) b h = (1/3) pi r2 h
una esfera = (4/3) pi r3
un elipsoide = (4/3) pi r1 r2 r3
Operaciones
+,-,*,/ = operaciones fundamentales
± = operaciones dobles
[y]√(x) = raíz «y» de «x»
|x| = valor absoluto de «x»
(xˆy) = «x» elevado a la «y»
≤,,≥ Desigualdades
≠,= = Ecuaciones
Λ = y
~= Aproximadamente
«sub(#)» = subindices º = grados∞ = infinito
π = pi (3,14)
ε = épsilon (2,71)
≈ = congruente
x≡y(mod z) = «x» congruente con «y» modulo «z»
∑ (x;y;z) = suma de todos los valores indicados
∫ (x;y) = integral de «x» a «y»
«sup(#)» = supraindices
– Tipos
f(x) = función en base a «x»
Log (x) = función logaritmica en base 10 de «x»
Ln (x) = función logaritmica natural (base épsilon) de «x»
sin (x), cos (x), tan (x), csc (x), sec (x), cot (x), arcsin (x), arccos (x), arctan (x), arccsc (x), arcsec (x), arccot (x) = expresiones trigonométricas de «x»
CUADRO DE AREAS Y VOLUMENES
AREAS
NOMBRE DEFINICION FIGURA TERMINOS FORMULA
Triángulo Es la porción de plano limitada por tres segmentos de recta. h=altura
b=base
Paralelogramo Son los cuadriláteros que tienen sus lados opuestos iguales y paralelos. h=altura b=base A=b.h
Cuadrado Cuadrilátero de cuatro lados y 4 ángulos iguales. l=lado d=diagonal
Rombo Cuadrilátero cuyas dos diagonales se cruzan en ángulo de 90º d=diagonal mayor d’=diagonal menor
Trapecio Cuadrilátero que tiene dos de sus lados paralelos y los otros dos no. b=base mayor b’=base menor h=altura
Polígono regular Es la porción de plano limitada por segmentos de recta, es regular si todos sus lados y ángulos son iguales. a=apotema l=lado n=número de lados
Círculo Es la porción de plano limitada por la circunferencia. r=radio A=p.r²
VOLUMENES
NOMBRE DEFINICION FIGURA TERMINOS FORMULA
Prisma Cuerpo geométrico cuyas bases son dos poligonos iguales y paralelos y sus caras laterales son paralelogramos B=área de la base h=altura V=h.B
Ortoedro Prisma cuyas bases son dos rectángulos. l=largo a=ancho h=altura V=h.l.a
Cubo Ortoedro donde las tres dimensiones son iguales. a=lado V=a³
Pirámide Cuerpo geométrico cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales triangulos B=área de la base h=altura
Cilindro Es el Cuerpo geometrico engendrado por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados r=radio
h=altura V=h.p.r²
Cono Es el Cuerpo geometrico engendrado por la revolución de un triángulo rectángulo alrededor de uno r=radio
h=altura
Esfera Cuerpo geometrico engendrado por la revolución completa de un semicírculo alrededor de su diámetro. r=radio
Bibliografia
Haz clic para acceder a IIImate.pdf
http://math2.org/math/geometry/es-areasvols.htm
http://crisis125.blogspot.com/2007/11/frmulas-de-rea-volmen-y-perimetro.htmlpag
http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/geometria/geomet6.htmlpag
http://definicion.de/volumen/
Videografia
AREAS Y VOLUMENES:
Áreas
un cuadrado = a2
un rectángulo = ab
un paralelogramo = bh
un trapesoide = (h/2) (b1 + b2)
un círculo = pi r2
un elipse = pi r1 r2
un triángulo = (1/2) b h
un triángulo equilátero = (1/4)(3) a2
un triángulo cuando se sabe SAS = (1/2) a b sin C
un triángulo cuando se sabe a,b,c = [s(s-a)(s-b)(s-c)] cuando s = (a+b+c)/2 (La
fórmula de Herón)
polígono regular = (1/2) n sen(360°/n) S2
cuando n = # de lados y S = la largura desde el centro a un punto
Volúmenes
un cubo = a3
un prisma rectangular = a b c
un prisma irregular = b h
un cilindro = b h = pi r2 h
una pirámide = (1/3) b h
un cono = (1/3) b h = (1/3) pi r2 h
una esfera = (4/3) pi r3
un elipsoide = (4/3) pi r1 r2 r3
Áreas de Superficies
un cubo = 6 a2
un prisma:
(área lateral) = perímetro (b) L
(área total) = perímetro(b) L + 2b
una esfera = 4 pi r2
Entre los más asombrosos hallazgos que relata la Historia de la Matemática está el cálculo que hizo Arquímedes, tal vez el más brillante de los sabios de la Antigüedad griega, del área de un círculo de radio .
Para hacer este cálculo, Arquímedes imaginó el círculo como estando formado por infinitas circunferencias concéntricas y de radios cada vez menores.
Luego, imaginó que tomaba la más exterior de las circunferencias y la ‘rectificaba’, es decir, la convertía en un segmento de recta de longitud (él sabía que ésta era su longitud.
Tomando todas las otras circunferencias y rectificándolas para colocar los segmentos de recta obtenidos sobre el segmento , de manera que un extremo siempre coincidiera con el punto A.
Como la longitud de las circunferencias va disminuyendo proporcionalmente al radio de cada una de ellas, él concluye que la figura obtenida es un triángulo rectángulo, cuya área debe ser igual a la del círculo original. Como el área del triángulo era conocida, y en este caso igual a , ( como base, como altura), y sabiendo que , resulta que el área del círculo es igual a .
El procedimiento a seguir para medir el volumen de un objeto, dependerá del estado en que se encuentre: gaseoso, líquido o sólido.
En el caso de nubes gaseosas el volumen varía considerablemente según la temperatura y presión; también depende de si está o no contenido en un recipiente y, si lo está, adoptará la forma y el tamaño de dicho recipiente. Si la masa gaseosa está disuelta en la atmósfera, es difícil precisar que se entiende por volumen.
Para medir el volumen de un líquido, se emplean diversos recipientes graduados, dependiendo de la exactitud con la que se desee conocer dicho volumen.
Algunos sólidos tienen formas sencillas y su volumen puede calcularse en base a la geometría clásica. Por ejemplo, el volumen de un sólido puede calcularse aplicando conocimiento que proviene de la geometría.
Midiendo sus dimensiones, y aplicando una fórmula adecuada, podemos determinar su volumen. Así, el volumen de un paralelepípedo recto se determina midiendo las tres aristas concurrentes a un vértice y multiplicándolas; el cubo es un caso especial de paralelepípedo en el que todas sus aristas son iguales y su volumen se obtiene elevando a tres su arista.
En general, existen procedimientos similares para obtener el volumen de otros cuerpos como los prismas y las pirámides. Estos cuerpos geométricos tienen una característica que los agrupa: el volumen de los paralelepípedos, los prismas y los cilindros, (sean ellos rectos u oblicuos), se obtiene multiplicando la medida de su área basal por la medida de su altura y en el caso de las pirámides y conos, (también rectos u oblicuos) su volumen es igual a un tercio del producto entre la medida del área basal y su altura.
imagen :
Tabla de areas y volúmenes
bibliografias:
http://math2.org/math/geometry/es-areasvols.htm
http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/volumen_desarrollo.htm
videografia:
Áreas y Volumenes
Áreas
un cuadrado = a2
un rectángulo = ab
un paralelogramo = bh
un trapesoide = (h/2) (b1 + b2)
un círculo = pi r2
un elipse = pi r1 r2
un triángulo = (1/2) b h
un triángulo equilátero = (1/4)(3) a2
un triángulo cuando se sabe SAS = (1/2) a b sin C
un triángulo cuando se sabe a,b,c = [s(s-a)(s-b)(s-c)] cuando s = (a+b+c)/2 (La fórmula de Herón)
polígono regular = (1/2) n sen(360°/n) S2
cuando n = # de lados y S = la largura desde el centro a un punto
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Volúmenes
un cubo = a3
un prisma rectangular = a b c
un prisma irregular = b h
un cilindro = b h = pi r2 h
una pirámide = (1/3) b h
un cono = (1/3) b h = (1/3) pi r2 h
una esfera = (4/3) pi r3
un elipsoide = (4/3) pi r1 r2 r3
El área
El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficial. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término «área» como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.
La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométrica proviene de la antigüedad. En el Antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto.
El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva entraña más dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y cincunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con este sistema, que se conoce como método de exhausción de Eudoxo, consiguió hallar la fórmula para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares, así como el cálculo aproximado del número π.
El volumen
Es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un cuerpo.
Es una función derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones.
En matemáticas el volumen es una medida que se define como los demás conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico.
En física, el volumen es una magnitud física extensiva asociada a la propiedad de los cuerpos físicos de ser extensos, que a su vez se debe al principio de exclusión de Pauli.
La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico, aunque temporalmente también acepta el litro, que se utiliza comúnmente en la vida práctica.
Se clasifican en tres categorías:
Unidades de volumen sólido. Miden al volumen de un cuerpo utilizando unidades de longitud elevadas a la tercera potencia. Se le dice volumen sólido porque en geometría se utiliza para medir el espacio que ocupan los cuerpos tridimensionales, y se da por hecho que el interior de esos cuerpos no es hueco sino que es sólido.
Unidades de volumen líquido. Estas unidades fueron creadas para medir el volumen que ocupan los líquidos dentro de un recipiente.
Unidades de volumen de áridos, también llamadas tradicionalmente unidades de capacidad. Estas unidades fueron creadas para medir el volumen que ocupan las cosechas (legumbres, tubérculos, forrajes y frutas) almacenadas en graneros y silos. Estas unidades fueron creadas porque hace muchos años no existía un método adecuado para pesar todas las cosechas en un tiempo breve, y era más práctico hacerlo usando volúmenes áridos. Actualmente estas unidades son poco utilizadas porque ya existe tecnología para pesar la cosecha en tiempo breve.
VIDEOGAFIA :
Áreas y Volumenes
Áreas
un cuadrado = a2
un rectángulo = ab
un paralelogramo = bh
un trapesoide = (h/2) (b1 + b2)
un círculo = pi r2
un elipse = pi r1 r2
un triángulo = (1/2) b h
un triángulo equilátero = (1/4)(3) a2
un triángulo cuando se sabe SAS = (1/2) a b sin C
un triángulo cuando se sabe a,b,c = [s(s-a)(s-b)(s-c)] cuando s = (a+b+c)/2 (La fórmula de Herón)
polígono regular = (1/2) n sen(360°/n) S2
cuando n = # de lados y S = la largura desde el centro a un punto
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Volúmenes
un cubo = a3
un prisma rectangular = a b c
un prisma irregular = b h
un cilindro = b h = pi r2 h
una pirámide = (1/3) b h
un cono = (1/3) b h = (1/3) pi r2 h
una esfera = (4/3) pi r3
un elipsoide = (4/3) pi r1 r2 r3
videografia :
Muchas Gracias, Me Sirve Artisimo Para Calculo Integral,bueno aunque algunas cosas están repetidas Del Resto Super Kool la pagina…. 🙂
largo pero interesant