En matemáticas, las identidades trigonométricas verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades,abc son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Notación: se define cos2α, sen2α, otros; tales que sen2α es (sen α)2.
Identidades trigonométricas:
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo: Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
bibliografia: http://matematica.laguia2000.com/general/identidades-trigonometricas
En matemáticas, las identidades trigonométricas verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades,abc son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Historia
Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.[1] Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos
En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso.
Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrónomo y matemático al-Battani[3] generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra.[4] [5] Fue durante el mismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y coseno. Eso permitió a Ghiyath al-Kashi,[6] matemático de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulación durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por François Viète quien, al parecer, lo redescubrió independientemente.[7]
Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones trigonométricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno.[8]
Demostración
El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.
Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes
Identidades trigonometricas
Una identidad trigonometrica es una igualdad que tiene expresiones trigonometricas que se cumplen para cualquier valor del angulo.
Las identidades trigonometricas se clasifican en pitagoricas por cociente, reciprocas e inversas.
Todas las identidades no pitagoricas se pueden obtener del circulo trigonometrigo.
Identidades trigonometricas:
INVERSAS-la inversa de la diametralmente opuesta
RECIPROCAS-el producto de las contiguas
POR COCIENTE-el cociente de las siguientes.
BIBLIOGRAFIA
Mi cuaderno
La base del estudio de este inciso está en las siguientes 11 fórmulas que a continuación se van a
deducir, llamadas fórmulas trigonométricas.
Se parte de las definiciones elementales (las cuales se estudiaron en la secundaria) de cada una
de las funciones trigonométricas, referidas a la figura 31.
;
y
sen
r
θ =
x
cos
r
θ =
;
y
tan
x
θ =
x
cot
y
θ =
;
r
sec
x
θ =
r
csc
y
θ =
3.1.1) FÓRMULAS DE LOS INVERSOS O DE LOS RECÍPROCOS
Un número es el inverso de otro, respecto de cierta operación, si al operar ambos entre sí dan
como resultado el elemento neutro de esa operación.
Por ejemplo: en la suma el elemento neutro es el cero, ya que el cero no altera o deja inalterado
a todo número. De manera que el inverso del número + 14 es el – 14, ya que al operar ambos dan
como resultado el cero (el elemento neutro de la suma). Por eso se le llama inverso aditivo . En
la multiplicación, el elemento neutro es el uno, ya que el uno deja inalterado en la multiplicación a cualquier número. De manera que el inverso de 8 es 1/8, ya que al multicarlos da como resultado el uno (el elemento neutro de la multiplicación). Por eso se le llama inverso multiplicativo .
Un sinónimo de inverso multiplicativo es recíproco .
De tal manera que el significado que a las siguientes seis fórmulas se le va a dar al término inverso es el de inverso multiplicativo , o sea que multiplicadas entre sí dan el elemento neutro de
la multiplicación: el uno. Por otra parte, cabe recordar que si un número n es el inverso multiplicativo de otro número m, lo que significa que nm = 1.
BIBLIOGRAFIA
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos.
En matemáticas, las identidades trigonométricas verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades,abc son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. esto es algo muy comun en casos inciertos importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Notación: se define cos2α, sen2α, otros; tales que sen2α es (sen α)2.
Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.1 Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos:
«En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso.»
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
De acuerdo al teorema de pitágoras :
Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad:
Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:
Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad:
Su solución :
Otra de las identidades trigonométricas sería la de división:
Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos:
Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, aquí las tenemos:
Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos:
Identidades trigonométricas de ángulo doble:
Identidades trigonométricas de mitad de ángulo:
Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas :
.
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos.
En matemáticas, las identidades trigonométricas verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades,abc son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. esto es algo muy comun en casos inciertos importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Notación: se define cos2α, sen2α, otros; tales que sen2α es (sen α)2.
Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.1 Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos:
«En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso.»
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
De acuerdo al teorema de pitágoras :
Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad:
Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:
Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad:
Su solución :
Otra de las identidades trigonométricas sería la de división:
Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos:
Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, aquí las tenemos:
Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos:
Identidades trigonométricas de ángulo doble:
Identidades trigonométricas de mitad de ángulo:
Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas :
¿De donde se origina?
1) recordando:
multiplicando
Sabemos que:
el la primera ecuación transponemos y en la segunda
De tal manera que obtendremos:
aplicando esto en la ecuación inicial
multiplicando
De una manera análoga se halla el segundo teorema.
Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.1 Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos:
Siendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C, y BH la altura respecto del vértice B (cf. Fig. 2 contigua), la notación moderna permite formular el enunciado así:
Fig. 2 – Triángulo ABC con altura BH.
Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrónomo y matemático al-Battani3 generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra.4 5 Fue durante el mismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y coseno. Eso permitió a Ghiyath al-Kashi,6 matemático de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulación durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por François Viète quien, al parecer, lo redescubrió independientemente.7
Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones trigonométricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno
TRIGONOMÉTRICAS IDENTIDADES.
UNA IDENTIDAD es una igualdad que es cierto para cualquier valor de la variable. (Una ecuación es una igualdad que es cierto sólo para ciertos valores de la variable.)
En álgebra, por ejemplo, tenemos esta identidad:
(X + 5) (x – 5) = x ² – 25.
La importancia de una identidad es que, en el cálculo, podemos reemplazar cualquiera de los miembros de la identidad con el otro. Utilizamos una identidad para dar una expresión de una forma más conveniente. En el cálculo y todas sus aplicaciones, las identidades trigonométricas son de vital importancia.
En esta página, vamos a presentar la identidad principal. El estudiante no tendrá mejor manera de practicar el álgebra que por probarlos. Enlaces a las pruebas aparecen a continuación.
Una vez más, el punto sobre la identidad es que, en el cálculo, podemos reemplazar cualquiera de los miembros de la identidad con el otro. Así, si vemos
«Pecado θ», entonces podemos, si queremos, sustituirlo por »
1
csc θ
«, Y,
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
De acuerdo al teorema de pitágoras :
Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la iguiente identidad:
Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:
Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad:
Su solución :
Otra de las identidades trigonométricas sería la de división:
Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos:
Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de os ángulos, aquí las tenemos:
Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos:
Identidades trigonométricas de ángulo doble:
Identidades trigonométricas de mitad de ángulo.
Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas :
Estas identidades,abc son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. esto es algo muy comun en casos inciertos importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Notación: se define cos2α, sen2α, otros; tales que sen2α es (sen α)2.
Tal como sucede con muchos elementos de las matemáticas, los conceptos existen desde épocas antiguas en las que los filósofos griegos ya habían establecido las nociones de funciones y valors de los ángulos de las figuras geométricas. Estos conceptos serían mejorados recién en la Modernidad, en el siglo XVII cuando se notaron de manera algebraica para poder realizar todo tipo de cálculos entre los diferentes ángulos.
Las identidades trigonométricas pueden ser definidas en términos generales como todas las variables posibles de ángulos que pueden existir en una figura geométrica. Estas identidades se representan siempre a partir de las letras griegas tales como alfa, beta, omega, etc. También se utilizan elementos como los grados centígrados para establecer las variables de cada identidad. Las más conocidas son las que se establecen entre seno y coseno, seno y tangente, etc. Las identidades trigonométricas son formas simplificadas que permiten realizar y conocer las diferentes funciones de la trigonometría. Todas estas cuestiones de las matemáticas, más específicamente de la trigonometría, sirven para organizar los diferentes cálculos que se deben realizar a partir de las funciones específicas de cada tipo de datos. Las identidades trigonométricas son muy variables y permiten tener diferentes posibilidades para representar cada función trigonométrica (es decir, los valores) de maneras variadas y específicas de acuerdo a cada caso.
Bibliografía http://www.definicionabc.com/ciencia/identidades-trigonometricas.php
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
De acuerdo al teorema de pitágoras :
las seis funciones circulares también llamadas funciones trigonométricas son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Denotadas respectivamente por: sen x, cos x, tan x, cot x, sec x, y csc x.
Definición: Si x es un número real y (a, b) son coordenadas del punto circular P(x), entonces las seis funciones circulares o trigonométricas se definen como:
Con esta definición podemos evaluar las seis funciones trigonométricas de los puntos
Ejemplos para discusión: Evaluar las seis funciones trigonométricas para:
1) P(0) : P(0) = (1, 0), donde a = 1 y b = 0
Ejercicio de práctica: Evalúa las seis funciones trigonométricas de:
En matemáticas, las identidades trigonométricas verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades,abc son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. esto es algo muy comun en casos inciertos importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Notación: se define cos2α, sen2α, otros; tales que sen2α es (sen α)2.
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes: http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/pitágoras.bmp
De acuerdo al teorema de pitágoras : http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/pitag33.bmp
Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad: http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/uno.bmp
Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:
Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad: http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/tres.bmp
Su solución :
Otra de las identidades trigonométricas sería la de división:
Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos:
Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, aquí las tenemos:
Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos:
Identidades trigonométricas de ángulo doble:
Identidades trigonométricas de mitad de ángulo:
Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas :
Identidades Trigonometricas:
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes: http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/pitágoras.bmp
De acuerdo al teorema de pitágoras : http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/pitag33.bmp
Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad: http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/uno.bmp
Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:
Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad: http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/tres.bmp
Su solución :
Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos:
Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, aquí las tenemos:
Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos:
Identidades trigonométricas de ángulo doble:
Identidades trigonométricas de mitad de ángulo:
Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas:
Bibliografia: http://matematica.laguia2000.com/general/identidades-trigonometricas
Videografia:
Identidades Trigonometricas
La palabra identidad significa que existe una igualdad entre letras que se cumple con cuales quiera que sean los valores numericos que se les asigne a estas. Las identidades son las igualdades de expresan las propiedades de las operaciones o de los simbolos operativos.
Para las funciones trigonometricas existen 8 identidades fundamentales que se pueden ordenar en 3 grupos.
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes: http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/pitágoras.bmp
De acuerdo al teorema de pitágoras : http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/pitag33.bmp
Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad: http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/uno.bmp
Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:
Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad: http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/tres.bmp
Su solución :
Otra de las identidades trigonométricas sería la de división:
Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos:
Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, aquí las tenemos:
Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos:
Identidades trigonométricas de ángulo doble:
Identidades trigonométricas de mitad de ángulo:
Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas :
Identidades de Ángulos Generales
En este caso y las identidades son:
(Recuerde que si se utiliza el círculo unitario r =1)
Identidades Trigonométricas Fundamentales
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4. 8.
Identidades Pares e Impares
1. 2. 3.
4. 5. 6.
Formulas de Adición y Substracción de Ángulos
1.
2.
3.
Relación seno coseno
Relación seno coseno
Relación seno coseno
Relación seno coseno
Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos
Razones trigonométricas del ángulo doble
Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
Identidades trigonométricas.
En matemáticas, las identidades trigonométricas verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades,abc son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. esto es algo muy comun en casos inciertos importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
Identidades Trigonometricas
La palabra identidad significa que existe una igualdad entre letras que se cumple con cuales quiera que sean los valores numericos que se les asigne a estas. Las identidades son las igualdades de expresan las propiedades de las operaciones o de los simbolos operativos.
Para las funciones trigonometricas existen 8 identidades fundamentales que se pueden ordenar en 3 grupos.
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes: http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/pitágoras.bmp
De acuerdo al teorema de pitágoras : http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/pitag33.bmp
Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad: http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/uno.bmp
Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:
Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad: http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/tres.bmp
Su solución :
Otra de las identidades trigonométricas sería la de división:
Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos:
Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, aquí las tenemos:
Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos:
Identidades trigonométricas de ángulo doble:
Identidades trigonométricas de mitad de ángulo:
Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas :
Identidades Trigonométricas Fundamentales
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4. 8.
Identidades Pares e Impares
1. 2. 3.
4. 5. 6.
Formulas de Adición y Substracción de Ángulos
1.
2.
3.
Relación seno coseno
Relación seno coseno
Relación seno coseno
Relación seno coseno
Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos
Razones trigonométricas del ángulo doble
Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
Identidades Trigonometricas
La palabra identidad significa que existe una igualdad entre letras que se cumple con cuales quiera que sean los valores numericos que se les asigne a estas. Las identidades son las igualdades de expresan las propiedades de las operaciones o de los simbolos operativos.
Para las funciones trigonometricas existen 8 identidades fundamentales que se pueden ordenar en 3 grupos.
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes: http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/pitágoras.bmp
De acuerdo al teorema de pitágoras : http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/pitag33.bmp
Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad: http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/uno.bmp
Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:
Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad: http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/tres.bmp
Su solución :
Otra de las identidades trigonométricas sería la de división:
Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos:
Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, aquí las tenemos:
Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos:
Identidades trigonométricas de ángulo doble:
Identidades trigonométricas de mitad de ángulo:
Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas :
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
1.
o Son relaciones de igualdad entre funciones trigonométricas que se verifican para todo valor de la variable angular, siempre y cuando, la función trigonométrica este definida en dicho valor angular.
2. Identidades Reciprocas
o Sen x = 1/ csc x
o Cos x = 1/ sec x
o Csc x = 1/ sen x
o Sec x = 1/ cos x
o Tg x = 1/ cotg x
o Ctg x =1/ tg x
3. Identidades por cociente
o Tg x = sen x / cos x
o Ctg x = cos x / sen x
4. Identidades Pitagóricas
o Sen ² x + Cos ² x =1
o Tan ² x + 1 = Sec ² x
o 1 + Cot ² x = Csc ² x
5. Identidades Auxiliares
o sen 4 x + cos 4 x = 1-2sen ² x . cos ² x
o sen 6 x + cos 6 x= 1-3sen ² x . cos ² x
o tgx + cotx = secx . cscx
o sec ² x + csc ² x = sec ² x . csc ² x
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.
1.
o Son relaciones de igualdad entre funciones trigonométricas que se verifican para todo valor de la variable angular, siempre y cuando, la función trigonométrica este definida en dicho valor angular.
2. Identidades Reciprocas
o Sen x = 1/ csc x
o Cos x = 1/ sec x
o Csc x = 1/ sen x
o Sec x = 1/ cos x
o Tg x = 1/ cotg x
o Ctg x =1/ tg x
3. Identidades por cociente
o Tg x = sen x / cos x
o Ctg x = cos x / sen x
4. Identidades Pitagóricas
o Sen ² x + Cos ² x =1
o Tan ² x + 1 = Sec ² x
o 1 + Cot ² x = Csc ² x
5. Identidades Auxiliares
o sen 4 x + cos 4 x = 1-2sen ² x . cos ² x
o sen 6 x + cos 6 x= 1-3sen ² x . cos ² x
o tgx + cotx = secx . cscx
o sec ² x + csc ² x = sec ² x . csc ² x
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
cos a = b/c
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
sin(a)=b/C
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
Imagen:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
sen2 8+1=sec2 8
1+cot2 8=csc2 8
De acuerdo al teorema de pitágoras :
Ahora veremos
ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad:
cos 8 sec 8=1
Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:
cos 8 sec8=cos8(1/cos8)=1
Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad:
(1+sec 8)(1-sen 8)=1/sec 8
Su solución :
(1+sen 8)(1-sen 8)=1-sen2 8
=cos2 8
=1/sec2 8
Otra de las identidades trigonométricas sería la de división:
tan(a)=sen(a)/cos(a)
Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos:
sen(a+B)=sen a cos B + cos a sen B
Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, aquí las tenemos:
sen a-sen B=2sen(a-B/2)cos(a+B/2)
Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos:
sen(a)sen(B)=cos(a-B)-cos(a+B)/2
Identidades trigonométricas de ángulo doble:
cos2a=cos2a – sen2 a
Identidades trigonométricas de mitad de ángulo:
sen(a/2)=(raíz de) 1-cos a/2
Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas :
Cos ( (pi) /2-a)=sen a
IMAGEN:
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.
En matemáticas, las identidades trigonométricas verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades,abc son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. esto es algo muy comun en casos inciertos importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Notación: se define cos2α, sen2α, otros; tales que sen2α es (sen α)2.
Todas las funciones en O.
Identidades trigonométricas fundamentales, y cómo convertir de una función trigonométrica a otra.
Relaciones básicas
Relación pitagórica
Identidad de la razón
De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si , la conversión propuesta en la tabla indica que , aunque es posible que . Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.
Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.
sen
cos
tan
cot
sec
csc
De las definiciones de las funciones trigonométricas:
Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):
A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:
Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).
Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos², se tiene:
Calculando la recíproca de la expresión anterior:
Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:
y análogamente con las restantes funciones .
== Teoremas de la
Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.
De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:
Para ángulos complementarios:
Para ángulos opuestos:
Identidades del ángulo múltiple
Si Tn es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces
Fórmula de De Moivre:
Identidades del ángulo doble, triple y medio
Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea ) en las identidades anteriores, y usando Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando n = 2.
Fórmula del ángulo doble
Fórmula el ángulo triple
Fórmula del ángulo medio
Producto infinito de Euler
Identidades para la reducción de exponentes
Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sin²(x).
Seno
Coseno
Otros
Paso de producto a suma
Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.
Deducción de la identidad
Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:
Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:
1):
2):
Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:
3):
Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en el lado derecho de la ecuación 3). (Recuerda que si se suma un elemento a ambos lados de la ecuación se mantiene la misma), quedaría:
Simplificando el elemento sin(x)sin(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría:
2cos(x)cos(y) = cos(x + y) + cos(x − y)
Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda:
Nota 1: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.
Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene también:
Notar el cambio de signo.
Paso de suma a producto
Reemplazando x por (a + b) / 2 y por (a – b) / 2 en las identidades de producto a suma, se tiene:
Paso de diferencia de cuadrados a producto
¿De donde se origina?
1) recordando:
multiplicando
Sabemos que:
el la primera ecuación transponemos y en la segunda
De tal manera que obtendremos:
aplicando esto en la ecuación inicial
multiplicando
De una manera análoga se halla el segundo teorema.
Eliminar seno y coseno
A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.
Funciones trigonométricas inversas
Composición de funciones trigonométricas
Fórmula de productos infinitos
Seno Coseno
Fórmula de Euler
Historia
Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas. Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos:
«En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso.»
Euclides, Elementos.
Siendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C, y BH la altura respecto del vértice B (cf. Fig. 2 contigua), la notación moderna permite formular el enunciado así:
Fig. 2 – Triángulo ABC con altura BH.
Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrónomo y matemático al-Battani generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra. Fue durante el mismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y coseno. Eso permitió a Ghiyath al-Kashi, matemático de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulación durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por François Viète quien, al parecer, lo redescubrió independientemente.
Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones trigonométricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno.
Teorema del seno
En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados a, b y c y el seno de sus respectivos ángulos opuestos A, B y C
Demostración
El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.
Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.
Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene
donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:
Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.
La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:
Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:
Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:
En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.
b = qa + c − 2abcosb
Aplicación
El teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del triángulo y dos ángulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados.
Definiciones exponenciales
Función
Función inversa
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes: http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/pit%C3%A1goras.bmp
En matemáticas, las identidades trigonométricas verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades,abc son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. esto es algo muy comun en casos inciertos importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Notación: se define cos2α, sen2α, otros; tales que sen2α es (sen α)2.
Identidades trigonométricas
Avisos Google
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Las demostraciones trigonométricas se hacen de tal manera que no utilicen nada dudoso ni nada falso para que la conclusión no sea dudosa o falsa. Todo debe ser cierto sin lugar a dudas para que la demostración sea válida. ¿Y qué es cierto sin lugar a dudas?: Por una parte, las once fórmulas anteriores lo son, pues por eso se dedujeron paso a paso para verificar su validez y veracidad; por otra parte, toda identidad es cierta sin lugar a dudas por ser axiomática. Una identidad es cualquier cosa igual a sí misma. Axiomático es aquello tan evidente que no requiere demostración.
De tal manera que las anteriores once fórmulas son la base de las demostraciones que a continuación se estudiarán. Para demostrar una proposición trigonométrica debe transformarse, ya sea por sustituciones de cualquiera de las fórmulas o por pasos algebraicos válidos, de manera que se llegue a una igualdad que sin duda alguna sea cierta, es decir, que lo escrito del lado izquierdo sea realmente igual a lo escrito del lado derecho.
Un recurso muy útil en la demostración de igualdades trigonométricas, es pasar todas las funciones
a senos y/o cosenos, en virtud de que las seis pueden expresarse en términos de éstas, ya
que la tangente es igual a seno entre coseno ; la cotangente es igual a coseno entre seno ; la
secante es igual a uno entre coseno y la cosecante es igual a uno entre seno.
Una vez pasadas todas las funciones a senos y/o cosenos, se hacen las simplificaciones algebraicas posibles y, en caso necesario, se emplean nuevamente cualesquiera de las once fórmulas para transformar la igualdad propuesta en una igualdad que sea cierta sin lugar a dudas.
BINOMIOS CONJUGADOS
De los 2 despejes que es posible hacer en cada una de las tres fórmulas de los cuadrados (ver
página 55), se obtiene en cada caso una diferencia de cuadrados, que por las reglas del Álgebra
se pueden factorizar en dos binomios conjugados, como se muestra a continuación:
sen2x = 1 – cos2x = (1 – cos x)(1 + cos x) (9.1)
cos2x = 1 – sen2x = (1 – sen x)(1 + sen x) (9.2)
1 = sec2x – tan2x = (sec x – tan x)(sec x + tan x) (10.1)
tan2x = sec2x – 1 = (sec x – 1)(sec x + 1) (10.2)
1 = csc2x – cot2x = (csc x – cot x)(csc x + cot x) (11.1)
cot2x = csc2x – 1 = (csc x – 1)(csc x + 1) (11.2)
1 tan x sec
sec x= − +
Y efectivamente, ¡ya apareció el otro binomio!. Entonces lo que conviene es «juntarlos»,
o sea multiplicarlos, pues el denominador queda (no se dijo que pasa) multiplicando en
el lado derecho (ver cuadro de la página 57):
tan2x = (sec x – 1)(sec x + 1)
multiplicando los binomios del lado derecho:
tan2x = sec2x – 1
o bien
tan2x + 1 = sec2x T
con lo que queda demostrad
El denominador (sec x + 1) es uno de los dos binomios conjugados que aparecen en el
cuadro de la página 57, en la fórmula (10.2), por lo que es conveniente, aplicando la
propiedad de las fracciones si se multiplica el numerador y el denominador por la misma
cantidad, la fracción no se altera, multiplicar numerador y denominador por sec x –
1 , o sea su binomio conjugado respectivo para obtener la diferencia de cuadrados que,
a su vez, es igual a tan2 x , según la fórmula (10.2),
fórmulas para transformar la igualdad propuesta en una igualdad que sea cierta sin lugar a dudas.
BINOMIOS CONJUGADOS
De los 2 despejes que es posible hacer en cada una de las tres fórmulas de los cuadrados (ver
página 55), se obtiene en cada caso una diferencia de cuadrados, que por las reglas del Álgebra
se pueden factorizar en dos binomios conjugados, como se muestra a continuación:
sen2x = 1 – cos2x = (1 – cos x)(1 + cos x) (9.1)
cos2x = 1 – sen2x = (1 – sen x)(1 + sen x) (9.2)
1 = sec2x – tan2x = (sec x – tan x)(sec x + tan x) (10.1)
tan2x = sec2x – 1 = (sec x – 1)(sec x + 1) (10.2)
1 = csc2x – cot2x = (csc x – cot x)(csc x + cot x) (11.1)
cot2x = csc2x – 1 = (csc x – 1)(csc x + 1) (11.2)
1 tan x sec
sec x= − +
Y efectivamente, ¡ya apareció el otro binomio!. Entonces lo que conviene es «juntarlos»,
o sea multiplicarlos, pues el denominador queda (no se dijo que pasa) multiplicando en
el lado derecho (ver cuadro de la página 57):
tan2x = (sec x – 1)(sec x + 1)
multiplicando los binomios del lado derecho:
tan2x = sec2x – 1
o bien
tan2x + 1 = sec2x T
Identidades trigonométricas fundamentales, y cómo convertir de una función trigonométrica a otra.
En matemáticas, las identidades trigonométricas verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades,abc son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. esto es algo muy comun en casos inciertos importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Notación: se define cos2α, sen2α, otros; tales que sen2α es (sen α)2.
Contenido:
• 1 Relaciones básicas
• 2 Identidades del ángulo múltiple
2.1 Identidades del ángulo doble, triple y medio
2.2 Producto infinito de Euler
• 3 Identidades para la reducción de exponentes
• 4 Paso de producto a suma
o 4.1 Deducción de la identidad
Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un diferente idntidad
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes: http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/pit%C3%A1goras.bmp
Las identidades permiten plantear la misma expresion de diferentes maneras. Con frecuencia es posible volver a escribir de una manera mucho mas simple una expresión que se ve complicada. Para simplificar las expresiones algebraicas, usamos la factorizacion, denominadores comunes y las formulas de productos especiales. Para simplificar expresiones trigonometricas usamos estas mismas tecnicas junto con las identidades trigonometricas fundamentales.
En trigonometría existen seis identidades fundamentales:Una identidad trigonometrica es la relacion entre funciones trigonometricas. Las mas elementales son las siguienes, que son consecuencia inmediatas de las definiciones de dichas funciones
uchas identidades provienen de las identidades fundamentales. Primero es facil decidir cuando una ecuacion no es una identidad. Todo lo que necesitamos hacer es demostrar que la ecuacion no se cumple para algnos valores de la variable( o variables) por consiguiente, la ecuacion:
no es una identidad,porque cuando x= π/4 tenemos
Para comprobar que una ecuacion trigometrica es una identidad, transformamos un miembro de la ecuacion en el otro mediante una serie de pasos, cada uno de los cuales es en si mismo una identidad.
Identidades Trigonometricas:
sen2x + cos2x = 1
1 + tan2x = sec2x
1 + cot2x = csc2x
tan x = sen x / cos x
csc x = 1 / sen x
sec x = 1 / cos x
cot x = 1/ tan x = cosx/senx
1 + cotg²a = cosec²a
sin (a + b) = sina · cosb + cosa· sinb
cos (a + b) = cosa · cosb – sina· sinb
sin (a – b) = sina · cosb – cosa· sinb
cos (a – b) = cosa · cosb + sina· sinb
sin2a = 2sina · cosa
cos2a = cos²a – sin²a tg2a = 2tga / 1-tg²a
sin(a/2) = ±a(1-cosa)/(2) cos(a/2) = ±a(1+cosa)/(2)
tg(a/2) = ±a(1-cosa)/(1+cosa)
sinA+sinB =2 · sin(A+B)/2 · cos(A-B)/2
sinA-sinB =2 · cos (A+B)/2· sin(A-B)/2
cosA+cosB =2 · cos(A+B)/2 · cos(A-B)/2
cosA-cosB =-2 · sin(A+B)/2 · sin(A-B)/2
cos a = cat ady / hip => sec a sen a = cat op / hip => cosec a
tan a = cat op / cat ady => cotg a sen a / cos a
dentidades trigonométricas es un concepto que se utiliza en el ámbito de las matemáticas para hacer referencia a las funciones trigonométricas variables que pueden encontrarse en una figura geométrica. La trigonometría es la rama de las matemáticas que se especializa en el análisis y estudio de los triángulos, especialmente en las formas, significados y valores de los diferentes ángulos que pueden existir. Las identidades trigonométricas serán, entonces, los resultantes de esos valores que son variables y muy diversos entre uno y otro.
Tal como sucede con muchos elementos de las matemáticas, los conceptos existen desde épocas antiguas en las que los filósofos griegos ya habían establecido las nociones de funciones y valors de los ángulos de las figuras geométricas. Estos conceptos serían mejorados recién en la Modernidad, en el siglo XVII cuando se notaron de manera algebraica para poder realizar todo tipo de cálculos entre los diferentes ángulos.
Las identidades trigonométricas pueden ser definidas en términos generales como todas las variables posibles de ángulos que pueden existir en una figura geométrica. Estas identidades se representan siempre a partir de las letras griegas tales como alfa, beta, omega, etc. También se utilizan elementos como los grados centígrados para establecer las variables de cada identidad. Las más conocidas son las que se establecen entre seno y coseno, seno y tangente, etc. Las identidades trigonométricas son formas simplificadas que permiten realizar y conocer las diferentes funciones de la trigonometría. Todas estas cuestiones de las matemáticas, más específicamente de la trigonometría, sirven para organizar los diferentes cálculos que se deben realizar a partir de las funciones específicas de cada tipo de datos. Las identidades trigonométricas son muy variables y permiten tener diferentes posibilidades para representar cada función trigonométrica (es decir, los valores) de maneras variadas y específicas de acuerdo a cada caso.
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones. Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo, lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos.
Identidades trigonométricas:N es una igualdad que es cierto para cualquier valor de la variable. (Una ecuación es una igualdad que es cierto sólo para ciertos valores de la variable.)
En álgebra, por ejemplo, tenemos esta identidad:
(X + 5) (x – 5) = x ² – 25.
La importancia de una identidad es que, en el cálculo, podemos reemplazar cualquiera de los miembros de la identidad con el otro. Utilizamos una identidad para dar una expresión de una forma más conveniente. En el cálculo y todas sus aplicaciones, las identidades trigonométricas son de vital importancia.
En esta página, vamos a presentar la identidad principal. El estudiante no tendrá mejor manera de practicar el álgebra que por probarlos. Enlaces a las pruebas aparecen a continuación.
identidades Recíproca
θ pecado
=
1
csc θ
csc θ
=
1
θ pecado
cos θ
=
1
sec θ
sec θ
=
1
cos θ
tan θ
=
1
θ cuna
θ cuna
=
1
tan θ
Prueba
Una vez más, el punto sobre la identidad es que, en el cálculo, podemos reemplazar cualquiera de los miembros de la identidad con el otro. Así, si vemos
«Pecado θ», entonces podemos, si queremos, sustituirlo por »
1
csc θ
«, Y,
simétricamente, si vemos » 1
csc θ «, Entonces podemos reemplazarlo con» θ pecado «.
Tangente y cotangente identidades
tan θ =
θ pecado
cos θ
Cuna θ =
cos θ
θ pecado
Prueba
identidades de Pitágoras
a)
pecado ² θ + cos ² θ
=
1
b)
1 + tan ² θ
=
seg ² θ
c)
1 + cot ² θ
=
csc ² θ
a ‘) el pecado ² θ = 1 – cos θ ². cos ² θ = 1 – θ ² pecado.
Éstos se llaman las identidades de Pitágoras, ya que, como veremos en su prueba , que son la versión trigonométrica del teorema de Pitágoras.
Las dos identidades etiquetado como un ‘) – «un alto riesgo» – son simplemente versiones diferentes de una). El primero muestra cómo podemos expresar θ pecado en términos de θ cos, el segundo muestra cómo podemos expresar θ cos θ en términos de pecado.
Nota: el pecado ² θ – «theta cuadrado del seno» – significa (sen θ) ².
1. Mostrar Ejemplo:
Solución: El problema significa que vamos a escribir la mano izquierda, y mostrar a continuación, a través de sustituciones y el álgebra, que podemos transformar a parecerse a la derecha. Comenzamos:
identidades Recíproca
en la adición de las fracciones
identidades de Pitágoras
identidades Recíproca
Eso es lo que quería mostrar.
Suma y las fórmulas de diferencia
el pecado ( + Β) =
el pecado cos β + cos β pecado
el pecado ( – Β)
=
el pecado cos β – cos β pecado
cos ( + Β)
=
cos cos β – sen β pecado
cos ( – Β)
=
cos cos β + sen β pecado
Nota: En las fórmulas de seno, + o – a la izquierda también es + o – a la derecha. Pero en las fórmulas del coseno, + de la izquierda se convierte – a la derecha, y viceversa.
Dado que estas identidades son resultado directo de la geometría, el estudiante no se requiere normalmente para dominar la prueba. Sin embargo, todas las identidades que siguen se basan en las fórmulas de la suma y diferencia. El estudiante debe saber definitivamente.
Para ver la prueba de las fórmulas de resumen, haga clic aquí .
Ejemplo 2. Evaluar el pecado 15 °.
Solución.
el pecado de 15 °
Fórmulas
Temas 4 y 5
3. Ejemplo Demostrar:
Solución.
Tangente de identidad
Fórmulas
Ahora vamos a construir tan dividiendo el primer término en el
numerador por eos cos β. Pero entonces tenemos que dividir cada término por
cos cos β:
Eso es lo que queríamos demostrar.
Doble ángulo de fórmulas
Prueba
Hay tres versiones de cos 2 . El primero es en términos de cos y el pecado . La segunda es sólo en términos de cos . El tercero es sólo en términos de pecado
Ejemplo 4:. Mostrar sen 2
Solución.
sen 2
= 2 sen cos
Fórmulas
Ahora vamos a construir tan dividiendo por cos . Sin embargo, para preservar la igualdad, también hay que multiplicar por cos .
Lección 5 de Álgebra
identidades Recíproca
identidades de Pitágoras
Eso es lo que queríamos demostrar.
5. Mostrar Ejemplo: sen x
Solución.
sen x
– De acuerdo con la identidad anterior con =
x
2
.
ángulo de media fórmulas
La mitad del ángulo fórmulas de seguimiento son inversiones de las fórmulas de ángulo doble , porque es la mitad de 2 .
El signo más o menos dependerá del cuadrante. Bajo el radical, el coseno tiene el signo +, el seno, el signo -.
Prueba
Ejemplo 6. Evaluar cos
π
8
.
Solución. Desde π
8
es un medio de π
4
, Entonces, de acuerdo a la fórmula del ángulo medio :
Tema 4
Lección 23 del Álgebra
Lección 27 del Álgebra
Productos como las cantidades
a)
el pecado cos β
=
½ [pecado ( + Β) + sen ( – Β)]
b)
cos β pecado
=
½ [pecado ( + Β) – sen ( – Β)]
c)
cos cos β
=
½ [cos ( + Β) + cos ( – Β)]
d)
el pecado β pecado
=
– ½ [cos ( + Β) – cos ( – Β)]
Prueba
Las sumas que los productos
e)
Un pecado pecado + B
=
2 ½ sen (A + B) ½ cos (A – B)
f)
Un pecado – el pecado B =
2 ½ sen (A – B) ½ cos (A + B)
g)
eos A eos + B
=
2 ½ cos (A + B) ½ cos (A – B)
h)
eos A – eos B
=
-2 ½ sen (A + B) y medio el pecado (A – B)
En las pruebas, el estudiante verá que las identidades e) al h) son inversiones de a) hasta d) , respectivamente, que se demostró en primer lugar. La identidad f) se utiliza para probar uno de los principales teoremas del cálculo, es decir, la derivada de sen x.
El estudiante no debe tratar de memorizar estas identidades. La práctica de sus pruebas – y viendo que vienen de las fórmulas de suma y la diferencia – es suficiente.
Identidades Trigonometricas
Se tratan de igualdades en las que intervienen funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones intervinientes.
¿Por qué son importantes las identidades trigonométricas?
Sin dudas una de las mayores relevancias es por su uso para simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas.
También se utilizan en el cálculo de integrales de funciones no-trigonométricas ya que por medio de la regla de sustitución es posible reemplazar la función a integrar por una función trigonométrica que resulte más simple de integrar.
Recuerda que para demostrar identidades, no sólo debo contar con los conocimientos básicos de trigonometría, sino también con el conocimiento de operaciones con expresiones algebraicas, factorización productos notables, operaciones con fracciones, entre otros.
En matemáticas, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades, son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo
En matemáticas, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades, son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Bibliografia: http://www.docentes.info/matematica/identidades-trigonometricas.php
Identidades Trigonometricas.
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos.
Identidades trígonométricas fundamentales
Relación seno coseno
cos² α + sen² α = 1
Relación secante tangente
sec² α = 1 + tg² α
Relación cosecante cotangente
cosec² α = 1 + cotg² α
Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones. Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta:
• El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
• Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo.
La palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo, lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
HISTORIA DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas. Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos
En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso.
Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrónomo y matemático al-Battani generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra. Fue durante el mismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y coseno. Eso permitió a Ghiyath al-Kashi, matemático de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulación durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por François Viète quien, al parecer, lo redescubrió independientemente. Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones trigonométricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno.
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Geometría y Trigonometría 
Identidades trigonométricas
En matemáticas, las identidades trigonométricas verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades,abc son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Notación: se define cos2α, sen2α, otros; tales que sen2α es (sen α)2.
Bibliografia: http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas
Identidades trígonométricas fundamentales
Relación seno coseno
cos² α + sen² α = 1
Relación secante tangente
sec² α = 1 + tg² α
Relación cosecante cotangente
cosec² α = 1 + cotg² α
tu trabajo ya se acepto
Identidades trigonométricas:
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
bibliografia:
http://matematica.laguia2000.com/general/identidades-trigonometricas
Identidades trigonometricas:
En matemáticas, las identidades trigonométricas verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades,abc son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Historia
Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.[1] Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos
En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso.
Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrónomo y matemático al-Battani[3] generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra.[4] [5] Fue durante el mismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y coseno. Eso permitió a Ghiyath al-Kashi,[6] matemático de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulación durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por François Viète quien, al parecer, lo redescubrió independientemente.[7]
Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones trigonométricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno.[8]
Demostración
El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.
Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene
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Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes
Identidades trigonometricas
Una identidad trigonometrica es una igualdad que tiene expresiones trigonometricas que se cumplen para cualquier valor del angulo.
Las identidades trigonometricas se clasifican en pitagoricas por cociente, reciprocas e inversas.
Todas las identidades no pitagoricas se pueden obtener del circulo trigonometrigo.
Identidades trigonometricas:
INVERSAS-la inversa de la diametralmente opuesta
RECIPROCAS-el producto de las contiguas
POR COCIENTE-el cociente de las siguientes.
BIBLIOGRAFIA
Mi cuaderno
La base del estudio de este inciso está en las siguientes 11 fórmulas que a continuación se van a
deducir, llamadas fórmulas trigonométricas.
Se parte de las definiciones elementales (las cuales se estudiaron en la secundaria) de cada una
de las funciones trigonométricas, referidas a la figura 31.
;
y
sen
r
θ =
x
cos
r
θ =
;
y
tan
x
θ =
x
cot
y
θ =
;
r
sec
x
θ =
r
csc
y
θ =
3.1.1) FÓRMULAS DE LOS INVERSOS O DE LOS RECÍPROCOS
Un número es el inverso de otro, respecto de cierta operación, si al operar ambos entre sí dan
como resultado el elemento neutro de esa operación.
Por ejemplo: en la suma el elemento neutro es el cero, ya que el cero no altera o deja inalterado
a todo número. De manera que el inverso del número + 14 es el – 14, ya que al operar ambos dan
como resultado el cero (el elemento neutro de la suma). Por eso se le llama inverso aditivo . En
la multiplicación, el elemento neutro es el uno, ya que el uno deja inalterado en la multiplicación a cualquier número. De manera que el inverso de 8 es 1/8, ya que al multicarlos da como resultado el uno (el elemento neutro de la multiplicación). Por eso se le llama inverso multiplicativo .
Un sinónimo de inverso multiplicativo es recíproco .
De tal manera que el significado que a las siguientes seis fórmulas se le va a dar al término inverso es el de inverso multiplicativo , o sea que multiplicadas entre sí dan el elemento neutro de
la multiplicación: el uno. Por otra parte, cabe recordar que si un número n es el inverso multiplicativo de otro número m, lo que significa que nm = 1.
BIBLIOGRAFIA
Haz clic para acceder a identidades%20trigonometricas.pdf
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos.
En matemáticas, las identidades trigonométricas verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades,abc son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. esto es algo muy comun en casos inciertos importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Notación: se define cos2α, sen2α, otros; tales que sen2α es (sen α)2.
Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.1 Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos:
«En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso.»
BIBLIOGRAFIA:
http://matematica.laguia2000.com/general/identidades-trigonometricas
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
De acuerdo al teorema de pitágoras :
Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad:
Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:
Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad:
Su solución :
Otra de las identidades trigonométricas sería la de división:
Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos:
Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, aquí las tenemos:
Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos:
Identidades trigonométricas de ángulo doble:
Identidades trigonométricas de mitad de ángulo:
Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas :
.
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos.
En matemáticas, las identidades trigonométricas verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades,abc son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. esto es algo muy comun en casos inciertos importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Notación: se define cos2α, sen2α, otros; tales que sen2α es (sen α)2.
Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.1 Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos:
«En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso.»
BIBLIOGRAFIA:
http://matematica.laguia2000.com/general/identidades-trigonometricas
http://www.youtube.com
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
De acuerdo al teorema de pitágoras :
Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad:
Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:
Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad:
Su solución :
Otra de las identidades trigonométricas sería la de división:
Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos:
Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, aquí las tenemos:
Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos:
Identidades trigonométricas de ángulo doble:
Identidades trigonométricas de mitad de ángulo:
Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas :
¿De donde se origina?
1) recordando:
multiplicando
Sabemos que:
el la primera ecuación transponemos y en la segunda
De tal manera que obtendremos:
aplicando esto en la ecuación inicial
multiplicando
De una manera análoga se halla el segundo teorema.
Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.1 Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos:
Siendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C, y BH la altura respecto del vértice B (cf. Fig. 2 contigua), la notación moderna permite formular el enunciado así:
Fig. 2 – Triángulo ABC con altura BH.
Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrónomo y matemático al-Battani3 generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra.4 5 Fue durante el mismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y coseno. Eso permitió a Ghiyath al-Kashi,6 matemático de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulación durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por François Viète quien, al parecer, lo redescubrió independientemente.7
Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones trigonométricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno
bibliografia:
http://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_1.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas#.C2.BFDe_donde_se_origina.3F
videografia:
TRIGONOMÉTRICAS IDENTIDADES.
UNA IDENTIDAD es una igualdad que es cierto para cualquier valor de la variable. (Una ecuación es una igualdad que es cierto sólo para ciertos valores de la variable.)
En álgebra, por ejemplo, tenemos esta identidad:
(X + 5) (x – 5) = x ² – 25.
La importancia de una identidad es que, en el cálculo, podemos reemplazar cualquiera de los miembros de la identidad con el otro. Utilizamos una identidad para dar una expresión de una forma más conveniente. En el cálculo y todas sus aplicaciones, las identidades trigonométricas son de vital importancia.
En esta página, vamos a presentar la identidad principal. El estudiante no tendrá mejor manera de practicar el álgebra que por probarlos. Enlaces a las pruebas aparecen a continuación.
Una vez más, el punto sobre la identidad es que, en el cálculo, podemos reemplazar cualquiera de los miembros de la identidad con el otro. Así, si vemos
«Pecado θ», entonces podemos, si queremos, sustituirlo por »
1
csc θ
«, Y,
simétricamente, si vemos » 1
csc θ
«, Entonces podemos reemplazarlo con» θ pecado
Bibliografia:
http://www.themathpage.com/atrig/trigonometric-identities.htm
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
De acuerdo al teorema de pitágoras :
Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la iguiente identidad:
Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:
Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad:
Su solución :
Otra de las identidades trigonométricas sería la de división:
Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos:
Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de os ángulos, aquí las tenemos:
Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos:
Identidades trigonométricas de ángulo doble:
Identidades trigonométricas de mitad de ángulo.
Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas :
Estas identidades,abc son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. esto es algo muy comun en casos inciertos importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Notación: se define cos2α, sen2α, otros; tales que sen2α es (sen α)2.
Tal como sucede con muchos elementos de las matemáticas, los conceptos existen desde épocas antiguas en las que los filósofos griegos ya habían establecido las nociones de funciones y valors de los ángulos de las figuras geométricas. Estos conceptos serían mejorados recién en la Modernidad, en el siglo XVII cuando se notaron de manera algebraica para poder realizar todo tipo de cálculos entre los diferentes ángulos.
Las identidades trigonométricas pueden ser definidas en términos generales como todas las variables posibles de ángulos que pueden existir en una figura geométrica. Estas identidades se representan siempre a partir de las letras griegas tales como alfa, beta, omega, etc. También se utilizan elementos como los grados centígrados para establecer las variables de cada identidad. Las más conocidas son las que se establecen entre seno y coseno, seno y tangente, etc. Las identidades trigonométricas son formas simplificadas que permiten realizar y conocer las diferentes funciones de la trigonometría. Todas estas cuestiones de las matemáticas, más específicamente de la trigonometría, sirven para organizar los diferentes cálculos que se deben realizar a partir de las funciones específicas de cada tipo de datos. Las identidades trigonométricas son muy variables y permiten tener diferentes posibilidades para representar cada función trigonométrica (es decir, los valores) de maneras variadas y específicas de acuerdo a cada caso.
Bibliografía
http://www.definicionabc.com/ciencia/identidades-trigonometricas.php
videografía
Identidades trígonométricas fundamentales.
Relación seno coseno
cos² α + sen² α = 1
Relación secante tangente
sec² α = 1 + tg² α
Relación cosecante cotangente
cosec² α = 1 + cotg² α
Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos
Razones trigonométricas del ángulo doble
Razones trigonométricas del ángulo mitad
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
Imagen 1 :
video1:
video2:
Bibliografía:
http://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_1.html
–Alexa Espino Solis–
Identidades trigonométricas.
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
De acuerdo al teorema de pitágoras :
las seis funciones circulares también llamadas funciones trigonométricas son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Denotadas respectivamente por: sen x, cos x, tan x, cot x, sec x, y csc x.
Definición: Si x es un número real y (a, b) son coordenadas del punto circular P(x), entonces las seis funciones circulares o trigonométricas se definen como:
Con esta definición podemos evaluar las seis funciones trigonométricas de los puntos
Ejemplos para discusión: Evaluar las seis funciones trigonométricas para:
1) P(0) : P(0) = (1, 0), donde a = 1 y b = 0
Ejercicio de práctica: Evalúa las seis funciones trigonométricas de:
Identidades básicas:
Al observar la definición de las funciones circulares (trigonométricas) que cos x = a y sen x = b se puede obtener las siguientes identidades:
bibliografía:
http://matematica.laguia2000.com/general/identidades-trigonometricas
http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/TRIG2.htm
videografía:
–Alexa Espino Solis 2 H-
En matemáticas, las identidades trigonométricas verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades,abc son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. esto es algo muy comun en casos inciertos importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Notación: se define cos2α, sen2α, otros; tales que sen2α es (sen α)2.
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/pitágoras.bmp
De acuerdo al teorema de pitágoras :
http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/pitag33.bmp
Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad:
http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/uno.bmp
Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:
Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad:
http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/tres.bmp
Su solución :
Otra de las identidades trigonométricas sería la de división:
Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos:
Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, aquí las tenemos:
Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos:
Identidades trigonométricas de ángulo doble:
Identidades trigonométricas de mitad de ángulo:
Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas :
Identidades Trigonometricas:
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
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De acuerdo al teorema de pitágoras :
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Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad:
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Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:
Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad:
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Su solución :
Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos:
Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, aquí las tenemos:
Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos:
Identidades trigonométricas de ángulo doble:
Identidades trigonométricas de mitad de ángulo:
Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas:
Bibliografia:
http://matematica.laguia2000.com/general/identidades-trigonometricas
Videografia:
Identidades Trigonometricas
La palabra identidad significa que existe una igualdad entre letras que se cumple con cuales quiera que sean los valores numericos que se les asigne a estas. Las identidades son las igualdades de expresan las propiedades de las operaciones o de los simbolos operativos.
Para las funciones trigonometricas existen 8 identidades fundamentales que se pueden ordenar en 3 grupos.
Identidades reciprocas
1) sen- cos=1
2)cos-sec=1
3)tan-cot=1
Identidades de Divisiòn
4)tan=sen/cos
5)cot=cos/sen
Identidades Pitagoricas
6)sen2 + cos2 =1
7)1 + tan2=sec2
8)1 + cot2=csc2
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
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De acuerdo al teorema de pitágoras :
http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/pitag33.bmp
Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad:
http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/uno.bmp
Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:
Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad:
http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/tres.bmp
Su solución :
Otra de las identidades trigonométricas sería la de división:
Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos:
Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, aquí las tenemos:
Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos:
Identidades trigonométricas de ángulo doble:
Identidades trigonométricas de mitad de ángulo:
Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas :
Identidades de Ángulos Generales
En este caso y las identidades son:
(Recuerde que si se utiliza el círculo unitario r =1)
Identidades Trigonométricas Fundamentales
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4. 8.
Identidades Pares e Impares
1. 2. 3.
4. 5. 6.
Formulas de Adición y Substracción de Ángulos
1.
2.
3.
Relación seno coseno
Relación seno coseno
Relación seno coseno
Relación seno coseno
Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos
Razones trigonométricas del ángulo doble
Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
Identidades trigonométricas.
En matemáticas, las identidades trigonométricas verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades,abc son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. esto es algo muy comun en casos inciertos importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
De acuerdo al teorema de pitágoras :
Identidades Trigonometricas
La palabra identidad significa que existe una igualdad entre letras que se cumple con cuales quiera que sean los valores numericos que se les asigne a estas. Las identidades son las igualdades de expresan las propiedades de las operaciones o de los simbolos operativos.
Para las funciones trigonometricas existen 8 identidades fundamentales que se pueden ordenar en 3 grupos.
Identidades reciprocas
1) sen- cos=1
2)cos-sec=1
3)tan-cot=1
Identidades de Divisiòn
4)tan=sen/cos
5)cot=cos/sen
Identidades Pitagoricas
6)sen2 + cos2 =1
7)1 + tan2=sec2
8)1 + cot2=csc2
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
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De acuerdo al teorema de pitágoras :
http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/pitag33.bmp
Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad:
http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/uno.bmp
Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:
Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad:
http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/tres.bmp
Su solución :
Otra de las identidades trigonométricas sería la de división:
Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos:
Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, aquí las tenemos:
Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos:
Identidades trigonométricas de ángulo doble:
Identidades trigonométricas de mitad de ángulo:
Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas :
Identidades Trigonométricas Fundamentales
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4. 8.
Identidades Pares e Impares
1. 2. 3.
4. 5. 6.
Formulas de Adición y Substracción de Ángulos
1.
2.
3.
Relación seno coseno
Relación seno coseno
Relación seno coseno
Relación seno coseno
Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos
Razones trigonométricas del ángulo doble
Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
Identidades Trigonometricas
La palabra identidad significa que existe una igualdad entre letras que se cumple con cuales quiera que sean los valores numericos que se les asigne a estas. Las identidades son las igualdades de expresan las propiedades de las operaciones o de los simbolos operativos.
Para las funciones trigonometricas existen 8 identidades fundamentales que se pueden ordenar en 3 grupos.
Identidades reciprocas
1) sen- cos=1
2)cos-sec=1
3)tan-cot=1
Identidades de Divisiòn
4)tan=sen/cos
5)cot=cos/sen
Identidades Pitagoricas
6)sen2 + cos2 =1
7)1 + tan2=sec2
8)1 + cot2=csc2
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
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De acuerdo al teorema de pitágoras :
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Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad:
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Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:
Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad:
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Su solución :
Otra de las identidades trigonométricas sería la de división:
Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos:
Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, aquí las tenemos:
Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos:
Identidades trigonométricas de ángulo doble:
Identidades trigonométricas de mitad de ángulo:
Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas :
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
1.
o Son relaciones de igualdad entre funciones trigonométricas que se verifican para todo valor de la variable angular, siempre y cuando, la función trigonométrica este definida en dicho valor angular.
2. Identidades Reciprocas
o Sen x = 1/ csc x
o Cos x = 1/ sec x
o Csc x = 1/ sen x
o Sec x = 1/ cos x
o Tg x = 1/ cotg x
o Ctg x =1/ tg x
3. Identidades por cociente
o Tg x = sen x / cos x
o Ctg x = cos x / sen x
4. Identidades Pitagóricas
o Sen ² x + Cos ² x =1
o Tan ² x + 1 = Sec ² x
o 1 + Cot ² x = Csc ² x
5. Identidades Auxiliares
o sen 4 x + cos 4 x = 1-2sen ² x . cos ² x
o sen 6 x + cos 6 x= 1-3sen ² x . cos ² x
o tgx + cotx = secx . cscx
o sec ² x + csc ² x = sec ² x . csc ² x
Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
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Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad:
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Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:
Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad:
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Su solución :
Otra de las identidades trigonométricas sería la de división
Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos:
Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, aquí las tenemos:
Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, aquí las tenemos:
Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos:
Identidades trigonométricas de ángulo doble:
Identidades trigonométricas de mitad de ángulo:
Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas
Bibliografia:
http://matematica.laguia2000.com/general/identidades-trigonometricas
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.
1.
o Son relaciones de igualdad entre funciones trigonométricas que se verifican para todo valor de la variable angular, siempre y cuando, la función trigonométrica este definida en dicho valor angular.
2. Identidades Reciprocas
o Sen x = 1/ csc x
o Cos x = 1/ sec x
o Csc x = 1/ sen x
o Sec x = 1/ cos x
o Tg x = 1/ cotg x
o Ctg x =1/ tg x
3. Identidades por cociente
o Tg x = sen x / cos x
o Ctg x = cos x / sen x
4. Identidades Pitagóricas
o Sen ² x + Cos ² x =1
o Tan ² x + 1 = Sec ² x
o 1 + Cot ² x = Csc ² x
5. Identidades Auxiliares
o sen 4 x + cos 4 x = 1-2sen ² x . cos ² x
o sen 6 x + cos 6 x= 1-3sen ² x . cos ² x
o tgx + cotx = secx . cscx
o sec ² x + csc ² x = sec ² x . csc ² x
Bibliografia:
http://matematica.laguia2000.com/general/identidades-trigonometricas
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
cos a = b/c
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
sin(a)=b/C
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
Imagen:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
sen2 8+1=sec2 8
1+cot2 8=csc2 8
De acuerdo al teorema de pitágoras :
Ahora veremos
ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad:
cos 8 sec 8=1
Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:
cos 8 sec8=cos8(1/cos8)=1
Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad:
(1+sec 8)(1-sen 8)=1/sec 8
Su solución :
(1+sen 8)(1-sen 8)=1-sen2 8
=cos2 8
=1/sec2 8
Otra de las identidades trigonométricas sería la de división:
tan(a)=sen(a)/cos(a)
Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos:
sen(a+B)=sen a cos B + cos a sen B
Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, aquí las tenemos:
sen a-sen B=2sen(a-B/2)cos(a+B/2)
Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos:
sen(a)sen(B)=cos(a-B)-cos(a+B)/2
Identidades trigonométricas de ángulo doble:
cos2a=cos2a – sen2 a
Identidades trigonométricas de mitad de ángulo:
sen(a/2)=(raíz de) 1-cos a/2
Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas :
Cos ( (pi) /2-a)=sen a
IMAGEN:
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.
En matemáticas, las identidades trigonométricas verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades,abc son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. esto es algo muy comun en casos inciertos importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Notación: se define cos2α, sen2α, otros; tales que sen2α es (sen α)2.
Todas las funciones en O.
Identidades trigonométricas fundamentales, y cómo convertir de una función trigonométrica a otra.
Relaciones básicas
Relación pitagórica
Identidad de la razón
De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si , la conversión propuesta en la tabla indica que , aunque es posible que . Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.
Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.
sen
cos
tan
cot
sec
csc
De las definiciones de las funciones trigonométricas:
Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):
A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:
Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).
Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos², se tiene:
Calculando la recíproca de la expresión anterior:
Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:
y análogamente con las restantes funciones .
== Teoremas de la
Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.
De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:
Para ángulos complementarios:
Para ángulos opuestos:
Identidades del ángulo múltiple
Si Tn es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces
Fórmula de De Moivre:
Identidades del ángulo doble, triple y medio
Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea ) en las identidades anteriores, y usando Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando n = 2.
Fórmula del ángulo doble
Fórmula el ángulo triple
Fórmula del ángulo medio
Producto infinito de Euler
Identidades para la reducción de exponentes
Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sin²(x).
Seno
Coseno
Otros
Paso de producto a suma
Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.
Deducción de la identidad
Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:
Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:
1):
2):
Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:
3):
Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en el lado derecho de la ecuación 3). (Recuerda que si se suma un elemento a ambos lados de la ecuación se mantiene la misma), quedaría:
Simplificando el elemento sin(x)sin(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría:
2cos(x)cos(y) = cos(x + y) + cos(x − y)
Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda:
Nota 1: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.
Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene también:
Notar el cambio de signo.
Paso de suma a producto
Reemplazando x por (a + b) / 2 y por (a – b) / 2 en las identidades de producto a suma, se tiene:
Paso de diferencia de cuadrados a producto
¿De donde se origina?
1) recordando:
multiplicando
Sabemos que:
el la primera ecuación transponemos y en la segunda
De tal manera que obtendremos:
aplicando esto en la ecuación inicial
multiplicando
De una manera análoga se halla el segundo teorema.
Eliminar seno y coseno
A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.
Funciones trigonométricas inversas
Composición de funciones trigonométricas
Fórmula de productos infinitos
Seno Coseno
Fórmula de Euler
Historia
Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas. Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos:
«En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso.»
Euclides, Elementos.
Siendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C, y BH la altura respecto del vértice B (cf. Fig. 2 contigua), la notación moderna permite formular el enunciado así:
Fig. 2 – Triángulo ABC con altura BH.
Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrónomo y matemático al-Battani generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra. Fue durante el mismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y coseno. Eso permitió a Ghiyath al-Kashi, matemático de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulación durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por François Viète quien, al parecer, lo redescubrió independientemente.
Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones trigonométricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno.
Teorema del seno
En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados a, b y c y el seno de sus respectivos ángulos opuestos A, B y C
Demostración
El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.
Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.
Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene
donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:
Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.
La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:
Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:
Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:
En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.
b = qa + c − 2abcosb
Aplicación
El teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del triángulo y dos ángulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados.
Definiciones exponenciales
Función
Función inversa
BIBLIOGRAFIA:
http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas
VIDEOGRAFIA:
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/pit%C3%A1goras.bmp
BIBLIOGRAFIA
http://matematica.laguia2000.com/general/identidades-trigonometricas
En matemáticas, las identidades trigonométricas verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades,abc son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. esto es algo muy comun en casos inciertos importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Notación: se define cos2α, sen2α, otros; tales que sen2α es (sen α)2.
Identidades trigonométricas
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Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
sen(-x) = -sen(x)
csc(-x) = -csc(x)
cos(-x) = cos(x)
sec(-x) = sec(x)
tan(-x) = -tan(x)
cot(-x) = -cot(x)
BIBLIOGRFIA:
http://www.youtube.com
http://matematica.laguia2000.com/general/identidades-trigonometricas
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS:
Las demostraciones trigonométricas se hacen de tal manera que no utilicen nada dudoso ni nada falso para que la conclusión no sea dudosa o falsa. Todo debe ser cierto sin lugar a dudas para que la demostración sea válida. ¿Y qué es cierto sin lugar a dudas?: Por una parte, las once fórmulas anteriores lo son, pues por eso se dedujeron paso a paso para verificar su validez y veracidad; por otra parte, toda identidad es cierta sin lugar a dudas por ser axiomática. Una identidad es cualquier cosa igual a sí misma. Axiomático es aquello tan evidente que no requiere demostración.
De tal manera que las anteriores once fórmulas son la base de las demostraciones que a continuación se estudiarán. Para demostrar una proposición trigonométrica debe transformarse, ya sea por sustituciones de cualquiera de las fórmulas o por pasos algebraicos válidos, de manera que se llegue a una igualdad que sin duda alguna sea cierta, es decir, que lo escrito del lado izquierdo sea realmente igual a lo escrito del lado derecho.
Un recurso muy útil en la demostración de igualdades trigonométricas, es pasar todas las funciones
a senos y/o cosenos, en virtud de que las seis pueden expresarse en términos de éstas, ya
que la tangente es igual a seno entre coseno ; la cotangente es igual a coseno entre seno ; la
secante es igual a uno entre coseno y la cosecante es igual a uno entre seno.
Una vez pasadas todas las funciones a senos y/o cosenos, se hacen las simplificaciones algebraicas posibles y, en caso necesario, se emplean nuevamente cualesquiera de las once fórmulas para transformar la igualdad propuesta en una igualdad que sea cierta sin lugar a dudas.
BINOMIOS CONJUGADOS
De los 2 despejes que es posible hacer en cada una de las tres fórmulas de los cuadrados (ver
página 55), se obtiene en cada caso una diferencia de cuadrados, que por las reglas del Álgebra
se pueden factorizar en dos binomios conjugados, como se muestra a continuación:
sen2x = 1 – cos2x = (1 – cos x)(1 + cos x) (9.1)
cos2x = 1 – sen2x = (1 – sen x)(1 + sen x) (9.2)
1 = sec2x – tan2x = (sec x – tan x)(sec x + tan x) (10.1)
tan2x = sec2x – 1 = (sec x – 1)(sec x + 1) (10.2)
1 = csc2x – cot2x = (csc x – cot x)(csc x + cot x) (11.1)
cot2x = csc2x – 1 = (csc x – 1)(csc x + 1) (11.2)
1 tan x sec
sec x= − +
Y efectivamente, ¡ya apareció el otro binomio!. Entonces lo que conviene es «juntarlos»,
o sea multiplicarlos, pues el denominador queda (no se dijo que pasa) multiplicando en
el lado derecho (ver cuadro de la página 57):
tan2x = (sec x – 1)(sec x + 1)
multiplicando los binomios del lado derecho:
tan2x = sec2x – 1
o bien
tan2x + 1 = sec2x T
con lo que queda demostrad
El denominador (sec x + 1) es uno de los dos binomios conjugados que aparecen en el
cuadro de la página 57, en la fórmula (10.2), por lo que es conveniente, aplicando la
propiedad de las fracciones si se multiplica el numerador y el denominador por la misma
cantidad, la fracción no se altera, multiplicar numerador y denominador por sec x –
1 , o sea su binomio conjugado respectivo para obtener la diferencia de cuadrados que,
a su vez, es igual a tan2 x , según la fórmula (10.2),
fórmulas para transformar la igualdad propuesta en una igualdad que sea cierta sin lugar a dudas.
BINOMIOS CONJUGADOS
De los 2 despejes que es posible hacer en cada una de las tres fórmulas de los cuadrados (ver
página 55), se obtiene en cada caso una diferencia de cuadrados, que por las reglas del Álgebra
se pueden factorizar en dos binomios conjugados, como se muestra a continuación:
sen2x = 1 – cos2x = (1 – cos x)(1 + cos x) (9.1)
cos2x = 1 – sen2x = (1 – sen x)(1 + sen x) (9.2)
1 = sec2x – tan2x = (sec x – tan x)(sec x + tan x) (10.1)
tan2x = sec2x – 1 = (sec x – 1)(sec x + 1) (10.2)
1 = csc2x – cot2x = (csc x – cot x)(csc x + cot x) (11.1)
cot2x = csc2x – 1 = (csc x – 1)(csc x + 1) (11.2)
1 tan x sec
sec x= − +
Y efectivamente, ¡ya apareció el otro binomio!. Entonces lo que conviene es «juntarlos»,
o sea multiplicarlos, pues el denominador queda (no se dijo que pasa) multiplicando en
el lado derecho (ver cuadro de la página 57):
tan2x = (sec x – 1)(sec x + 1)
multiplicando los binomios del lado derecho:
tan2x = sec2x – 1
o bien
tan2x + 1 = sec2x T
Identidades trigonométricas fundamentales, y cómo convertir de una función trigonométrica a otra.
En matemáticas, las identidades trigonométricas verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades,abc son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. esto es algo muy comun en casos inciertos importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Notación: se define cos2α, sen2α, otros; tales que sen2α es (sen α)2.
Contenido:
• 1 Relaciones básicas
• 2 Identidades del ángulo múltiple
2.1 Identidades del ángulo doble, triple y medio
2.2 Producto infinito de Euler
• 3 Identidades para la reducción de exponentes
• 4 Paso de producto a suma
o 4.1 Deducción de la identidad
Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un diferente idntidad
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
Las siguientes identidades se cumplen para cualquier ángulo en el cual el denominador no sea cero. Estas son identidades recíprocas:
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/pit%C3%A1goras.bmp
De acuerdo al teorema de pitágoras :
http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/pitag33.bmp
Ahora veremos algunos ejemplos. Como primer ejemplo verificaremos la siguiente identidad:
http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/uno.bmp
Obtendremos la solución utilizando las identidades recíprocas:
Observemos también el siguiente ejemplo, en el cual verificaremos otra identidad:
http://matematica.laguia2000.com/wp-content/uploads/2010/04/tres.bmp
Su solución :
Otra de las identidades trigonométricas sería la de división:
Las siguientes identidades serían las de suma y diferencia de dos ángulos:
Tenemos también las identidades de suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos, aquí las tenemos:
Identidad trigonométrica de producto del seno y el coseno de dos ángulos:
Identidades trigonométricas de ángulo doble:
Identidades trigonométricas de mitad de ángulo:
Por último observaremos algunas otras identidades trigonométricas :
Video
Bibliografia
http://matematica.laguia2000.com/general/identidades-trigonometricas
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Las identidades permiten plantear la misma expresion de diferentes maneras. Con frecuencia es posible volver a escribir de una manera mucho mas simple una expresión que se ve complicada. Para simplificar las expresiones algebraicas, usamos la factorizacion, denominadores comunes y las formulas de productos especiales. Para simplificar expresiones trigonometricas usamos estas mismas tecnicas junto con las identidades trigonometricas fundamentales.
En trigonometría existen seis identidades fundamentales:Una identidad trigonometrica es la relacion entre funciones trigonometricas. Las mas elementales son las siguienes, que son consecuencia inmediatas de las definiciones de dichas funciones
uchas identidades provienen de las identidades fundamentales. Primero es facil decidir cuando una ecuacion no es una identidad. Todo lo que necesitamos hacer es demostrar que la ecuacion no se cumple para algnos valores de la variable( o variables) por consiguiente, la ecuacion:
no es una identidad,porque cuando x= π/4 tenemos
Para comprobar que una ecuacion trigometrica es una identidad, transformamos un miembro de la ecuacion en el otro mediante una serie de pasos, cada uno de los cuales es en si mismo una identidad.
Identidades Trigonometricas:
sen2x + cos2x = 1
1 + tan2x = sec2x
1 + cot2x = csc2x
tan x = sen x / cos x
csc x = 1 / sen x
sec x = 1 / cos x
cot x = 1/ tan x = cosx/senx
1 + cotg²a = cosec²a
sin (a + b) = sina · cosb + cosa· sinb
cos (a + b) = cosa · cosb – sina· sinb
sin (a – b) = sina · cosb – cosa· sinb
cos (a – b) = cosa · cosb + sina· sinb
sin2a = 2sina · cosa
cos2a = cos²a – sin²a tg2a = 2tga / 1-tg²a
sin(a/2) = ±a(1-cosa)/(2) cos(a/2) = ±a(1+cosa)/(2)
tg(a/2) = ±a(1-cosa)/(1+cosa)
sinA+sinB =2 · sin(A+B)/2 · cos(A-B)/2
sinA-sinB =2 · cos (A+B)/2· sin(A-B)/2
cosA+cosB =2 · cos(A+B)/2 · cos(A-B)/2
cosA-cosB =-2 · sin(A+B)/2 · sin(A-B)/2
cos a = cat ady / hip => sec a sen a = cat op / hip => cosec a
tan a = cat op / cat ady => cotg a sen a / cos a
dentidades trigonométricas es un concepto que se utiliza en el ámbito de las matemáticas para hacer referencia a las funciones trigonométricas variables que pueden encontrarse en una figura geométrica. La trigonometría es la rama de las matemáticas que se especializa en el análisis y estudio de los triángulos, especialmente en las formas, significados y valores de los diferentes ángulos que pueden existir. Las identidades trigonométricas serán, entonces, los resultantes de esos valores que son variables y muy diversos entre uno y otro.
Tal como sucede con muchos elementos de las matemáticas, los conceptos existen desde épocas antiguas en las que los filósofos griegos ya habían establecido las nociones de funciones y valors de los ángulos de las figuras geométricas. Estos conceptos serían mejorados recién en la Modernidad, en el siglo XVII cuando se notaron de manera algebraica para poder realizar todo tipo de cálculos entre los diferentes ángulos.
Las identidades trigonométricas pueden ser definidas en términos generales como todas las variables posibles de ángulos que pueden existir en una figura geométrica. Estas identidades se representan siempre a partir de las letras griegas tales como alfa, beta, omega, etc. También se utilizan elementos como los grados centígrados para establecer las variables de cada identidad. Las más conocidas son las que se establecen entre seno y coseno, seno y tangente, etc. Las identidades trigonométricas son formas simplificadas que permiten realizar y conocer las diferentes funciones de la trigonometría. Todas estas cuestiones de las matemáticas, más específicamente de la trigonometría, sirven para organizar los diferentes cálculos que se deben realizar a partir de las funciones específicas de cada tipo de datos. Las identidades trigonométricas son muy variables y permiten tener diferentes posibilidades para representar cada función trigonométrica (es decir, los valores) de maneras variadas y específicas de acuerdo a cada caso.
imagen
Video
Bibliografia
http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Identidades_trigonometricas
http://www.xuletas.es/ficha/identidades-trigonometricas/
http://www.definicionabc.com/ciencia/identidades-trigonometricas.php
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones. Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo, lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos.
http://matematica.laguia2000.com/general/identidades-trigonometricas
Identidades trigonométricas:N es una igualdad que es cierto para cualquier valor de la variable. (Una ecuación es una igualdad que es cierto sólo para ciertos valores de la variable.)
En álgebra, por ejemplo, tenemos esta identidad:
(X + 5) (x – 5) = x ² – 25.
La importancia de una identidad es que, en el cálculo, podemos reemplazar cualquiera de los miembros de la identidad con el otro. Utilizamos una identidad para dar una expresión de una forma más conveniente. En el cálculo y todas sus aplicaciones, las identidades trigonométricas son de vital importancia.
En esta página, vamos a presentar la identidad principal. El estudiante no tendrá mejor manera de practicar el álgebra que por probarlos. Enlaces a las pruebas aparecen a continuación.
identidades Recíproca
θ pecado
=
1
csc θ
csc θ
=
1
θ pecado
cos θ
=
1
sec θ
sec θ
=
1
cos θ
tan θ
=
1
θ cuna
θ cuna
=
1
tan θ
Prueba
Una vez más, el punto sobre la identidad es que, en el cálculo, podemos reemplazar cualquiera de los miembros de la identidad con el otro. Así, si vemos
«Pecado θ», entonces podemos, si queremos, sustituirlo por »
1
csc θ
«, Y,
simétricamente, si vemos » 1
csc θ «, Entonces podemos reemplazarlo con» θ pecado «.
Tangente y cotangente identidades
tan θ =
θ pecado
cos θ
Cuna θ =
cos θ
θ pecado
Prueba
identidades de Pitágoras
a)
pecado ² θ + cos ² θ
=
1
b)
1 + tan ² θ
=
seg ² θ
c)
1 + cot ² θ
=
csc ² θ
a ‘) el pecado ² θ = 1 – cos θ ². cos ² θ = 1 – θ ² pecado.
Éstos se llaman las identidades de Pitágoras, ya que, como veremos en su prueba , que son la versión trigonométrica del teorema de Pitágoras.
Las dos identidades etiquetado como un ‘) – «un alto riesgo» – son simplemente versiones diferentes de una). El primero muestra cómo podemos expresar θ pecado en términos de θ cos, el segundo muestra cómo podemos expresar θ cos θ en términos de pecado.
Nota: el pecado ² θ – «theta cuadrado del seno» – significa (sen θ) ².
1. Mostrar Ejemplo:
Solución: El problema significa que vamos a escribir la mano izquierda, y mostrar a continuación, a través de sustituciones y el álgebra, que podemos transformar a parecerse a la derecha. Comenzamos:
identidades Recíproca
en la adición de las fracciones
identidades de Pitágoras
identidades Recíproca
Eso es lo que quería mostrar.
Suma y las fórmulas de diferencia
el pecado ( + Β) =
el pecado cos β + cos β pecado
el pecado ( – Β)
=
el pecado cos β – cos β pecado
cos ( + Β)
=
cos cos β – sen β pecado
cos ( – Β)
=
cos cos β + sen β pecado
Nota: En las fórmulas de seno, + o – a la izquierda también es + o – a la derecha. Pero en las fórmulas del coseno, + de la izquierda se convierte – a la derecha, y viceversa.
Dado que estas identidades son resultado directo de la geometría, el estudiante no se requiere normalmente para dominar la prueba. Sin embargo, todas las identidades que siguen se basan en las fórmulas de la suma y diferencia. El estudiante debe saber definitivamente.
Para ver la prueba de las fórmulas de resumen, haga clic aquí .
Ejemplo 2. Evaluar el pecado 15 °.
Solución.
el pecado de 15 °
Fórmulas
Temas 4 y 5
3. Ejemplo Demostrar:
Solución.
Tangente de identidad
Fórmulas
Ahora vamos a construir tan dividiendo el primer término en el
numerador por eos cos β. Pero entonces tenemos que dividir cada término por
cos cos β:
Eso es lo que queríamos demostrar.
Doble ángulo de fórmulas
Prueba
Hay tres versiones de cos 2 . El primero es en términos de cos y el pecado . La segunda es sólo en términos de cos . El tercero es sólo en términos de pecado
Ejemplo 4:. Mostrar sen 2
Solución.
sen 2
= 2 sen cos
Fórmulas
Ahora vamos a construir tan dividiendo por cos . Sin embargo, para preservar la igualdad, también hay que multiplicar por cos .
Lección 5 de Álgebra
identidades Recíproca
identidades de Pitágoras
Eso es lo que queríamos demostrar.
5. Mostrar Ejemplo: sen x
Solución.
sen x
– De acuerdo con la identidad anterior con =
x
2
.
ángulo de media fórmulas
La mitad del ángulo fórmulas de seguimiento son inversiones de las fórmulas de ángulo doble , porque es la mitad de 2 .
El signo más o menos dependerá del cuadrante. Bajo el radical, el coseno tiene el signo +, el seno, el signo -.
Prueba
Ejemplo 6. Evaluar cos
π
8
.
Solución. Desde π
8
es un medio de π
4
, Entonces, de acuerdo a la fórmula del ángulo medio :
Tema 4
Lección 23 del Álgebra
Lección 27 del Álgebra
Productos como las cantidades
a)
el pecado cos β
=
½ [pecado ( + Β) + sen ( – Β)]
b)
cos β pecado
=
½ [pecado ( + Β) – sen ( – Β)]
c)
cos cos β
=
½ [cos ( + Β) + cos ( – Β)]
d)
el pecado β pecado
=
– ½ [cos ( + Β) – cos ( – Β)]
Prueba
Las sumas que los productos
e)
Un pecado pecado + B
=
2 ½ sen (A + B) ½ cos (A – B)
f)
Un pecado – el pecado B =
2 ½ sen (A – B) ½ cos (A + B)
g)
eos A eos + B
=
2 ½ cos (A + B) ½ cos (A – B)
h)
eos A – eos B
=
-2 ½ sen (A + B) y medio el pecado (A – B)
En las pruebas, el estudiante verá que las identidades e) al h) son inversiones de a) hasta d) , respectivamente, que se demostró en primer lugar. La identidad f) se utiliza para probar uno de los principales teoremas del cálculo, es decir, la derivada de sen x.
El estudiante no debe tratar de memorizar estas identidades. La práctica de sus pruebas – y viendo que vienen de las fórmulas de suma y la diferencia – es suficiente.
http://www.themathpage.com/atrig/trigonometric-identities.htm
Relación seno coseno
cos² α + sen² α = 1
Relación secante tangente
sec² α = 1 + tg² α
Relación cosecante cotangente
cosec² α = 1 + cotg² α
Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos
Razones trigonométricas del ángulo doble
Razones trigonométricas del ángulo mitad
Transformaciones de sumas en productos
Transformaciones de productos en sumas
http://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_1.html
videos
Relación seno coseno
cos² α + sen² α = 1
Relación secante tangente
sec² α = 1 + tg² α
Relación cosecante cotangente
cosec² α = 1 + cotg² α
Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
bibliografia:
http://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_1.html
videografia:
Identidades Trigonometricas
Se tratan de igualdades en las que intervienen funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones intervinientes.
¿Por qué son importantes las identidades trigonométricas?
Sin dudas una de las mayores relevancias es por su uso para simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas.
También se utilizan en el cálculo de integrales de funciones no-trigonométricas ya que por medio de la regla de sustitución es posible reemplazar la función a integrar por una función trigonométrica que resulte más simple de integrar.
Recuerda que para demostrar identidades, no sólo debo contar con los conocimientos básicos de trigonometría, sino también con el conocimiento de operaciones con expresiones algebraicas, factorización productos notables, operaciones con fracciones, entre otros.
En matemáticas, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades, son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo
En matemáticas, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).
Estas identidades, son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.
Bibliografia:
http://www.docentes.info/matematica/identidades-trigonometricas.php
http://mistrabajosdematematicas.wetpaint.com/page/LAS+IDENTIDADES+TRIGONOMETRICAS
Videografia:
Identidades Trigonometricas.
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa
Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo
Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Mediante estas relaciones si conocemos las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo podemos calcular la medida de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y si conocemos la medida de la hipotenusa y la de un cateto podemos calcular la medida del otro cateto. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos.
Identidades trígonométricas fundamentales
Relación seno coseno
cos² α + sen² α = 1
Relación secante tangente
sec² α = 1 + tg² α
Relación cosecante cotangente
cosec² α = 1 + cotg² α
Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
imagenes:
video:
INDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones. Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.
Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta:
• El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
• Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo.
La palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo, lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.
A partir de las relaciones pitagóricas es posible encontrar otras identidades y demostrar algunas identidades trigonométricas. Entonces diremos que el teorema de Pitágoras es un teorema que se aplica únicamente a triángulos rectángulos, y nos sirve para obtener un lado o la hipotenusa de un triángulo, si es que se conocen los otros dos. Las identidades de relaciones pitagóricas son las siguientes:
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HISTORIA DE LAS IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas. Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos
En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso.
Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrónomo y matemático al-Battani generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra. Fue durante el mismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y coseno. Eso permitió a Ghiyath al-Kashi, matemático de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulación durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por François Viète quien, al parecer, lo redescubrió independientemente. Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones trigonométricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno.
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