Circulo y circunferencia

Definición del círculo:

Un círculo, en geometría, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio. Es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia.
En castellano, la palabra círculo tiene varias acepciones, la primera:[1] una superficie geométrica plana contenida dentro de una circunferencia con área definida; mientras que se denomina circunferencia[2] a la curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo posee longitud. “Aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse la circunferencia (línea curva) con el círculo (superficie)
Imagen: http://antidepresivo.net/wp-content/uploads/2008/02/circulo_rojo.JPG
Definición de la circunferencia:

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanaria llamado centro.
A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.
Imagen:

ELEMENTOS Y CARACTERISTICAS DEL . CIRCULO MATEMATICAS III

CIRCUNFERENCIA : es el conjunto de puntos que administran a un punto fijo llamado centro.
CIRCULO: es toda la superficie en el interior de la circunferencia incluyendo a la misma circunferencia.
RECTA: es una línea infinita en ambos extremos.
SEGMENTO: es una porción de una recta que esta delimitado por 2 dos puntos.
RECTAS NOTABLES DEL CIRCULO
EJEMPLOS: DE RECTAS NOTABLES EN EL CIRCULO
RADIO CENTRO DIAMETRO CUERDA REC.EXTERIOR ARCO REC. SECANTE REC. TANGENTE
ANGULOS EN EL CIRCULO
Circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un mismo punto llamado centro de la circunferencia. El punto centro no pertenece a la circunferencia. La circunferencia se nombra con la letra del centro y un radio.
Círculo es la figura plana formada por una circunferencia más toda su región o área interior
Ejemplos prácticos de una circunferencia: Aro, anillo, hula-hula, borde de vaso, la orilla de un plato, etc.
Perímetro de la circunferencia: 2 p • r p • d
Elementos de la circunferencia
Imagen: http://www.profesorenlinea.cl/imagengeometria/circunferencia015.jpg

Construcción del círculo:

En la superficie del cuadrado podemos construir una circunferencia que se transformará en un óvalo.
Imagen:

Trazando las diagonales y medianas nos será más fácil trazar luego el óvalo.
Imagen:

Vemos que construyendo cuadrados y prismas podemos dibujar en perspectiva cualquier cosa. En otros casos, en vez de cuadrado será un rectángulo.
Imagen:

Mediante la construcción de cuadrados o rectángulos, construiremos los prismas
necesarios y con ellos podremos dibujar cualquier objeto. Debemos estudiar muy bien las proporciones para no cometer errores de distorsión de medidas a la hora de construir los prismas.

Pasos a seguir:
1. Analizar las líneas de la cónica para deducir donde está situado el punto de fuga.
2. Trazar la línea de horizonte que pasa por el o los puntos de fuga.
3. Resolver el cuadrilátero superior del objeto donde dibujaremos la parte superior del mismo. Es más fácil dibujar de arriba abajo que al contrario.
En el caso del cubilete del dibujo, vemos dos cuadrados, en perspectiva, muy
cercanos. El superior para dibujar la boca y el segundo para dibujar el reborde.
4. Resolver hacia abajo todos los cuadriláteros que nos sean necesarios. En nuestro caso el cuadrado más pequeño de la base.

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12 respuestas a Circulo y circunferencia

  1. Alfonso cavazos dijo:

    CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA
    Círculo es la superficie plana limitada por una circunferencia.

    Circunferencia es la línea curva cerrada y plana cuyos puntos están a la misma distancia (radio) de un punto (centro).

    El centro y el radio son los elementos característicos de la circunferencia y del círculo.
    Diámetro es el segmento que tiene por extremos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro es de longitud dos veces el radio. D = 2R
    La longitud de la circunferencia dividida entre la longitud del diámetro es una constante que se llama Pi = Π = 3,14159….

    Elementos del círculo
    El círculo comparte con la circunferencia sus elementos principales: el centro, el radio, el diámetro, etc. El círculo comparte con la circunferencia que lo delimita los siguientes elementos:
    Puntos Centro del círculo, que se corresponde con el centro de la circunferencia, del cual equidistan todos los puntos de esta.
    Segmentos Radio: es el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia perimetral.
    Diámetro: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro y parte el círculo definido por ésta en dos partes iguales. También puede ser definido como dos radios que forman un ángulo de 180º, los radio se unen en el medio de la circunferencia.
    Cuerda: es el segmento que une los extremos de un arco.
    Rectas características
    Recta secante: es la recta que «corta» al círculo en dos partes.
    Recta tangente: es la recta que «toca» al círculo en un solo punto; es perpendicular al radio cuyo extremo es el punto de tangencia.
    Recta exterior: es aquella recta que no «toca» ningún punto del círculo.
    Un círculo contiene infinitas circunferencias, siendo la más característica aquella que lo delimita, la circunferencia de radio máximo. Comparte con dicha circunferencia el arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia de radio máximo.
    Superficies
    El círculo también puede compartir con la circunferencia exterior los siguientes elementos:
    Sector circular: es la superficie delimitada por un arco y los dos radios que contienen sus extremos.
    Segmento circular: es la superficie limitada por un arco y su cuerda.
    Semicírculo: es la superficie delimitada por un diámetro y media circunferencia exterior.
    Corona circular: es la superficie delimitada entre dos circunferencias concéntricas.
    Trapecio circular: es la superficie limitada por dos circunferencias y dos radios.
    Elementos de la circunferencia
    Secantes, cuerdas y tangentes.
    La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia. Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
    ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
    Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
    Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;
    Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro);
    Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;
    Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
    Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
    Punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;
    Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
    Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

  2. Carlos E. Vázquez Meza dijo:

    Un círculo, en geometría, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio. Es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia.
    En castellano, la palabra círculo tiene varias acepciones, la primera:[1] una superficie geométrica plana contenida dentro de una circunferencia con área definida; mientras que se denomina circunferencia[2] a la curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo posee longitud. “Aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse la circunferencia (línea curva) con el círculo (superficie)
    Imagen:

    Definición de la circunferencia:

    Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanar llamado centro.
    A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
    Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.
    Imagen:

    ELEMENTOS Y CARACTERISTICAS DEL . CIRCULO MATEMATICAS III

    CIRCUNFERENCIA : es el conjunto de puntos que administran a un punto fijo llamado centro.
    CIRCULO: es toda la superficie en el interior de la circunferencia incluyendo a la misma circunferencia.
    RECTA: es una línea infinita en ambos extremos.
    SEGMENTO: es una porción de una recta que esta delimitado por 2 dos puntos.
    RECTAS NOTABLES DEL CIRCULO
    EJEMPLOS: DE RECTAS NOTABLES EN EL CIRCULO
    RADIO CENTRO DIAMETRO CUERDA REC.EXTERIOR ARCO REC. SECANTE REC. TANGENTE
    ANGULOS EN EL CIRCULO
    Circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un mismo punto llamado centro de la circunferencia. El punto centro no pertenece a la circunferencia. La circunferencia se nombra con la letra del centro y un radio.
    Círculo es la figura plana formada por una circunferencia más toda su región o área interior
    Ejemplos prácticos de una circunferencia: Aro, anillo, hula-hula, borde de vaso, la orilla de un plato, etc.
    Perímetro de la circunferencia: 2 p • r p • d
    Elementos de la circunferencia
    Imagen:

    Construcción del circulo:

    En la superficie del cuadrado podemos construir una circunferencia que se transformará en un óvalo.
    Imagen:

    Trazando las diagonales y medianas nos será más fácil trazar luego el óvalo.
    Imagen:

    Vemos que construyendo cuadrados y prismas podemos dibujar en perspectiva cualquier cosa. En otros casos, en vez de cuadrado será un rectángulo.
    Imagen:

    Mediante la construcción de cuadrados o rectángulos, construiremos los prismas
    necesarios y con ellos podremos dibujar cualquier objeto. Debemos estudiar muy bien las proporciones para no cometer errores de distorsión de medidas a la hora de construir los prismas.

    Pasos a seguir:
    1. Analizar las líneas de la cónica para deducir donde está situado el punto de fuga.
    2. Trazar la línea de horizonte que pasa por el o los puntos de fuga.
    3. Resolver el cuadrilátero superior del objeto donde dibujaremos la parte superior del mismo. Es más fácil dibujar de arriba abajo que al contrario.
    En el caso del cubilete del dibujo, vemos dos cuadrados, en perspectiva, muy
    cercanos. El superior para dibujar la boca y el segundo para dibujar el reborde.
    4. Resolver hacia abajo todos los cuadriláteros que nos sean necesarios. En nuestro caso el cuadrado más pequeño de la base


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  3. dulcebermudez dijo:

    Circulo y circunferencia
    Definición y elementos
    Circunferencia es la línea curva cerrada y plana cuyos puntos están a la misma distancia (radio) de un punto (centro).
    El centro y el radio son los elementos característicos de la circunferencia y del círculo.

    Diámetro es el segmento que tiene por extremos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro es de longitud dos veces el radio. D = 2R
    La longitud de la circunferencia dividida entre la longitud del diámetro es una constante que se llama Pi = Π = 3,14159….

    Otros objetos geométricos ligados circunferencia y circulo:
    Arco, parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos.
    Cuerda, segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
    Semicircunferencia: cada una de las partes que un diámetro divide a la circunferencia.
    CÍRCULO
    ector circular, región del círculo comprendida entre dos radios y el arco correspondiente.
    Segmento circular, región del círculo comprendido entre un arco y su cuerda.
    Semicírculo, región limitada por un diámetro y su arco. Mitad del círculo.
    En dos circunferencias con el mismo centro (concéntricas), se llama corona circular a la región del plano comprendida entre ellas.

    POSICIÓN RELATIVA DE RECTA Y CIRCUNFERENCIA

    Distancia de un punto a una recta.
    La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento que une el punto con la recta formando ángulo recto.
    Si el punto P está en la recta r, d (P,r) = 0

    Una recta y una circunferencia pueden ser exteriores, tangentes y secantes en función de como sea la distancia d del centro de la circunferencia a la recta con respecto al radio R de la circunferencia.
    Exteriores.
    La distancia de O a r es mayor que R.
    La recta y la circunferencia no tienen puntos comunes.

    Tangentes.
    La distancia del centro de la circunferencia a la recta es igual al radio de ésta.
    La recta y la circunferencia tienen un punto en común.

    Secantes.
    La distancia del centro O de la circunferencia a la recta es menor que el radio r.
    Hay dos puntos comunes a recta y circunferencia.

    CONSTRUCCIÓN DE RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA.

    Por un punto P de la circunferencia.
    Dada la circunferencia c y un punto P de la circunferencia, para trazar la tangente por P:
    • 1.- Se traza el radio OP.
    • 2.- Se traza la recta perpendicular al radio por P.
    • 3.- La perpendicular trazada es tangente a la circunferencia.

    Por un punto P exterior a la circunferencia.
    Sea c la circunferencia con centro O y P un punto exterior.
    • 1.- Se calcula el punto medio M de OP.
    • 2.-Se traza la circunferencia de centro M y radio MP. esta circunferencia corta a la inicial en dos puntos, T1y T2. Estos son los puntos de tangencia.
    • 3.- Las rectas PT1 y PT2 son las rectas tangentes a la circunferencia.

    POSICIÓN RELATIVA DE DOS CIRCUNFERENCIAS
    La posición relativa entre dos circunferencias viene determinada por la distancia entre sus centros (d) y el valor de sus radios R y R’.
    Se tienen los casos siguientes:
    Exteriores

    La distancia entre los centros, d, es mayor que la suma de los radios.
    Las circunferencias no tienen puntos en común.

    Secantes

    La distancia d es menor que la suma de los radios y mayor que su diferencia.
    Tienen dos puntos en común.

    Interiores

    La distancia entre los centros es mayor que cero y menor que la diferencia entre los radios.
    Una circunferencia está dentro de la otra, y por tanto no tienen puntos en común.

    Tangentes Exteriores

    la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.
    El centro de cada circunferencia es exterior a la otra y tienen un punto en común, punto de tangencia.
    Tangentes Interiores

    La distancia entre los centros es igual a la diferencia entre los radios.
    El centro de una de las circunferencias está dentro de la otra. Tienen un punto en común.
    Concéntricas

    Tienen el mismo centro. La distancia d=0.
    No tienen puntos en común, salvo que R=R’, en este caso son la misma circunferencia.

    La situación más interesante es la de circunferencias tangentes, que pueden ser exteriores e interiores.
    CIRCUNFERENCIAS TANGENTES.
    La figura de la derecha representa dos circunferencias tangentes. Mueve los centros y la circunferencias azul, y comprueba que siempre es así.
    En la figura puedes observar la condición que verifican dos circunferencias tangentes:
    El punto de tangencia está sobre la recta que une los centros de las circunferencias.

    CONSTRUCCIÓN DE DOS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES
    Sea c una circunferencia con centro en O.
    Sea P un punto cualquiera distinto de O.
    Construir una circunferencia con centro en P tangente a la circunferencia inicial.

    • 1.- Se traza la recta que pasa por O y por P. Sea T el punto en que el segmento OP ( o su prolongación) corta a la circunferencia c.
    • 2.- Con centro en P se traza la circunferencia de radio PT.
    La circunferencia trazada es tangente a la primera.

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  4. gabyyflores dijo:

    CIRCULO
    El círculo es la región delimitada por una circunferencia, siendo ésta el lugar geométrico de los puntos que equidistan del centro.
    El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

    Área del círculo = 3’14.radio al cuadrado

    HAY ciertos hechos de la geometría que forman parte de la experiencia común; por ejemplo, todos sabemos que en una rueda, independientemente de su posición, el eje está exactamente arriba del punto donde la rueda toca al piso. Si en lugar de hacer rodar la rueda pensamos que el piso va tomando la posición de todas las tangentes del círculo, habremos demostrado un teorema de la geometría euclideana que dice que “si por un punto M de la frontera de un círculo trazamos una tangente, entonces ésta es perpendicular al radio del círculo que termina en M” (ver figura III.1).

    Figura III.1

    Esta sencilla propiedad del círculo lo caracteriza, es decir, si existiese otra figura  y un punto K en su interior, con la propiedad de que, al rodar ésta, el punto K siempre está exactamente arriba del punto donde  toca al piso, entonces  necesariamente es un círculo y el punto K su centro.
    A través de este libro tendremos con frecuencia la necesidad de convencernos de que determinada figura es un círculo puesto que posee la propiedad antes mencionada. Es por ello que este capítulo está dedicado íntegramente a convencemos del siguiente hecho:
    Sea  una figura acotada y K uno de sus puntos interiores. Supongamos que por cada punto frontera M de  pasa una línea soporte que es perpendicular a la línea que pasa por K y por M; entonces  es un círculo con centro en K.

    Figura III.2

    Demostración. Para empezar,  es convexa pues por cada punto de su frontera pasa una línea soporte. Además, cualquier línea que pase por el punto interior K, corta a la frontera de  en exactamente dos puntos y entre ellos (es decir, en el interior del segmento que los une) sólo hay puntos interiores.
    La demostración de que  es necesariamente un círculo, si bien no es complicada, sí es un poco larga, motivo por el cual vamos a desglosarla, mostrando primero por separado cada una de las siguientes afirmaciones.
    Supongamos que por cada punto frontera M de  pasa una línea soporte que es perpendicular a la línea que pasa por K y por M, entonces:

    i) Si C es un círculo que se encuentra dentro de  y toca a lo frontera de  enel punto A, entonces el centro de C, el punto K y el punto A están sobre una misma línea.

    Figura III.3

    ii) Si L es una línea que pasa por K y corta a la frontera de  en los puntos P y Q, entonces el círculo cuyo diámetro es el segmento PQ está dentro de .
    iii) El centro del círculo de  es K.

    Por ejemplo, con respecto a i) algo como lo que se muestra en la figura III.3 no es posible.
    Empezaremos con la afirmación i). Es decir: “Supongamos que C es un círculo dentro de  cuyo centro O es diferente de K. Si C toca a la frontera de  en un punto A, entonces A, K y O están en una misma línea.”
    Esto se debe, sencillamente, a que por A pasa una línea soporte de  perpendicular a la línea que pasa por K y por A (ver figura III.4) Esta línea soporte, por estar C dentro de  es una tangente de C que pasa por A. Como en un círculo los radios son perpendiculares a las tangentes, la línea que pasa por K y por A tiene que pasar también por O, el centro de C

    Figura III.4

    Veamos ahora la afirmación ii).
    Tomemos una línea cualquiera que pase por K. Llamémosla L. Sabemos, pues  es convexa, que L corta a la frontera de  en exactamente dos puntos que llamaremos P y Q.
    Nuestro siguiente propósito es convencernos de que: “el círculo cuyo diámetro es el segmento PQ, está dentro de .”
    Es decir, queremos comprobar que el círculo con centro en el punto medio del segmento PQ, que pasa por P y por Q, está dentro de  . Para ver esto, pensemos en el punto medio del segmento PQ, al que llamaremos O.
    Primero veremos el caso en el que K es diferente de O. Llamemos C al círculo más grande con centro en O que se encuentre dentro de . Veremos que tanto P como Q están en C, con lo que habremos terminado con este caso. Como C es el círculo más grande con centro en O que se encuentra dentro de , C tiene que tocar la frontera de  en algún punto, de lo contrario, sería posible hacer crecer a C un poquito más. Supongamos que C toca a la frontera de  en el punto A. Por i), el punto A se encuentra en la misma línea en la que se encuentran K y O, es decir, el punto A está en la línea L, pero en la línea L sólo hay dos puntos de la frontera de  que son P y Q (ver figura III.5). Es decir, A tiene que ser alguno de estos dos puntos. En la figura III.5 vemos que A es diferente de P y Q lo cual es imposible, pues en ese caso el punto A, el punto K y O no estarían alineados. Finalmente, como O es el punto medio del segmento PQ, el círculo C tiene que pasar tanto por P como por Q que es lo que queríamos.

    Figura III.5

    Nos falta ahora comprobar el caso en el que K es el punto medio del segmento PQ. Como antes, queremos ver que el círculo con centro K, que pasa por P y por Q, está dentro de  . Veremos primero que cualquier círculo que pase por P cuyo centro esté en el segmento PQ está dentro de . Tomemos un punto cualquiera R entre P y K, y consideremos el círculo más grande con centro en R que esté dentro de . Este círculo debe de tocar la frontera de  en algún punto, digamos en el punto B. Como B, K y R están en la misma línea, es decir, en la línea L, B tiene que ser o bien P o bien Q. Como R fue tomado entre P y K, B tiene que ser el punto P. Es decir, cualquier círculo que pase por P cuyo centro esté entre P y Q, está dentro de , pero entonces todo el interior del círculo cuyo diámetro es el segmento PQ está dentro de  (ver figura III.6).

    Figura III.6

    Todo lo anterior está muy bien, pero lo que queremos es ver que el círculo C, cuyo diámetro es PQ, está dentro de  . Si no fuera así, existiría un punto Z, distinto de P y de Q, en la frontera de C, que no estaría en  . Este punto Z sería un punto exterior de , por lo que existiría una pequeña bolita alrededor de él, totalmente afuera de ; sin embargo, esto es imposible pues esta bolita mordería el interior del círculo C, que ya vimos que está dentro de Q (ver figura III.6). Hemos pues acabado de convencemos de que cualquier línea que pasa por K corta a  en un segmento y, el círculo cuyo diámetro es este segmento está dentro de  .
    Continuemos con la afirmación iii), pero antes hablemos un poco sobre el circuncírculo y el incírculo de una figura cualquiera.
    El círculo más pequeño que contiene a una figura  es llamado el circurncírculo de . El círculo más grande contenido dentro de una figura  es llamado el incírculo de  ( ver Figura III.7).

    Figura III.7

    Éstos, por supuesto, no son necesariamente concéntricos. En un rectángulo existe un solo circumcírculo, pero varios incírculos (ver figura III.7). En general puede haber varios incírculos pero el circumcírculo es siempre único. Si existiera una figura  con dos circumcírculos, digamos C1 y C2, entonces  estaría dentro de C1 y dentro de C2 por lo que habría un círculo más pequeño que contiene a la parte común de C1 y C2 y por lo tanto a y (ver figura III.8).

    Figura III.8

    En seguida nos propondremos ver que para nuestra figura , el incírculo es único pues su centro es el punto K.
    Escojamos uno de los incírculos de  y llamémoslo . Denotemos por O a su centro. El círculo  debe de tocar a la frontera de  en al menos dos puntos, de lo contrario, si sólo la toca en un punto, despegándolo sería posible encontrar un círculo más grande dentro de . Sean X y Y dos puntos distintos que se encuentren en , pero también en la frontera de . Por i), en la línea que pasa por K y por X está O. Por la misma razón, en la línea que pasa por K y por Y está O, el centro de . Las posibilidades que tenemos, ante estos dos hechos, son las siguientes:
    a) K es igual a O, es decir, K es centro del incírculo 
    b) K es distinto de O, en cuyo caso, el punto X y el punto Y son diametralmente opuestos en , y K se encuentra en el segmento XY digamos entre X y O.

    Figura III.9

    Para acabar de convencernos de que K es el centro de  y por lo tanto de que el incírculo de  es único, basta ver que el caso b) es imposible. Pensemos en una línea que pase por K y sea perpendicular al segmento XY (Véase figura III.9) Esta línea corta a  en un segmento, llamémoslo T. Esta misma línea corta a  en otro segmento, llamémoslo S. Por supuesto, S está dentro de T. El círculo con centro en K que pasa por X está dentro de  y sólo toca a la frontera de  en X. Por lo tanto, X esta en el interior del círculo cuyo diámetro es S, que está dentro del círculo cuyo diámetro es T que, a su vez, por ii), está dentro de . Todo esto es imposible, porque X no es un punto interior sino un punto frontera de . Por lo tanto, el caso b) no puede darse y la única posibilidad que nos queda es que K sea el centro de .

    Figura III.10

    Ahora, una vez que hemos acabado con las afirmaciones i), ii) e iii), será muy fácil ver que el incírculo  de , y  coinciden. Sea P cualquier punto de la frontera de . ¿Cuál? El que usted escoja. Comprobaremos que P está en el incírculo . Sea L la línea que pasa por K y por P. Como sabemos, L corta a la frontera de  exactamente en P y en algún otro punto, digamos Q. (Ver figura III.10). Por ii), el círculo cuyo diámetro es el segmento PQ está dentro de , pero también contiene a . Como  es el círculo más grande dentro de ,  y el círculo cuyo diámetro es el segmento PQ coinciden. Es decir, P está en u. Finalmente, ya que P fue cualquier punto de la frontera de , el incírculo de  y  coinciden, esto es:  es un círculo.


    LA CIRCUNFERENCIA

    La circunferencia es un contorno contínuamente curvado, cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto central, llamado centro del círculo. La distancia constante de cualquier punto de la circunferencia se denomina radio.

    La circunferencia representa el área que contiene en su interior, denominada círculo, la forma más enigmática de todas, considerada perfecta por nuestros antepasados. Su direccionalidad es la curva, asociada al movimiento, al encuadramiento, a la repetición y al calor.

    La forma circular produce un movimiento de rotación evidente, posee un gran valor simbólico, especialmente su centro, y tiene connotaciones psicológicas como protección, inestabilidad, totalidad, movimiento contínuo o infinitud. Es típico representar también los espacios cerrados, herméticos, con circunferencias o círculos.

    Contornos derivados de la circunferencia son el óvalo y el ovoide, con cualidades parecidas a las de ésta, pero que expresan aún más inestabilidad y dinamismo, aunque el movimiento perfecto sea una cualidad propia de la circunferencia.

    La proyección tridimensional de la circunferencia es la esfera, el cuerpo geométrico más perfecto, el que contiene un mayor volumen en un menor espacio, el que define la forma tanto de los átomos como de los cuerpos celestes.

    La circunferencia y el círculo son tal vez los elementos geométricos más perfectos y estables, aunque cargados de una gran carga dinámica.

    Las formas circulares son muy difíciles de representar en una página web, ya que todos los elementos que nos facilita el lenguaje HTML son rectangulares, aunque aparenten no serlo. Además, las formas curvas se visualizan muy mal en los monitores, debido a la interpretación gráfica mediante pixels, que origina efectos de escalado indeseables.

    Otro inconveniente de usar círculos en el diseño web deriva precisamente de ser la forma que contiene más área en el menor perímetro, ya que la mayoría de las veces al diseñador le interesa precisamente lo contrario, reducir al mínimo el área y maximizar al máximo el perímetro.

  5. Hector oziel hinojosa Hdz. dijo:

    Circunferencia

    La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.
    Elementos de la circunferencia
    Centro de la circunferencia
    El centro es el punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
    Radio de la circunferencia
    El radio es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

    CIRCUNFERENCIA: CONCEPTO
    Concepto: La circunferencia es una linea curva, cerrada y plana, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto, llamado centro.
    Dimensión de la circunferencia:
    Al ser una línea, la circunferencia tiene una sola dimensión, la longitud.
    Dimensión de la circunferencia:
    Centro de la circunferencia: punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
    Radio de la circunferencia: segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la misma.
    Cuerda de la circunferencia: segmento que une dos puntos de la circunferencia, el radio es perpendicular a la cuerda en su punto medio.
    Diámetro de la circunferencia: es una cuerda que pasa por el centro. Es la cuerda que mayor tamaño tiene.
    Arco de la circunferencia: es la porción de circunferencia limitada por dos puntos de la misma, también se puede decir que es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.
    Posiciones relativas de dos circunferencias:
    Circunferencias exteriores: son las que no tienen ningún punto en común y cada una esta en una región exterior a la otra.
    Circunferencias interiores: no tienen ningún punto en común y una está en la región interior de la otra.
    Circunferencias tangentes exteriores: tienen un punto en común y los demás puntos de cada una de ellas están en la región exterior de la otra.
    Circunferencias tangentes interiores: tienen un punto en común y los demás puntos de una de ellas están en la región interior de la otra.
    Circunferencias secantes: tienen dos puntos en común.
    Circunferencias concéntricas: no tienen ningún punto en común, una esta en el interior de la otra y tienen el mismo centro pero distinto radio.
    Posiciones relativas de una recta y una circunferencia
    Una recta puede estar respecto a una circunferencia:
    Recta exterior: cuando no tiene ningún punto común con la circunferencia.
    Recta tangente: a la circunferencia cuando tiene un punto común
    Recta secante: a la circunferencia cuando tiene dos puntos comunes .
    Ángulos de la circunferencia:
    Ángulo central: es el ángulo que tiene su vértice en el centro y sus lados lo forman dos radios.
    -Si dos ángulos centrales son iguales también lo son los arcos correspondientes.
    -La medida de un arco central es la misma que la de su ángulo central correspondiente.
    Ángulo inscrito: es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
    -La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que abarca.
    Ángulo semi-inscrito: es aquel que tiene su vértice en un punto de la circunferencia y un lado es tangente y el otro secante a ella.
    -La medida de un ángulo semi-inscrito es la mitad del arco que abarca.
    Ángulo interior: es aquel que tiene su vértice en un punto interior del circulo. Sus lados con cuerdas de la circunferencia.
    -Un ángulo interior mide la mitad de la suma de las medias de su arcos que abarcan su lados y las prolongaciones de los mismos.
    Ángulo exterior: es aquel que tiene su vértice en un punto fuera de la circunferencia y del circulo y su lados son secantes o tangentes de la circunferencia.
    -La medida de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los arcos que abarca el ángulo

    Bibliografía :

    http://www.ditutor.com/geometria/circunferencia.html

    http://www.estudiantes.info/matematicas/1eso/images/circunferencia-desarrollo.htm

    Imagen

    videografía

  6. ReynaDíaz dijo:

    CIRCUNFERENCIA y CÍRCULO
    Se llama circunferencia al conjunto de puntos cuya distancia a otro punto llamado centro es siempre la misma. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una superficie llamada círculo.

    Elementos del Circulo

    • Semicírculos: la porción de círculo limitada por un diámetro y su arco correspondiente. Equivale a la mitad del círculo.
    • Sector circular: es la porción de círculo limitada por dos radios y su arco correspondiente.
    • Segmento circular: es la parte del círculo limitada por una cuerda y su arco.
    • Zona circular: es la porción de círculo limitada por dos cuerdas.
    • Corona circular: es la porción de círculo limitada por dos circunferencias concéntricas.
    • Trapecio circular: es la porción de círculo limitada por dos radios y una corona circular.

    Construcción de un círculo
    Sea dado un ángulo cuyos lados son cortados por una transversal. Trazar un círculo tangente a los lados del ángulo y que intercepte a la transversal en un segmento igual al radio del círculo.

    Clasificacion de Circulos

    Círculo Circunscrito.- Círculo que pasa por los tres vértices de un triángulo.
    Círculo inscrito.- Es el círculo interior al triángulo y que es tangente a sus tres lados.
    Círculos Excritos (o externos).- Las intersecciones de bisectrices externas de los ángulos del triángulo determinan tres puntos llamados excentros y que son centros de círculos tangentes a un lado y a las prolongaciones de los otros dos. Estos círculos reciben el nombre de círculos externos o círculos excritos. Existen otros círculos, tales como el círculo de los nueve puntos (círculo de Feuerbach), el cual contiene a los pies de las alturas, los puntos medios de los lados, y los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los vértices.

    (Imagen)

    (Video)

    (Información)

    http://garciacapitan.auna.com/problemas/cons1/

    http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo

  7. Abril olmedo Pérez dijo:

    CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA
    Círculo es la superficie plana limitada por una circunferencia.

    Circunferencia es la línea curva cerrada y plana cuyos puntos están a la misma distancia (radio) de un punto (centro).

    El centro y el radio son los elementos característicos de la circunferencia y del círculo.
    Diámetro es el segmento que tiene por extremos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro es de longitud dos veces el radio. D = 2R
    La longitud de la circunferencia dividida entre la longitud del diámetro es una constante que se llama Pi = Π = 3,14159….

    Elementos del círculo
    El círculo comparte con la circunferencia sus elementos principales: el centro, el radio, el diámetro, etc. El círculo comparte con la circunferencia que lo delimita los siguientes elementos:
    Puntos Centro del círculo, que se corresponde con el centro de la circunferencia, del cual equidistan todos los puntos de esta.
    Segmentos Radio: es el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia perimetral.
    Diámetro: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro y parte el círculo definido por ésta en dos partes iguales. También puede ser definido como dos radios que forman un ángulo de 180º, los radio se unen en el medio de la circunferencia.
    Cuerda: es el segmento que une los extremos de un arco.
    Rectas características
    Recta secante: es la recta que «corta» al círculo en dos partes.
    Recta tangente: es la recta que «toca» al círculo en un solo punto; es perpendicular al radio cuyo extremo es el punto de tangencia.
    Recta exterior: es aquella recta que no «toca» ningún punto del círculo.
    Un círculo contiene infinitas circunferencias, siendo la más característica aquella que lo delimita, la circunferencia de radio máximo. Comparte con dicha circunferencia el arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia de radio máximo.
    Superficies
    El círculo también puede compartir con la circunferencia exterior los siguientes elementos:
    Sector circular: es la superficie delimitada por un arco y los dos radios que contienen sus extremos.
    Segmento circular: es la superficie limitada por un arco y su cuerda.
    Semicírculo: es la superficie delimitada por un diámetro y media circunferencia exterior.
    Corona circular: es la superficie delimitada entre dos circunferencias concéntricas.
    Trapecio circular: es la superficie limitada por dos circunferencias y dos radios.
    Elementos de la circunferencia
    Secantes, cuerdas y tangentes.
    La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia. Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
    ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
    Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
    Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;
    Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro);
    Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;
    Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
    Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
    Punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;
    Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
    Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

  8. Hilda Jennifer hervert saenz dijo:

    CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA
    Círculo es la superficie plana limitada por una circunferencia.

    Circunferencia es la línea curva cerrada y plana cuyos puntos están a la misma distancia (radio) de un punto (centro).

    El centro y el radio son los elementos característicos de la circunferencia y del círculo.
    Diámetro es el segmento que tiene por extremos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro es de longitud dos veces el radio. D = 2R
    La longitud de la circunferencia dividida entre la longitud del diámetro es una constante que se llama Pi = Π = 3,14159….


    Elementos del círculo
    El círculo comparte con la circunferencia sus elementos principales: el centro, el radio, el diámetro, etc. El círculo comparte con la circunferencia que lo delimita los siguientes elementos:
    Puntos Centro del círculo, que se corresponde con el centro de la circunferencia, del cual equidistan todos los puntos de esta.
    Segmentos Radio: es el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia perimetral.
    Diámetro: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro y parte el círculo definido por ésta en dos partes iguales. También puede ser definido como dos radios que forman un ángulo de 180º, los radio se unen en el medio de la circunferencia.
    Cuerda: es el segmento que une los extremos de un arco.
    Rectas características
    Recta secante: es la recta que «corta» al círculo en dos partes.
    Recta tangente: es la recta que «toca» al círculo en un solo punto; es perpendicular al radio cuyo extremo es el punto de tangencia.
    Recta exterior: es aquella recta que no «toca» ningún punto del círculo.
    Un círculo contiene infinitas circunferencias, siendo la más característica aquella que lo delimita, la circunferencia de radio máximo. Comparte con dicha circunferencia el arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia de radio máximo.
    Superficies
    El círculo también puede compartir con la circunferencia exterior los siguientes elementos:
    Sector circular: es la superficie delimitada por un arco y los dos radios que contienen sus extremos.
    Segmento circular: es la superficie limitada por un arco y su cuerda.
    Semicírculo: es la superficie delimitada por un diámetro y media circunferencia exterior.
    Corona circular: es la superficie delimitada entre dos circunferencias concéntricas.
    Trapecio circular: es la superficie limitada por dos circunferencias y dos radios.
    Elementos de la circunferencia
    Secantes, cuerdas y tangentes.
    La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia. Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
    ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
    Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
    Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;
    Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro);
    Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;
    Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
    Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
    Punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;
    Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
    Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

  9. Frida Anylú Perez Medrano. dijo:

    CIRCULOS Y CIRCUNFERENCIAS.

    Circunferencia es la línea curva cerrada y plana cuyos puntos están a la misma distancia (radio) de un punto (centro).
    Círculo es la superficie plana limitada por una circunferencia.

    El centro y el radio son los elementos característicos de la circunferencia y del círculo.
    Diámetro:
    es el segmento que tiene por extremos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro es de longitud dos veces el radio. D = 2R
    La longitud de la circunferencia dividida entre la longitud del diámetro es una constante que se llama Pi = Π = 3,14159….

    Otros objetos geométricos ligados circunferencia y circulo:

    CIRCUNFERENCIA.

    Arco:
    parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos.
    Cuerda:
    segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
    Semicircunferencia:
    cada una de las partes que un diámetro divide a la circunferencia.

    CIRCULO.

    Sector circular.
    región del círculo comprendida entre dos radios y el arco correspondiente.
    Segmento circular:
    región del círculo comprendido entre un arco y su cuerda.
    Semicírculo:
    región limitada por un diámetro y su arco. Mitad del círculo.

    En dos circunferencias con el mismo centro (concéntricas), se llama corona circular a la región del plano comprendida entre ellas.

    Elementos del círculo.

    El círculo comparte con la circunferencia sus elementos principales: el centro, el radio, el diámetro, etc.
    El círculo comparte con la circunferencia que lo delimita los siguientes elementos:
    Puntos
    Centro del círculo, que se corresponde con el centro de la circunferencia, del cual equidistan todos los puntos de esta.
    Segmentos
    Radio: es el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia perimetral.
    Diámetro: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro y parte el círculo definido por ésta en dos partes iguales. También puede ser definido como dos radios que forman un ángulo de 180º, los radio se unen en el medio de la circunferencia.
    Cuerda: es el segmento que une los extremos de un arco.

    Rectas características
    Recta secante: es la recta que corta al círculo en dos partes.
    Recta tangente: es la recta que toca al círculo en un solo punto; es perpendicular al radio cuyo extremo es el punto de tangencia.
    Recta exterior: es aquella recta que no toca ningún punto del círculo.

    Curvas.
    Un círculo contiene infinitas circunferencias, siendo la más característica aquella que lo delimita, la circunferencia de radio máximo. Comparte con dicha circunferencia el arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia de radio máximo.

    Superficies.

    El círculo también puede compartir con la circunferencia exterior los siguientes elementos:
    Sector circular: es la superficie delimitada por un arco y los dos radios que contienen sus extremos.
    Segmento circular: es la superficie limitada por un arco y su cuerda.
    Semicírculo: es la superficie delimitada por un diámetro y media circunferencia exterior.
    Corona circular: es la superficie delimitada entre dos circunferencias concéntricas.
    Trapecio circular: es la superficie limitada por dos circunferencias y dos radios.

    Ángulos.
    Ángulos en el círculo.

    Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.
    Existen diversos tipos de ángulos singulares en un círculo. Cuando un ángulo tiene su vértice en el centro del círculo, recibe el nombre de ángulo central, mientras que cuando los extremos y el vértice están sobre el círculo el ángulo se denomina inscrito. Un ángulo formado por una cuerda y una recta tangente se denomina semi-inscrito.
    En un círculo de radio unidad, la amplitud de un ángulo central coincide con la longitud del arco que subtiende, medido en radianes. Así, un ángulo central recto mide π/2 radianes, y la longitud del arco es π/2 si el radio es la unidad; si el radio mide r, el arco medirá r x π/2.
    La longitud de un arco de ángulo central α, dado en grados sexagesimales, medirá 2π x r x α / 360.
    Un ángulo inscrito mide la mitad del arco que subtiende, sin importar la posición del vértice. Un ángulo semi-inscrito mide la mitad del arco que se encuentra entre la cuerda y la tangente

    Circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un mismo punto llamado centro de la circunferencia. El punto centro no pertenece a la circunferencia. La circunferencia se nombra con la letra del centro y un radio.
    Círculo es la figura plana formada por una circunferencia más toda su región o área interior
    Ejemplos prácticos de una circunferencia: Aro, anillo, hula-hula, borde de vaso, la orilla de un plato, etc.

    BIBLIOGRAFIA:

    http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/circun1.htm

    http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo

    http://www.profesorenlinea.cl/geometria/CirculoCircunfelementos.htm

    VIDEOGRAFIA:

    IMÁGENES:

  10. ADALOSO dijo:

    QUE BONITO AHORA SE MUCHO GRACIAS GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA LES AGRDESCO MUCHISISISISISIISISISISISISIMO !!!GRACIAS¡¡¡

  11. ADALOSO dijo:

    Y LES AGRADESCO A LOS QUE SUBEN VIDEOS EDUCATIVOS ME GUSTA APRENDER MAS
    ME APRANDER DE:MATEMATICAS,CIENCIAS NATURALES,GEOGRAFIA.

  12. ADALOSO dijo:

    Y MUCHO MAS.

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