3. Teorema, Axioma, Corolario

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Una respuesta a 3. Teorema, Axioma, Corolario

  1. Alejandra Garza, Ruben Salinas y Misael Flores dijo:

    Indice:
    1.-Axioma
    1.1 Definicion
    1.2 Etimologia
    1.3 Logica
    1.4 Ejemplos
    1.5 Bibliografia

    2.- Teorema
    2.1 Definicion
    2.2 Teoremas dentro de la logica matematica.
    2.3 Teoremas dentro de otras ciencias.

    2.4 Ejemplos
    2.5 ¿Dónde se aplica el teorema de Pitagoras?
    2.6 Bibliografia
    2.7 Videos
    2.8 Imagen

    3 Corolario
    3.1 Definicion
    3.2 Ejemplos
    3.3 Bibliografia

    4 Postulado
    4.1 Definicion
    4.2 Postulados Matematicos
    4.3 Postulado de Euclides
    4.4 Terminologia Actual
    4.5 Ejemplos
    4.6 Bibliografia

    5 Conclusion

    Axioma:
    1.1 Un axioma es una premisa que se considera «evidente» y es aceptada sin requerir una demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo, es toda proposición que no se deduce de otras, sino que constituye una regla general de pensamiento lógico, por oposición a los postulados.
    En matemática, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente, los axiomas se eligen de entre las consideradas «verdades evidentes» porque permiten deducir las demás fórmulas.
    En lógica matemática, un postulado es un proposición, no necesariamente evidente: una fórmula bien formada de un lenguaje formal utilizada en una deducción para llegar a una conclusión.
    En matemática se distinguen dos tipos de proposiciones: axiomas lógicos y postulados.
    1.2 Etimología
    La palabra axioma proviene del griego αξιωμα, que significa “lo que parece justo” o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostración. La palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa “valorar”, que a su vez procede de αξιος (axios) que significa “valuable” o “digno”. Entre los antiguos filósofos griegos, un axioma era aquello que parecía ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba.El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos ‘forma científica de conocer’ o ‘adquisición de conocimiento científico’. Del análisis de esta forma de conocer se ocupa la ‘epistemología’.
    1.3Lógica
    La lógica del axioma es partir de una premisa calificada verdadera por sí misma (el axioma) e inferir sobre ésta, otras proposiciones por medio del método deductivo, obteniendo conclusiones coherentes con el axioma. Los axiomas han de cumplir sólo un requisito: de ellos, y de reglas de inferencia, han de deducirse todas las demás proposiciones de una teoría dada.
    *Ejemplo: Otro ejemplo interesante, es el de la instanciación universal. Para una fórmula en un lenguaje de primer orden , una variable y un término que es sustituible por en , la fórmula es válida universalmente.
    En términos informales, este ejemplo nos permite afirmar que si conocemos que una cierta propiedad se cumple para toda y que si es un objeto particular en nuestra estructura, entonces deberíamos ser capaces de afirmar . De nuevo, estamos afirmando que la fórmula es válida, esto es, debemos ser capaces de dar una prueba de este hecho, o mejor dicho, una metaprueba.
    El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos ‘forma científica de conocer’ o ‘adquisición de conocimiento científico’. Del análisis de esta forma de conocer se ocupa la ‘epistemología’.
    1.4 EJEMPLOS:
    Axiomas básicos
    1- El espacio tiene infinitos puntos, rectas y planos.
    2- El plano tiene infinitos puntos y rectas.
    3- La recta tiene infinitos puntos.
    4- Por un punto pasan infinitas rectas.
    5- Por una recta pasan infinitos planos.
    Los axiomas son ciertas fórmulas en un lenguaje que son universalmente válidas, esto es, fórmulas que son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier función variable. En términos coloquiales, son enunciados que son verdaderos en cualquier mundo posible, bajo cualquier interpretación posible y con cualquier asignación de valores. Usualmente se toma como axiomas un conjunto mínimo de tautologías que son suficientes para probar una teoría.
    Además de los conceptos primitivos para construir el conocimiento geométrico, necesitamos de ciertos postulados que no necesitan demostración por resultar evidentes, a dichos postulados los llamaremos axiomas. Los axiomas también resultan ser entonces el punto de partida, todas los otros postulados que vayamos construyendo necesitarán demostración, es decir que, utilizaremos la lógica junto con los conceptos primitivos y los axiomas para validarlos. Estos nuevos postulados recibirán el nombre de teoremas, y entonces ellos pueden usarse para las demostraciones de los siguientes postulados o propiedades.

    1.5 Bibliografía: http://es.wikipedia.org/wiki/Axioma
    http://www.wordreference.com/definicion/axioma

    2.- TEOREMA
    2.1 Del latin teorema, un teorema es una proposición que puede demostrarse de forma lógica a partir de un axioma o de otros teoremas que fueron demostrados con anterioridad.
    Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema formal. Demostrar teoremas es un asunto central en la matemática.
    Un teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre la hipótesis y la tesis o conclusión.
    2.2 Teoremas dentro de la lógica matemática
    Un teorema requiere de un marco lógico; este marco consistirá en un conjunto de axiomas (sistema axiomático) y un proceso de inferencia, el cual permite derivar teoremas a partir de los axiomas y teoremas que han sido derivados previamente.
    En lógica matemática y lógica proposicional, cualquier afirmación demostrada se denomina teorema. Más concretamente en lógica matemática se llama demostración a una secuencia finita de fórmulas bien formadas (fórmulas lógicas bien formadas) F1, …,Fn, tales que cada Fi es o bien un axioma o bien un teorema que se sigue de dos fórmulas anteriores Fj y Fk (tales que j<i y k<i) mediante una regla de deducción. Dada una demostración como la anterior si el elemento final Fn no es un axioma entonces es un teorema.
    un teorema es una fórmula bien formada, que no es un axioma, y que puede ser el elemento final de alguna demostración, es decir, un teorema es una fórmula lógica bien formada para la cual existe una demostración.
    2.3Teoremas dentro de otras ciencias
    Con frecuencia en física o economía algunas afirmaciones importantes que pueden ser deducidas o justificadas a partir de otras afirmaciones o hipótesis básicas se llaman comúnmente teoremas. Sin embargo, frecuentemente las áreas de conocimiento donde aparecen esas afirmaciones con frecuencia no han sido formalizadas adecuadamente en forma de sistema axiomático por lo que estrictamente debería usarse con cautela el término teorema para referirse a esas afirmaciones demostrables o deducibles de supuestos "más básicos".
    Resumiendo lo anterior puede decirse formalmente, un teorema es una fórmula bien formada, que no es un axioma, y que puede ser el elemento final de alguna demostración, es decir, un teorema es una fórmula lógica bien formada para la cual existe una demostración.
    2.4 EJEMPLO:
    Teorema de Pitágoras.
    En un triángulo rectángulo el cuadrado del lado más largo (la “hipotenusa”) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (los catetos).
    Se establece en esta fórmula:
    a2 + b2 = c2
    Teorema de Thales
    Si dos rectas cuales quieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.
    De los dos teoremas de Tales:
    El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a uno previamente existente (los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos).
    Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (encontrandose éstos en el punto medio de su hipotenusa), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos.
    2.5 ¿Dónde se aplica el teorema de Pitagoras?
    El Teorema de Pitágoras se aplica en los triángulos rectángulos.
    En un triángulo rectángulo, dos de sus tres lados se cortan formando un ángulo recto, esto es, "una esquina": se denominan catetos. El otro lado, el que está situado enfrente del ángulo recto, se denomina hipotenusa.
    2.6 Bibliografia:
    http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema
    http://www.aritor.com/trigonometria/teoremas_trigonometria.html
    2.7 Videos:
    http://www.youtube.com/watch?v=ek_IzL1lIZE&feature=youtu.be
    http://www.youtube.com/watch?v=YvUwxGs8n30&feature=youtu.be
    2.8 Imagen:
    http://www.google.com.mx/imgres?imgurl=http://platea.pntic.mec.es/curso20/5_edicionhtml/2007/html11/imagenes/triangulo_rectangulo.jpg&imgrefurl=http://platea.pntic.mec.es/curso20/5_edicionhtml/2007/html11/donde.html&usg=__ITjqli2nxoCsL1P-DogioGp06BA=&h=360&w=550&sz=25&hl=es&start=17&zoom=1&tbnid=5wq-Xz2UFbhweM:&tbnh=147&tbnw=224&ei=GkbiTfalGIHt0gH70u3LBg&prev=/search%3Fq%3Dteorema%2Bde%2Bpitagoras%26um%3D1%26hl%3Des%26sa%3DX%26biw%3D1280%26bih%3D699%26tbm%3Disch&um=1&itbs=1&iact=hc&vpx=483&vpy=312&dur=5670&hovh=182&hovw=278&tx=108&ty=153&page=2&ndsp=18&ved=1t:429,r:2,s:17&biw=1280&bih=699
    3.-Corolario:
    3.1.- Un corolario (del latín corollarium, n. = „la adición“, „el regaldo“; género: neutro; plural: corolarios) es un término que se utiliza en las matemáticas y en la lógica, para designar la evidencia de un teorema o definición ya demostrada, sin necesidad de tener que invertir esfuerzo adicional en su demostración. A menudo se trata de una inferencia, si bien la distinción entre teorema y corolario es tan subjetiva como entre lema y teorema.
    Proposición que no necesita prueba particular, sino que se deduce fácilmente de lo demostrado antes.
    1. m. Proposición que no necesita comprobarse, sino que se deduce fácilmente de lo demostrado antes:
    de todo lo dicho se deduce como corolario que el proyecto está finalizando.
    2. Consecuencia de algo:
    las acciones gubernamentales tuvieron como corolario una gran polémica.
    En un contexto matemático por ejemplo, un corolario es una proposición que no necesita comprobarse, sino que se deduce muy fácilmente de lo que se demostró con anterioridad. Generalmente es una afirmación que sigue inmediatamente a un teorema.Declaración que se puede demostrar fácilmente a partir de un teorema mayor, de manera que no sea necesario demostrarla como un teorema por separado.Afirmación que se deduce fácilmente de lo demostrado o afirmado antes.
    3.2.- EJEMPLO:
    En un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al cuadrado de la hipotenusa menos el cuadrado del otro cateto.
    a2 = c2 – b2
    b2 = c2 – a2
    Ejemplo
    A la afirmación: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
    le sigue el corolario: En un triángulo rectángulo la suma de los dos ángulos contiguos a la hipotenusa es igual a 90°.
    Dado que la hipotenusa es la arista que se encuentra "frente" al ángulo de 90°, la suma de los ángulos del triángulo contiguos a la misma es igual a 180° – 90° = 90°.

    1.-Corolario.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al cuadrado de la hipotenusa menos el cuadrado del otro cateto.
    2.-Corolario.- En un triángulo rectángulo isósceles, el cuadrado de la hipotenusa es igual al duplo del cuadrado de un cateto.
    Corolario: Es una proposición cuya validez se desprende la validez de un teorema y, donde su demostración requiere de un ligero razonamiento y en ocasiones de ninguno. Ejemplo: Del teorema, la suma de las medidas de los ángulos interiores asociados a un triángulo es 180º, se obtiene:
    •Corolario 1. La suma de las medidas de los ángulos agudos asociados a un triángulo rectángulo es igual a 90º.
    •Corolario 2. Si dos ángulos de un triángulo son respectivamente congruentes a dos ángulos de otro, el tercer ángulo de uno es congruente al tercer ángulo del otro.
    •Corolario 3. Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto, ni más de un obtuso.
    3.3.- bibliografia:
    http://es.wikipedia.org/wiki/Corolario
    http://www.wordreference.com/definicion/corolario
    http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090208131837AAVML5S
    http://buscon.rae.es/draeI/SrvltGUIBusUsual?TIPO_HTML=2&LEMA=corolario

    4.- Postulado:
    4.1- Definicion:
    Es una afirmación con pretensión de ser tenida como verdadera, aunque se halla sujeta a verificación.
    Proposición que se toma como base para un razonamiento o demostración, cuya verdad se admite sin pruebas.
    Principio que se admite como cierto sin necesidad de ser demostrado y que sirve como base para otros razonamientos.
    Proposición que no es evidente por sí misma y que no tiene una aceptación universal. Por lo tanto, un postulado se diferencia de un axioma, que es una proposición universalmente admitida. La formulación clásica del concepto de postulado se encuentra en los Elementos de Euclides, para quien un postulado es una proposición fundamental de un sistema deductivo que no es evidente por sí misma, pero que tampoco puede ser demostrada. Los postulados suelen ser las proposiciones iniciales de una ciencia determinada, mientras que los axiomas son las proposiciones iniciales de un sistema deductivo, a partir de las cuales pueden derivarse otras proposiciones. Actualmente hay una creciente tendencia a emplear indistintamente axioma y postulado.
    Proposición que se admite, aun sin posible demostración, como necesaria para una serie demostrativa.
    4.2.- Postulados matemáticos
    Los postulados son fórmulas específicas de una teoría y se aceptan solamente por acuerdo. Razonando acerca de dos estructuras diferentes, por ejemplo, los números naturales y los números enteros pueden poseer los mismos axiomas, sin embargo, los postulados expresan lo que es esencial de una estructura, o un conjunto de estructuras. Los postulados, a diferencia de los axiomas lógicos, no son tautologías.
    Cualquier teoría matemática moderna se fundamenta en un conjunto de postulados y aunque se pensaba que, en principio, cualquier teoría podía ser axiomatizada y formalizada, posteriormente esto se demostró imposible.
    En matemática, son célebres los postulados de Euclides, expuestos en los Elementos, el tratado fundamental de la geometría clásica. Siglos después, cuando fue cuestionado el quinto postulado de Euclides, surgió la llamada geometría no euclidiana.
    Existen otros, como el postulado de Bertrand referente a los números primos, o los postulados de Cauchy, enunciados por el matemático Augustin Louis Cauchy referentes a vectores.
    4.3.- Postulado de Euclides.
    Los postulados de Euclides, hace referencia al tratado denominado Los Elementos, escrito por Euclides hacia el año 300 a. C., exponiendo los conocimientos geométricos de la Grecia clásica deduciéndolos a partir de cinco postulados, considerados los más evidentes y sencillos; estos son:
    Representación geométrica de los postulados de Euclides.
    Por dos puntos diferentes sólo se puede trazar una línea recta.
    Todo segmento rectilíneo se puede prolongar indefinidamente.
    Con un centro y un radio dado sólo se puede trazar una circunferencia.
    Todos los ángulos rectos son iguales.
    Si una recta corta a otras dos formando a un lado ángulos internos, y la suma de estos es menor que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de ese lado.
    El primer postulado lo emplea Euclides, no sólo en el sentido de que por dos puntos pasa una recta, sino de que ésta es única, porque tal unicidad era el noveno de sus axiomas. Es verosímil que este axioma esté intercalado, y algunos consideran que debe colocarse entre los postulados, complementando al primero. El cuarto postulado, que pudiera parecer algo oscuro a una mentalidad moderna, es utilizado por Euclides en el sentido de que cualquier ángulo recto puede superponerse sobre cualquier otro.
    4.4.- Terminología actual
    En términos actuales, estos postulados podrían entenderse así: el primero y el tercero, al afirmar la posibilidad de trazar rectas y círculos, apuntan directamente a la estructura subyacente. Hoy en día, la estructura más natural que hace posibles los conceptos de distancia y curva con dirección constante es la de geometría riemanniana.
    El cuarto postulado afirma que el grupo de las isometrías de la superficie actúa transitivamente en los puntos y los vectores de módulo 1; es decir, dado un vector e de módulo 1 en un punto p y otro vector v de módulo 1 en otro punto q, existe alguna isometría de la superficie que transforma p en q y e en v. Es posible demostrar que las únicas superficies riemannianas que satisfacen tal condición son el plano euclídeo, el plano hiperbólico, el plano proyectivo y la esfera.
    4.5.- EJEMPLOS:
    Si un ángulo interno mide 90 º, el ángulo adyacente mide 90 º.
    La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°
    El cuadrilátero formado por los puntos medios de otro cuadrilátero es un paralelogramo.
    4.6.- Bibliografia:
    http://www.wordreference.com/definicion/postulado
    http://es.wikipedia.org/wiki/Postulado

    Conclusion:
    Teorema
    Es una afirmación puede ser demostrada en un sistema que es formal.
    El contenido del teorema es la relación que hay entre la hipótesis y la tesis o conclusión.
    Colorario
    Se le dice corolario a: una afirmación lógica, consecuencia de un teorema, que puede ser demostrada usando las propiedades del teorema que ya se demostró.
    Axioma
    Un axioma es una premisa que, por considerarse verdadero, puede ser sin demostración, como punto para demostrar otras fórmulas. En matemática hay dos tipos de proposiciones: axiomas lógicos y postulados.
    Postulado
    Un postulado es una proposición que no es evidente ni está demostrada, pero que se acepta ya que no existe otro inicio al que pueda ser referida. También se denomina postulado a los principios de una determinada persona o un grupo.

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