SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMEETRICAS. En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos. La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos.
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMEETRICAS.
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos «r».
PRIMER CUADRANTE:
Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
sen cosec tg cotg cos sec
+ + + + + +
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
sen cosec tg cotg cos sec
+ + – – – –
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (- : – = +)
sen cosec tg cotg cos sec
– – + + – –
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
Cada par de lados homólogos (que se ubican en la misma posición) de un triángulo rectángulo cuyos ángulos sean iguales serán proporcionales. Para que sea más fácil interpretar lo que se está explicando el típico triángulo de catetos de 3 cm y 4 cm, que tendrá su hipotenusa de 5 cm (Pitágoras). Dibujemos otros dos triángulos donde los catetos y la hipotenusa sean el doble y el triple (según corresponda)
Funciones trigonométricas
Autora: Silvia Sokolovsky
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Desde Thales a las funciones Trigonométricas
Cada par de lados homólogos (que se ubican en la misma posición) de un triángulo rectángulo cuyos ángulos sean iguales serán proporcionales. Para que sea más fácil interpretar lo que se está explicando el típico triángulo de catetos de 3 cm y 4 cm, que tendrá su hipotenusa de 5 cm (Pitágoras). Dibujemos otros dos triángulos donde los catetos y la hipotenusa sean el doble y el triple (según corresponda)
La proporcionalidad también puede escribirse respecto a los lados homólogos, dividir el cateto opuesto por la hipotenusa
Lo importante a destacar es que el ángulo en todos los casos es el mismo. Este hecho es importante ya que permite relacionar a los ángulos con la razón de la proporción de los lados. Esta relación presenta la propiedad de unicidad y la propiedad de completitud (para cada par de lados homólogos existe siempre un único valor (razón) relacionado con una determinada [existe y es única] amplitud angular), por lo tanto se establece una función, a las que llamaremos trigonométrica.
Para calcular el valor de las funciones trigonométricas sencillamente escribes el valor del ángulo en la calculadora y tecleas la función correspondiente y en la pantalla saldrá el valor buscado.
Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, repiten el valor de imagen cada 360º. De esa manera tenemos que: cos 60º = cos 420º = 0,5
Grafiquemos, mediante tablas, las siguientes funciones tomando valores angulares desde 0º hasta 360º. Para facilitar el trabajo tomemos ángulos a intervalos de 45º:
El sistema de medición de ángulos que solemos utilizar es el sexagesimal, divide a la circunferencia en seis partes de 60º cada una, obteniendo un giro completo de 360º. Cuando se quiso utilizar este sistema en física, para poder calcular el camino desarrollado por alguna partícula en trayectoria circular, se encontraron que el sistema sexagecimal no los ayudaba pues, matemáticamente, no está relacionado con el arco que describe el cuerpo al moverse. De esa manera se «inventó» otro sistema angular, el sistema circular, donde la medida del ángulo se obtiene al dividir el arco y el radio de la circunferencia. En este sistema un ángulo llano (al dividir el arco por el radio) mide 3,14 (que es el valor aproximado de «p»). De esa manera un giro completo (que es lo mismo que dos ángulos llanos) mide 2p.
Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (- : – = +)
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres cuadros sinópticos
Grados sexagesimales (DEG) 1º=60’=3600» La circunferencia está dividida en 360º
Radianes (RAD) 360º=2·pi radianes.
Razones trigonométricas. Dada una circunferencia de radio r, si tomamos un arco AP, donde A es un punto del semieje positivo de las x y P(x,y), el punto del extremo, se definen las razones trigonométricas del ángulo en la forma:
Seno sen a = ordenada / radio = y / r
Coseno cos a = abscisa / radio = x / r
Tangente tg a = seno / coseno = ordenada / abscisa = y / x
Cotangente cotg a = coseno / seno = abscisa / ordenada = x / y
Secante sec a = 1 / coseno = 1 / (x / r) = r / x
Cosecante cosec a = 1 / seno = 1 / (y / r) = r / y
Signo de las razones. En cada cuadrante, dependiendo del signo de las abscisas y ordenadas
De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado terminal del ángulo y teniendo en cuenta que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas es siempre positiva, y aplicando la «ley de los signos», las funciones trigonométricas pueden ser positivas o negativas.
En la tabla de la parte inferior se resumen los signos de las funciones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes.
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos «r».
En cada cuadrante, dependiendo del signo de las abscisas y ordenadas, las razones presentan los siguientes signos
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.
considerando que la distancia de un punto cualquiera al origen siempre es positiva, vemos que los signos en los distintos cuadrantes son:
I II III IV
Seno + + – –
Coseno + – – +
Tan + – + –
Cot + – + –
Sec + – – +
Csc + + – –
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos “x”; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos “y”. La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos “r”.
SIGNOS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, ladesignaremos «r».
PRIMER CUADRANTE:
Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
sen cosec tg cotg cos sec
+ + + + + +
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
sen cosec tg cotg cos sec
+ + – – – –
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (- : – = +)
sen cosec tg cotg cos sec
– – + + – –
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
sen cosec tg cotg cos sec
– – – – + +
Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres cuadros sinópticos:
En el primer cuadrante «x» es positiva y «y» es positiva.
r=raíz(x^2+y^2), entonces r siempre es positiva.
sen(<)=y/r=+/+=+
cos(<)=x/r=+/+=+
tan(<)=y/x=+/+=+
csc(<)=r/y=+/+=+
sec(<)=r/x=+/+=+
cot(<)=x/y=+/+=+
Esto es el en el pimer cuadrante
En el segundo cuadrante x es negativa y y es positiva, sólo sustituyes los signos.
En el tercer cuadrante las dos, tanto x como y, son negativas
y en el cuarto cuadrante x es positiva y y negativa.
Con lo anterior, y aplicando las identidades trigonométricas fundamentales, considerando sólo su signo, obtenemos que:
I II III IV
seno + + – –
coseno + – – +
tangente + – + –
cotangente + – + –
secante + – – +
cosecante + + – –
El signo de una función trigonométrica.
El signo de un valor funcional trigonométricas de un ángulo (No cuadrantal) se puede determinar fácilmente el cuadrante en el que el lado del terminal de mentiras, que se resumen en la tabla siguiente. En la tabla sólo se considera una revolución de la parte terminal del alrededor del círculo unidad (es decir, de 0 a radianes.) Lo mismo se aplica a los múltiplos enteros de de estos ángulos, ya que estos se coterminales con estos. http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=es&prev=/search%3Fq%3DSigns%2Bof%
Los signos de las funciones de trigonometría en cuadrantes
Cuando triángulos parcela en trigonometría, funciones trigonométricas tienen signos diferentes, dependiendo del cuadrante que son pulg En el cuadrante I, por ejemplo, todas las funciones son positivas. La siguiente figura muestra que las funciones son positivas en cada cuadrante
En el primer cuadrante «x» es positiva y «y» es positiva.
r=raíz(x^2+y^2), entonces r siempre es positiva.
sen(<)=y/r=+/+=+
cos(<)=x/r=+/+=+
tan(<)=y/x=+/+=+
csc(<)=r/y=+/+=+
sec(<)=r/x=+/+=+
cot(<)=x/y=+/+=+
Esto es el en el pimer cuadrante.
En el segundo cuadrante x es negativa y y es positiva, sólo sustituyes los signos.
En el tercer cuadrante las dos, tanto x como y, son negativas
y en el cuarto cuadrante x es positiva y y negativa.
De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado terminal del ángulo y teniendo en cuenta que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas es siempre positiva, y aplicando la "ley de los signos", las funciones trigonométricas pueden ser positivas o negativas.
En la tabla de la parte inferior se resumen los signos de las funciones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes
La idea de ángulos coterminales que consideramos anteriormente,
También se aplica a los ángulos en medida radián, excepto, que sumemos o
restemos múltiplos de rotaciones en radianes. De manera, que por
ejemplo, un ángulo de 2
! es coterminal con un ángulo de 4 5
2
2 2 2 2
! + ! = ! + ! = ! y un ángulo de 3
−! es co terminal con un ángulo de 6 7
2
3 3 3 3
− ! − ! = − ! − ! = − ! .
También podemos verificar evaluando todo en la calculadora en vez de usar fracciones o múltiplos de π. Por ejemplo, evalúa la expresión 3 − !
en tu calculadora y obtendrás −1.047 aproximadamente. Si evalúas la Expresión 7 3−! obtendrás −7.33 aproximadamente. La diferencia entre estos dos valores es −1.047 − (−7.33) = 6.283, lo cual es casi 2π.
Trigonometría es una rama de las matemáticas de antiguo origen, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo ← griego τριγωνο «triángulo» + μετρον «medida».[1]
La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
Unidades angulares
Razones Trigonométricas Recíprocas
Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:
• cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo.
En la primera escena vas a poder observar el signo que tiene la función seno en cada uno de los cuadrantes. Como la cosecante de un ángulo y su seno son números inversos tendrán siempre el mismo signo.
.- Observa que el signo del seno depende del signo de y, ya que r siempre es positivo.
2.Cambia los valores del ángulo A y observa la variación del signo del seno en los diferentes cuadrantes. Analiza por qué es así y escribe una explicación en tu cuaderno.
3.Realiza un esquema como el siguiente para reflejar el signo del seno y de la cosecante:
.- Observa que el signo del seno depende del signo de x, ya que r siempre es positivo.
5.Cambia los valores del ángulo A y observa la variación del signo del coseno en los diferentes cuadrantes. Analiza por qué es así y escribe una explicación en tu cuaderno.
6.Realiza una tabla como la siguiente para reflejar el signo del coseno y de la secante según los cuadrantes:
En esta última escena vas a poder observar el signo que tiene la función tangente en cada uno de los cuadrantes. Como la cotangente de un ángulo y su tangente
En esta última escena vas a poder observar el signo que tiene la función tangente en cada uno de los cuadrantes. Como la cotangente de un ángulo y su tangente son números inversos tendrán siempre el mismo signo.
.- Observa que el signo de la tangente depende de los signos de x y de y.
5.Cambia los valores del ángulo A y observa la variación del signo de la tangente en los diferentes cuadrantes. Analiza por qué es así y escribe una explicación en tu cuaderno.
6.Realiza una tabla como la siguiente para reflejar el signo de la tangente y de la cotangente según los cuadrantes:
Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (- : – = +)
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS SEGUN EL CUADRANTE:
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, ladesignaremos «r».
PRIMER CUADRANTE:
Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
Sen +
Csc +
Tg +
Cot +
Sec +
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
Sen +
Csc +
Tg –
Cot –
Cos –
Sec –
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas ( : = +)
Sen –
Csc –
Tg +
Cot +
Cos –
Sec –
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante
Sen –
Csc –
Tg –
Cot –
Cos +
Sec +
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS SEGUN EL CUADRANTE.
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos «r».
PRIMER CUADRANTE:
Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
sen cosec tg cotg cos sec
+ + + + + +
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
sen cosec tg cotg cos sec
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas ( : = +)
sen cosec tg cotg cos sec
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
sen cosec tg cotg cos sec
Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres cuadros sinópticos:
cuadrantes
II I
III IV
sen – cosec
cos – sec
+
+
tg – cotg
Signos de las funciones trigonométricas
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el ejex, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el ejey, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos»r». Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de lasx, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de lasy . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (− :− =+)
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de lasx, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de lasy. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres cuadros sinópticos
Signos de las funciones trigonométricas.
Las funciones trigonometricas pueden generalizarse para cualquier ángulo que esten en posición normal o standart en el plano cartesiano
Signos de las funciones trigonometricas
En el cuadrante uno todos los valores trigonometricos tienen signo positivo, pues la x como la y tienen signo positivo
*Cuando el lado terminal en el numero dos romano cuadrante el signo de la coordenada es x es negativo y el ordenada «y» espositivo, en este cuadrante las coordenadas «x» y «y» tienen signo negativo
*Cuando el lado terminal de ángulo esta en el cuarto cuadrante las «x» tienen signo positivo y las «y» signo negativo.
Bibliografias: http://memotube.bligoo.com.mx/funciones-trigonometricas
Videografia:
Valor de las funciones trigonométricas
A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:
Circunferencia en radianes.
Circunferencia en grados sexagesimales.
Radianes
Grados
sexagesimales
seno
coseno
tangente
cosecante
secante
cotangente
Para el cálculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron tablas trigonométricas. La primera de estas tablas fue desarrollada por Johann Müller Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informática, en prácticamente todos los lenguajes de programación existen librerías de funciones que realizan estos cálculos, incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto.
Sentido de las funciones trigonométricas
Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y una circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en O; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto E.
Nótese que el punto A es el vértice del triángulo, y O es el centro de coordenada del sistema de referencia:
a todos los efectos.
La recta r, que pasa por O y forma un ángulo sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto B, la vertical que pasa por B, corta al eje x en C, la vertical que pasa por E corta a la recta r en el punto D.
Por semejanza de triángulos:
Los puntos E y B están en la circunferencia de centro O, por eso la distancia y son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:
tenemos:
La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.
Primer cuadrante
Para ver la evolución de las funciones trigonométricas según aumenta el ángulo, daremos una vuelta completa a la circunferencia, viéndolo por cuadrantes, los segmentos correspondientes a cada función trigonométrica variaran de longitud, siendo esta variación función del ángulo, partiendo en el primer cuadrante de un ángulo cero.
Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo .
Para , tenemos que B, D, y C coinciden en E, por tanto:
Si aumentamos progresivamente el valor de , las distancias y aumentarán progresivamente, mientras que disminuirá.
Percatarse que el punto B es de la circunferencia y cuando el ángulo aumenta se desplaza sobre ella.
El punto E es la intersección de la circunferencia con el eje x y no varia de posición.
Los segmentos: y están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en el momento en el que el ángulo rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia será infinita.
El punto C coincide con A y el coseno vale cero. El punto B esta en el eje y en el punto más alto de la circunferencia y el seno toma su mayor valor: uno.
Para un ángulo recto las funciones toman los valores:
Segundo cuadrante
Cuando el ángulo supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento , el coseno aumenta según el segmento , pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.
La tangente para un ángulo inferior a rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por E en el punto D real, en el lado negativo de las y, la tangente por tanto toma valor negativo en el sentido de las y, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo aumenta progresivamente hasta los rad.
Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de , , disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para rad, hasta que valga 0, para rad, el coseno, , toma valor negativo y su valor varia desde 0 para rad, hasta –1, para rad.
La tangente conserva la relación:
incluyendo el signo de estos valores.
Para un ángulo llano tenemos que el punto D esta en E, y B y C coinciden en el eje de las x en el lado opuesto de E, con lo que tenemos:
Tercer cuadrante
En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo rad a rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para rad:
Cuando el ángulo aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.
A medida que el ángulo crece el punto C se acerca a O, y el segmento , el coseno, se hace más pequeño en el lado negativo de las x.
El punto B, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por C, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno, .
Y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por E, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, con lo que la tangente, , aumenta igual que en el primer cuadrante
Cuando el ángulo alcance rad, el punto C coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por E serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y.
El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación:
que se cumple tanto en valor como en signo, nótese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.
Cuarto cuadrante
En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo entre rad y rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para rad:
hasta los que toman para rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación:
como puede verse a medida que el ángulo aumenta, aumenta el coseno en el lado positivo de las x, el seno disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente también disminuye en el lado negativo de las y.
Cuando , vale ó al completar una rotación completa los puntos B, C y D, coinciden en E, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.
Dado el carácter rotativo de las funciones trigonométricas, se puede afirmar en todos los casos:
Que cualquier función trigonométrica toma el mismo valor si se incrementa el ángulo un número entero de rotaciones completas.
Representación gráfica
I II III IV
seno + + – –
coseno + – – +
tangente + – + –
cotangente + – + –
secante + – – +
cosecante + + – –
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos «r».
PRIMER CUADRANTE:
Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
sen cosec tg cotg cos sec
+ + + + + +
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
sen cosec tg cotg cos sec
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas ( : = +)
sen cosec tg cotg cos sec
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
sen cosec tg cotg cos sec
Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres cuadros sinópticos:
cuadrantes
II I
III IV
sen – cosec
cos – sec
+
+
tg – cotg
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS SEGUN EL CUADRANTE.
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos «r».
PRIMER CUADRANTE:
Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
sen cosec tg cotg cos sec
+ + + + + +
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
sen cosec tg cotg cos sec
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas ( : = +)
sen cosec tg cotg cos sec
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
sen cosec tg cotg cos sec
Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres cuadros sinópticos:
cuadrantes
II I
III IV
sen – cosec
cos – sec
+
+
tg – cotg
En el sistema circular se utiliza como unidad de medida el «radián».
En el sistema centesimal se considera a la circunferencia dividida en 400 partes iguales, llamadas «grados centesimales». Cada grado tiene 100 «minutos centesimales» y cada minuto tiene 100 «segundos centesimales».
Equivalencia de un ángulo en el sistema sexagesimal al circular y viceversa. Para medir los ángulos, los sistemas más utilizados son el sexagesimal y el circular. Es conveniente saber convertir un ángulo dado de un sistema a otro.
Qué son ángulos cuadrantes
Signos de las funciones trigonométricas
De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado terminal del ángulo y teniendo en cuenta que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas es siempre positiva, y aplicando la «ley de los signos», las funciones trigonométricas pueden ser positivas o negativas.
En la tabla de la parte inferior se resumen los signos de las funciones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes.
Seno coseno tangente cotangente secante cosecante
I + + + + + +
II + +
III + +
IV + +
Qué son ángulos coterminales
La idea de ángulos coterminales que consideramos anteriormente,
También se aplica a los ángulos en medida radián, excepto, que sumemos o
restemos múltiplos de rotaciones en radianes. De manera, que por
ejemplo, un ángulo de 2
! es coterminal con un ángulo de 4 5
2
2 2 2 2
! + ! = ! + ! = ! y un ángulo de 3
−! es co terminal con un ángulo de 6 7
2
3 3 3 3
− ! − ! = − ! − ! = − ! .
También podemos verificar evaluando todo en la calculadora en vez de usar fracciones o múltiplos de π. Por ejemplo, evalúa la expresión 3 − !
en tu calculadora y obtendrás −1.047 aproximadamente. Si evalúas la Expresión 7 3−! obtendrás −7.33 aproximadamente. La diferencia entre estos dos valores es −1.047 − (−7.33) = 6.283, lo cual es casi 2π.
1. Verifica que
2
! Es co terminal con 5
2
! , sin usar tú
Calculadora.
2. Verifica que
2
! Es co terminal con 5
2
! , usando tú
Calculadora.
Aunque siempre podemos convertir todo de nuevo a medidas degrados, y convertirlas de nuevo a medidas radianes, esto no es eficiente.
En general, si un ángulo está dado en radianes, es mejor encontrar los ángulos coterminales en radianes.
Que son ángulos de referencia
Funciones trigonométricas definidas con ángulos
Si q es un ángulo arbitrario en la posición estándar o normal en un sistema de coordenadas cartesianas y P(a,b) es un punto a r unidades del origen en el lado terminal de q, entonces:
b
P (a, b)
r b
q
a
a
Nota: El triángulo rectángulo que se forma al dibujar una perpendicular de P(a,b) al eje horizontal se llama triángulo de referencia asociado con el ángulo .
Ejemplos para discusión:
1) Halla el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas para el ángulo q cuyo lado terminal contiene el punto P(-3,-4).
2) Halla el valor de cada una de las otras cinco funciones trigonométricas para un ángulo q (sin hallar q) dado que es un ángulo en el Cuadrante IV si :
Ejercicio de práctica:
1) Halla el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas si el lado terminal de q contiene al punto P (-6,-8).
2) Halla el valor de cada una de las otras cinco funciones trigonométricas para un ángulo q (sin hallar q) dado que es un ángulo en el Cuadrante II si:
Triángulo de referencia y ángulo de referencia
Para dibujar un triángulo de referencia para un ángulo q, se dibuja una línea perpendicular desde un punto P(a, b) en el lado terminal de q al eje horizontal. El ángulo de referencia a es el ángulo agudo (siempre positivo) entre el lado terminal de q y el eje horizontal.
Reglas de los ángulos de referencia
En cimentaciones se denomina capacidad portante a la capacidad del terreno para soportar las cargas aplicadas sobre él. Técnicamente la capacidad portante es la máxima presión media de contacto entre la cimentación y el terreno tal que no se produzcan un fallo por cortante del suelo o un asentamiento diferencial excesivo. Por tanto la capacidad portante admisible debe estar basada en uno de los siguientes criterios funcionales:
• Si la función del terreno de cimentación es soportar una determinada tensión independientemente de la deformación, la capacidad portante se denominará carga de hundimiento.
• Si lo que se busca es un equilibrio entre la tensión aplicada al terreno y la deformación sufrida por éste, deberá calcularse la capacidad portante a partir de criterios de asiento admisible.
De manera análoga, la expresión capacidad portante se utiliza en las demás ramas de la ingeniería para referir a la capacidad de una estructura para soportar las cargas aplicadas sobre la misma.
Valores de las funciones trigonometrías
La trigonometría es una rama de las matemáticas de antiguo origen, cuyo significado etimológico es «la medición de los triángulos». Se deriva del vocablo ← griego τριγωνο «triángulo» + μετρον «medida».[1]
La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
Unidades angulares
Razones Trigonométricas Recíprocas
Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:
• cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:
• secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:
• cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:
Múltiplos
Múltiplos de 30 son
3,6,30
^^^de 45
9,,5,45
66
33,11,6,66
Conclusión
En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.
Bibliografía: http://www.monografias.com/trabajos65/funciones-trigonometricas-caracteristicas-angulos/funciones-trigonometricas-caracteristicas-angulos2.shtml
Videografia:
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos «r».
PRIMER CUADRANTE:
Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
sen
cosec
tg
cotg
cos
sec
+
+
+
+
+
+
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
sen cosec tg
cotg cos sec
+ + – – – –
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (- : – = +)
sen cosec tg cotg cos sec
– – + + – –
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
sen cosec tg cotg cos sec
– – – – + +
Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres cuadros sinópticos:
cuadrantes
II I
III IV
sen – cosec
+ +
– –
cos – sec
– +
– +
tg – cotg
– +
+ –
Signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el ejex, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el ejey, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos»r». Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas. sen cosec tg cotg cossec + + + + + + En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de lasx, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de lasy . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos. sen cosectg cotg cossec + + − − − − En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (− :− =+) sen cosec tg cotg cossec − − + + − −
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de lasx, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de lasy. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante. sen cosec tg cotg cossec − − − − + + Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el el cuadrante en tres cuadros sinópticos
De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado terminal del ángulo y teniendo en cuenta que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas es siempre positiva, y aplicando la «ley de los signos», las funciones trigonométricas pueden ser positivas o negativas.
Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en cuadros sinópticos:
Conclusión
En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, ladesignaremos «r».
PRIMER CUADRANTE:
Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
sen cosec tg cotg cos sec
+ + + + + +
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (: = +)
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
Cada par de lados homólogos (que se ubican en la misma posición) de un triángulo rectángulo cuyos ángulos sean iguales serán proporcionales. Para que sea más fácil interpretar lo que se está explicando el típico triángulo de catetos de 3 cm y 4 cm, que tendrá su hipotenusa de 5 cm (Pitágoras).
La proporcionalidad también puede escribirse respecto a los lados homólogos, dividir el cateto opuesto por la hipotenusa.
Lo importante a destacar es que el ángulo en todos los casos es el mismo. Este hecho es importante ya que permite relacionar a los ángulos con la razón de la proporción de los lados. Esta relación presenta la propiedad de unicidad y la propiedad de completitud (para cada par de lados homólogos existe siempre un único valor (razón) relacionado con una determinada [existe y es única] amplitud angular), por lo tanto se establece una función, a las que llamaremos trigonométrica.
Funciones Trigonométricas
Si dividimos llamaremos a esta función seno.
Si dividimos llamaremos a esta función Coseno
Si dividimos llamaremos a esta función Tangente.
Si dividimos llamaremos a esta función Cosecante.
Si dividimos llamaremos a esta función Secante.
Si dividimos llamaremos a esta función Cotangente.
La función seno y cosecante son inversas, así como lo son coseno y secante, y tangente con cotangente.
Para calcular el valor de las funciones trigonométricas sencillamente escribes el valor del ángulo en la calculadora y tecleas la función correspondiente y en la pantalla saldrá el valor buscado.
Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, repiten el valor de imagen cada 360º. De esa manera tenemos que: cos 60º = cos 420º = 0,5
Definimos las funciones trigonométricas para ángulos superiores a 90 ° de la siguiente manera:
Por Pitágoras, r = . A continuación, las razones son las siguientes:
pecado θ = y / r
cos θ = x / r
tan θ = y / x
csc θ = r / y
sec θ = r / x
Cuna θ = x / y
¿Cómo se diferencia de las definiciones que ya se reunió en la sección 2, del seno, coseno, tangente y las relaciones recíprocas ? La única diferencia es que ahora X o Y (o ambos) puede ser negativo porque nuestro ángulo de ahora pueden estar en cualquier cuadrante. De ello se deduce que las razones trigonométricas se puede llegar a ser negativo o positivo. En la sección anterior, los ángulos involucrados fueron siempre inferiores a 90 ° para los 6 coeficientes fueron positivos.
Tenga en cuenta que r es siempre positivo.
Ejemplo
Vamos a ver cómo las razones trigonométricas se definen mediante un ejemplo concreto. Deje que nuestro ángulo θ se define por el punto (-2,3) de la siguiente manera:
Por Pitágoras,
Para este ejemplo, definimos las razones trigonométricas de θ de la siguiente manera:
Los cuatro cuadrantes – positivos o negativos?
Observe en el ejemplo anterior, que fue nuestro ángulo en el segundo cuadrante. Observe también que en el segundo cuadrante, el valor y es positivo. Dado que r es siempre positivo, entonces y / r siempre será positivo en el cuadrante II. Así llegamos a la conclusión θ pecado siempre va a ser positivo en el segundo cuadrante.
También observe si (en el caso θ cos), que x fue negativo. En el segundo cuadrante, x es siempre negativa. Por lo tanto θ cos siempre será negativo allí, también.
Para el caso θ bronceado, y es positivo y x es negativo, por lo que y / x siempre será negativo.
Teniendo en cuenta los otros cuadrantes, vemos un patrón.
En el cuadrante II, θ pecado es positivo, θ cos θ y tan son negativos.
En el cuadrante III, θ es tan positivo (X e Y son negativos, por lo que y / x es positivo), θ pecado y θ cos son negativos.
En el cuadrante IV, cos θ es positiva, el pecado y θ θ bronceado son negativos.
Por supuesto, las relaciones recíprocas, csc θ, θ s y θ cuna siguen el mismo patrón:
En el cuadrante II, csc θ es positiva, θ sec y cot θ son negativos.
En el cuadrante III, θ cuna, csc θ positiva y θ s son negativos.
En el cuadrante IV, sec θ es positiva, csc θ y θ cuna son negativos.
No necesitamos recordar los recíprocos de recitar de memoria, pero se recomienda que se acuerde en el pecado θ, θ cos θ y tan son positivos.
Utilizamos este diagrama para recordar lo que son relaciones positivas en cada cuadrante. Podemos recordar que el uso:
T odos S taciones T o C entral.
Esto significa: En el primer cuadrante (I), todas las relaciones son positivas.
En el segundo cuadrante (II), seno (y cosec) son positivos.
En el tercer cuadrante (III), tan (y Cotán) son positivos.
En el cuarto cuadrante (IV), cos (y segundo) son positivos.
Estos sólo tienes que seguir desde el signo (+ o -) de x o y de cada cuadrante, como vimos más arriba.
Estas señales son importantes cuando estamos encontrando un ángulo de una razón dada. http://www.intmath.com/trigonometric-functions/5-signs-of-trigonometric- functions.php
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS SEGUN EL CUADRANTE
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos «r».
PRIMER CUADRANTE:
Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
sen cosec tg cotg cos sec
+ + + + + +
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
sen cosec tg cotg cos sec
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas ( : = +)
sen cosec tg cotg cos sec
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
sen cosec tg cotg cos sec
Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres cuadros sinópticos:
cuadrantes
II I
III IV
sen – cosec
cos – sec
+
+
tg – cotg
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos «r».
PRIMER CUADRANTE:
Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
sen
cosec
tg
cotg
cos
sec
+
+
+
+
+
+
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
sen cosec tg
cotg cos sec
+ + – – – –
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (- : – = +)
sen cosec tg cotg cos sec
– – + + – –
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
sen cosec tg cotg cos sec
– – – – + +
Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres cuadros sinópticos:
cuadrantes
II I
III IV
sen – cosec
+ +
– –
cos – sec
– +
– +
tg – cotg
– +
+ –
El profe nos comentó lo fácil que era obtener los signos de las funciones trigonométricas, ya que sólo bastaba determinar las de seno y coseno, y a partir de ellos los restantes. como ya no creemos en la palabra fácil optamos por «ver para creer».
Con lo anterior, y aplicando las identidades trigonométricas fundamentales, considerando sólo su signo, obtenemos que:
I
II
III
IV
seno
+
+
–
–
coseno
+
–
–
+
tangente
+
–
+
–
cotangente
+
–
+
–
secante
+
–
–
+
cosecante
+
+
–
–
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Signos de las Funciones Trigonométricas
De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado terminal del ángulo y teniendo en cuenta que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas es siempre positiva, y aplicando la «ley de los signos», las funciones trigonométricas pueden ser positivas o negativas.
En la tabla de la parte inferior se resumen los signos de las funciones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes.
seno coseno tangente cotangente secante cosecante
I + + + + + +
II +
1. Cada par de lados homólogos (que se ubican en la misma posición) de un triángulo rectángulo cuyos ángulos sean iguales serán proporcionales. Para que sea más fácil interpretar lo que se está explicando el típico triángulo de catetos de 3 cm y 4 cm, que tendrá su hipotenusa de 5 cm (Pitágoras). Dibujemos otros dos triángulos donde los catetos y la hipotenusa sean el doble y el triple (según corresponda)
La proporcionalidad también puede escribirse respecto a los lados homólogos, dividir el cateto opuesto por la hipotenusa
Lo importante a destacar es que el ángulo en todos los casos es el mismo. Este hecho es importante ya que permite relacionar a los ángulos con la razón de la proporción de los lados. Esta relación presenta la propiedad de unicidad y la propiedad de completitud (para cada par de lados homólogos existe siempre un único valor (razón) relacionado con una determinada [existe y es única] amplitud angular), por lo tanto se establece una función, a las que llamaremos trigonométrica.
Para calcular el valor de las funciones trigonométricas sencillamente escribes el valor del ángulo en la calculadora y tecleas la función correspondiente y en la pantalla saldrá el valor buscado.
Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, repiten el valor de imagen cada 360º. De esa manera tenemos que: cos 60º = cos 420º = 0,5
Geometría y Trigonometría 
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMEETRICAS. En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos. La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos.
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMEETRICAS.
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos «r».
PRIMER CUADRANTE:
Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
sen cosec tg cotg cos sec
+ + + + + +
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
sen cosec tg cotg cos sec
+ + – – – –
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (- : – = +)
sen cosec tg cotg cos sec
– – + + – –
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
sen cosec tg cotg cos sec
– – – – + +
Bibliografia:
http://trigo07.lacoctelera.net/post/2007/09/08/signos-las-funciones-trigonometricas-segun-cuadrante
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Cada par de lados homólogos (que se ubican en la misma posición) de un triángulo rectángulo cuyos ángulos sean iguales serán proporcionales. Para que sea más fácil interpretar lo que se está explicando el típico triángulo de catetos de 3 cm y 4 cm, que tendrá su hipotenusa de 5 cm (Pitágoras). Dibujemos otros dos triángulos donde los catetos y la hipotenusa sean el doble y el triple (según corresponda)
Funciones trigonométricas
Autora: Silvia Sokolovsky
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Desde Thales a las funciones Trigonométricas
Cada par de lados homólogos (que se ubican en la misma posición) de un triángulo rectángulo cuyos ángulos sean iguales serán proporcionales. Para que sea más fácil interpretar lo que se está explicando el típico triángulo de catetos de 3 cm y 4 cm, que tendrá su hipotenusa de 5 cm (Pitágoras). Dibujemos otros dos triángulos donde los catetos y la hipotenusa sean el doble y el triple (según corresponda)
La proporcionalidad también puede escribirse respecto a los lados homólogos, dividir el cateto opuesto por la hipotenusa
Lo importante a destacar es que el ángulo en todos los casos es el mismo. Este hecho es importante ya que permite relacionar a los ángulos con la razón de la proporción de los lados. Esta relación presenta la propiedad de unicidad y la propiedad de completitud (para cada par de lados homólogos existe siempre un único valor (razón) relacionado con una determinada [existe y es única] amplitud angular), por lo tanto se establece una función, a las que llamaremos trigonométrica.
Para calcular el valor de las funciones trigonométricas sencillamente escribes el valor del ángulo en la calculadora y tecleas la función correspondiente y en la pantalla saldrá el valor buscado.
Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, repiten el valor de imagen cada 360º. De esa manera tenemos que: cos 60º = cos 420º = 0,5
Grafiquemos, mediante tablas, las siguientes funciones tomando valores angulares desde 0º hasta 360º. Para facilitar el trabajo tomemos ángulos a intervalos de 45º:
El sistema de medición de ángulos que solemos utilizar es el sexagesimal, divide a la circunferencia en seis partes de 60º cada una, obteniendo un giro completo de 360º. Cuando se quiso utilizar este sistema en física, para poder calcular el camino desarrollado por alguna partícula en trayectoria circular, se encontraron que el sistema sexagecimal no los ayudaba pues, matemáticamente, no está relacionado con el arco que describe el cuerpo al moverse. De esa manera se «inventó» otro sistema angular, el sistema circular, donde la medida del ángulo se obtiene al dividir el arco y el radio de la circunferencia. En este sistema un ángulo llano (al dividir el arco por el radio) mide 3,14 (que es el valor aproximado de «p»). De esa manera un giro completo (que es lo mismo que dos ángulos llanos) mide 2p.
Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (- : – = +)
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres cuadros sinópticos
http://www.google.com/imgres?imgurl=http://www.monografias.com/trabajos65/funciones-trigonometricas-caracteristicas-angulos/funciones-trigonometricas-caracteristicas-angulos_image007.gif&imgrefurl=http://www.monografias.com/trabajos65/funciones-trigonometricas-caracteristicas-angulos/funciones-trigonometricas-caracteristicas-angulos2.shtml&usg=__InnlwmDsphg0NVUW0FKujR75Q6Q=&h=225&w=250&sz=3&hl=es&start=0&zoom=1&tbnid=0KYIN0MILNC2SM:&tbnh=125&tbnw=139&ei=_rbMTdjPEOjt0gHD093jBA&prev=/search%3Fq%3Dsignos%2Bde%2Bfunciones%2Btrigonometricas%26um%3D1%26hl%3Des%26sa%3DN%26biw%3D1003%26bih%3D415%26tbm%3Disch&um=1&itbs=1&iact=rc&dur=156&page=1&ndsp=10&ved=1t:429,r:0,s:0&tx=101&ty=76
http://www.google.com/imgres?imgurl=http://html.rincondelvago.com/0002058922.png&imgrefurl=http://html.rincondelvago.com/trigonometria_9.html&usg=__sLQyxxY4aqZKyU-fwrgtrL_OEI8=&h=229&w=396&sz=6&hl=es&start=0&zoom=1&tbnid=qyDDoyhzE_1SDM:&tbnh=94&tbnw=162&ei=_rbMTdjPEOjt0gHD093jBA&prev=/search%3Fq%3Dsignos%2Bde%2Bfunciones%2Btrigonometricas%26um%3D1%26hl%3Des%26sa%3DN%26biw%3D1003%26bih%3D415%26tbm%3Disch&um=1&itbs=1&iact=rc&dur=125&page=1&ndsp=10&ved=1t:429,r:3,s:0&tx=77&ty=45
http://www.google.com/imgres?imgurl=http://kambry.es/Apuntes%2520Web/Paginas%2520web%2520de%2520Matematicas/Analisis_Algebra/imagenes/Matematica/trigonometria/Func_T26.gif&imgrefurl=http://kambry.es/Apuntes%2520Web/Paginas%2520web%2520de%2520Matematicas/Analisis_Algebra/matem/matematica/Func_Trigonometrica.htm&usg=__e7jj0pgw11isqp5w-rK_1XlagOw=&h=201&w=340&sz=25&hl=es&start=10&zoom=1&tbnid=b2y6az5gM3bZEM:&tbnh=91&tbnw=154&ei=dbfMTevJBtGbtwe7orS3BQ&prev=/search%3Fq%3Dsignos%2Bde%2Bfunciones%2Btrigonometricas%26um%3D1%26hl%3Des%26sa%3DN%26biw%3D1003%26bih%3D415%26tbm%3Disch&um=1&itbs=1&iact=rc&dur=219&page=2&ndsp=10&ved=1t:429,r:0,s:10&tx=116&ty=49
http://www.google.com/imgres?imgurl=http://4.bp.blogspot.com/_pTLom3c-2K4/SbtTC80n3wI/AAAAAAAAAYI/16ll42kTn4A/s400/ejemp…..jpg&imgrefurl=http://estaticajoo.blogspot.com/2009/02/componentes-rectangulares-de-una-fuerza.html&usg=__YkR02AIDczd3xfdu-TaXB-q1cIs=&h=400&w=319&sz=15&hl=es&start=10&zoom=1&tbnid=IM0mRup9Z22KmM:&tbnh=116&tbnw=93&ei=pending&prev=/search%3Fq%3Dsignos%2Bde%2Bfunciones%2Btrigonometricas%26um%3D1%26hl%3Des%26sa%3DN%26biw%3D1003%26bih%3D415%26tbm%3Disch0%2C404&um=1&itbs=1&iact=hc&vpx=777&vpy=53&dur=1201&hovh=251&hovw=200&tx=143&ty=131&page=2&ndsp=10&ved=1t:429,r:9,s:10&biw=1003&bih=415
http://www.google.com/imgres?imgurl=http://usuarios.multimania.es/inemitas/INEM/TEMASMAT/trigo/funcionestrigo/image001.png&imgrefurl=http://usuarios.multimania.es/inemitas/INEM/TEMASMAT/trigo/funcionestrigo.html&usg=__oyJDJ4w3S2zC1RzBjhALfVyToNU=&h=261&w=603&sz=5&hl=es&start=20&zoom=1&tbnid=M8vOrip8-DUuLM:&tbnh=62&tbnw=144&ei=pending&prev=/search%3Fq%3Dsignos%2Bde%2Bfunciones%2Btrigonometricas%26um%3D1%26hl%3Des%26sa%3DN%26biw%3D1003%26bih%3D415%26tbm%3Disch0%2C602&um=1&itbs=1&biw=1003&bih=415&iact=rc&dur=219&page=3&ndsp=12&ved=1t:429,r:8,s:20&tx=46&ty=34
Medida de ángulos.
Grados sexagesimales (DEG) 1º=60’=3600» La circunferencia está dividida en 360º
Radianes (RAD) 360º=2·pi radianes.
Razones trigonométricas. Dada una circunferencia de radio r, si tomamos un arco AP, donde A es un punto del semieje positivo de las x y P(x,y), el punto del extremo, se definen las razones trigonométricas del ángulo en la forma:
Seno sen a = ordenada / radio = y / r
Coseno cos a = abscisa / radio = x / r
Tangente tg a = seno / coseno = ordenada / abscisa = y / x
Cotangente cotg a = coseno / seno = abscisa / ordenada = x / y
Secante sec a = 1 / coseno = 1 / (x / r) = r / x
Cosecante cosec a = 1 / seno = 1 / (y / r) = r / y
Signo de las razones. En cada cuadrante, dependiendo del signo de las abscisas y ordenadas
las ligas que mandaste no son de imagenes.
las ligas de las imagenes no estan correctas
Signos de las funciones trigonométricas:
De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado terminal del ángulo y teniendo en cuenta que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas es siempre positiva, y aplicando la «ley de los signos», las funciones trigonométricas pueden ser positivas o negativas.
En la tabla de la parte inferior se resumen los signos de las funciones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes.
bibliografia:
http://www.proyectosalonhogar.com/Trigonometria/P5.htm
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos «r».
En cada cuadrante, dependiendo del signo de las abscisas y ordenadas, las razones presentan los siguientes signos
bibliografia:
http://www.ucm.es/info/Geofis/practicas/trigonometria.htm
videografia:
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.
considerando que la distancia de un punto cualquiera al origen siempre es positiva, vemos que los signos en los distintos cuadrantes son:
I II III IV
Seno + + – –
Coseno + – – +
Tan + – + –
Cot + – + –
Sec + – – +
Csc + + – –
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos “x”; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos “y”. La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos “r”.
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SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
en el primer cuadrante «x» es positiva y «y» es positiva.
r=raíz(x^2+y^2), entonces r siempre es positiva.
sen(<)=y/r=+/+=+
cos(<)=x/r=+/+=+
tan(<)=y/x=+/+=+
csc(<)=r/y=+/+=+
sec(<)=r/x=+/+=+
cot(<)=x/y=+/+=+
Esto es el en el pimer cuadrante
En el segundo cuadrante x es negativa y y es positiva, sólo sustituyes los signos.
En el tercer cuadrante las dos, tanto x como y, son negativas
y en el cuarto cuadrante x es positiva y y negativa.
BIBLIOGRAFIA
http://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20091012155400AAEg9XW
IMÁGENES
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SIGNOS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, ladesignaremos «r».
PRIMER CUADRANTE:
Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
sen cosec tg cotg cos sec
+ + + + + +
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
sen cosec tg cotg cos sec
+ + – – – –
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (- : – = +)
sen cosec tg cotg cos sec
– – + + – –
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
sen cosec tg cotg cos sec
– – – – + +
Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres cuadros sinópticos:
En el primer cuadrante «x» es positiva y «y» es positiva.
r=raíz(x^2+y^2), entonces r siempre es positiva.
sen(<)=y/r=+/+=+
cos(<)=x/r=+/+=+
tan(<)=y/x=+/+=+
csc(<)=r/y=+/+=+
sec(<)=r/x=+/+=+
cot(<)=x/y=+/+=+
Esto es el en el pimer cuadrante
En el segundo cuadrante x es negativa y y es positiva, sólo sustituyes los signos.
En el tercer cuadrante las dos, tanto x como y, son negativas
y en el cuarto cuadrante x es positiva y y negativa.
Con lo anterior, y aplicando las identidades trigonométricas fundamentales, considerando sólo su signo, obtenemos que:
I II III IV
seno + + – –
coseno + – – +
tangente + – + –
cotangente + – + –
secante + – – +
cosecante + + – –
El signo de una función trigonométrica.
El signo de un valor funcional trigonométricas de un ángulo (No cuadrantal) se puede determinar fácilmente el cuadrante en el que el lado del terminal de mentiras, que se resumen en la tabla siguiente. En la tabla sólo se considera una revolución de la parte terminal del alrededor del círculo unidad (es decir, de 0 a radianes.) Lo mismo se aplica a los múltiplos enteros de de estos ángulos, ya que estos se coterminales con estos.
http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=es&prev=/search%3Fq%3DSigns%2Bof%
Los signos de las funciones de trigonometría en cuadrantes
Cuando triángulos parcela en trigonometría, funciones trigonométricas tienen signos diferentes, dependiendo del cuadrante que son pulg En el cuadrante I, por ejemplo, todas las funciones son positivas. La siguiente figura muestra que las funciones son positivas en cada cuadrante
Bibliografía:
http://www.dummies.com/how-to/content/signs-of-trigonometry-functions-in-quadrants.html
http://aah.ryan-usa.com/node70.html
Signos de las funciones trigonometricas.
En el primer cuadrante «x» es positiva y «y» es positiva.
r=raíz(x^2+y^2), entonces r siempre es positiva.
sen(<)=y/r=+/+=+
cos(<)=x/r=+/+=+
tan(<)=y/x=+/+=+
csc(<)=r/y=+/+=+
sec(<)=r/x=+/+=+
cot(<)=x/y=+/+=+
Esto es el en el pimer cuadrante.
En el segundo cuadrante x es negativa y y es positiva, sólo sustituyes los signos.
En el tercer cuadrante las dos, tanto x como y, son negativas
y en el cuarto cuadrante x es positiva y y negativa.
De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado terminal del ángulo y teniendo en cuenta que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas es siempre positiva, y aplicando la "ley de los signos", las funciones trigonométricas pueden ser positivas o negativas.
En la tabla de la parte inferior se resumen los signos de las funciones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes
La idea de ángulos coterminales que consideramos anteriormente,
También se aplica a los ángulos en medida radián, excepto, que sumemos o
restemos múltiplos de rotaciones en radianes. De manera, que por
ejemplo, un ángulo de 2
! es coterminal con un ángulo de 4 5
2
2 2 2 2
! + ! = ! + ! = ! y un ángulo de 3
−! es co terminal con un ángulo de 6 7
2
3 3 3 3
− ! − ! = − ! − ! = − ! .
También podemos verificar evaluando todo en la calculadora en vez de usar fracciones o múltiplos de π. Por ejemplo, evalúa la expresión 3 − !
en tu calculadora y obtendrás −1.047 aproximadamente. Si evalúas la Expresión 7 3−! obtendrás −7.33 aproximadamente. La diferencia entre estos dos valores es −1.047 − (−7.33) = 6.283, lo cual es casi 2π.
Trigonometría es una rama de las matemáticas de antiguo origen, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Se deriva del vocablo ← griego τριγωνο «triángulo» + μετρον «medida».[1]
La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
Unidades angulares
Razones Trigonométricas Recíprocas
Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:
• cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo.
En la primera escena vas a poder observar el signo que tiene la función seno en cada uno de los cuadrantes. Como la cosecante de un ángulo y su seno son números inversos tendrán siempre el mismo signo.
.- Observa que el signo del seno depende del signo de y, ya que r siempre es positivo.
2.Cambia los valores del ángulo A y observa la variación del signo del seno en los diferentes cuadrantes. Analiza por qué es así y escribe una explicación en tu cuaderno.
3.Realiza un esquema como el siguiente para reflejar el signo del seno y de la cosecante:
.- Observa que el signo del seno depende del signo de x, ya que r siempre es positivo.
5.Cambia los valores del ángulo A y observa la variación del signo del coseno en los diferentes cuadrantes. Analiza por qué es así y escribe una explicación en tu cuaderno.
6.Realiza una tabla como la siguiente para reflejar el signo del coseno y de la secante según los cuadrantes:
En esta última escena vas a poder observar el signo que tiene la función tangente en cada uno de los cuadrantes. Como la cotangente de un ángulo y su tangente
En esta última escena vas a poder observar el signo que tiene la función tangente en cada uno de los cuadrantes. Como la cotangente de un ángulo y su tangente son números inversos tendrán siempre el mismo signo.
.- Observa que el signo de la tangente depende de los signos de x y de y.
5.Cambia los valores del ángulo A y observa la variación del signo de la tangente en los diferentes cuadrantes. Analiza por qué es así y escribe una explicación en tu cuaderno.
6.Realiza una tabla como la siguiente para reflejar el signo de la tangente y de la cotangente según los cuadrantes:
Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (- : – = +)
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
Bibiografia
http://trigo07.lacoctelera.net/post/2007/09/08/signos-las-funciones-trigonometricas-segun-cuadrante
http://es.scribd.com/doc/50673273/54/SIGNOS-DE-LAS-FUNCIONES-TRIGONOMETRICAS-SEGUN-EL-CUADRANTE
imagenes
-Alexa Espino Solis-
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS SEGUN EL CUADRANTE:
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, ladesignaremos «r».
PRIMER CUADRANTE:
Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
Sen +
Csc +
Tg +
Cot +
Sec +
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
Sen +
Csc +
Tg –
Cot –
Cos –
Sec –
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas ( : = +)
Sen –
Csc –
Tg +
Cot +
Cos –
Sec –
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante
Sen –
Csc –
Tg –
Cot –
Cos +
Sec +
bibliografia:
http://trigo07.lacoctelera.net/post/2007/09/08/signos-las-funciones-trigonometricas-segun-cuadrante
videografia:
–Alexa Espino Solis 2 H–
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS SEGUN EL CUADRANTE.
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos «r».
PRIMER CUADRANTE:
Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
sen cosec tg cotg cos sec
+ + + + + +
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
sen cosec tg cotg cos sec
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas ( : = +)
sen cosec tg cotg cos sec
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
sen cosec tg cotg cos sec
Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres cuadros sinópticos:
cuadrantes
II I
III IV
sen – cosec
cos – sec
+
+
tg – cotg
Imagen 1
video
Bibliografía:
http://trigo07.lacoctelera.net/post/2007/09/08/signos-las-funciones-trigonometricas-segun-cuadrante
Signos de las funciones trigonométricas
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el ejex, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el ejey, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos»r». Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de lasx, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de lasy . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (− :− =+)
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de lasx, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de lasy. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres cuadros sinópticos
Bibliografia
http://es.scribd.com/doc/33597935/Signos-de-las-funciones-trigonometricas-segun-el-cuadrante
Videografia:
Signos de las funciones trigonométricas.
Las funciones trigonometricas pueden generalizarse para cualquier ángulo que esten en posición normal o standart en el plano cartesiano
Signos de las funciones trigonometricas
En el cuadrante uno todos los valores trigonometricos tienen signo positivo, pues la x como la y tienen signo positivo
*Cuando el lado terminal en el numero dos romano cuadrante el signo de la coordenada es x es negativo y el ordenada «y» espositivo, en este cuadrante las coordenadas «x» y «y» tienen signo negativo
*Cuando el lado terminal de ángulo esta en el cuarto cuadrante las «x» tienen signo positivo y las «y» signo negativo.
Bibliografias:
http://memotube.bligoo.com.mx/funciones-trigonometricas
Videografia:
Valor de las funciones trigonométricas
A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:
Circunferencia en radianes.
Circunferencia en grados sexagesimales.
Radianes
Grados
sexagesimales
seno
coseno
tangente
cosecante
secante
cotangente
Para el cálculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron tablas trigonométricas. La primera de estas tablas fue desarrollada por Johann Müller Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informática, en prácticamente todos los lenguajes de programación existen librerías de funciones que realizan estos cálculos, incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto.
Sentido de las funciones trigonométricas
Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y una circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en O; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto E.
Nótese que el punto A es el vértice del triángulo, y O es el centro de coordenada del sistema de referencia:
a todos los efectos.
La recta r, que pasa por O y forma un ángulo sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto B, la vertical que pasa por B, corta al eje x en C, la vertical que pasa por E corta a la recta r en el punto D.
Por semejanza de triángulos:
Los puntos E y B están en la circunferencia de centro O, por eso la distancia y son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas:
tenemos:
La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta.
Primer cuadrante
Para ver la evolución de las funciones trigonométricas según aumenta el ángulo, daremos una vuelta completa a la circunferencia, viéndolo por cuadrantes, los segmentos correspondientes a cada función trigonométrica variaran de longitud, siendo esta variación función del ángulo, partiendo en el primer cuadrante de un ángulo cero.
Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo .
Para , tenemos que B, D, y C coinciden en E, por tanto:
Si aumentamos progresivamente el valor de , las distancias y aumentarán progresivamente, mientras que disminuirá.
Percatarse que el punto B es de la circunferencia y cuando el ángulo aumenta se desplaza sobre ella.
El punto E es la intersección de la circunferencia con el eje x y no varia de posición.
Los segmentos: y están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en el momento en el que el ángulo rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia será infinita.
El punto C coincide con A y el coseno vale cero. El punto B esta en el eje y en el punto más alto de la circunferencia y el seno toma su mayor valor: uno.
Para un ángulo recto las funciones toman los valores:
Segundo cuadrante
Cuando el ángulo supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento , el coseno aumenta según el segmento , pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.
La tangente para un ángulo inferior a rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por E en el punto D real, en el lado negativo de las y, la tangente por tanto toma valor negativo en el sentido de las y, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo aumenta progresivamente hasta los rad.
Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de , , disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para rad, hasta que valga 0, para rad, el coseno, , toma valor negativo y su valor varia desde 0 para rad, hasta –1, para rad.
La tangente conserva la relación:
incluyendo el signo de estos valores.
Para un ángulo llano tenemos que el punto D esta en E, y B y C coinciden en el eje de las x en el lado opuesto de E, con lo que tenemos:
Tercer cuadrante
En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo rad a rad, se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para rad:
Cuando el ángulo aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante.
A medida que el ángulo crece el punto C se acerca a O, y el segmento , el coseno, se hace más pequeño en el lado negativo de las x.
El punto B, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por C, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno, .
Y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por E, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, con lo que la tangente, , aumenta igual que en el primer cuadrante
Cuando el ángulo alcance rad, el punto C coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por E serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y.
El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación:
que se cumple tanto en valor como en signo, nótese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito.
Cuarto cuadrante
En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo entre rad y rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para rad:
hasta los que toman para rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación:
como puede verse a medida que el ángulo aumenta, aumenta el coseno en el lado positivo de las x, el seno disminuye en el lado negativo de las y, y la tangente también disminuye en el lado negativo de las y.
Cuando , vale ó al completar una rotación completa los puntos B, C y D, coinciden en E, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.
Dado el carácter rotativo de las funciones trigonométricas, se puede afirmar en todos los casos:
Que cualquier función trigonométrica toma el mismo valor si se incrementa el ángulo un número entero de rotaciones completas.
Representación gráfica
I II III IV
seno + + – –
coseno + – – +
tangente + – + –
cotangente + – + –
secante + – – +
cosecante + + – –
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos «r».
PRIMER CUADRANTE:
Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
sen cosec tg cotg cos sec
+ + + + + +
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
sen cosec tg cotg cos sec
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas ( : = +)
sen cosec tg cotg cos sec
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
sen cosec tg cotg cos sec
Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres cuadros sinópticos:
cuadrantes
II I
III IV
sen – cosec
cos – sec
+
+
tg – cotg
videoggrafia:
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS SEGUN EL CUADRANTE.
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos «r».
PRIMER CUADRANTE:
Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
sen cosec tg cotg cos sec
+ + + + + +
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
sen cosec tg cotg cos sec
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas ( : = +)
sen cosec tg cotg cos sec
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
sen cosec tg cotg cos sec
Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres cuadros sinópticos:
cuadrantes
II I
III IV
sen – cosec
cos – sec
+
+
tg – cotg
En el sistema circular se utiliza como unidad de medida el «radián».
En el sistema centesimal se considera a la circunferencia dividida en 400 partes iguales, llamadas «grados centesimales». Cada grado tiene 100 «minutos centesimales» y cada minuto tiene 100 «segundos centesimales».
Equivalencia de un ángulo en el sistema sexagesimal al circular y viceversa. Para medir los ángulos, los sistemas más utilizados son el sexagesimal y el circular. Es conveniente saber convertir un ángulo dado de un sistema a otro.
Qué son ángulos cuadrantes
Signos de las funciones trigonométricas
De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado terminal del ángulo y teniendo en cuenta que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas es siempre positiva, y aplicando la «ley de los signos», las funciones trigonométricas pueden ser positivas o negativas.
En la tabla de la parte inferior se resumen los signos de las funciones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes.
Seno coseno tangente cotangente secante cosecante
I + + + + + +
II + +
III + +
IV + +
Qué son ángulos coterminales
La idea de ángulos coterminales que consideramos anteriormente,
También se aplica a los ángulos en medida radián, excepto, que sumemos o
restemos múltiplos de rotaciones en radianes. De manera, que por
ejemplo, un ángulo de 2
! es coterminal con un ángulo de 4 5
2
2 2 2 2
! + ! = ! + ! = ! y un ángulo de 3
−! es co terminal con un ángulo de 6 7
2
3 3 3 3
− ! − ! = − ! − ! = − ! .
También podemos verificar evaluando todo en la calculadora en vez de usar fracciones o múltiplos de π. Por ejemplo, evalúa la expresión 3 − !
en tu calculadora y obtendrás −1.047 aproximadamente. Si evalúas la Expresión 7 3−! obtendrás −7.33 aproximadamente. La diferencia entre estos dos valores es −1.047 − (−7.33) = 6.283, lo cual es casi 2π.
1. Verifica que
2
! Es co terminal con 5
2
! , sin usar tú
Calculadora.
2. Verifica que
2
! Es co terminal con 5
2
! , usando tú
Calculadora.
Aunque siempre podemos convertir todo de nuevo a medidas degrados, y convertirlas de nuevo a medidas radianes, esto no es eficiente.
En general, si un ángulo está dado en radianes, es mejor encontrar los ángulos coterminales en radianes.
Que son ángulos de referencia
Funciones trigonométricas definidas con ángulos
Si q es un ángulo arbitrario en la posición estándar o normal en un sistema de coordenadas cartesianas y P(a,b) es un punto a r unidades del origen en el lado terminal de q, entonces:
b
P (a, b)
r b
q
a
a
Nota: El triángulo rectángulo que se forma al dibujar una perpendicular de P(a,b) al eje horizontal se llama triángulo de referencia asociado con el ángulo .
Ejemplos para discusión:
1) Halla el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas para el ángulo q cuyo lado terminal contiene el punto P(-3,-4).
2) Halla el valor de cada una de las otras cinco funciones trigonométricas para un ángulo q (sin hallar q) dado que es un ángulo en el Cuadrante IV si :
Ejercicio de práctica:
1) Halla el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas si el lado terminal de q contiene al punto P (-6,-8).
2) Halla el valor de cada una de las otras cinco funciones trigonométricas para un ángulo q (sin hallar q) dado que es un ángulo en el Cuadrante II si:
Triángulo de referencia y ángulo de referencia
Para dibujar un triángulo de referencia para un ángulo q, se dibuja una línea perpendicular desde un punto P(a, b) en el lado terminal de q al eje horizontal. El ángulo de referencia a es el ángulo agudo (siempre positivo) entre el lado terminal de q y el eje horizontal.
Reglas de los ángulos de referencia
En cimentaciones se denomina capacidad portante a la capacidad del terreno para soportar las cargas aplicadas sobre él. Técnicamente la capacidad portante es la máxima presión media de contacto entre la cimentación y el terreno tal que no se produzcan un fallo por cortante del suelo o un asentamiento diferencial excesivo. Por tanto la capacidad portante admisible debe estar basada en uno de los siguientes criterios funcionales:
• Si la función del terreno de cimentación es soportar una determinada tensión independientemente de la deformación, la capacidad portante se denominará carga de hundimiento.
• Si lo que se busca es un equilibrio entre la tensión aplicada al terreno y la deformación sufrida por éste, deberá calcularse la capacidad portante a partir de criterios de asiento admisible.
De manera análoga, la expresión capacidad portante se utiliza en las demás ramas de la ingeniería para referir a la capacidad de una estructura para soportar las cargas aplicadas sobre la misma.
Valores de las funciones trigonometrías
La trigonometría es una rama de las matemáticas de antiguo origen, cuyo significado etimológico es «la medición de los triángulos». Se deriva del vocablo ← griego τριγωνο «triángulo» + μετρον «medida».[1]
La trigonometría en principio es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
Unidades angulares
Razones Trigonométricas Recíprocas
Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:
• cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:
• secante: (abreviado como sec) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo:
• cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo:
Múltiplos
Múltiplos de 30 son
3,6,30
^^^de 45
9,,5,45
66
33,11,6,66
Conclusión
En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.
Bibliografía:
http://www.monografias.com/trabajos65/funciones-trigonometricas-caracteristicas-angulos/funciones-trigonometricas-caracteristicas-angulos2.shtml
Videografia:
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos «r».
PRIMER CUADRANTE:
Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
sen
cosec
tg
cotg
cos
sec
+
+
+
+
+
+
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
sen cosec tg
cotg cos sec
+ + – – – –
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (- : – = +)
sen cosec tg cotg cos sec
– – + + – –
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
sen cosec tg cotg cos sec
– – – – + +
Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres cuadros sinópticos:
cuadrantes
II I
III IV
sen – cosec
+ +
– –
cos – sec
– +
– +
tg – cotg
– +
+ –
bibliografia:
http://trigo07.lacoctelera.net/post/2007/09/08/signos-las-funciones-trigonometricas-segun-cuadrante
videografia:
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el ejex, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el ejey, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos»r». Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas. sen cosec tg cotg cossec + + + + + + En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de lasx, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de lasy . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos. sen cosectg cotg cossec + + − − − − En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (− :− =+) sen cosec tg cotg cossec − − + + − −
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de lasx, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de lasy. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante. sen cosec tg cotg cossec − − − − + + Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el el cuadrante en tres cuadros sinópticos
De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado terminal del ángulo y teniendo en cuenta que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas es siempre positiva, y aplicando la «ley de los signos», las funciones trigonométricas pueden ser positivas o negativas.
Video
Bibliografia
http://es.scribd.com/doc/33597935/Signos-de-las-funciones-trigonometricas-segun-el-cuadrante
http://mateyael.blogdiario.com/tags/TRIGONOMETRICAS/
Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en cuadros sinópticos:
Conclusión
En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
http://www.youtube.com/user/ingeniat
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, ladesignaremos «r».
PRIMER CUADRANTE:
Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
sen cosec tg cotg cos sec
+ + + + + +
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (: = +)
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.
Cada par de lados homólogos (que se ubican en la misma posición) de un triángulo rectángulo cuyos ángulos sean iguales serán proporcionales. Para que sea más fácil interpretar lo que se está explicando el típico triángulo de catetos de 3 cm y 4 cm, que tendrá su hipotenusa de 5 cm (Pitágoras).
La proporcionalidad también puede escribirse respecto a los lados homólogos, dividir el cateto opuesto por la hipotenusa.
Lo importante a destacar es que el ángulo en todos los casos es el mismo. Este hecho es importante ya que permite relacionar a los ángulos con la razón de la proporción de los lados. Esta relación presenta la propiedad de unicidad y la propiedad de completitud (para cada par de lados homólogos existe siempre un único valor (razón) relacionado con una determinada [existe y es única] amplitud angular), por lo tanto se establece una función, a las que llamaremos trigonométrica.
Funciones Trigonométricas
Si dividimos llamaremos a esta función seno.
Si dividimos llamaremos a esta función Coseno
Si dividimos llamaremos a esta función Tangente.
Si dividimos llamaremos a esta función Cosecante.
Si dividimos llamaremos a esta función Secante.
Si dividimos llamaremos a esta función Cotangente.
La función seno y cosecante son inversas, así como lo son coseno y secante, y tangente con cotangente.
Para calcular el valor de las funciones trigonométricas sencillamente escribes el valor del ángulo en la calculadora y tecleas la función correspondiente y en la pantalla saldrá el valor buscado.
Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, repiten el valor de imagen cada 360º. De esa manera tenemos que: cos 60º = cos 420º = 0,5
Bibliografia:
http://kambry.es/Apuntes%20Web/Paginas%20web%20de%20Matematicas/Analisis_Algebra/matem/matematica/Func_Trigonometrica.htm
Videografia:
Los signos de las funciones trigonométricas
superior a 90 °
Definimos las funciones trigonométricas para ángulos superiores a 90 ° de la siguiente manera:
Por Pitágoras, r = . A continuación, las razones son las siguientes:
pecado θ = y / r
cos θ = x / r
tan θ = y / x
csc θ = r / y
sec θ = r / x
Cuna θ = x / y
¿Cómo se diferencia de las definiciones que ya se reunió en la sección 2, del seno, coseno, tangente y las relaciones recíprocas ? La única diferencia es que ahora X o Y (o ambos) puede ser negativo porque nuestro ángulo de ahora pueden estar en cualquier cuadrante. De ello se deduce que las razones trigonométricas se puede llegar a ser negativo o positivo. En la sección anterior, los ángulos involucrados fueron siempre inferiores a 90 ° para los 6 coeficientes fueron positivos.
Tenga en cuenta que r es siempre positivo.
Ejemplo
Vamos a ver cómo las razones trigonométricas se definen mediante un ejemplo concreto. Deje que nuestro ángulo θ se define por el punto (-2,3) de la siguiente manera:
Por Pitágoras,
Para este ejemplo, definimos las razones trigonométricas de θ de la siguiente manera:
Los cuatro cuadrantes – positivos o negativos?
Observe en el ejemplo anterior, que fue nuestro ángulo en el segundo cuadrante. Observe también que en el segundo cuadrante, el valor y es positivo. Dado que r es siempre positivo, entonces y / r siempre será positivo en el cuadrante II. Así llegamos a la conclusión θ pecado siempre va a ser positivo en el segundo cuadrante.
También observe si (en el caso θ cos), que x fue negativo. En el segundo cuadrante, x es siempre negativa. Por lo tanto θ cos siempre será negativo allí, también.
Para el caso θ bronceado, y es positivo y x es negativo, por lo que y / x siempre será negativo.
Teniendo en cuenta los otros cuadrantes, vemos un patrón.
En el cuadrante II, θ pecado es positivo, θ cos θ y tan son negativos.
En el cuadrante III, θ es tan positivo (X e Y son negativos, por lo que y / x es positivo), θ pecado y θ cos son negativos.
En el cuadrante IV, cos θ es positiva, el pecado y θ θ bronceado son negativos.
Por supuesto, las relaciones recíprocas, csc θ, θ s y θ cuna siguen el mismo patrón:
En el cuadrante II, csc θ es positiva, θ sec y cot θ son negativos.
En el cuadrante III, θ cuna, csc θ positiva y θ s son negativos.
En el cuadrante IV, sec θ es positiva, csc θ y θ cuna son negativos.
No necesitamos recordar los recíprocos de recitar de memoria, pero se recomienda que se acuerde en el pecado θ, θ cos θ y tan son positivos.
Utilizamos este diagrama para recordar lo que son relaciones positivas en cada cuadrante. Podemos recordar que el uso:
T odos S taciones T o C entral.
Esto significa: En el primer cuadrante (I), todas las relaciones son positivas.
En el segundo cuadrante (II), seno (y cosec) son positivos.
En el tercer cuadrante (III), tan (y Cotán) son positivos.
En el cuarto cuadrante (IV), cos (y segundo) son positivos.
Estos sólo tienes que seguir desde el signo (+ o -) de x o y de cada cuadrante, como vimos más arriba.
Estas señales son importantes cuando estamos encontrando un ángulo de una razón dada. http://www.intmath.com/trigonometric-functions/5-signs-of-trigonometric- functions.php
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS SEGUN EL CUADRANTE
En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos «r».
PRIMER CUADRANTE:
Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
sen cosec tg cotg cos sec
+ + + + + +
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
sen cosec tg cotg cos sec
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas ( : = +)
sen cosec tg cotg cos sec
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
sen cosec tg cotg cos sec
Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres cuadros sinópticos:
cuadrantes
II I
III IV
sen – cosec
cos – sec
+
+
tg – cotg
trigo07.lacoctelera.net/…/signos-las-funciones-trigonometricas-segun- cuadrante
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En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje x, así que lo denominaremos «x»; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje y, lo llamaremos «y». La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos «r».
PRIMER CUADRANTE:
Ya que «x», «y», «r», son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.
sen
cosec
tg
cotg
cos
sec
+
+
+
+
+
+
En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.
sen cosec tg
cotg cos sec
+ + – – – –
En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (- : – = +)
sen cosec tg cotg cos sec
– – + + – –
En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.
sen cosec tg cotg cos sec
– – – – + +
Resumamos los signos de las funciones trigonométricas según el cuadrante en tres cuadros sinópticos:
cuadrantes
II I
III IV
sen – cosec
+ +
– –
cos – sec
– +
– +
tg – cotg
– +
+ –
El profe nos comentó lo fácil que era obtener los signos de las funciones trigonométricas, ya que sólo bastaba determinar las de seno y coseno, y a partir de ellos los restantes. como ya no creemos en la palabra fácil optamos por «ver para creer».
Con lo anterior, y aplicando las identidades trigonométricas fundamentales, considerando sólo su signo, obtenemos que:
I
II
III
IV
seno
+
+
–
–
coseno
+
–
–
+
tangente
+
–
+
–
cotangente
+
–
+
–
secante
+
–
–
+
cosecante
+
+
–
–
Principal > Proyectos > Cómo aprender trigonometría … > Signos de las func. trigonométricas
BIBLIOGRAFIA
http://www.sectormatematica.cl/proyectos/signos.htm
Signos de las Funciones Trigonométricas
De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado terminal del ángulo y teniendo en cuenta que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas es siempre positiva, y aplicando la «ley de los signos», las funciones trigonométricas pueden ser positivas o negativas.
En la tabla de la parte inferior se resumen los signos de las funciones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes.
seno coseno tangente cotangente secante cosecante
I + + + + + +
II +
+
III
+ +
IV
+
+
Signos de las funciones trigonométricas.
1. Cada par de lados homólogos (que se ubican en la misma posición) de un triángulo rectángulo cuyos ángulos sean iguales serán proporcionales. Para que sea más fácil interpretar lo que se está explicando el típico triángulo de catetos de 3 cm y 4 cm, que tendrá su hipotenusa de 5 cm (Pitágoras). Dibujemos otros dos triángulos donde los catetos y la hipotenusa sean el doble y el triple (según corresponda)
La proporcionalidad también puede escribirse respecto a los lados homólogos, dividir el cateto opuesto por la hipotenusa
Lo importante a destacar es que el ángulo en todos los casos es el mismo. Este hecho es importante ya que permite relacionar a los ángulos con la razón de la proporción de los lados. Esta relación presenta la propiedad de unicidad y la propiedad de completitud (para cada par de lados homólogos existe siempre un único valor (razón) relacionado con una determinada [existe y es única] amplitud angular), por lo tanto se establece una función, a las que llamaremos trigonométrica.
Para calcular el valor de las funciones trigonométricas sencillamente escribes el valor del ángulo en la calculadora y tecleas la función correspondiente y en la pantalla saldrá el valor buscado.
Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, repiten el valor de imagen cada 360º. De esa manera tenemos que: cos 60º = cos 420º = 0,5