16. Funciones trigonométricas.

definicion de una funcion trigonometrica

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29 respuestas a 16. Funciones trigonométricas.

  1. Giovanna Ibarra dijo:

    Función trigonométrica:
    Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Trigonometría.
    Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.
    http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9d/Circle-trig6.svg/270px-Circle-trig6.svg.png

    bibliografia:
    http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica

    videografia:

  2. Daphne Polette Flores Chapa dijo:

    Funciones trigonometricas:

    Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Trigonometría.

    Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

    Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

  3. Diana Karina Lopez. dijo:

    FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.

    Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Trigonometría.

    Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.
    Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

    Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

    Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

    La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
    El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.
    El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.
    Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes.

    Bibliografia:
    http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica

    Videografia:

  4. Las Funciones trigonometricas

    Cada par de lados homólogos (que se ubican en la misma posición) de un triángulo rectángulo cuyos ángulos sean iguales serán proporcionales. Para que sea más fácil interpretar lo que se está explicando el típico triángulo de catetos de 3 cm y 4 cm, que tendrá su hipotenusa de 5 cm (Pitágoras). Dibujemos otros dos triángulos donde los catetos y la hipotenusa sean el doble y el triple (según corresponda)

    La proporcionalidad también puede escribirse respecto a los lados homólogos, dividir el cateto opuesto por la hipotenusa.

    Lo importante a destacar es que el ángulo en todos los casos es el mismo. Este hecho es importante ya que permite relacionar a los ángulos con la razón de la proporción de los lados. Esta relación presenta la propiedad de unicidad y la propiedad de completitud (para cada par de lados homólogos existe siempre un único valor (razón) relacionado con una determinada [existe y es única] amplitud angular), por lo tanto se establece una función, a las que llamaremos trigonométrica.

    Funciones Trigonométricas

    Si dividimos cat. op. llamaremos a esta función seno. —- cat. op. = Sen a
    hip. hip.

    Si dividimos cat. ady. llamaremos a esta función Coseno—- cat. ady. = Cos a
    hip. hip.

    Si dividimos cat. op. llamaremos a esta función Tangente. —– cat. op. = Tg a
    cat. ady. cat. ady.

    Si dividimos hip. llamaremos a esta función Cosecante. ——– hip. = Cosec a
    cat. op. cat. op.

    Si dividimos hip. llamaremos a esta función Secante. ———- hip. = Sec a
    cat. ady. cat. ady.

    Si dividimos cat. ady. llamaremos a esta función Cotangente.—– cat. ady. = Cotg a
    cat. op. cat. op.

    La función seno y cosecante son inversas, así como lo son coseno y secante, y tangente con cotangente.
    Para calcular el valor de las funciones trigonométricas sencillamente escribes el valor del ángulo en la calculadora y tecleas la función correspondiente y en la pantalla saldrá el valor buscado.

    Las funciones trigonométricas son funciones periódicas, repiten el valor de imagen cada 360º. De esa manera tenemos que: cos 60º = cos 420º = 0,5

  5. EDNA LUCIO VILLARREAL dijo:

    FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
    Función Seno:
    La función Seno se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa:
    Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:
    el seno del ángulo alpha será:
    Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa del seno:
    cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla “shift” o “2daf” que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla “sin” (dice “sin” y no “sen” porque en inglés la función seno se escribe “sin”):
    para este caso, el resultado da: 53.13010…
    que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
    Función Cosecante
    La función cosecante es parecida a la función seno, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto opuesto entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto opuesto
    en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la cosecante:
    sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la cosecante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso del seno. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote “¿Cómo lo saco?” simplemente haz la siguiente sustitución:
    y ya.
    Gráfica de la función Seno
    Si graficas la función y = sen(x) en un plano cartesiano, obtendrías la siguiente figura:
    Observa que la función no pasa de 1 por arriba y de -1 por abajo. Se dice entónces que la función está “acotada” entre -1 y +1. Los valores para los que la función llega hasta +1 o -1 son los múltiplos impares de ¶ / 2 , o sea:
    con n entero y mayor que cero.
    La función seno(x) tiene periodo de 2¶, esto es, que cuando x es igual a 2¶, la función se vuelve a repetir tomando los valores que tomó a partir del cero.
    Función Coseno:
    La función Coseno se obtiene de dividir el cateto adyacente de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa:
    Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:
    el coseno del ángulo alpha será:
    Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa del coseno:
    cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla “shift” o “2daf” que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla “cos”:
    para este caso, el resultado da: 53.13010…
    que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
    Función Secante
    La función secante es parecida a la función coseno, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto adyacente entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto adyacente:
    en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la secante:
    sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la secante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso del coseno. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote “¿Cómo lo saco?” simplemente haz la siguiente sustitución
    y ya.
    Gráfica de la función Coseno
    Si graficas la función Coseno en un plano cartesiano, ésta se vería así:
    Observa que la función se parece muchísimo a la función Seno. La diferencia está en que el coseno comienza en el +1 [o sea y(0) = +1], y el seno en el 0 [ o sea y(0) = 0]. Esto se debe a que la función coseno está desfasada medio periódo respecto de la función seno.
    Igual que en la función Seno, la función coseno sólo puede tomar valores entre -1 y +1. A esto se le dice “acotada”, que significa que tiene límites de los cuáles ya no pasa.
    La función es periódica ( o sea que se repite su forma a lo largo del eje x) y su periodo vale 2¶ (o sea que cuando x toma el valor de 2¶, la función vuelve a tomar los valores que tomó desde el cero otra vez.
    Los valores para los que la función Coseno se vuelve +1 o -1 son los múltiplos enteros de ¶, o sea:
    n¶ con n cualquier entero incluyendo el cero.
    Función Tangente:
    La función Tangente se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre el cateto adyacente:
    Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:
    la tangente del ángulo alpha será:
    Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa de la tangente:
    cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla “shift” o “2daf” que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla “tan”:
    para este caso, el resultado da: 53.13010…
    que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
    La función tangente se puede también definir a través de las funciones seno y coseno como sigue:
    y el resultado es el mismitito que dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente.
    Función Cotangente
    La función cotangente es parecida a la función tangente, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente, se divide el cateto adyacente entre el cateto opuesto
    hay otras notaciones válidas para la contangente, algunos la prefieren escribir de alguna de las siguientes formas:
    pero es la misma función.
    En principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la tangente (la arcocotangente), por ejemplo, para el problema de arriba sería:
    sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la cotangente) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso de la tangente. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote “¿Cómo lo saco?” simplemente haz la siguiente sustitución:
    y ya.
    Gráfica de la función Tangente
    Si graficaras la función y = tan (x) en un plano cartesiano, ésta se vería así:
    los puntos donde la función se va a infinito se llaman “asíntotas” y en esos valores la función tangente no está definida. Esta función tiene periodo ¶ (recuerda que en radianes ¶ = 180°). Es decir que cuando la x toma los múltiplos de ¶, la función vuelve a tomar los valores que tomó desde el cero, y la función se repite así hasta infinito.
    Observa que a diferencia de las funciones seno y coseno, la función tangente no está “acotada”, o sea limitada en el eje de las y’s, sino que puede tomar cualquier valor y no como la función seno o coseno que sólo pueden tomar valores entre el +1 y el -1.
    Fórmulas e Identidades Trigonométricas
    La siguiente es una lista de fórmulas trigonométricas muy útiles para resolver muchos problemas:
    Fundamentales
    sen(-x) = -sen(x)
    cos(-x) = cos(x)
    tan(-x) = -tan(x)
    sen2x + cos2x = 1
    1 + tan2x = sec2x
    1 + cotan2x = csc2x
    sen ( ¶ – x) = sen (x)
    cos ( ¶ – x) = -cos (x)
    tan ( ¶ – x) = -tan (x)
    Suma y resta de dos ángulos en funciones trigonométricas
    sen (u + v) = sen (u)cos (v) + cos(u)sen(v)
    sen (u – v) = sen (u)cos (v) – cos(u)sen(v)
    cos (u + v) = cos(u) cos(v) – sen(u)sen(v)
    cos (u – v) = cos(u) cos(v) + sen(u)sen(v)
    Fórmulas para la suma del doble del ángulo
    sen(2x) = 2sen(x)cos(x)
    cos(2x) = 2cos2(x) – 1
    cos(2x) = cos2(x) – sen2(x)
    cos(2x) = 1 – 2sen2(x)
    BIBLIOGRAFIA
    http://www.monografias.com/trabajos13/trigo/trigo.shtml#tri

    VIDEO

  6. ricardo azuara chapa dijo:

    FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.
    Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
    Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:
    Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo, tienes algunas posibilidades:
    Una consiste en dibujar con mucho cuidadito triángulos distintos con ángulos 90º, 60º y 30º y calcular los resultados de las divisiones anteriores (el cateto opuesto al ángulo de 60º dividido por la longitud de la hipotenusa) para así comprobar que siempre se obtiene el mismo resultado (aprox 0.87).
    Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando triángulos, midiendo y dividiendo las longitudes con ayuda de algún programa informático (Cabri, Dr.Geo, etc.).
    Otra es ir hasta el primer applet que te encuentres en esta página (pero sin saltarte lo que viene a continuación).
    Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos que sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aprox 0.64).
    A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y se escribe sen(40º) = 0.64.
    (Estas explicaciones se tratarán con más detalle en clase y a partir de aquí definiremos las razones trigonométricas de ángulos agudos de triángulos rectángulos).
    1. DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS:

    En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.
    sen(B) = AC/BC
    cos(B) = BA/BC
    tan(B) = AC/BA
    Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones prácticas.
    Pero antes de continuar verás a continuación un applet que te permitirá dibujar triángulos rectángulos en los que el valor de un ángulo agudo lo fijas tú, el tamaño del triángulo lo puedes cambiar y el applet te mostrará que los valores del seno, coseno y tangente no dependen más que del ángulo, no del tamaño del triángulo.
    2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUALESQUIERA:
    Las razones trigonométricas se generalizan para ángulos cualesquiera utilizando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro está situado en el origen. Los ángulos se miden en sentido antihorario y desde la dirección positiva del eje de abscisas.
    En el siguiente applet podrás variar el ángulo, y para el valor del ángulo elegido aparecerá un triángulo rectángulo OPQ. La hipotenusa es el radio, por lo que mide 1. Para un valor concreto del ángulo se llama sen(a) al cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud de la hipotenusa: PQ/OQ = PQ/1 = PQ. De la misma forma generalizamos el concepto de coseno: llamaremos cos(a) a la longitud de la proyección del radio sobre el eje de abscisas, cos(a) = OQ. (OQ/OP = OQ/1 = OQ)
    Los segmentos PQ se miden sobre el eje de ordenadas (vertical) y por ello, dependiendo del valor del ángulo, tienen signo positivo o negativo.
    Los segmentos OQ los medimos sobre el eje de abcisas (horizontal), por lo que el seno del ángulo elegido será positivo o negativo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre.
    La tangente de un ángulo cualquiera la obtendremos dividiendo el valor del seno entre el del coseno.
    Las razones trigonométricas de ángulos negativos se obtienen igual, pero los ángulos los medimos en sentido contrario (en sentido horario).

    3. PROPIEDADES IMPORTANTES:
    Existen algunas propiedades importantes que serán explicadas en clase:
    a) sen2(a) + cos2(a) = 1 (Esta igualdad se conoce con el nombre de fórmula fundamental de la trigonometría). (Se demuestra fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OPQ)
    b) tan(a) = sen(a)/cos(a). (Se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente)
    c) los valores del seno y del coseno están comprendidos entre -1 y 1.
    4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
    Al estar definidos los senos, cosenos y tangentes para cualquier ángulo (¿las tangentes existen para cualquier ángulo?), dan lugar al concepto de funciones trigonométricas: función seno, función coseno y función tangente. Es imprescindible familiarizarse con las gráficas de cada una de estas funciones y conocer sus características principales.
    BIBLIOGRAFIA.
    http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/funciones/seno7.htm

  7. Grecia Guerra Rodriguez dijo:

    FUNCIONES TRIGONOMETRICAS:
    El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia, y gran parte de los fundamentos de trigonometría fueron desarrollados por los matemáticos de la Antigua Grecia, de la India y estudiosos musulmanes.
    Es una rama de las matemáticas que tiene como objetivo la medición de los triángulos. Estudia las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Se utiliza generalmente en la astronomía para medir distancias a estrellas, en puntos geográficos y en sistemas de navegación por satélites.
    Ángulos de Rotación. Si en un sistema de ejes coordenados se traza una línea recta, como se muestra, se puede medir el Angulo de inclinación que tiene esta con respecto al eje de las Xs. a) b) Angulo negativo Angulo positivo Sin embargo, si esta misma recta la giramos en el sentido contrario de un reloj, se dice que tal recta tiene un giro positivo y si se gira al sentido de las manecillas del reloj tiene un giro negativo
    Medidas en radianes. El radian se deriva del numero de veces que se puede colocar la longitud del radio de una circunferencia para medir el perímetro de la misma. B 1 radian = AB = r O A r Esta unidad se deriva del valor de pi (π ), que se obtiene de la búsqueda de obtener el perímetro de una circunferencia mediante el diámetro de la misma.
    El primer uso de la función seno (sin (•)) aparece en el Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. La noción de que debería existir alguna correspondencia estándar entre la longitud de los lados de un triángulo siguió a la idea de que triángulos similares mantienen la misma proporción entre sus lados. Esto es, que para cualquier triángulo semejante, la relación entre la hipotenusa y otro de sus lados es constante. Si la hipotenusa es el doble de larga, así serán los catetos. Justamente estas proporciones son las que expresan las funciones trigonométricas.
    Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo.
    Pero vayamos por partes.
    Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:

    Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo, tienes algunas posibilidades:
    Una consiste en dibujar con mucho cuidadito triángulos distintos con ángulos 90º, 60º y 30º y calcular los resultados de las divisiones anteriores (el cateto opuesto al ángulo de 60º dividido por la longitud de la hipotenusa) para así comprobar que siempre se obtiene el mismo resultado (aprox 0.87).
    Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando triángulos, midiendo y dividiendo las longitudes con ayuda de algún programa informático (Cabri, Dr.Geo, etc.).
    Otra es ir hasta el primer applet que te encuentres en esta página (pero sin saltarte lo que viene a continuación).
    Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos que sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aprox 0.64).
    A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y se escribe sen(40º) = 0.64.
    (Estas explicaciones se tratarán con más detalle en clase y a partir de aquí definiremos las razones trigonométricas de ángulos agudos de triángulos rectángulos).
    En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.
    sen(B) = AC/BC
    cos(B) = BA/BC
    tan(B) = AC/BA
    Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones prácticas.
    Pero antes de continuar verás a continuación un applet que te permitirá dibujar triángulos rectángulos en los que el valor de un ángulo agudo lo fijas tú, el tamaño del triángulo lo puedes cambiar y el applet te mostrará que los valores del seno, coseno y tangente no dependen más que del ángulo, no del tamaño del triángulo.
    Las razones trigonométricas se generalizan para ángulos cualesquiera utilizando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro está situado en el origen. Los ángulos se miden en sentido antihorario y desde la dirección positiva del eje de abscisas.
    En el siguiente applet podrás variar el ángulo, y para el valor del ángulo elegido aparecerá un triángulo rectángulo OPQ. La hipotenusa es el radio, por lo que mide 1. Para un valor concreto del ángulo se llama sen(a) al cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud de la hipotenusa: PQ/OQ = PQ/1 = PQ. De la misma forma generalizamos el concepto de coseno: llamaremos cos(a) a la longitud de la proyección del radio sobre el eje de abscisas, cos(a) = OQ. (OQ/OP = OQ/1 = OQ)
    Los segmentos PQ se miden sobre el eje de ordenadas (vertical) y por ello, dependiendo del valor del ángulo, tienen signo positivo o negativo.
    Los segmentos OQ los medimos sobre el eje de abcisas (horizontal), por lo que el seno del ángulo elegido será positivo o negativo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre.
    La tangente de un ángulo cualquiera la obtendremos dividiendo el valor del seno entre el del coseno.
    Existen algunas propiedades importantes que serán explicadas en clase:
    a) sen2(a) + cos2(a) = 1 (Esta igualdad se conoce con el nombre de fórmula fundamental de la trigonometría). (Se demuestra fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OPQ)
    b) tan(a) = sen(a)/cos(a). (Se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente)
    c) los valores del seno y del coseno están comprendidos entre -1 y 1.
    4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
    Al estar definidos los senos, cosenos y tangentes para cualquier ángulo (¿las tangentes existen para cualquier ángulo?), dan lugar al concepto de funciones trigonométricas: función seno, función coseno y función tangente.
    Relación entre radianes y grados Se puede establecer una relación que permita medir un Angulo en grados o en radianes señalado que cuando se mida en grados un giro completo equivale a 360º, lo cual equivaldría a establecer que: 360º = 2 π radianes o 180º = π radianes
    Razones trigonométricas de cualquier Angulo. A continuación se expresan las definiciones de las funciones trigonométricas. SENO: Es la razón entre la ordenada y la distancia al origen. COSENO: Es la razón entre la abscisa y la distancia al origen. TANGENTE: Es la razón entre la ordenada y la abscisa.
    COTANGENTE: Es la razón entre la abscisa y la ordenada. SECANTE: Es la razón entre la distancia al origen y la abscisa. COSECANTE: Es la razón entre la distancia al origen y la ordenada. Y 6 X X 5
    Circulo trigonométrico y líneas trigonométricas. Se define como aquel cuyo radio equivale a la unidad. Si se traza un circulo trigonométrico en un sistema de coordenadas cartesianas y se representan algunos puntos y rectas en el mismo tal y como se muestra en la figura. Y R A M T B a DC S X 0
    •Las funciones trigonométricas del Angulo (90º – a). Y B A O A B X En el circulo trigonométrico que se muestra en la figura se puede observar que los triángulos rectángulos BOA y A`OB` son iguales por tener la hipotenusa y un Angulo agudo iguales; es decir, OA = OB = 1 y BOA = AO ‘ A ‘
    Las funciones trigonométricas del Angulo (- a). Y A a B O X -a A En el circulo trigonométrico que se muestra se puede observar que los triángulos OAB y OA`B’ son iguales por tener la hipotenusa y un Angulo agudo iguales. Así OA = OA` = r = 1: AB = – A`B`
    Tabla de signos y variaciones. I II II IV SENO + + – – COSENO + – – + TANTENTE + – + – CONATNGENT + – + – E SECANTE + – – + COSECANTE + + – –
    Bosquejo de las graficas de las funciones trigonométricas Grafica de la función seno.. Para elaborar un bosquejo de la grafica de la función seno es necesario considerar los valores obtenidos para ella que se encuentran en la tabla desde 0º hasta 360º. Loas valores de los ángulos representan el eje de las Xs y los valores de la función representan el eje de las Ys. Esto muestra la figura.
    Grafica de la función coseno.. Para elaborar un bosquejo de la grafica de la función coseno es necesario considerar los valores obtenidos para ella que se encuentran en la tabla desde 0º hasta 360º. Loas valores de los ángulos representan el eje de las Xs y los valores de la función representan el eje de las Ys. Esto muestra la figura.
    Grafica de la función tangente.. Para elaborar un bosquejo de la grafica de la tangente coseno es necesario considerar los valores obtenidos para ella que se encuentran en la tabla desde 0º hasta 360º. Loas valores de los ángulos representan el eje de las Xs y los valores de la función representan el eje de las Ys. En algunos casos el valor de los angulos se puede expresar en radianes , recuerda que 2 π = 360º, o π = 180º y además que π = 3.14159.

    Bibliografia:
    http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/funciones/seno7.htm
    http://www.slideshare.net/guest0edf07/funciones-trigonometricas-1296339
    Videografia:

  8. Jonatan Delgado dijo:

    Funciones Trigonometricas .

    Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
    Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:

    Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo, tienes algunas posibilidades:
    Una consiste en dibujar con mucho cuidadito triángulos distintos con ángulos 90º, 60º y 30º y calcular los resultados de las divisiones anteriores (el cateto opuesto al ángulo de 60º dividido por la longitud de la hipotenusa) para así comprobar que siempre se obtiene el mismo resultado (aprox 0.87).
    Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando triángulos, midiendo y dividiendo las longitudes con ayuda de algún programa informático (Cabri, Dr.Geo, etc.).
    Otra es ir hasta el primer applet que te encuentres en esta página (pero sin saltarte lo que viene a continuación).
    Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos que sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aprox 0.64).
    A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y se escribe sen(40º) = 0.64.
    (Estas explicaciones se tratarán con más detalle en clase y a partir de aquí definiremos las razones trigonométricas de ángulos agudos de triángulos rectángulos).
    1. DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS:

    En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.
    sen(B) = AC/BC
    cos(B) = BA/BC
    tan(B) = AC/BA
    Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones prácticas.
    Pero antes de continuar verás a continuación un applet que te permitirá dibujar triángulos rectángulos en los que el valor de un ángulo agudo lo fijas tú, el tamaño del triángulo lo puedes cambiar y el applet te mostrará que los valores del seno, coseno y tangente no dependen más que del ángulo, no del tamaño del triángulo.
    2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUALESQUIERA:

    Las razones trigonométricas se generalizan para ángulos cualesquiera utilizando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro está situado en el origen. Los ángulos se miden en sentido antihorario y desde la dirección positiva del eje de abscisas.
    En el siguiente applet podrás variar el ángulo, y para el valor del ángulo elegido aparecerá un triángulo rectángulo OPQ. La hipotenusa es el radio, por lo que mide 1. Para un valor concreto del ángulo se llama sen(a) al cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud de la hipotenusa: PQ/OQ = PQ/1 = PQ. De la misma forma generalizamos el concepto de coseno: llamaremos cos(a) a la longitud de la proyección del radio sobre el eje de abscisas, cos(a) = OQ. (OQ/OP = OQ/1 = OQ)
    Los segmentos PQ se miden sobre el eje de ordenadas (vertical) y por ello, dependiendo del valor del ángulo, tienen signo positivo o negativo.
    Los segmentos OQ los medimos sobre el eje de abcisas (horizontal), por lo que el seno del ángulo elegido será positivo o negativo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre.
    La tangente de un ángulo cualquiera la obtendremos dividiendo el valor del seno entre el del coseno.
    Las razones trigonométricas de ángulos negativos se obtienen igual, pero los ángulos los medimos en sentido contrario (en sentido horario).
    3. PROPIEDADES IMPORTANTES:
    Existen algunas propiedades importantes que serán explicadas en clase:
    a) sen2(a) + cos2(a) = 1 (Esta igualdad se conoce con el nombre de fórmula fundamental de la trigonometría). (Se demuestra fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OPQ)
    b) tan(a) = sen(a)/cos(a). (Se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente)
    c) los valores del seno y del coseno están comprendidos entre -1 y 1.
    4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
    Al estar definidos los senos, cosenos y tangentes para cualquier ángulo (¿las tangentes existen para cualquier ángulo?), dan lugar al concepto de funciones trigonométricas: función seno, función coseno y función tangente. Es imprescindible familiarizarse con las gráficas de cada una de estas funciones y conocer sus características principales.
    A continuación mostramos un applet que permite ver como se genera la gráfica de la función seno (sinusoide) al ir variando el ángulo
    Funciones Trigonométricas
    Función Seno:
    La función Seno se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa:
    Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:
    el seno del ángulo alpha será:
    Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa del seno:
    cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "sin" (dice "sin" y no "sen" porque en inglés la función seno se escribe "sin"):
    para este caso, el resultado da: 53.13010…
    que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
    Función Cosecante
    La función cosecante es parecida a la función seno, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto opuesto entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto opuesto
    en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la cosecante:
    sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la cosecante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso del seno. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote "¿Cómo lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitución:
    y ya.
    Gráfica de la función Seno
    Si graficas la función y = sen(x) en un plano cartesiano, obtendrías la siguiente figura:
    Observa que la función no pasa de 1 por arriba y de -1 por abajo. Se dice entónces que la función está "acotada" entre -1 y +1. Los valores para los que la función llega hasta +1 o -1 son los múltiplos impares de ¶ / 2 , o sea:
    con n entero y mayor que cero.
    La función seno(x) tiene periodo de 2¶, esto es, que cuando x es igual a 2¶, la función se vuelve a repetir tomando los valores que tomó a partir del cero.
    Función Coseno:
    La función Coseno se obtiene de dividir el cateto adyacente de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa:
    Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:
    el coseno del ángulo alpha será:
    Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa del coseno:
    cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "cos":
    para este caso, el resultado da: 53.13010…
    que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
    Función Secante
    La función secante es parecida a la función coseno, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto adyacente entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto adyacente:
    en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la secante:
    sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la secante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso del coseno. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote "¿Cómo lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitución
    y ya.
    Gráfica de la función Coseno
    Si graficas la función Coseno en un plano cartesiano, ésta se vería así:
    Observa que la función se parece muchísimo a la función Seno. La diferencia está en que el coseno comienza en el +1 [o sea y(0) = +1], y el seno en el 0 [ o sea y(0) = 0]. Esto se debe a que la función coseno está desfasada medio periódo respecto de la función seno.
    Igual que en la función Seno, la función coseno sólo puede tomar valores entre -1 y +1. A esto se le dice "acotada", que significa que tiene límites de los cuáles ya no pasa.
    La función es periódica ( o sea que se repite su forma a lo largo del eje x) y su periodo vale 2¶ (o sea que cuando x toma el valor de 2¶, la función vuelve a tomar los valores que tomó desde el cero otra vez.
    Los valores para los que la función Coseno se vuelve +1 o -1 son los múltiplos enteros de ¶, o sea:
    n¶ con n cualquier entero incluyendo el cero.
    Función Tangente:
    La función Tangente se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre el cateto adyacente:
    Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:
    la tangente del ángulo alpha será:
    Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa de la tangente:
    cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "tan":
    para este caso, el resultado da: 53.13010…
    que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
    La función tangente se puede también definir a través de las funciones seno y coseno como sigue:
    y el resultado es el mismitito que dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente.
    Función Cotangente
    La función cotangente es parecida a la función tangente, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente, se divide el cateto adyacente entre el cateto opuesto
    hay otras notaciones válidas para la contangente, algunos la prefieren escribir de alguna de las siguientes formas:
    pero es la misma función.
    En principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la tangente (la arcocotangente), por ejemplo, para el problema de arriba sería:
    sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la cotangente) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso de la tangente. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote "¿Cómo lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitución:
    y ya.
    Gráfica de la función Tangente
    Si graficaras la función y = tan (x) en un plano cartesiano, ésta se vería así:
    los puntos donde la función se va a infinito se llaman "asíntotas" y en esos valores la función tangente no está definida. Esta función tiene periodo ¶ (recuerda que en radianes ¶ = 180°). Es decir que cuando la x toma los múltiplos de ¶, la función vuelve a tomar los valores que tomó desde el cero, y la función se repite así hasta infinito.
    Observa que a diferencia de las funciones seno y coseno, la función tangente no está "acotada", o sea limitada en el eje de las y's, sino que puede tomar cualquier valor y no como la función seno o coseno que sólo pueden tomar valores entre el +1 y el -1.
    Fórmulas e Identidades Trigonométricas
    La siguiente es una lista de fórmulas trigonométricas muy útiles para resolver muchos problemas:
    Fundamentales
    sen(-x) = -sen(x)
    cos(-x) = cos(x)
    tan(-x) = -tan(x)
    sen2x + cos2x = 1
    1 + tan2x = sec2x
    1 + cotan2x = csc2x
    sen ( ¶ – x) = sen (x)
    cos ( ¶ – x) = -cos (x)
    tan ( ¶ – x) = -tan (x)
    Suma y resta de dos ángulos en funciones trigonométricas
    sen (u + v) = sen (u)cos (v) + cos(u)sen(v)
    sen (u – v) = sen (u)cos (v) – cos(u)sen(v)
    cos (u + v) = cos(u) cos(v) – sen(u)sen(v)
    cos (u – v) = cos(u) cos(v) + sen(u)sen(v)
    Fórmulas para la suma del doble del ángulo
    sen(2x) = 2sen(x)cos(x)
    cos(2x) = 2cos2(x) – 1
    cos(2x) = cos2(x) – sen2(x)
    cos(2x) = 1 – 2sen2(x)
    Fórmulas para el cuadrado de la función
    Fórmulas para el cuadrado de la función con la mitad del ángulo
    Fórmulas para la tangente de la mitad del ángulo
    Fórmulas para el producto de seno y coseno
    Fórmulas para la suma y resta de senos y cosenos
    Identidades entre funciones trigonométricas
    Ley de los seno
    Ley del Coseno
    La ley de los Senos y ley del coseno se basan en éste triángulo:
    Tabla de coseno y seno de los ángulos principales

    BIBLIOGRAFIA:

    http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/funciones/seno7.htm
    http://www.monografias.com/trabajos13/trigo/trigo.shtml#tri

  9. Dalinda Castillo Silva dijo:

    Funciones Trigonometricas.
    Definición: Es una rama de las matemáticas que tiene como objetivo la medición de los triángulos. Estudia las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Se utiliza generalmente en la astronomía para medir distancias a estrellas, en puntos geográficos y en sistemas de navegación por satélites.
    Ángulos de Rotación. Si en un sistema de ejes coordenados se traza una línea recta, como se muestra, se puede medir el Angulo de inclinación que tiene esta con respecto al eje de las Xs. a) b) Angulo negativo Angulo positivo Sin embargo, si esta misma recta la giramos en el sentido contrario de un reloj, se dice que tal recta tiene un giro positivo y si se gira al sentido de las manecillas del reloj tiene un giro negativo
    Medidas en radianes. El radian se deriva del número de veces que se puede colocar la longitud del radio de una circunferencia para medir el perímetro de la misma. B 1 radian = AB = r O A r Esta unidad se deriva del valor de pi (π ), que se obtiene de la búsqueda de obtener el perímetro de una circunferencia mediante el diámetro de la misma.
    Circunferencia en radianes: Relación entre radianes y grados Se puede establecer una relación que permita medir un Angulo en grados o en radianes señalado que cuando se mida en grados un giro completo equivale a 360º, lo cual equivaldría a establecer que: 360º = 2 π radianes o 180º = π radianes
    Razones trigonométricas de cualquier Angulo. A continuación se expresan las definiciones de las funciones trigonométricas. SENO: Es la razón entre la ordenada y la distancia al origen. COSENO: Es la razón entre la abscisa y la distancia al origen. TANGENTE: Es la razón entre la ordenada y la abscisa.
    COTANGENTE: Es la razón entre la abscisa y la ordenada. SECANTE: Es la razón entre la distancia al origen y la abscisa. COSECANTE: Es la razón entre la distancia al origen y la ordenada. Y 6 X X 5
    Circulo trigonométrico y líneas trigonométricas. Se define como aquel cuyo radio equivale a la unidad. Si se traza un circulo trigonométrico en un sistema de coordenadas cartesianas y se representan algunos puntos y rectas en el mismo tal y como se muestra en la figura. Y R A M T B a DC S X 0
    •Las funciones trigonométricas del Angulo (90º – a). Y B A O A B X En el circulo trigonométrico que se muestra en la figura se puede observar que los triángulos rectángulos BOA y A`OB` son iguales por tener la hipotenusa y un Angulo agudo iguales; es decir, OA = OB = 1 y BOA = AO ‘ A ‘
    Las funciones trigonométricas del Angulo (- a). Y A a B O X -a A En el circulo trigonométrico que se muestra se puede observar que los triángulos OAB y OA`B’ son iguales por tener la hipotenusa y un Angulo agudo iguales. Así OA = OA` = r = 1: AB = – A`B`
    Tabla de signos y variaciones. I II II IV SENO + + – – COSENO + – – + TANTENTE + – + – CONATNGENT + – + – E SECANTE + – – + COSECANTE + + – –
    Bosquejo de las graficas de las funciones trigonométricas Grafica de la función seno.. Para elaborar un bosquejo de la grafica de la función seno es necesario considerar los valores obtenidos para ella que se encuentran en la tabla desde 0º hasta 360º. Los valores de los ángulos representan el eje de las Xs y los valores de la función representan el eje de las Ys. Esto muestra la figura.
    Grafica de la función coseno.. Para elaborar un bosquejo de la grafica de la función coseno es necesario considerar los valores obtenidos para ella que se encuentran en la tabla desde 0º hasta 360º. Los valores de los ángulos representan el eje de las Xs y los valores de la función representan el eje de las Ys. Esto muestra la figura.
    Grafica de la función tangente.. Para elaborar un bosquejo de la grafica de la tangente coseno es necesario considerar los valores obtenidos para ella que se encuentran en la tabla desde 0º hasta 360º. Los valores de los ángulos representan el eje de las Xs y los valores de la función representan el eje de las Ys. En algunos casos el valor de los angulos se puede expresar en radianes , recuerda que 2 π = 360º, o π = 180º y además que π = 3.14159.
    Análisis del dominio y rango de un función trigonométrica. Dominio de una función trigonométrica. Se define como el conjunto de valores que pueden tener la variable independiente de manera que se puede obtener su imagen o el valor de la función. Rango de una función trigonométrica. Es conjunto de valores que puede tener la variable dependiente.
    Noción de amplitud, periodo y frecuencia. Amplitud: Distancia o valor máximo de una cantidad variable, de su valor medio o valor base, o la mitad del valor máximo pico a pico de una función periódica, como un movimiento armónico simple. Periodo: Período de una oscilación es el tiempo transcurrido entre dos puntos equivalentes de la oscilación. Es el mínimo lapso que separa dos instantes en los que el sistema se encuentra exactamente en el mismo estado: mismas posiciones, mismas velocidades, mismas amplitudes. Así, el periodo de oscilación de una onda es el tiempo empleado por la misma en completar una longitud de onda.
    Frecuencia: Se llama Frecuencia a la cantidad de veces que se repite un determinado valor de la variable. Periodo
    INTRODUCCIÓN.
    Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
    Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:

    Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo, tienes algunas posibilidades:
    Una consiste en dibujar con mucho cuidadito triángulos distintos con ángulos 90º, 60º y 30º y calcular los resultados de las divisiones anteriores (el cateto opuesto al ángulo de 60º dividido por la longitud de la hipotenusa) para así comprobar que siempre se obtiene el mismo resultado (aprox 0.87).
    Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando triángulos, midiendo y dividiendo las longitudes con ayuda de algún programa informático (Cabri, Dr.Geo, etc.).
    Otra es ir hasta el primer applet que te encuentres en esta página (pero sin saltarte lo que viene a continuación).
    Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos que sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aprox 0.64).
    A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y se escribe sen(40º) = 0.64.
    (Estas explicaciones se tratarán con más detalle en clase y a partir de aquí definiremos las razones trigonométricas de ángulos agudos de triángulos rectángulos).
    DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS:

    En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.
    sen(B) = AC/BC
    cos(B) = BA/BC
    tan(B) = AC/BA

    Bibliografia:
    http://www.slideshare.net/guest0edf07/funciones-trigonometricas-1296339
    http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/funciones/seno7.htm
    Videografia:

  10. Kimberly N. Garcia Rdz dijo:

    INTRODUCCIÓN.
    Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
    Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:

    Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo, tienes algunas posibilidades:
    Una consiste en dibujar con mucho cuidadito triángulos distintos con ángulos 90º, 60º y 30º y calcular los resultados de las divisiones anteriores (el cateto opuesto al ángulo de 60º dividido por la longitud de la hipotenusa) para así comprobar que siempre se obtiene el mismo resultado (aprox 0.87).
    Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando triángulos, midiendo y dividiendo las longitudes con ayuda de algún programa informático (Cabri, Dr.Geo, etc.).
    Otra es ir hasta el primer applet que te encuentres en esta página (pero sin saltarte lo que viene a continuación).
    Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos que sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aprox 0.64).
    A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y se escribe sen(40º) = 0.64.
    (Estas explicaciones se tratarán con más detalle en clase y a partir de aquí definiremos las razones trigonométricas de ángulos agudos de triángulos rectángulos).

    DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS:

    En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.
    sen(B) = AC/BC
    cos(B) = BA/BC
    tan(B) = AC/BA
    Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones prácticas.
    Pero antes de continuar verás a continuación un applet que te permitirá dibujar triángulos rectángulos en los que el valor de un ángulo agudo lo fijas tú, el tamaño del triángulo lo puedes cambiar y el applet te mostrará que los valores del seno, coseno y tangente no dependen más que del ángulo, no del tamaño del triángulo. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUALESQUIERA:
    Las razones trigonométricas se generalizan para ángulos cualesquiera utilizando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro está situado en el origen. Los ángulos se miden en sentido antihorario y desde la dirección positiva del eje de abscisas.
    En el siguiente applet podrás variar el ángulo, y para el valor del ángulo elegido aparecerá un triángulo rectángulo OPQ. La hipotenusa es el radio, por lo que mide 1. Para un valor concreto del ángulo se llama sen(a) al cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud de la hipotenusa: PQ/OQ = PQ/1 = PQ. De la misma forma generalizamos el concepto de coseno: llamaremos cos(a) a la longitud de la proyección del radio sobre el eje de abscisas, cos(a) = OQ. (OQ/OP = OQ/1 = OQ)
    Los segmentos PQ se miden sobre el eje de ordenadas (vertical) y por ello, dependiendo del valor del ángulo, tienen signo positivo o negativo.
    Los segmentos OQ los medimos sobre el eje de abcisas (horizontal), por lo que el seno del ángulo elegido será positivo o negativo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre.
    La tangente de un ángulo cualquiera la obtendremos dividiendo el valor del seno entre el del coseno.
    Las razones trigonométricas de ángulos negativos se obtienen igual, pero los ángulos los medimos en sentido contrario (en sentido horario).

    3. PROPIEDADES IMPORTANTES:
    Existen algunas propiedades importantes que serán explicadas en clase:
    a) sen2(a) + cos2(a) = 1 (Esta igualdad se conoce con el nombre de fórmula fundamental de la trigonometría). (Se demuestra fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OPQ)
    b) tan(a) = sen(a)/cos(a). (Se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente)
    c) los valores del seno y del coseno están comprendidos entre -1 y 1.
    4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
    Al estar definidos los senos, cosenos y tangentes para cualquier ángulo (¿las tangentes existen para cualquier ángulo?), dan lugar al concepto de funciones trigonométricas: función seno, función coseno y función tangente. Es imprescindible familiarizarse con las gráficas de cada una de estas funciones y conocer sus características principales.
    A continuación mostramos un applet que permite ver como se genera la gráfica de la función seno (sinusoide) al ir variando el ángulo:
    Video grafia:

    Bibliografia
    http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/funciones/seno7.htm

  11. priscilla hernandez zamora dijo:

    0.INTRODUCCIÓN
    Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
    Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:

    Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo, tienes algunas posibilidades:
    Una consiste en dibujar con mucho cuidadito triángulos distintos con ángulos 90º, 60º y 30º y calcular los resultados de las divisiones anteriores (el cateto opuesto al ángulo de 60º dividido por la longitud de la hipotenusa) para así comprobar que siempre se obtiene el mismo resultado (aprox 0.87).
    Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando triángulos, midiendo y dividiendo las longitudes con ayuda de algún programa informático (Cabri, Dr.Geo, etc.).
    Otra es ir hasta el primer applet que te encuentres en esta página (pero sin saltarte lo que viene a continuación).
    Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos que sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aprox 0.64).
    A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y se escribe sen(40º) = 0.64.
    (Estas explicaciones se tratarán con más detalle en clase y a partir de aquí definiremos las razones trigonométricas de ángulos agudos de triángulos rectángulos).

    1. DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS:

    En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.

    sen(B) = AC/BC
    cos(B) = BA/BC
    tan(B) = AC/BA

    Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones prácticas.
    Pero antes de continuar verás a continuación un applet que te permitirá dibujar triángulos rectángulos en los que el valor de un ángulo agudo lo fijas tú, el tamaño del triángulo lo puedes cambiar y el applet te mostrará que los valores del seno, coseno y tangente no dependen más que del ángulo, no del tamaño del triángulo.

    as Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
    Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

    Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Trigonometría.
    Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

    BIBLIOGRAFIA:

    http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/funciones/seno7.htm
    http://www.youtube.com

  12. pineapple2h dijo:

    LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
    Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
    Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:
    Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo, tienes algunas posibilidades:
    Una consiste en dibujar con mucho cuidadito triángulos distintos con ángulos 90º, 60º y 30º y calcular los resultados de las divisiones anteriores (el cateto opuesto al ángulo de 60º dividido por la longitud de la hipotenusa) para así comprobar que siempre se obtiene el mismo resultado (aprox 0.87).
    Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando triángulos, midiendo y dividiendo las longitudes con ayuda de algún programa informático (Cabri, Dr.Geo, etc.).
    Otra es ir hasta el primer applet que te encuentres en esta página (pero sin saltarte lo que viene a continuación).
    Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos que sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aprox 0.64).
    A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y se escribe sen(40º) = 0.64.
    (Estas explicaciones se tratarán con más detalle en clase y a partir de aquí definiremos las razones trigonométricas de ángulos agudos de triángulos rectángulos).
    1. DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS:
    En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.
    seno de θ = sen θ = y/r
    coseno de θ = cos θ = x/r
    tangente de θ = tg θ = y/x
    cotangente de θ = ctg θ = x/y
    secante de θ = sec θ = r/x
    cosecante de θ = csc θ = r/y.
    Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones prácticas.
    Pero antes de continuar verás a continuación un applet que te permitirá dibujar triángulos rectángulos en los que el valor de un ángulo agudo lo fijas tú, el tamaño del triángulo lo puedes cambiar y el applet te mostrará que los valores del seno, coseno y tangente no dependen más que del ángulo, no del tamaño del triángulo.
    2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUALESQUIERA:
    Las razones trigonométricas se generalizan para ángulos cualesquiera utilizando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro está situado en el origen. Los ángulos se miden en sentido antihorario y desde la dirección positiva del eje de abscisas.
    En el siguiente applet podrás variar el ángulo, y para el valor del ángulo elegido aparecerá un triángulo rectángulo OPQ. La hipotenusa es el radio, por lo que mide 1. Para un valor concreto del ángulo se llama sen(a) al cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud de la hipotenusa: PQ/OQ = PQ/1 = PQ. De la misma forma generalizamos el concepto de coseno: llamaremos cos(a) a la longitud de la proyección del radio sobre el eje de abscisas, cos(a) = OQ. (OQ/OP = OQ/1 = OQ)
    Los segmentos PQ se miden sobre el eje de ordenadas (vertical) y por ello, dependiendo del valor del ángulo, tienen signo positivo o negativo.
    Los segmentos OQ los medimos sobre el eje de abcisas (horizontal), por lo que el seno del ángulo elegido será positivo o negativo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre.
    La tangente de un ángulo cualquiera la obtendremos dividiendo el valor del seno entre el del coseno.
    Las razones trigonométricas de ángulos negativos se obtienen igual, pero los ángulos los medimos en sentido contrario (en sentido horario).
    3. PROPIEDADES IMPORTANTES:
    Existen algunas propiedades importantes que serán explicadas en clase:
    a) sen2(a) + cos2(a) = 1 (Esta igualdad se conoce con el nombre de fórmula fundamental de la trigonometría). (Se demuestra fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OPQ)
    b) tan(a) = sen(a)/cos(a). (Se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente)
    c) los valores del seno y del coseno están comprendidos entre -1 y 1.
    4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
    Al estar definidos los senos, cosenos y tangentes para cualquier ángulo (¿las tangentes existen para cualquier ángulo?), dan lugar al concepto de funciones trigonométricas: función seno, función coseno y función tangente. Es imprescindible familiarizarse con las gráficas de cada una de estas funciones y conocer sus características principales.
    Las definiciones son verdaderas y no cambian para ángulos
    positivos y negativos mayores que 360º en valor numérico.
    Sistema de cuadrantes:
    Teorema del Seno
    Este teorema es muy útil y práctico para resolver problemas
    de trigonometría, en que el triángulo no el rectángulo y se conocen
    más ángulos que lados. Se define de la siguiente manera:
    Carlos Oliva – Mary Carmen Santana – Alexis Rojas C. Funciones Trigonométricas 6
    Teorema del Coseno
    Este teorema es muy útil y práctico para resolver problemas de
    trigonometría, en que el triángulo no el rectángulo y se conocen más
    lados que ángulos. Se define como:
    5. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES:

    csc θ = 1/sen θ
    sec θ = 1/cos θ
    ctg θ = 1/tg θ
    tg θ = sen θ/cos θ
    sen² θ + cos² θ = 1
    1 + tg² θ = sec² θ

  13. Funciones trigonometricas.

    Función Seno:
    La función Seno se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa:
    Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:
    el seno del ángulo alpha será:
    Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa del seno:
    cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla “shift” o “2daf” que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla “sin” (dice “sin” y no “sen” porque en inglés la función seno se escribe “sin”):
    para este caso, el resultado da: 53.13010…
    que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
    Función Cosecante
    La función cosecante es parecida a la función seno, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto opuesto entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto opuesto
    en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la cosecante:
    sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la cosecante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso del seno. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote “¿Cómo lo saco?” simplemente haz la siguiente sustitución:
    y ya.
    Gráfica de la función Seno
    Si graficas la función y = sen(x) en un plano cartesiano, obtendrías la siguiente figura:
    Observa que la función no pasa de 1 por arriba y de -1 por abajo. Se dice entónces que la función está “acotada” entre -1 y +1. Los valores para los que la función llega hasta +1 o -1 son los múltiplos impares de / 2 , o sea:
    con n entero y mayor que cero.
    La función seno(x) tiene periodo de 2, esto es, que cuando x es igual a 2, la función se vuelve a repetir tomando los valores que tomó a partir del cero.
    Función Coseno:
    La función Coseno se obtiene de dividir el cateto adyacente de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa:
    Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:
    el coseno del ángulo alpha será:
    Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa del coseno:
    cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla “shift” o “2daf” que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla “cos”:
    para este caso, el resultado da: 53.13010…
    que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
    Función Secante
    La función secante es parecida a la función coseno, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto adyacente entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto adyacente:
    en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la secante:
    sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la secante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso del coseno. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote “¿Cómo lo saco?” simplemente haz la siguiente sustitución
    y ya.
    Gráfica de la función Coseno
    Si graficas la función Coseno en un plano cartesiano, ésta se vería así:
    Observa que la función se parece muchísimo a la función Seno. La diferencia está en que el coseno comienza en el +1 [o sea y(0) = +1], y el seno en el 0 [ o sea y(0) = 0]. Esto se debe a que la función coseno está desfasada medio periódo respecto de la función seno.
    Igual que en la función Seno, la función coseno sólo puede tomar valores entre -1 y +1. A esto se le dice “acotada”, que significa que tiene límites de los cuáles ya no pasa.
    La función es periódica ( o sea que se repite su forma a lo largo del eje x) y su periodo vale 2 (o sea que cuando x toma el valor de 2, la función vuelve a tomar los valores que tomó desde el cero otra vez.
    Los valores para los que la función Coseno se vuelve +1 o -1 son los múltiplos enteros de , o sea:
    n con n cualquier entero incluyendo el cero.
    Función Tangente:
    La función Tangente se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre el cateto adyacente:
    Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:
    la tangente del ángulo alpha será:
    Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa de la tangente:
    cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla “shift” o “2daf” que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla “tan”:
    para este caso, el resultado da: 53.13010…
    que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
    La función tangente se puede también definir a través de las funciones seno y coseno como sigue:
    y el resultado es el mismitito que dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente.
    Función Cotangente
    La función cotangente es parecida a la función tangente, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente, se divide el cateto adyacente entre el cateto opuesto
    hay otras notaciones válidas para la contangente, algunos la prefieren escribir de alguna de las siguientes formas:
    pero es la misma función.
    En principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la tangente (la arcocotangente), por ejemplo, para el problema de arriba sería:
    sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la cotangente) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso de la tangente. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote “¿Cómo lo saco?” simplemente haz la siguiente sustitución:
    y ya.
    Gráfica de la función Tangente
    Si graficaras la función y = tan (x) en un plano cartesiano, ésta se vería así:
    los puntos donde la función se va a infinito se llaman “asíntotas” y en esos valores la función tangente no está definida. Esta función tiene periodo (recuerda que en radianes = 180°). Es decir que cuando la x toma los múltiplos de , la función vuelve a tomar los valores que tomó desde el cero, y la función se repite así hasta infinito.
    Observa que a diferencia de las funciones seno y coseno, la función tangente no está “acotada”, o sea limitada en el eje de las y’s, sino que puede tomar cualquier valor y no como la función seno o coseno que sólo pueden tomar valores entre el +1 y el -1.
    Fórmulas e Identidades Trigonométricas
    La siguiente es una lista de fórmulas trigonométricas muy útiles para resolver muchos problemas:
    Fundamentales
    sen(-x) = -sen(x)
    cos(-x) = cos(x)
    tan(-x) = -tan(x)
    sen2x + cos2x = 1
    1 + tan2x = sec2x
    1 + cotan2x = csc2x
    sen ( – x) = sen (x)
    cos ( – x) = -cos (x)
    tan ( – x) = -tan (x)
    Suma y resta de dos ángulos en funciones trigonométricas
    sen (u + v) = sen (u)cos (v) + cos(u)sen(v)
    sen (u – v) = sen (u)cos (v) – cos(u)sen(v)
    cos (u + v) = cos(u) cos(v) – sen(u)sen(v)
    cos (u – v) = cos(u) cos(v) + sen(u)sen(v)
    Fórmulas para la suma del doble del ángulo
    sen(2x) = 2sen(x)cos(x)
    cos(2x) = 2cos2(x) – 1
    cos(2x) = cos2(x) – sen2(x)
    cos(2x) = 1 – 2sen2(x)
    Fórmulas para el cuadrado de la función
    Fórmulas para el cuadrado de la función con la mitad del ángulo
    Fórmulas para la tangente de la mitad del ángulo
    Fórmulas para el producto de seno y coseno
    Fórmulas para la suma y resta de senos y cosenos
    Identidades entre funciones trigonométricas
    Ley de los seno
    Ley del Coseno
    La ley de los Senos y ley del coseno se basan en éste triángulo:
    Tabla de coseno y seno de los ángulos principales
    un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.
    sen(B) = AC/BC
    cos(B) = BA/BC
    tan(B) = AC/BA
    Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones prácticas.
    Pero antes de continuar verás a continuación un applet que te permitirá dibujar triángulos rectángulos en los que el valor de un ángulo agudo lo fijas tú, el tamaño del triángulo lo puedes cambiar y el applet te mostrará que los valores del seno, coseno y tangente no dependen más que del ángulo, no del tamaño del triángulo.
    Las razones trigonométricas se generalizan para ángulos cualesquiera utilizando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro está situado en el origen. Los ángulos se miden en sentido antihorario y desde la dirección positiva del eje de abscisas.
    En el siguiente applet podrás variar el ángulo, y para el valor del ángulo elegido aparecerá un triángulo rectángulo OPQ. La hipotenusa es el radio, por lo que mide 1. Para un valor concreto del ángulo se llama sen(a) al cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud de la hipotenusa: PQ/OQ = PQ/1 = PQ. De la misma forma generalizamos el concepto de coseno: llamaremos cos(a) a la longitud de la proyección del radio sobre el eje de abscisas, cos(a) = OQ. (OQ/OP = OQ/1 = OQ)
    Los segmentos PQ se miden sobre el eje de ordenadas (vertical) y por ello, dependiendo del valor del ángulo, tienen signo positivo o negativo.
    Los segmentos OQ los medimos sobre el eje de abcisas (horizontal), por lo que el seno del ángulo elegido será positivo o negativo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre.
    La tangente de un ángulo cualquiera la obtendremos dividiendo el valor del seno entre el del coseno.
    Las razones trigonométricas de ángulos negativos se obtienen igual, pero los ángulos los medimos en sentido contrario (en sentido horario).

    Bibliografia:

  14. Alejandra Del Angel Martinez dijo:

    FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
    Ahora que hemos determinado los ángulos arbitraria, podemos definir sus senos y cosenos. Deje que el ángulo de estar colocado de manera que su vértice está en el centro del círculo de la unidad O = (0,0), y dejar que el primer lado del ángulo se colocarán a lo largo del eje “x”. Deje que el segundo lado del ángulo de intersección con el círculo de la unidad en B. Entonces el ángulo es igual al ángulo AOB donde A es (1,0). Nosotros utilizamos las coordenadas de B para definir el coseno del ángulo y el seno del ángulo. En concreto, la coordenada x de B es el coseno del ángulo, y la coordenada de B es el seno del ángulo.

    Esta definición se extiende a las definiciones de seno y el coseno se administra antes de ángulos agudos.
    Propiedades de senos y cosenos que se derivan de esta definición
    Hay varias propiedades que pueden derivarse de esta definición. Algunos de ellos generalizar identidades que ya hemos visto para los ángulos agudos.
    Seno y el coseno son funciones periódicas de período de 360 °, es decir, del período de 2 . Eso es porque los senos y cosenos se definen en términos de ángulos, y usted puede agregar múltiplos de 360 °, o 2 , Y eso no cambia el ángulo. Por lo tanto,
    sin (t + 360 °) sen t = y
    cos (t + 360 °) = cos t.
    Muchas de las aplicaciones modernas de la trigonometría se derivan de los usos de la trigonometría para el cálculo, especialmente aquellas aplicaciones que tratan directamente con las funciones trigonométricas. Por lo tanto, debemos utilizar medida en radianes cuando se piensa en trigonométricas en términos de funciones trigonométricas. En la medida en radianes de que el último par de ecuaciones que se lea como
    sin (t + 2 ) = Sen t, y
    cos (t + 2 ) = Cos t.
    Seno y coseno son complementarias:
    cos t = sen ( / 2 – t)
    sen t = cos ( / 2 – t)
    Hemos visto esto antes, pero ahora lo tenemos para cualquier ángulo t. Es cierto, porque cuando se reflejan en el plano de la recta y = x diagonal, un ángulo se cambia por su complemento.
    La identidad de Pitágoras de senos y cosenos se desprende directamente de la definición. Desde el punto B se encuentra en el círculo de la unidad, sus coordenadas x e y satisfacen la ecuación x 2 + y 2 = 1. Sin embargo, las coordenadas son el coseno y seno, por lo que llegamos a la conclusión
    sen 2 t + cos 2 t = 1.
    Ahora estamos listos para mirar seno y el coseno como funciones.
    Seno es una función impar, y el coseno es una función par. No puede haber llegado a través de estos adjetivos “extraño” e “incluso” cuando se aplica a las funciones, pero es importante conocerlos. Una función f se dice que es una función impar si para cualquier número x, f (- x) = – f (x). Una función f se dice que es una función par si para cualquier número x, f (- x) = f (x). La mayoría de las funciones no son funciones impares, ni siquiera, pero es importante tener en cuenta cuando una función es par o impar. Cualquier polinomio con sólo términos grado impar es una función impar, por ejemplo, f (x) = x 5 + 8 x 3 a 2 x. (Nótese que todas las potencias de x son números impares.) Del mismo modo, cualquier polinomio con sólo hasta términos de grado es una función par. Por ejemplo, f (x) = x 4 – 3 x 2 – 5. (La constante 5 es 5 x 0, y 0 es un número par.)
    Seno es una función impar, y es incluso coseno
    el pecado – t-t = pecado, y
    cos – t = cos t.
    Estos hechos se derivan de la simetría del círculo unitario en todo el eje “x”. El ángulo – No es el mismo ángulo que t, excepto que en el otro lado del eje “x”. Invertir un punto (x, y) al otro lado del eje “x” se convierte en (x,-y), por lo que la coordenada y se niega, es decir, el seno es negado, pero la coordenada x-sigue siendo el mismo, es decir, el coseno no se modifica.
    Una característica obvia de senos y cosenos es que sus valores se encuentran entre -1 y 1. Cada punto en el círculo unitario es una unidad desde el origen, por lo que las coordenadas de cualquier punto se encuentran dentro de una de 0 también
    Bibliografia:
    http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/functions.html

  15. Funciones trigonometricas

    Función Seno:
    La función Seno se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa:
    Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:
    el seno del ángulo alpha será:
    Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa del seno:
    cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla “shift” o “2daf” que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla “sin” (dice “sin” y no “sen” porque en inglés la función seno se escribe “sin”):
    para este caso, el resultado da: 53.13010…
    que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
    Función Cosecante
    La función cosecante es parecida a la función seno, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto opuesto entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto opuesto
    en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la cosecante:
    sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la cosecante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso del seno. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote “¿Cómo lo saco?” simplemente haz la siguiente sustitución:
    y ya.
    Gráfica de la función Seno
    Si graficas la función y = sen(x) en un plano cartesiano, obtendrías la siguiente figura:
    Observa que la función no pasa de 1 por arriba y de -1 por abajo. Se dice entónces que la función está “acotada” entre -1 y +1. Los valores para los que la función llega hasta +1 o -1 son los múltiplos impares de / 2 , o sea:
    con n entero y mayor que cero.
    La función seno(x) tiene periodo de 2, esto es, que cuando x es igual a 2, la función se vuelve a repetir tomando los valores que tomó a partir del cero.
    Función Coseno:
    La función Coseno se obtiene de dividir el cateto adyacente de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa:
    Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:
    el coseno del ángulo alpha será:
    Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa del coseno:
    cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla “shift” o “2daf” que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla “cos”:
    para este caso, el resultado da: 53.13010…
    que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
    Función Secante
    La función secante es parecida a la función coseno, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto adyacente entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto adyacente:
    en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la secante:
    sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la secante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso del coseno. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote “¿Cómo lo saco?” simplemente haz la siguiente sustitución
    y ya.
    Gráfica de la función Coseno
    Si graficas la función Coseno en un plano cartesiano, ésta se vería así:
    Observa que la función se parece muchísimo a la función Seno. La diferencia está en que el coseno comienza en el +1 [o sea y(0) = +1], y el seno en el 0 [ o sea y(0) = 0]. Esto se debe a que la función coseno está desfasada medio periódo respecto de la función seno.
    Igual que en la función Seno, la función coseno sólo puede tomar valores entre -1 y +1. A esto se le dice “acotada”, que significa que tiene límites de los cuáles ya no pasa.
    La función es periódica ( o sea que se repite su forma a lo largo del eje x) y su periodo vale 2 (o sea que cuando x toma el valor de 2, la función vuelve a tomar los valores que tomó desde el cero otra vez.
    Los valores para los que la función Coseno se vuelve +1 o -1 son los múltiplos enteros de , o sea:
    n con n cualquier entero incluyendo el cero.
    Función Tangente:
    La función Tangente se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre el cateto adyacente:
    Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:
    la tangente del ángulo alpha será:
    Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa de la tangente:
    cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla “shift” o “2daf” que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla “tan”:
    para este caso, el resultado da: 53.13010…
    que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
    La función tangente se puede también definir a través de las funciones seno y coseno como sigue:
    y el resultado es el mismitito que dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente.
    Función Cotangente
    La función cotangente es parecida a la función tangente, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente, se divide el cateto adyacente entre el cateto opuesto
    hay otras notaciones válidas para la contangente, algunos la prefieren escribir de alguna de las siguientes formas:
    pero es la misma función.
    En principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la tangente (la arcocotangente), por ejemplo, para el problema de arriba sería:
    sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la cotangente) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso de la tangente. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote “¿Cómo lo saco?” simplemente haz la siguiente sustitución:
    y ya.
    Gráfica de la función Tangente
    Si graficaras la función y = tan (x) en un plano cartesiano, ésta se vería así:
    los puntos donde la función se va a infinito se llaman “asíntotas” y en esos valores la función tangente no está definida. Esta función tiene periodo (recuerda que en radianes = 180°). Es decir que cuando la x toma los múltiplos de , la función vuelve a tomar los valores que tomó desde el cero, y la función se repite así hasta infinito.
    Observa que a diferencia de las funciones seno y coseno, la función tangente no está “acotada”, o sea limitada en el eje de las y’s, sino que puede tomar cualquier valor y no como la función seno o coseno que sólo pueden tomar valores entre el +1 y el -1.
    Fórmulas e Identidades Trigonométricas
    La siguiente es una lista de fórmulas trigonométricas muy útiles para resolver muchos problemas:
    Fundamentales
    sen(-x) = -sen(x)
    cos(-x) = cos(x)
    tan(-x) = -tan(x)
    sen2x + cos2x = 1
    1 + tan2x = sec2x
    1 + cotan2x = csc2x
    sen ( – x) = sen (x)
    cos ( – x) = -cos (x)
    tan ( – x) = -tan (x)
    Suma y resta de dos ángulos en funciones trigonométricas
    sen (u + v) = sen (u)cos (v) + cos(u)sen(v)
    sen (u – v) = sen (u)cos (v) – cos(u)sen(v)
    cos (u + v) = cos(u) cos(v) – sen(u)sen(v)
    cos (u – v) = cos(u) cos(v) + sen(u)sen(v)
    Fórmulas para la suma del doble del ángulo
    sen(2x) = 2sen(x)cos(x)
    cos(2x) = 2cos2(x) – 1
    cos(2x) = cos2(x) – sen2(x)
    cos(2x) = 1 – 2sen2(x)
    Fórmulas para el cuadrado de la función
    Fórmulas para el cuadrado de la función con la mitad del ángulo
    Fórmulas para la tangente de la mitad del ángulo
    Fórmulas para el producto de seno y coseno
    Fórmulas para la suma y resta de senos y cosenos
    Identidades entre funciones trigonométricas
    Ley de los seno
    Ley del Coseno
    La ley de los Senos y ley del coseno se basan en éste triángulo:
    Tabla de coseno y seno de los ángulos principales
    un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.
    sen(B) = AC/BC
    cos(B) = BA/BC
    tan(B) = AC/BA
    Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones prácticas.
    Pero antes de continuar verás a continuación un applet que te permitirá dibujar triángulos rectángulos en los que el valor de un ángulo agudo lo fijas tú, el tamaño del triángulo lo puedes cambiar y el applet te mostrará que los valores del seno, coseno y tangente no dependen más que del ángulo, no del tamaño del triángulo.
    Las razones trigonométricas se generalizan para ángulos cualesquiera utilizando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro está situado en el origen. Los ángulos se miden en sentido antihorario y desde la dirección positiva del eje de abscisas.
    En el siguiente applet podrás variar el ángulo, y para el valor del ángulo elegido aparecerá un triángulo rectángulo OPQ. La hipotenusa es el radio, por lo que mide 1. Para un valor concreto del ángulo se llama sen(a) al cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud de la hipotenusa: PQ/OQ = PQ/1 = PQ. De la misma forma generalizamos el concepto de coseno: llamaremos cos(a) a la longitud de la proyección del radio sobre el eje de abscisas, cos(a) = OQ. (OQ/OP = OQ/1 = OQ)
    Los segmentos PQ se miden sobre el eje de ordenadas (vertical) y por ello, dependiendo del valor del ángulo, tienen signo positivo o negativo.
    Los segmentos OQ los medimos sobre el eje de abcisas (horizontal), por lo que el seno del ángulo elegido será positivo o negativo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre.
    La tangente de un ángulo cualquiera la obtendremos dividiendo el valor del seno entre el del coseno.
    Las razones trigonométricas de ángulos negativos se obtienen igual, pero los ángulos los medimos en sentido contrario (en sentido horario).

    Bibliografia
    http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/funciones/seno7.htm

  16. Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Trigonometría.
    Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones
    Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
    Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).
    Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

    Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:
    • La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
    • El [[Cateto|cateto opuesto] es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.
    • El [[Cateto|cateto adyacente]es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.
    Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:
    1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

    El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
    2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

    3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

    4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

    5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

    6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

    Funciones trigonométricas inversas
    Las tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son:
    • Arcoseno es la función inversa del seno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo seno es dicho valor.
    La función arcoseno real es una función , es decir, no está definida para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor:

    • Arcocoseno es la función inversa del coseno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo coseno es dicho valor.
    Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse como:

    • Arcotangente es la función inversa de la tangente de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuya tangente es dicho valor.
    A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales. Su expresión en forma de serie es:

    Definiciones analíticas
    La definición analítica más frecuente dentro del análisis real se hace a partir de ecuaciones diferenciales. Usando la geometría y las propiedades de los límites, se puede demostrar que la derivada del seno es el coseno y la derivada del coseno es el seno con signo negativo. (Aquí, como se hace generalmente en cálculo, todos los ángulos son medidos en radianes.)

    El teorema de Picard-Lindelöf de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales lleva a que existen las funciones anteriores que se llaman respectivamente seno y coseno, es decir:

    Esta definición analítica de las funciones trigonométricas permite una definición no-geométrica del número π, a saber, dicho número es el mínimo número real positivo que es un cero de la función seno.
    Series de potencias
    A partir de las definición anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno son funciones analíticas cuya serie de Maclaurin viene dada por:

    Estas identidades son aveces usadas como las definiciones de las funciones seno y coseno. Con frecuencia se utilizan como el punto de partida para el tratamiento riguroso de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones (por ejemplo en las Series de Fourier), debido a que la teoría de las series infinitas puede ser desarrollada a partir de la base del sistema de números reales, independientemente de cualquier consideración geométrica. La diferenciabilidad y continuidad de estas funciones es entonces establecida a partir de las definiciones de series por si misma.
    Relación con la exponencial compleja
    Existe una relación importante entre la exponenciación de números complejos y las funciones trigonométricas:

    Esta relación puede probarse usando el desarrollo en serie de Taylor para la función exponencial y el obtenido en la sección anterior para las funciones seno y coseno. Separando ahora en parte real e imaginaria en la expresión anterior se encuentran las definiciones de seno y coseno en términos de exponenciales complejas:

    A partir de ecuaciones diferenciales
    Las funciones seno y coseno satisfacen la igualdad:

    Es decir, la segunda derivada de cada función es la propia función con signo inverso. Dentro del espacio funcional de dos dimensiones V, que consiste en todas las soluciones de esta ecuación,
    • la función seno es la única solución que satisface la condición inicial y
    • la función coseno es la única solución que satisface la condición inicial .
    Dado que las funciones seno y coseno son linearmente independientes, juntas pueden formar la base de V. Este método para definir las funciones seno y coseno es esencialmente equivalente a utilizar la fórmula de Euler. Además esta ecuación diferencial puede utilizarse no solo para definir al seno y al coseno, con ella también se pueden probar las identidades trigonométricas de las funciones seno y coseno.
    Además, la observación de que el seno y el coseno satisfacen y′′ = −y implica que son funciones eigen del operador de la segunda derivada.
    La función tangente es la única solución de la ecuación diferencial no lineal

    satisfaciendo la condición inicial y(0) = 0. Existe una interesante prueba visual de que la función tangente satisface esta ecuación diferencial.

    bibliografia:
    http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica

    videografia:

  17. alexaes dijo:

    -Alexa Espino Solis-

    Funciones trígonometricas:

    Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo.
    En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.
    sen(B) = AC/BC
    cos(B) = BA/BC
    tan(B) = AC/BA

    Al estar definidos los senos, cosenos y tangentes para cualquier ángulo (¿las tangentes existen para cualquier ángulo?), dan lugar al concepto de funciones trigonométricas: función seno, función coseno y función tangente. Es imprescindible familiarizarse con las gráficas de cada una de estas funciones y conocer sus características principales.

    Las funciones son :

    Seno: Cateto opuesto sobre hipotenusa
    Coseno: Cateto adyacente sobre hipotenusa
    Tangente: Cateto opuesto sobre cateto adyacente
    Cotangente: Cateto adyacente sobre cateto opuesto
    Secante: Hipotenusa sobre cateto adyacente
    Cosecante: Hipotenusa sobre cateto opuesto

    La función seno
    Definición geométrica
    El seno de un número real t es la coordenada y (altura) del punto P en el siguiente diagrama, donde |t| es el largo del arco que se indica.

    Gráfica de la función seno

    y = sin x
    Función seno general.
    La función seno “generalizado” tiene la siguiente forma:

    A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base).
    C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base).
    P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo).
    ω es la frecuencia angular, y se expresa por
    ω= 2π/P o P = 2π/ω.
    α es el desplazamiento de faso.
    Ejemplos
    Considere la siguiente gráfica, que muestra una curva de seno “general” (desplazada y escalada):

    Pregunta ¿Que es la ecuación de la gráfica?
    Contesta Consultando la función seno generalizado a la izquierda, vemos que la ecuación de esta curva es:
    y = A sin[ω(x-α)] + C,
    donde
    La línea base (el punto medio de oscilación) se ubica 2 unidades abajo del eje x
    A = amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base) = 2
    C = desplazamiento vertical = coordenada y de la línea base = -2
    P = periodo (el longitud de casa ciclo, o distancia de un máximo al siguiente) = 4
    ω = frecuencia angular = 2π/P = 2π/4 = π/2
    α = desplazamiento de faso = 1 Esta es la distancia horizontal del eje y al primero punto donde la gráfica cruza la línea base.
    Entonces, la ecuación de la curva más arriba es
    y = 2 sin[π/2 (x - 1)] – 2

    La función coseno.
    Definición geométrica.
    El coseno de un número real t es la coordenada x del punto P en el siguiente diagrama, donde |t| es el largo del arco que se indica.

    cos t = coordenada x del punto P
    sin t = coordenada y del punto P
    Gráfica de la función coseno.

    y = cos x
    Función coseno general.
    La función coseno “generalizado” tiene la siguiente forma:

    y = A cos[ω(x - α)] + C
    A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base).
    C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base).
    P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo).
    ω es la frecuencia angular, y se expresa por ω= 2π/P o P = 2π/ω.
    α es el desplazamiento de faso.
    Ejemplos
    Considere la siguiente gráfica, que muestra la misma curva de seno “general” (desplazada y escalada) que más arriba:

    Pregunta ¿Esta vez, que es su ecuación, esta vez escrita como una función coseno general?
    Contesta Consultando la función coseno generalizado a la izquierda, vemos que la ecuación de esta curva es:
    y = A cos[ω(x-α)] + C,
    donde
    La línea base (el punto medio de oscilación) se ubica 2 unidades abajo del eje x
    A = amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base) = 2
    C = desplazamiento vertical = coordenada y de la línea base = -2
    P = periodo (el longitud de casa ciclo, o distancia de un máximo al siguiente) = 4
    ω = frecuencia angular = 2π/P = 2π/4 = π/2
    α = desplazamiento de faso = 2 Es distinto para coseno: la distancia horizontal del eje y al primero máximo.
    Entonces, la ecuación de la curva más arriba es:
    y = 2 cos[π/2 (x - 2)] – 2

    Seno, coseno y tangente
    Las tres funciones más importantes en trigonometría son el seno, el coseno y la tangente. Cada una es la longitud de un lado dividida entre la longitud de otro… ¡sólo tienes que aprenderte qué lados son!

    Para el ángulo θ :
    Seno sin(30°) = 1 / 2 = 0.5 Seno sin(30°) = 1 / 2 = 0.5
    Coseno cos(30°) = 1.732 / 2 = 0.866 Coseno cos(30°) = 1.732 / 2 = 0.866
    Tangente tan(30°) = 1 / 1.732 = 0.577 Tangente tan(30°) = 1 / 1.732 = 0.577
    Nota: el seno se suele denotar sin() (por la palabra inglesa “sine”) o sen(). Aquí utilizaremos sin() pero puedes encontrarte la otra notación en otros libros o sitios web.
    Ejemplos
    Ejemplo 1: ¿cuáles son el seno, coseno y tangente de 30° ?
    El triángulo clásico de 30° tiene hipotenusa de longitud 2, lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de longitud √3:
    Sin (30°) = 1 / 2 = 0.5
    Coseno cos(30°) = 1.732 / 2 = 0.866
    Tangente tan(30°) = 1 / 1.732 = 0.577

    bibliografía:
    http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm9.html
    http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/funciones/seno7.htm
    http://www.disfrutalasmatematicas.com/seno-coseno-tangente.html

    -Alexa Espino Solis-

  18. julio gulmar dijo:

    Funciones Trigonométricas 4 1. Definición de las funciones trigonométricas :
    Sea θ el ángulo cuya variación está dada por el intervalo -360º ≤ θ ≤ 360º.
    Para los fines de definición de tal ángulo y de sus funciones trigonométricas es conveniente usar el sistema coordenado rectangular. Los enunciados que siguen se aplican a cada una de las cuatro posiciones que aparecen en la figura.
    Si a una recta que coincide con el eje X se la hace girar en el plano coordenado XY en torno del origen O a una posición OA, se dice que se ha generado un ángulo XOA=θ que tiene a OX por lado inicial y a OA por lado final. Si la rotación se hace en el sentido contrario a las manecillas de un reloj, se dice que el ángulo es positivo; y si la rotación es en el mismo sentido de las manecillas, se dice que el ángulo es negativo. Se dice también que el ángulo está en el mismo cuadrante que su lado final.
    Sobre el lado final OA tomemos un punto cualquiera P diferente de O, y de coordenadas ( x , y ). Desde P bajemos una perpendicular PB al eje X. El segmento de recta OP se llama radio vector, se designa por r, y se toma siempre como positivo. En el triángulo OPB, OB = x y PB = y tienen los signos de las coordenadas del punto P, como está indicado para los cuatro cuadrantes. Entonces, cualquiera que sea el cuadrante en que esté θ, las seis funciones trigonométricas de θ se definen en magnitud y signo, por las siguientes razones:
    seno de θ = sen θ = y/r
    coseno de θ = cos θ = x/r
    tangente de θ = tg θ = y/x
    cotangente de θ = ctg θ = x/y
    secante de θ = sec θ = r/x
    cosecante de θ = csc θ = r/y.
    Las definiciones son verdaderas y no cambian para ángulos positivos y negativos mayores que 360º en valor numérico

    Teorema del Seno
    Este teorema es muy útil y práctico para resolver problemas de trigonometría, en que el triángulo no el rectángulo y se conocen más ángulos que lados
    Teorema del Coseno
    Este teorema es muy útil y práctico para resolver problemas de trigonometría, en que el triángulo no el rectángulo y se conocen más lados que ángulos. Se define como:
    2. Identidades trigonométricas fundamentales:
    csc θ = 1/sen θ
    sec θ = 1/cos θ
    ctg θ = 1/tg θ
    tg θ = sen θ/cos θ
    sen² θ + cos² θ = 1
    1 + tg² θ = sec² θ
    1+ ctg² θ = csc² θ

    3. Fórmulas de reducción:
    sen (90º ± θ) = cos θ
    cos (90º ± θ) = ± sen θ
    tg (90º ± θ) = ± ctg θ
    sen (180º ± θ) = ± sen θ
    cos (180º ± θ) = -cos θ
    tg (180º ± θ) = ± tg θ
    sen (270º ± θ) = -cos θ
    cos (270º ± θ) = ± sen θ
    tg (270º ± θ) = ± ctg θ
    sen (360º ± θ) = ± sen θ
    cos (360º ± θ) = cos θ
    tg (360º ± θ) = ± tg θ
    4. Medida de ángulos en radianes.
    Sea θ un ángulo central que intercepta un arco de longitud “s” sobre un círculo de radio “r”. La medida del ángulo θ, en radianes, está definida por θ = s/r. Obsérvese que por ser s y r longitudes, esta razón es un número abstracto. De esta definición de medida en radianes tenemos de inmediato la relación de conversión:
    radianes = 180º
    de donde,
    1 radián = 180/π =57,2958º (aprox.) = 57º17’ 45” (aprox.),
    1º = π/180 radianes = 0,017453 radianes (aprox.)

    Fórmulas de adición y sustracción.
    sen ( x ± y ) = sen x * cos y ± cos x * sen y;
    cos ( x ± y ) = cos x * cos y ± sen x * sen y;
    tg (x ± y ) = ( tg x ± tg y ) / ( 1 ± tg x * tg y )

    Funciones trigonométricas del ángulo doble.
    sen 2x = 2 * sen x * cos x
    cos 2x = cos² x – sen² x = 1 – 2 * sen² x = 2 cos² x – 1
    tg 2x = ( 2 * tg x ) / ( 1 – tg² x).

    Conclusión
    Las funciones trigonométricas, son poderosas herramientas en el desarrollo de complicados problemas, que incluyen triángulos no rectángulos y en que no se tienen muchos datos ó información referente al mismos.
    Con estas se pueden resolver problemas que antes no eran posibles de resolverse con los métodos tradicionales.
    Imagen 1

    Imagen 2

    video 1

    video 2

    bibliografía:
    http://www.escolares.net/files_trabajos/file/pdf/matematicas/trigonometria_0807.pdf

  19. cecilia Villafranca dijo:

    FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
    Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
    Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:

    Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo, tienes algunas posibilidades:
    Una consiste en dibujar con mucho cuidadito triángulos distintos con ángulos 90º, 60º y 30º y calcular los resultados de las divisiones anteriores (el cateto opuesto al ángulo de 60º dividido por la longitud de la hipotenusa) para así comprobar que siempre se obtiene el mismo resultado (aprox 0.87).
    Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando triángulos, midiendo y dividiendo las longitudes con ayuda de algún programa informático (Cabri, Dr.Geo, etc.).
    Otra es ir hasta el primer applet que te encuentres en esta página (pero sin saltarte lo que viene a continuación).
    Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos que sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aprox 0.64).
    A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y se escribe sen(40º) = 0.64.
    (Estas explicaciones se tratarán con más detalle en clase y a partir de aquí definiremos las razones trigonométricas de ángulos agudos de triángulos rectángulos).
    Definición de las funciones trigonométricas :
    Sea θ el ángulo cuya variación está dada por el intervalo -360º
    ≤ θ ≤ 360º.
    Para los fines de definición de tal ángulo y de sus funciones
    trigonométricas es conveniente usar el sistema coordenado rectangular. Los
    enunciados que siguen se aplican a cada una de las cuatro posiciones que
    aparecen en la figura.
    Si a una recta que coincide con el eje X se la hace girar en el plano
    coordenado XY en torno del origen O a una posición OA, se dice que se ha
    generado un ángulo XOA=θ que tiene a OX por lado inicial y a OA por lado final.
    Si la rotación se hace en el sentido contrario a las manecillas de un reloj, se dice
    que el ángulo es positivo; y si la rotación es en el mismo sentido de las manecillas,
    se dice que el ángulo es negativo. Se dice también que el ángulo está en el mismo
    cuadrante que su lado final.
    Sobre el lado final OA tomemos un punto cualquiera P diferente de O,
    y de coordenadas ( x , y ). Desde P bajemos una perpendicular PB al eje X. El
    segmento de recta OP se llama radio vector, se designa por r, y se toma siempre
    como positivo. En el triángulo OPB, OB = x y PB = y tienen los signos de las
    coordenadas del punto P, como está indicado para los cuatro cuadrantes.
    Entonces, cualquiera que sea el cuadrante en que esté θ, las seis funciones
    trigonométricas de θ se definen en magnitud y signo, por las siguientes razones:
    seno de θ = sen θ = y/r
    coseno de θ = cos θ = x/r
    tangente de θ = tg θ = y/x
    cotangente de θ = ctg θ = x/y
    secante de θ = sec θ = r/x
    cosecante de θ = csc θ = r/y
    Las definiciones son verdaderas y no cambian para ángulos
    positivos y negativos mayores que 360º en valor numérico.
    Sistema de cuadrantes:

    Teorema del Seno
    Este teorema es muy útil y práctico para resolver problemas
    de trigonometría, en que el triángulo no el rectángulo y se conocen
    más ángulos que lados. Se define de la siguiente manera:

    a b _ c__ .
    sen(a) sen(b) sen(c)

    Teorema del Coseno
    Este teorema es muy útil y práctico para resolver problemas de
    trigonometría, en que el triángulo no el rectángulo y se conocen más
    lados que ángulos. Se define como:
    C2 = A2 +B2 -2*A*B*Cos(C)
    Identidades trigonométricas fundamentales:

    csc θ = 1/sen θ
    sec θ = 1/cos θ
    ctg θ = 1/tg θ
    tg θ = sen θ/cos θ
    sen² θ + cos² θ = 1
    1 + tg² θ = sec²
    θ1+ ctg² θ = csc² θ

  20. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.
    Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Trigonometría.
    Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

    Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a una circunferencia de radio unidad de centro O.

    Conceptos básicos

    Identidades trigonométricas fundamentales.

    Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
    Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).
    Función Abreviatura Equivalencias (en radianes)
    Seno
    sin (sen)
    Coseno
    cos
    Tangente
    tan
    Cotangente
    ctg
    Secante
    sec
    Cosecante
    csc (cosec)
    Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

    Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:
    • La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
    • El [[Cateto|cateto opuesto] es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.
    • El [[Cateto|cateto adyacente]es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.
    Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:
    1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

    El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.
    2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

    3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

    4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

    5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

    6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

    Funciones trigonométricas de ángulos notables

    Animación de la función seno.

    0° 30° 45° 60° 90°
    sen 0 1
    cos 1 0
    tan 0 1
    Representación gráfica

    Definiciones analíticas
    La definición analítica más frecuente dentro del análisis real se hace a partir de ecuaciones diferenciales. Usando la geometría y las propiedades de los límites, se puede demostrar que la derivada del seno es el coseno y la derivada del coseno es el seno con signo negativo. (Aquí, como se hace generalmente en cálculo, todos los ángulos son medidos en radianes.)

    El teorema de Picard-Lindelöf de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales lleva a que existen las funciones anteriores que se llaman respectivamente seno y coseno, es decir:

    Esta definición analítica de las funciones trigonométricas permite una definición no-geométrica del número π, a saber, dicho número es el mínimo número real positivo que es un cero de la función seno.
    Series de potencias
    A partir de las definición anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno son funciones analíticas cuya serie de Maclaurin viene dada por:

    Estas identidades son aveces usadas como las definiciones de las funciones seno y coseno. Con frecuencia se utilizan como el punto de partida para el tratamiento riguroso de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones (por ejemplo en las Series de Fourier), debido a que la teoría de las series infinitas puede ser desarrollada a partir de la base del sistema de números reales, independientemente de cualquier consideración geométrica. La diferenciabilidad y continuidad de estas funciones es entonces establecida a partir de las definiciones de series por si misma.
    Relación con la exponencial compleja
    Existe una relación importante entre la exponenciación de números complejos y las funciones trigonométricas:

    Esta relación puede probarse usando el desarrollo en serie de Taylor para la función exponencial y el obtenido en la sección anterior para las funciones seno y coseno. Separando ahora en parte real e imaginaria en la expresión anterior se encuentran las definiciones de seno y coseno en términos de exponenciales complejas:

    A partir de ecuaciones diferenciales
    Las funciones seno y coseno satisfacen la igualdad:

    Es decir, la segunda derivada de cada función es la propia función con signo inverso. Dentro del espacio funcional de dos dimensiones V, que consiste en todas las soluciones de esta ecuación,
    • la función seno es la única solución que satisface la condición inicial y
    • la función coseno es la única solución que satisface la condición inicial .
    Dado que las funciones seno y coseno son linearmente independientes, juntas pueden formar la base de V. Este método para definir las funciones seno y coseno es esencialmente equivalente a utilizar la fórmula de Euler. Además esta ecuación diferencial puede utilizarse no solo para definir al seno y al coseno, con ella también se pueden probar las identidades trigonométricas de las funciones seno y coseno.
    Además, la observación de que el seno y el coseno satisfacen y′′ = −y implica que son funciones eigen del operador de la segunda derivada.
    La función tangente es la única solución de la ecuación diferencial no lineal

    satisfaciendo la condición inicial y(0) = 0. Existe una interesante prueba visual de que la función tangente satisface esta ecuación diferencial.

    Funciones trigonométricas inversas
    Las tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son:
    • Arcoseno es la función inversa del seno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo seno es dicho valor.
    La función arcoseno real es una función , es decir, no está definida para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor:

    • Arcocoseno es la función inversa del coseno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuyo coseno es dicho valor.
    Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse como:

    • Arcotangente es la función inversa de la tangente de un ángulo. El significado geométrico es: el arco cuya tangente es dicho valor.
    A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales. Su expresión en forma de serie es:

    Generalizaciones
    • Las funciones hiperbólicas son el análogo de las funciones trigonométricas para una hipérbola equilatera. Además el seno y coseno de un número imaginario puro puede expresarse en términos de funciones hiperbólicas.
    • Las funciones elípticas son una generalización biperiódica de las funciones trigonométricas que en el plano complejo sólo son periódicas sobre el eje real. En particular las funciones trigonométricas son el límite de las funciones elípticas de Jacobi cuando el parámetro del que dependen tiende a cero.
    Historia
    El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia, y gran parte de los fundamentos de trigonometría fueron desarrollados por los matemáticos de la Antigua Grecia, de la India y estudiosos musulmanes.
    El primer uso de la función seno (sin(•)) aparece en el Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Las funciones trigonométricas fueron estudiadas por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.), Aryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, al-Khwarizmi, Abu’l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-Din Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (ca. 1400), Rheticus, y el alumno de éste, Valentin Otho. La obra de Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum (1748) fue la que estableció el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa, definiéndolas como series infinitas presentadas en las llamadas “Fórmulas de Euler”.
    La noción de que debería existir alguna correspondencia estándar entre la longitud de los lados de un triángulo siguió a la idea de que triángulos similares mantienen la misma proporción entre sus lados. Esto es, que para cualquier triángulo semejante, la relación entre la hipotenusa y otro de sus lados es constante. Si la hipotenusa es el doble de larga, así serán los catetos. Justamente estas proporciones son las que expresan las funciones trigonométricas.
    Bibliografía:
    http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica

    Video grafía:

  21. Bruno Blanco dijo:

    Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
    Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º.

    Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo, tienes algunas posibilidades:
    Una consiste en dibujar con mucho cuidadito triángulos distintos con ángulos 90º, 60º y 30º y calcular los resultados de las divisiones anteriores (el cateto opuesto al ángulo de 60º dividido por la longitud de la hipotenusa) para así comprobar que siempre se obtiene el mismo resultado (aprox 0.87).
    Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando triángulos, midiendo y dividiendo las longitudes con ayuda de algún programa informático (Cabri, Dr.Geo, etc.).
    Otra es ir hasta el primer applet que te encuentres en esta página (pero sin saltarte lo que viene a continuación).
    Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos que sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aprox 0.64).
    A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y se escribe sen(40º) = 0.64.
    (Estas explicaciones se tratarán con más detalle en clase y a partir de aquí definiremos las razones trigonométricas de ángulos agudos de triángulos rectángulos).
    En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.

    sen(B) = AC/BC
    cos(B) = BA/BC
    tan(B) = AC/BA

    Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones prácticas.
    Pero antes de continuar verás a continuación un applet que te permitirá dibujar triángulos rectángulos en los que el valor de un ángulo agudo lo fijas tú, el tamaño del triángulo lo puedes cambiar y el applet te mostrará que los valores del seno, coseno y tangente no dependen más que del ángulo, no del tamaño del triángulo.

    Existen algunas propiedades importantes que serán explicadas en clase:
    a) sen2(a) + cos2(a) = 1 (Esta igualdad se conoce con el nombre de fórmula fundamental de la trigonometría). (Se demuestra fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OPQ)
    b) tan(a) = sen(a)/cos(a). (Se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente)
    c) los valores del seno y del coseno están comprendidos entre -1 y 1.
    Al estar definidos los senos, cosenos y tangentes para cualquier ángulo (¿las tangentes existen para cualquier ángulo?), dan lugar al concepto de funciones trigonométricas: función seno, función coseno y función tangente. Es imprescindible familiarizarse con las gráficas de cada una de estas funciones y conocer sus características principales.

    bibliografia:
    http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/funciones/seno7.htm
    videografia:

  22. janeth fernandez dijo:

    Funciones trigonometricas:
    Sea θ el ángulo cuya variación está dada por el intervalo -360º ≤ θ ≤ 360º.
    Para los fines de definición de tal ángulo y de sus funciones trigonométricas es conveniente usar el sistema coordenado rectangular. Los enunciados que siguen se aplican a cada una de las cuatro posiciones que aparecen en la figura.
    Si a una recta que coincide con el eje X se la hace girar en el plano coordenado XY en torno del origen O a una posición OA, se dice que se ha generado un ángulo XOA=θ que tiene a OX por lado inicial y a OA por lado final. Si la rotación se hace en el sentido contrario a las manecillas de un reloj, se dice que el ángulo es positivo; y si la rotación es en el mismo sentido de las manecillas, se dice que el ángulo es negativo. Se dice también que el ángulo está en el mismo cuadrante que su lado final.
    Sobre el lado final OA tomemos un punto cualquiera P diferente de O, y de coordenadas ( x , y ). Desde P bajemos una perpendicular PB al eje X. El segmento de recta OP se llama radio vector, se designa por r, y se toma siempre como positivo. En el triángulo OPB, OB = x y PB = y tienen los sign de las pitagoras .Este teorema es muy útil y práctico para resolver problemas de trigonometría, en que el triángulo no el rectángulo y se conocen más lados que ángulos.

    Fórmulas de reducción:
    sen (90º ± θ) = cos θ
    cos (90º ± θ) = ± sen θ
    tg (90º ± θ) = ± ctg θ
    sen (180º ± θ) = ± sen θ
    cos (180º ± θ) = -cos θ
    tg (180º ± θ) = ± tg θ
    sen (270º ± θ) = -cos θ
    cos (270º ± θ) = ± sen θ
    tg (270º ± θ) = ± ctg θ
    sen (360º ± θ) = ± sen θ
    cos (360º ± θ) = cos θ
    tg (360º ± θ) = ± tg θ

    ÁNGULOS AGUDOS:

    En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.
    sen(B) = AC/BC
    cos(B) = BA/BC
    tan(B) = AC/BA
    Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones prácticas.
    Pero antes de continuar verás a continuación un applet que te permitirá dibujar triángulos rectángulos en los que el valor de un ángulo agudo lo fijas tú, el tamaño del triángulo lo puedes cambiar y el applet te mostrará que los valores del seno, coseno y tangente no dependen más que del ángulo, no del tamaño del triángulo.

    Funciónes trigonometricas
    f(x) = sen x

    Dominio:
    Recorrido: [−1, 1]
    Período:
    Continuidad: Continua en
    Impar: sen(−x) = −sen x

    f(x) = cos x

    Dominio:
    Recorrido: [−1, 1]
    Período:
    Continuidad: Continua en
    Par: cos(−x) = cos x

    Función tangente
    f(x) = tg x

    Dominio:
    Recorrido:
    Continuidad: Continua en
    Período:
    Impar: tg(−x) = −tg x

    Función cotangente
    f(x) = cotg x

    Dominio:
    Recorrido:
    Continuidad: Continua en
    Período:
    Impar: cotg(−x) = −cotg x

    Función secante
    f(x) = sec x

    Dominio:
    Recorrido: (− ∞, −1] [1, ∞)
    Período:
    Continuidad: Continua en
    Par: sec(−x) = sec x

    Función cosecante
    f(x) = cosec x

    Dominio:
    Recorrido: (− ∞, −1] [1, ∞)
    Período:
    Continuidad: Continua en
    Impar: cosec(−x) = −cosec x

  23. Valeria Pozos dijo:

    FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

    estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia, y gran parte de los fundamentos de trigonométrica fueron desarrollados por los matemáticos de la Antigua Grecia, de la India y estudiosos musulmanes.
    El primer uso de la función seno(sin) aparece en el Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Las funciones trigonométricas fueron estudiadas por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.), Aryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, Abu’l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-Din Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (ca. 1400), Rheticus, y el alumno de éste, Valentin Otho. La obra de Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum (1748) fue la que estableció el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa, definiéndolas como series infinitas presentadas en las llamadas “Fórmulas de Euler”.
    La noción de que debería existir alguna correspondencia estándar entre la longitud de los lados de un triángulo siguió a la idea de que triángulos similares mantienen la misma proporción entre sus lados. Esto es, que para cualquier triángulo semejante, la relación entre la hipotenusa y otro de sus lados es constante. Si la hipotenusa es el doble de larga, así serán los catetos. Justamente estas proporciones son las que expresan las funciones trigonométricas.
    Los historiadores concuerdan en que fueron los griegos anteriores a Socrates los iniciadores de la trigonométrica. A Tales de Mileto, uno de los siete sabios de Grecia, se le atribuye el descubrimiento de cinco teoremas geométricos y su participación en la determinación de las alturas de las pirámides de Egipto utilizando la relación entre los ángulos y lados de un triangulo. Hiparco, notable geometría y astrónomo griego, sistematizo estos conceptos en una tabla de cuerdas trigonométricas que hoy son la base de la trigonométrica moderna. Por su trabajo se le considera el padre o fundador de la trigonométrica.
    Esta webquest se apoya en algunas experiencias de ilustres sabios griegos disponibles en la Internet y en los principios de trabajo colaborativo para desarrollar elementos de aprendizajes novedosos y significativos, describir y modelar fenómenos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas.

    as funciones trigonométricas sirven en triángulo rectángulos para relacionar sus lados con sus ángulos.

    Y como toda función sirve para modelizar situaciones reales. Son buenos modelos para los fenómenos físicos que describen ondas tales como el sonido, el movimiento armónico simple, etc.

    Son 6:

    seno

    coseno

    tangente

    cotangente,

    secante

    cosecante.

    Es un valor constante que resulta de dividir dos lados del triángulo rectángulo, Si hallamos la razón entre ordenada y radio vector (cateto opuesto dividido hipotenusa) obtendremos el seno del ángulo agudo del triángulo rectángulo al cual pertenecen esos lados.

    Por lo tanto el seno es una razón.

    Del mismo modo: seno,coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante son razones.

    Es decir si divides dos lados de un triángulo rectángulo siempre obtendrás el seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante de uno de sus ángulos agudos

    Seno= cateto opuesto / hipotenusa o bien Seno= ordenada/ radio vector

    Coseno= cateto adyacente/hipotenusa o bien Coseno= absisa /radio vector

    Tangente= cateto opuesto /hipotenusa o bien Tangente= ordenada/absisa

    Cotangente= cateto adyacente/cateto opuesto o bien Tangente = absisa/ordenada

    Secante= Hipotenusa/cateto adyacente o bien Secante=radio vector/absisa

    Cosecante= Hipotenusa/cateto opuesto o bien Cosecante= radio vector/ordenada

    Las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo.
    No dependen de los lados del triángulo.

    Las funciones trigonométricas se utilizan para calcular grados, ángulos y otros datos geométricos.

    Video

    Bibliografia
    http://www.zweigmedia.com/…/Calcsumm9.html

  24. jose carlos enriquez dijo:

    Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Trigonometría.

    Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones

    Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

    Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

    Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

    La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
    El [[Cateto|cateto opuesto] es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.
    El [[Cateto|cateto adyacente]es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.
    Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:

    1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

    La definición analítica más frecuente dentro del análisis real se hace a partir de ecuaciones diferenciales. Usando la geometría y las propiedades de los límites, se puede demostrar que la derivada del seno es el coseno y la derivada del coseno es el seno con signo negativo. (Aquí, como se hace generalmente en cálculo, todos los ángulos son medidos en radianes.)

    Estas identidades son aveces usadas como las definiciones de las funciones seno y coseno. Con frecuencia se utilizan como el punto de partida para el tratamiento riguroso de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones (por ejemplo en las Series de Fourier), debido a que la teoría de las series infinitas puede ser desarrollada a partir de la base del sistema de números reales, independientemente de cualquier consideración geométrica. La diferenciabilidad y continuidad de estas funciones es entonces establecida a partir de las definiciones de series por si misma.

    BIBLIOGRAFIA:

    http://www.youtube.com

    http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/funciones/seno7.htm

  25. ANGELICA TREVINO 2H. dijo:

    FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.
    El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia, y gran parte de los fundamentos de trigonometría fueron desarrollados por los matemáticos de la Antigua Grecia, de la India y estudiosos musulmanes.
    El primer uso de la función seno (sin (•)) aparece en el Sulba Sutras escrito en India del siglo VIII al VI a. C. Las funciones trigonométricas fueron estudiadas por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.), Aryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, al-Khwarizmi, Abul-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-Din Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (ca. 1400), Rheticus, y el alumno de éste, Valentin Otho. La obra de Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum (1748) fue la que estableció el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa, definiéndolas como series infinitas presentadas en las llamadas “Fórmulas de Euler”.

    La noción de que debería existir alguna correspondencia estándar entre la longitud de los lados de un triángulo siguió a la idea de que triángulos similares mantienen la misma proporción entre sus lados. Esto es, que para cualquier triángulo semejante, la relación entre la hipotenusa y otro de sus lados es constante. Si la hipotenusa es el doble de larga, así serán los catetos. Justamente estas proporciones son las que expresan las funciones trigonométricas.
    Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo según los principios de la Trigonometría.
    Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

    Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.
    Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente.

    SENO( teorema ejemplo)
    En trigonometría el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y la Hipotenusa:

    A pesar de ser de los teoremas trigonométricos más usados y de tener una demostración particularmente simple, es poco común que se presente o discuta la misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida (aunque muy elegante).

    El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.
    Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.
    Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene

    Donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

    Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.
    La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado.

    COSENO.
    En trigonometría el coseno (abreviado cos) de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente a ese ángulo y la hipotenusa:

    En virtud del Teorema de Tales, este número no depende del triángulo rectángulo escogido y, por lo tanto, está bien construido y define una función del ángulo α.
    Otro modo de obtener el coseno de un ángulo consiste en representar éste sobre la circunferencia goniométrica, es decir, la circunferencia unitaria centrada en el origen. En este caso el valor del coseno coincide con la abscisa del punto de intersección del ángulo con la circunferencia. Esta construcción es la que permite obtener el valor del coseno para ángulos no agudos.

    TANGENTE.
    En geometría, una recta tangente es aquella que solo tiene un punto en común con una curva, es decir la toca en un solo punto, que se llama punto de tangencia. La recta tangente indica la pendiente de la curva en el punto de tangencia. En trigonometría, la tangente de un ángulo es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo: es el valor numérico resultante de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente a dicho ángulo. Los tipos de tangente son: Tangente a una curva, circunferencias tangentes, circunferencia tangente a una recta y plano tangente.

    VERSENO.
    El término verseno también se usa a veces para describir la desviación de una curva plana cualquiera respecto de la recta. Dada una cuerda entre dos puntos de una curva, la longitud desde un punto de la cuerda hasta el punto donde la perpendicular a la cuerda corta la curva, da el verseno. Para una línea recta, el verseno de cualquier cuerda es cero. Así el verseno caracteriza la rectitud de la curva. Este uso es habitual en el ferrocarril, donde sirve para medir la rectitud o curvatura de la vía férrea
    Históricamente, el verseno fue considerado una de las funciones trigonométricas más importantes, pero ha perdido renombre en los tiempos modernos debido a la disponibilidad de los ordenadores. Si θ tiende a cero, versen (θ) es la diferencia entre dos cantidades muy parecidas, y sería preciso una tabla trigonométrica muy exacta para poder calcular el verseno, eso hace conveniente la creación de tablas separadas para el verseno. Otra ventaja histórica del verseno es que nunca es negativo, así, su logaritmo está definido en todas partes excepto de θ = 0, 2π, permitiendo así usar tablas de logaritmos para calcular las multiplicaciones en las fórmulas que impliquen verseno.
    El semi verseno, en particular, fue importante en navegación debido a que aparece en la fórmula del semi verseno, usada para calcular distancias con exactitud cuando se dan las posiciones angulares en una esfera (la longitud y la latitud).
    La tabla trigonométrica más antigua que se conserva, de entre los siglos IV y V, llamada Siddhantas y proveniente de la India, sólo tenía valores del seno y del verseno (en incrementos de 3.75° desde 0 hasta 90°). Eso no es sorprendente dado que el verseno resulta de un paso intermedio para calcular el seno del ángulo mitad según la fórmula sin2(θ/2) = versen(θ)/2, que se atribuye a Ptolomeo.
    El significado de la palabra verseno está reflejado en la definición gráfica de la circunferencia goniométrica que se muestra en la imagen. La cuerda vertical AB de la circunferencia goniométrica, el seno del ángulo θ es la distancia AC (la mitad de la cuerda). El verseno de θ es la distancia CD desde el centro del arco al centro de la cuerda (del arco hacia el seno) o dicho por Fibonacci en latín ‘’sinus versus arcus‘’.
    Esta figura también ilustra el motivo por el que al verseno a menudo también se le llama flecha. El verseno “CD” es claramente la flecha entre la cuerda y el arco.
    La forma de onda de un periodo de la función verseno y, más habitualmente, la de la función semi verseno, se usan habitualmente en procesado de señal y en teoría de control como la forma de una ventana de observación, debido a su suavidad (continuidad tanto en valor como en pendiente (primera derivada). En estas aplicaciones, se le llama también filtro del coseno realzado.

  26. Funciones trigonométricas.

    ángulos arbitrarios y el círculo de la unidad
    Hemos usado el círculo de la unidad para definir las funciones trigonométricas de ángulos agudos hasta ahora. Vamos a necesitar los ángulos más agudos en la siguiente sección, donde veremos triángulos oblicuos. Algunos triángulos oblicuos son obtusos y tendremos que saber el seno y el coseno de ángulos obtusos. Mientras que estamos haciendo eso, también debe definir las funciones trigonométricas para ángulos de más de 180 ° y para ángulos negativos. En primer lugar tenemos que tener claro lo que los ángulos son.

    Los geómetras griegos antiguos sólo se consideran los ángulos entre 0 ° y 180 °, y consideró que ni el ángulo recto de 180 ° ni los degenerados ángulo de 0 ° a los ángulos. No sólo es útil considerar los casos particulares que deben ángulos, sino incluir también los ángulos entre 180 ° y 360 °, también, a veces llamado “reflejo de los ángulos.” Con las aplicaciones de la trigonometría a los temas de cálculo y ecuaciones diferenciales, más allá de los ángulos de 360 ° y ángulos negativos se aceptó, también.
    Considere el círculo unidad. Denotan su centro (0,0) como O, y denotan el punto (1,0) en él como A. Como un punto en movimiento B viaja alrededor del círculo unitario a partir de A y se mueve en una dirección a la izquierda, el ángulo AOB como 0 ° y aumenta. Cuando B lo ha hecho todo el camino alrededor del círculo y de regreso a A, entonces el ángulo AOB es un ángulo de 360 °. Por supuesto, este es el mismo ángulo que un ángulo de 0 º, para que podamos identificar estos dos ángulos. Como B continúa la segunda vez alrededor del círculo, obtenemos los ángulos que van desde 360 ° a 720 °. Son los mismos ángulos que vimos la primera vez, pero tienen nombres diferentes para ellos. Por ejemplo, un ángulo recto se llama, ya sea de 90 ° o 450 °. Cada vez que alrededor del círculo, tenemos otro nombre para los ángulos. Así que 90 °, 450 °, 810 ° y 1170 ° todas el nombre del mismo ángulo.
    Si B se inicia en el mismo punto una y viaja en la dirección de las agujas del reloj, a continuación, nos pondremos en contacto ángulos negativos, o más precisamente, los nombres en grados negativos de los mismos ángulos. Por ejemplo, si usted va de un cuarto de círculo en la dirección de las agujas del reloj, el ángulo AOB es nombrado como -90 °. Por supuesto, es lo mismo que un ángulo de 270 °.
    Así, en resumen, cualquier ángulo es nombrado por un número infinito de nombres, pero todos ellos difieren en múltiplos de 360 ° el uno del otro.
    Senos y cosenos de ángulos arbitrarios
    Ahora que hemos determinado los ángulos arbitraria, podemos definir sus senos y cosenos. Deje que el ángulo de estar colocado de manera que su vértice está en el centro del círculo de la unidad O = (0,0), y dejar que el primer lado del ángulo se colocarán a lo largo del eje “x”. Deje que el segundo lado del ángulo de intersección con el círculo de la unidad en B. Entonces el ángulo es igual al ángulo AOB donde A es (1,0). Nosotros utilizamos las coordenadas de B para definir el coseno del ángulo y el seno del ángulo. En concreto, la coordenada x de B es el coseno del ángulo, y la coordenada de B es el seno del ángulo.

    Esta definición se extiende a las definiciones de seno y el coseno se administra antes de ángulos agudos.
    Propiedades de senos y cosenos que se derivan de esta definición
    Hay varias propiedades que pueden derivarse de esta definición. Algunos de ellos generalizar identidades que ya hemos visto para los ángulos agudos.
    1. Seno y el coseno son funciones periódicas de período de 360 °, es decir, del período de 2 . Eso es porque los senos y cosenos se definen en términos de ángulos, y usted puede agregar múltiplos de 360 °, o 2 , Y eso no cambia el ángulo. Por lo tanto,
    sin (t + 360 °) sen t = y
    cos (t + 360 °) = cos t.
    Muchas de las aplicaciones modernas de la trigonometría se derivan de los usos de la trigonometría para el cálculo, especialmente aquellas aplicaciones que tratan directamente con las funciones trigonométricas. Por lo tanto, debemos utilizar medida en radianes cuando se piensa en trigonométricas en términos de funciones trigonométricas. En la medida en radianes de que el último par de ecuaciones que se lea como
    sin (t + 2 ) = Sen t, y
    cos (t + 2 ) = Cos t.
    2. Seno y coseno son complementarias:
    cos t = sen ( / 2 – t)
    sen t = cos ( / 2 – t)
    Hemos visto esto antes, pero ahora lo tenemos para cualquier ángulo t. Es cierto, porque cuando se reflejan en el plano de la recta y = x diagonal, un ángulo se cambia por su complemento.
    3. La identidad de Pitágoras de senos y cosenos se desprende directamente de la definición. Desde el punto B se encuentra en el círculo de la unidad, sus coordenadas x e y satisfacen la ecuación x 2 + y 2 = 1. Sin embargo, las coordenadas son el coseno y seno, por lo que llegamos a la conclusión
    sen 2 t + cos 2 t = 1.
    Ahora estamos listos para mirar seno y el coseno como funciones.
    4. Seno es una función impar, y el coseno es una función par. No puede haber llegado a través de estos adjetivos “extraño” e “incluso” cuando se aplica a las funciones, pero es importante conocerlos. Una función f se dice que es una función impar si para cualquier número x, f (- x) = – f (x). Una función f se dice que es una función par si para cualquier número x, f (- x) = f (x). La mayoría de las funciones no son funciones impares, ni siquiera, pero es importante tener en cuenta cuando una función es par o impar. Cualquier polinomio con sólo términos grado impar es una función impar, por ejemplo, f (x) = x 5 + 8 x 3 a 2 x. (Nótese que todas las potencias de x son números impares.) Del mismo modo, cualquier polinomio con sólo hasta términos de grado es una función par. Por ejemplo, f (x) = x 4 – 3 x 2 – 5. (La constante 5 es 5 x 0, y 0 es un número par.)
    Seno es una función impar, y es incluso coseno
    el pecado – t-t = pecado, y
    cos – t = cos t.
    Estos hechos se derivan de la simetría del círculo unitario en todo el eje “x”. El ángulo – No es el mismo ángulo que t, excepto que en el otro lado del eje “x”. Invertir un punto (x, y) al otro lado del eje “x” se convierte en (x,-y), por lo que la coordenada y se niega, es decir, el seno es negado, pero la coordenada x-sigue siendo el mismo, es decir, el coseno no se modifica.
    5. Una característica obvia de senos y cosenos es que sus valores se encuentran entre -1 y 1. Cada punto en el círculo unitario es una unidad desde el origen, por lo que las coordenadas de cualquier punto se encuentran dentro de una de 0 también.
    Las gráficas de las funciones seno y coseno
    Vamos a seguir utilizando t como un ángulo variable. Una buena manera para los seres humanos para entender una función es mirar su gráfica. los Empecemos con el gráfico del pecado t. Tome el eje horizontal para ser el eje t (en lugar del eje “x” como de costumbre), tome el eje vertical como el eje Y, y el gráfico de la ecuación y = sen t. Se parece a esto.

    En primer lugar, tenga en cuenta que es periódica de periodo 2 . Geométricamente, esto significa que si usted toma la curva y deslícela 2 izquierda o la derecha, la curva cae sobre sí mismo. En segundo lugar, tenga en cuenta que el gráfico se encuentra dentro de una unidad de la T-eje. No hay mucho que es evidente, salvo que los aumentos y disminuciones. Por ejemplo, sin t crece de 0 a / 2 desde la coordenada y del punto B aumenta el ángulo AOB aumenta de 0 a / 2.
    A continuación, vamos a ver en el gráfico del coseno. Una vez más, tomar el eje horizontal para ser el eje t, pero ahora tomar el eje vertical para el eje X, y el gráfico de la ecuación x = cos t.

    Tenga en cuenta que se parece a la gráfica de t el pecado sino que es traducido a la izquierda / 2. Esto se debe a la identidad cos t = pecado ( / 2 + t). Aunque no hemos encontrado con esta identidad antes, fácilmente se desprende de los que hemos visto: t = cos cos – sen t = ( / 2 – (- t)) = sen ( / 2 + t).
    Las gráficas de las funciones tangente y cotangente
    La gráfica de la función tangente tiene una asíntota vertical en x = / 2. Esto se debe a la infinidad tangente enfoques medida que se acerca t / 2. (En realidad, se aproxima a menos infinito cuando se acerca t / 2 desde la derecha como se puede ver en el gráfico.

    También puede ver que la tangente tiene periodo , También hay asíntotas verticales cada unidades a la izquierda y la derecha. Algebraicamente, esta periodicidad se expresa tan (t + ) = Tan t.
    El gráfico de cotangente es muy similar.

    Esta similitud se debe simplemente a la cotangente de t es la tangente del ángulo complementario – T.
    Las gráficas de las funciones secante y cosecante
    La secante es la inversa del coseno, y como el coseno sólo toma valores entre -1 y 1, por lo tanto la secante sólo toma valores superiores a 1 o por debajo de -1, como se muestra en el gráfico. También secante tiene un plazo de dos .

    http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/functions.html

    Video

  27. Kimberly N. Garcia Rdz dijo:

    INTRODUCCIÓN
    Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
    Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:

    Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo, tienes algunas posibilidades:
    Una consiste en dibujar con mucho cuidadito triángulos distintos con ángulos 90º, 60º y 30º y calcular los resultados de las divisiones anteriores (el cateto opuesto al ángulo de 60º dividido por la longitud de la hipotenusa) para así comprobar que siempre se obtiene el mismo resultado (aprox 0.87).
    Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando triángulos, midiendo y dividiendo las longitudes con ayuda de algún programa informático (Cabri, Dr.Geo, etc.).
    Otra es ir hasta el primer applet que te encuentres en esta página (pero sin saltarte lo que viene a continuación).
    Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos que sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aprox 0.64).
    A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y se escribe sen(40º) = 0.64.
    (Estas explicaciones se tratarán con más detalle en clase y a partir de aquí definiremos las razones trigonométricas de ángulos agudos de triángulos rectángulos).

    DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS:

    En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.
    sen(B) = AC/BC
    cos(B) = BA/BC
    tan(B) = AC/BA
    Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones prácticas.
    Pero antes de continuar verás a continuación un applet que te permitirá dibujar triángulos rectángulos en los que el valor de un ángulo agudo lo fijas tú, el tamaño del triángulo lo puedes cambiar y el applet te mostrará que los valores del seno, coseno y tangente no dependen más que del ángulo, no del tamaño del triángulo. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUALESQUIERA:
    Las razones trigonométricas se generalizan para ángulos cualesquiera utilizando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro está situado en el origen. Los ángulos se miden en sentido antihorario y desde la dirección positiva del eje de abscisas.
    En el siguiente applet podrás variar el ángulo, y para el valor del ángulo elegido aparecerá un triángulo rectángulo OPQ. La hipotenusa es el radio, por lo que mide 1. Para un valor concreto del ángulo se llama sen(a) al cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud de la hipotenusa: PQ/OQ = PQ/1 = PQ. De la misma forma generalizamos el concepto de coseno: llamaremos cos(a) a la longitud de la proyección del radio sobre el eje de abscisas, cos(a) = OQ. (OQ/OP = OQ/1 = OQ)
    Los segmentos PQ se miden sobre el eje de ordenadas (vertical) y por ello, dependiendo del valor del ángulo, tienen signo positivo o negativo.
    Los segmentos OQ los medimos sobre el eje de abcisas (horizontal), por lo que el seno del ángulo elegido será positivo o negativo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre.
    La tangente de un ángulo cualquiera la obtendremos dividiendo el valor del seno entre el del coseno.
    Las razones trigonométricas de ángulos negativos se obtienen igual, pero los ángulos los medimos en sentido contrario (en sentido horario).

    3. PROPIEDADES IMPORTANTES:
    Existen algunas propiedades importantes que serán explicadas en clase:
    a) sen2(a) + cos2(a) = 1 (Esta igualdad se conoce con el nombre de fórmula fundamental de la trigonometría). (Se demuestra fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OPQ)
    b) tan(a) = sen(a)/cos(a). (Se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente)
    c) los valores del seno y del coseno están comprendidos entre -1 y 1.
    4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:
    Al estar definidos los senos, cosenos y tangentes para cualquier ángulo (¿las tangentes existen para cualquier ángulo?), dan lugar al concepto de funciones trigonométricas: función seno, función coseno y función tangente. Es imprescindible familiarizarse con las gráficas de cada una de estas funciones y conocer sus características principales.
    A continuación mostramos un applet que permite ver como se genera la gráfica de la función seno (sinusoide) al ir variando el ángulo:
    Video grafia:

    Bibliografia
    http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/funciones/seno7.htm

  28. Jasmine Astrid Esparza Tapia dijo:

    LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.
    INTRODUCCION:
    Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
    Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:

    Esto quiere decir que si calculamos en el primer triángulo AC/BC obtendremos el mismo resultado que si calculamos en el segundo triángulo el cociente A'C'/B'C'. Se supone que esto lo conoces de cursos anteriores, pero si eres desconfiado y el razonamiento no te convence del todo, tienes algunas posibilidades:
    Una consiste en dibujar con mucho cuidadito triángulos distintos con ángulos 90º, 60º y 30º y calcular los resultados de las divisiones anteriores (el cateto opuesto al ángulo de 60º dividido por la longitud de la hipotenusa) para así comprobar que siempre se obtiene el mismo resultado (aproximadamente 0.87).
    Otra posibilidad es hacer exactamente lo mismo pero dibujando triángulos, midiendo y dividiendo las longitudes con ayuda de algún programa informático.

    Si realizamos las mismas divisiones en triángulos rectángulos con ángulos distintos a los anteriores (por ejemplo: 90º, 40º, 50º) veremos qué sucede lo mismo: al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se obtiene siempre el mismo resultado (aproximadamente 0.64).
    A ese valor constante que se obtiene al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo de 40º entre la longitud de la hipotenusa se le llama seno de 40º, y se escribe sen(40º) = 0.64.
    (Estas explicaciones se tratarán con más detalle en clase y a partir de aquí definiremos las razones trigonométricas de ángulos agudos de triángulos rectángulos).

    DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS:

    En un triángulo rectángulo se define como seno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como coseno de un ángulo agudo al valor obtenido al dividir la longitud del cateto contiguo al ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
    Se define como tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud del cateto contiguo.
    Sen (B) = AC/BC
    cos (B) = BA/BC
    tan (B) = AC/BA
    Estudiaremos inmediatamente algunas de las propiedades importantes de las razones trigonométricas, así como algunas de sus aplicaciones prácticas.
    Los valores del seno, coseno y tangente no dependen más que del ángulo, no del tamaño del triángulo.
    RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUALESQUIERA:
    Las razones trigonométricas se generalizan para ángulos cualesquiera utilizando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro está situado en el origen. Los ángulos se miden en sentido anti horario y desde la dirección positiva del eje de abscisas.
    Podrá variar el ángulo, y para el valor del ángulo elegido aparecerá un triángulo rectángulo OPQ. La hipotenusa es el radio, por lo que mide 1. Para un valor concreto del ángulo se llama sen(a) al cociente obtenido al dividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud de la hipotenusa. De la misma forma generalizamos el concepto de coseno: llamaremos cos(a) a la longitud de la proyección del radio sobre el eje, cos(a) = OQ. (OQ/OP = OQ/1 = OQ)
    Los segmentos PQ se miden sobre el eje de ordenadas (vertical) y por ello, dependiendo del valor del ángulo, tienen signo positivo o negativo.
    Los segmentos OQ los medimos sobre el eje de abcisas (horizontal), por lo que el seno del ángulo elegido será positivo o negativo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre.
    La tangente de un ángulo cualquiera la obtendremos dividiendo el valor del seno entre el del coseno.
    Las razones trigonométricas de ángulos negativos se obtienen igual, pero los ángulos los medimos en sentido contrario (en sentido horario).
    PROPIEDADES IMPORTANTES:

    Existen algunas propiedades importantes que serán explicadas en clase:
    a) sen2(a) + cos2(a) = 1 (Esta igualdad se conoce con el nombre de fórmula fundamental de la trigonometría). (Se demuestra fácilmente aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OPQ)
    b) tan(a) = sen(a)/cos(a). (Se demuestra a partir de las definiciones de seno, coseno y tangente)
    c) los valores del seno y del coseno están comprendidos entre -1 y 1.
    FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:

    Al estar definidos los senos, cosenos y tangentes para cualquier ángulo (¿las tangentes existen para cualquier ángulo?), dan lugar al concepto de funciones trigonométricas: función seno, función coseno y función tangente. Es imprescindible familiarizarse con las gráficas de cada una de estas funciones y conocer sus características principales.
    Ley de los senos
    La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.
    La ley de los Senos dice así:
    donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y a, b y c (minúsculas) son los ángulos del triángulo:
    Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letra mayúscula. O sea, la a está en el ángulo opuesto de A. La b está en el ángulo opuesto de B. Y la c está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá mal.
    Resolución de triángulos por la ley de los Senos
    Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir de los datos que te dan (que generalmente son tres datos).
    *Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley de los senos. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los cosenos lo puede resolver.
    En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un lado, usa ley de los senos.
    Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo que hacen esos dos lados, usa la ley del coseno.
    Supónganos que te ponen el siguiente problema:
    Resolver el triángulo siguiente:
    Llamemos b al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B; a al ángulo de 43° y A al lado de 5.
    Lo que tenemos entonces es lo siguiente:
    A = 5
    B =?
    C = ?
    a = 43°
    b = 27°
    c =?
    El ángulo c es muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre suma 180°. O sea que cuando te den dos ángulos de un triángulo, el tercero siempre sale así:
    c = 180° – a – b
    Esta fórmula es válida para cualquier triángulo. Así que apréndetela bien o apúntala por ahí porque la usarás muchísimo en matemáticas.
    Sustituimos en ésta expresión los ángulos que nos dan y queda así:
    c = 180° -43°- 27° = 180° – 70° = 110°
    c= 110°
    Ya tenemos entonces los tres ángulos a, b y c.
    Para encontrar los lados faltantes usamos la ley de los senos:
    sustituyendo queda:
    Nos fijamos ahora sólo en los dos primeros términos:
    haremos de cuenta como que el tercer término, (la que tiene la C) no existe ahorita, de la igualdad que está en el recuadro se puede despejar la B, (como el sen (27°) está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba):
    y calculamos ésta expresión:
    3.32838 = B
    y esto es lo que vale B.
    Ya nada más falta calcular C. Para ello, volvemos a usar la ley de los Senos, pero ahora si nos vamos a fijar en una igualdad que tenga a la C:
    (Observa que ya sustituimos el valor de la B en la igualdad.)
    Despejemos la C, (como sen (110°) está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba):
    hacemos las operaciones y queda:
    6.88925 = C
    y con este resultado ya queda resuelto todo el triángulo.
    Nota que si en lugar de haber usado la igualdad de la derecha hubiéramos usado la de los extremos, el resultado habría sido exactamente el mismo:
    o escrito ya sin el término de en medio:
    igual despejamos la C, (como sen (110°) está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba):
    y si haces las operaciones verás que te da C = 6.88925 igual que antes.
    Ley del coseno
    La ley de los Coseno es una expresión que te permite conocer un lado de un triángulo cualquiera, si conoces los otros dos y el ángulo opuesto al lado que quieres conocer. Esta relación es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.
    La ley del Coseno dice así:
    y si lo que te dan son los lados, y te piden el ángulo que hacen los lados B y C, entonces dice así:
    donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y a, b y c (minúsculas) son los ángulos del triángulo:
    Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letra mayúscula. O sea, la a está en el ángulo opuesto de A. La b está en el ángulo opuesto de B. Y la c está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuando resuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrá mal.
    Observa que la ley del coseno es útil sólo si te dan los dos lados que te faltan y el ángulo opuesto al lado que buscas, o sea estos:
    Dicho en otras palabras: te tienen que dar los lados y el ángulo que hacen los lados. Si no te dan el ángulo que hacen los lados, entonces tienes que usar la ley de los senos.
    Resolución de triángulos por la ley del Coseno
    Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partir de los datos que te dan (que generalmente son tres datos).
    *Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolver con la ley del coseno. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los senos lo puede resolver.
    En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un lado, usa ley de los senos.
    Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo que forman esos lados, usa ley de los cosenos.
    Supónganos que te ponen el siguiente problema:
    Resolver el triángulo siguiente:
    llamemos a al ángulo de 25° porque está opuesto al lado A; C al lado que mide 12 porque está opuesto al ángulo c. y B al lado de 9 porque está opuesto al lado b.
    Lo que tenemos entonces es lo siguiente:
    A =?
    B = 9
    C = 12
    a = 25°
    b = ?
    c =?
    Usando la ley del coseno tenemos sustituyendo:
    realizando las operaciones queda:
    A = 5.4071
    Para encontrar los ángulos faltantes usaremos la ley de los senos, :
    Sustituyendo los datos del problema y el valor de A que acabamos de encontrar queda:
    Para encontrar el ángulo b, vamos a fijarnos en la primera igualdad:
    de ésta igualdad despeja el ángulo b (una forma rápida de despejar cuando lo que queremos despejar está abajo, es como sigue:
    invierte primero los quebrados – lo de arriba pásalo abajo y lo de abajo pásalo arriba-: luego, lo que está dividiendo al sen(b) abajo, pásalo multiplicando arriba del otro lado.
    Y así es más rápido.)
    Haciendo las operaciones nos queda:
    inviértelo para que quede bien escrito:
    sen (b) = 0.7034297712
    y saca la función inversa del seno (el arco seno):
    b = sen-1 (0.7034297712)
    b = 44. 703 = 44° 42'
    El ángulo c es ahora muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre suma 180°. O sea que cuando tengas dos ángulos de un triángulo, el tercero siempre sale así:
    c = 180° – a – b
    Esta fórmula es válida para cualquier triángulo. Así que apréndetela bien o apúntala por ahí porque la usarás muchísimo en matemáticas.
    Sustituimos en ésta expresión los ángulos que nos dan y queda así:
    c = 180° -25°- 44°42' = 180° – 69°42' = 110°17'
    c= 110°17'
    y con este resultado ya queda resuelto todo el triángulo.
    Funciones Trigonométricas
    Función Seno:
    La función Seno se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa:
    Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:
    el seno del ángulo alpha será:
    Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa del seno:
    cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "sin" (dice "sin" y no "sen" porque en inglés la función seno se escribe "sin"):
    para este caso, el resultado da: 53.13010…
    que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
    Función Cosecante
    La función cosecante es parecida a la función seno, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto opuesto entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto opuesto
    en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la cosecante:
    sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la cosecante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso del seno. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote "¿Cómo lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitución:
    y ya.
    Gráfica de la función Seno
    Si graficas la función y = sen(x) en un plano cartesiano, obtendrías la siguiente figura:
    Observa que la función no pasa de 1 por arriba y de -1 por abajo. Se dice entonces que la función está "acotada" entre -1 y +1. Los valores para los que la función llega hasta +1 o -1 son los múltiplos impares de ¶ / 2, o sea:
    con n entero y mayor que cero.
    La función seno(x) tiene periodo de 2¶, esto es, que cuando x es igual a 2¶, la función se vuelve a repetir tomando los valores que tomó a partir del cero.
    Función Coseno:
    La función Coseno se obtiene de dividir el cateto adyacente de un triángulo rectángulo, entre su hipotenusa:
    Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:
    el coseno del ángulo alpha será:
    Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa del coseno:
    cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "cos":
    para este caso, el resultado da: 53.13010…
    que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
    Función Secante
    La función secante es parecida a la función coseno, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto adyacente entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto adyacente:
    en principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la secante:
    sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la secante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso del coseno. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote "¿Cómo lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitución
    y ya.
    Gráfica de la función Coseno
    Si graficas la función Coseno en un plano cartesiano, ésta se vería así:
    Observa que la función se parece muchísimo a la función Seno. La diferencia está en que el coseno comienza en el +1 [o sea y(0) = +1], y el seno en el 0 [ o sea y(0) = 0]. Esto se debe a que la función coseno está desfasada medio periodo respecto de la función seno.
    Igual que en la función Seno, la función coseno sólo puede tomar valores entre -1 y +1. A esto se le dice "acotada", que significa que tiene límites de los cuáles ya no pasa.
    La función es periódica ( o sea que se repite su forma a lo largo del eje x) y su periodo vale 2¶ (o sea que cuando x toma el valor de 2¶, la función vuelve a tomar los valores que tomó desde el cero otra vez.
    Los valores para los que la función Coseno se vuelve +1 o -1 son los múltiplos enteros de ¶, o sea:
    n¶ con n cualquier entero incluyendo el cero.
    Función Tangente:
    La función Tangente se obtiene de dividir el cateto opuesto de un triángulo rectángulo, entre el cateto adyacente:
    Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo siguiente:
    la tangente del ángulo alpha será:
    Para obtener el valor de ángulo alpha, hay que sacar la función inversa de la tangente:
    cualquier calculadora científica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se encuentra típicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "tan":
    para este caso, el resultado da: 53.13010…
    Que es el valor en decimal que corresponde al ángulo alpha.
    La función tangente se puede también definir a través de las funciones seno y coseno como sigue:
    y el resultado es el mismo que dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente.
    Función Cotangente
    La función cotangente es parecida a la función tangente, sólo que al revés. Esto es: en lugar de dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente, se divide el cateto adyacente entre el cateto opuesto
    hay otras notaciones válidas para la cotangente, algunos la prefieren escribir de alguna de las siguientes formas:
    pero es la misma función.
    En principio, para obtener el valor del ángulo alpha, uno debería sacar la función inversa de la tangente (la arco cotangente), por ejemplo, para el problema de arriba sería:
    sin embargo, la mayoría de las calculadoras no sacan ésta función (ni siquiera la cotangente) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la función inversa del inverso de la tangente. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntándote "¿Cómo lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitución:
    y ya.
    Gráfica de la función Tangente
    Si graficaras la función y = tan (x) en un plano cartesiano, ésta se vería así:
    los puntos donde la función se va a infinito se llaman "asíntotas" y en esos valores la función tangente no está definida. Esta función tiene periodo ¶ (recuerda que en radianes ¶ = 180°). Es decir que cuando la x toma los múltiplos de ¶, la función vuelve a tomar los valores que tomó desde el cero, y la función se repite así hasta infinito.
    Observa que a diferencia de las funciones seno y coseno, la función tangente no está "acotada", o sea limitada en el eje de las y's, sino que puede tomar cualquier valor y no como la función seno o coseno que sólo pueden tomar valores entre el +1 y el -1.
    Fórmulas e Identidades Trigonométricas
    La siguiente es una lista de fórmulas trigonométricas muy útiles para resolver muchos problemas:
    Fundamentales
    sen(-x) = -sen(x)
    cos(-x) = cos(x)
    tan(-x) = -tan(x)
    sen2x + cos2x = 1
    1 + tan2x = sec2x
    1 + cotan2x = csc2x
    sen ( ¶ – x) = sen (x)
    cos ( ¶ – x) = -cos (x)
    tan ( ¶ – x) = -tan (x)
    Suma y resta de dos ángulos en funciones trigonométricas
    sen (u + v) = sen (u)cos (v) + cos(u)sen(v)
    sen (u – v) = sen (u)cos (v) – cos(u)sen(v)
    cos (u + v) = cos(u) cos(v) – sen(u)sen(v)
    cos (u – v) = cos(u) cos(v) + sen(u)sen(v)
    Fórmulas para la suma del doble del ángulo
    sen (2x) = 2sen(x)cos(x)
    cos(2x) = 2cos2(x) – 1
    cos(2x) = cos2(x) – sen2(x)
    cos(2x) = 1 – 2sen2(x)
    Fórmulas para el cuadrado de la función
    Fórmulas para el cuadrado de la función con la mitad del ángulo
    Fórmulas para la tangente de la mitad del ángulo
    Fórmulas para el producto de seno y coseno
    Fórmulas para la suma y resta de senos y cosenos
    Identidades entre funciones trigonométricas
    Ley de los seno
    Ley del Coseno
    La ley de los Senos y ley del coseno se basan en éste triángulo:
    Tabla de coseno y seno de los ángulos principales
    Conclusión
    A través del tiempo una gran cantidad de personajes han dedicado su vida para contribuir con la realización de cálculos que ayuden y nos lleven a encontrar respuestas y resultados exactos para así descubrir el porqué de los fenómenos y hechos en la historia humana.
    Unos de los puntos dentro de la matemática a resaltar seria las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.
    Estas funciones fueron creadas a partir de la trigonometría plana y esférica para después ser perfeccionada y lograr lo que hoy llamamos Funciones Trigonométricas, es necesario dejar claro que es importante ya que forma parte de la matemáticas y que es fundamental en el desarrollo de algunas operaciones de cálculos para así obtener los resultados de los objetivos trazados.

    Bibliografía:
    http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica
    http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/funciones/seno7.htm
    http://www.monografias.com/trabajos13/trigo/trigo.shtml
    http://www.vitutor.com/fun/2/c_15.html
    Video grafía:

    http://www.youtube.com/watch?v=WUk7C4n0jGE&feature=player_embedded

    INTEGRANTES DE EQUIPO:
    Jasmine Esparza
    Janeth Fernandez
    Valeria Pozos

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