13. Congruencia, semejanza y homotecia.

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2 respuestas a 13. Congruencia, semejanza y homotecia.

  1. abril olmedo ,jenni hervert dijo:

    Congruencia, semejanza y homotecia.
    Índice:

    CONGRUENCIA
    CARACTERISTICAS DE LACONGRUENCIA
    PASOS DE CRITERIO DE LA CONGRUENCIA

    SEMEJANZA
    SEMEJANZA EN LOS TRIANGULOS

    HOMOTECIA
    ANGULO CENTRAL
    ANGULO INSCRITO
    FENÓMENO DETERMINISTA

    INTRODUCCION
    Se abordan en esta unidad conceptos elemental sobre homotecia y algunos enunciados referidos al teorema de Tales desprovistos del rigor de las demostraciones pero con la ventaja de poder comprobar sus conclusiones y propiedades de manera sencilla.
    Como conclusión se plantean los casos de semejanza de triángulos y polígonos en general, también de manera manipulativa.
    Se realiza un acercamiento a las relaciones métricas en un triángulo rectángulo: los teoremas del cateto y la altura.
    Una semejanza es la composición de una materia (una rotación y una posible reflexión o simetría axial) con una homotecia. En la rotación se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma.
    Todo el tema de congruencias se desarrolla en el conjunto de los números enteros, pero por simplicidad, y para facilitar el uso con alumnos, haremos mención sólo de los naturales en los ejemplos, aunque los resultados se generalizan fácilmente.
    No se demuestra ningún resultado, ya que el objetivo de estos apuntes es tan solo mostrar un recorrido breve por los aspectos teóricos más interesantes.
    OBJETIVO
    • Conocer y aplicar homotecias directas e inversas a figuras sencillas
    • Aplicación del teorema de Tales a los casos de proporciones de segmentos
    • Construcción de polígonos semejantes y cálculo de las medidas relacionadas
    • Conocer y utilizar los teoremas del cateto y la altura

    La congruencia entendida a nivel geométrico hace referencia a la paridad o equilibrio que existe entre dos números a nivel algebraico. Esta congruencia se puede observar de manera concreta en dos o más figuras geométricas (tales como un cuadrado o triángulo) que cuentan con lados y ángulos iguales entre una y otra. Hay muchos modos en los que se puede observar la congruencia geométrica en figuras. En el ámbito de la álgebra, la congruencia supone siempre una equivalencia entre dos elementos o estructuras numéricas, lo cual significa que, en definitiva, son iguales ya que al ser transformadas por otro número dan igual resultado.
    • Dos figuras son congruentes sii existe un movimiento (isometría)que transforme una en la otra. En otras palabras se puede decir que son iguales en tamaño y forma (conservan sus ángulos y sus lados). Por qué no decimos entonces que son iguales? Pues en matemática dos figuras son iguales si todos sus puntos son coincidentes, en el caso de tener dos figuras, para que sean iguales deben estar colocadas “una sobre la otra” (ser la misma en el espacio).
    En el caso de figuras con ángulos, estos se conservan, pero no se conservan necesariamente las medidas de los lados (si su relación)
    Por ejemplo, un triángulo de lados 3,4 y 5 es semejante a uno de lados 6,8 y 10.
    Dos fiuras congruentes también serán semejantes, mas dos figuras semejantes no necesariamente son congruentes.
    Tanto isometrías como semejanzas son funciones biyectivas del plano (o del espacio)

    Imagen:

    CARACTERISTICAS DE LA CONGRUENCIA:
    Se dice que una figura es congruente a otra si todos sus lados miden lo mismo y por tanto poseen los mismos ángulos.
    Para triángulos hay algunos criterios de congruencia como:
    LLL (Lado, Lado, Lado) cuando ambos triángulos poseen todos sus lados iguales.
    LAL (Lado, Angulo, Lado) cuando poseen dos lados iguales y el angulo formado por el par de lados tambien es igual.
    ALA (Angulo, Lado, Angulo) cuando poseen un lado igual y los angulos que forma este lado con los dos lados restantes son iguales.
    Entonces, sabemos que si dos triángulos tienen tres ángulos y tres lados iguales entre si, son iguales ( o congruentes), ahora bien, no es necesario en todos los casos verificar uno a uno todos esos elementos.
    PASOS DE CRITERIO DE CONGRUENCIA
    Primer criterio de congruencia: LLL
    Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.
    a ≡ a’
    b ≡ b’
    c ≡ c’
    → triáng ABC ≡ triáng A’B’C’
    Segundo criterio de congruencia: LAL
    Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.
    b ≡ b’
    c ≡ c’
    α ≡ α’
    → triáng ABC ≡ triáng A’B’C’
    Tercer criterio de congruencia: ALA
    Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado.
    b ≡ b’
    α ≡ α’
    β ≡ β’
    → triáng ABC ≡ triáng A’B’C’
    Tercer criterio de congruencia: ALA
    Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado.
    b ≡ b’
    α ≡ α’
    β ≡ β’
    → triáng ABC ≡ triáng A’B’C’
    Cuarto criterio de congruencia: LLA
    Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y los ángulos opuestos al mayor de los lados también son congruentes, entonces los dos triángulos son congruentes.
    a ≡ a’
    b ≡ b’
    β ≡ β’
    → triáng ABC ≡ triáng A’B’C’

    http://www.definicionabc.com/general/congruencia.php

    SEMEJANZA.-
    Se dice que dos figuras son semejantes si se pueden hacer coincidir mediante una dilatación de las dimensiones de una de ellas, posiblemente con una rotación y/o una reflexión adicionales. Es decir, si tienen la misma forma y sus dimensiones son proporcionales.
    Dos triángulos son semejantes si existe una relación de semejanza o similitud entre ambos.
    En la figura, los ángulos correspondientes son A = A’, B = B’ y C = C’. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente.
    Ecuación:
    Se reúnen estas dos propiedades equivalentes en la siguiente ecuación:
    Imagen:

    Para lo que se quiere realizar, es necesario el conocimiento de lo que son lados correspondientes y lo que es proporcionalidad, para ello considere la figura que se muestra abajo en la que los lados correspondientes son respecticamente:
    c y c’ (lado grande y lado grande)
    a y a’ (lado pequeño y lado pequeño)
    b y b’ (lado mediano y lado mediano)

    Observe que al realizar la división entre los lados homólogos (correspondientes) el resultado que se obtiene es 2 (dividiendo 10 entre 5, 8 entre 4 y 6 entre 3), este valor recibe el nombre de razón y cuando la razón es igual en todos y cada uno de los lados correspondientes, se dice que los lados son proporcionales.

    SEMEJANZA EN LOS TRIÁNGULOS.
    Es difícil poder seleccionar una opción que responda correctamente a la pregunta planteada, ya que de acuerdo al contexto de la conversación, el significado y utilización de la palabra semejanza, podría hacer referencia a objetos que se parecen en tamaño, forma o exactamente iguales, entre otros.
    Los lados a y a’, b y b’, c y c’ se llaman lados homólogos.

    Son ángulos homólogos:

    Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.

    La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.
    La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.

    La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.

    En la figura, los ángulos correspondientes son A = A’, B = B’ y C = C’. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente.Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas la longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes:
    Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes

    Los lados a y a’, b y b’, c y c’ se llaman lados homólogos.
    Son ángulos homólogos:
    Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.

    BIBLIOGRAFÍA:

    http://www.roberprof.com/2009/08/31/criterios-de-congruencia-de-triangulos/

    HOMOTENCIA.
    Es la transformación geométrica que no tiene una imagen congruente, ya que a partir de una figura dada se obtienen una o var9ias figuras en tamaño mayor o menor que la figura dada, para obtenerlas se parte de un punto escogido arbitrariamente, al cual se llama centro de homotecia, del cual se trazan segmentos de recta, tantos como vértices tenga la figura que se va a transformar, se debe considerar otro elemento básico para desarrollar esta transformación, siendo esta una constante, la cual se denomina constante de homotecia que viene a ser la escala en la cual se realiza la reproducción.
    Tiene las siguientes propiedades:
    Los ángulos de las figuras por homotecia son iguales ya que tienen la misma medida.
    Los segmentos con paralelos.
    Las dimensiones de dos figuras por homotecia son directamente proporciónales; esta proporción es fijada por la constante de homotecia.
    Aquellas figuras que no cumplen con la propiedad de ser paralelos los segmentos se les denomina figuras semejantes, a las que cumplen con todas las propiedades se les denomina figuras homoteticas.

    ANGULO CENTRAL.
    Es el ángulo cuyo vértice es el centro de un circulo y sus ladas con dos cuerdas del mismo.

    ANGULO INSCRITO.
    Es el ángulo agudo, cuyo vértice es un punto cualquiera de la circunferencia y sus lados con secantes de la misma.

    FENÓMENO DETERMINISTA.
    Al hecho de contar con toda la información necesaria que pernita predecir un suceso con exactitud.
    Construcción de un polígono semejante a otro
    Un método para construir un polígono semejante al ABCDE, si la razón de semejanza es 1/2, es el siguiente:
    • Desde un punto O, cualquiera, se trazan rectas hacia todos los vértices del polígono ABCDE.
    • El punto A´ queda determinado cuando el segmento OA´ sea la mitad del OA. De igual forma se determinarían los puntos B´, C´, D´ y E´.
    Si la razón de semejanza es distinta, basta con buscar que el cociente de los segmentos OA´ y OA sea igual a la razón de semejanza.
    En la escena Descartes puede variarse el valor de la razón de semejanza de ambos polígonos y moverse de sitio el punto auxiliar O.
    imagen

    Tiene las siguientes propiedades:
    •Los ángulos de las figuras por homotecia son iguales ya que tienen la misma medida.
    •Los segmentos con paralelos.
    •Las dimensiones de dos figuras por homotecia son directamente proporciónales; esta proporción es fijada por la constante de homotecia.
    Aquellas figuras que no cumplen con la propiedad de ser paralelos los segmentos se les denomina figuras semejantes, a las que cumplen con todas las propiedades se les denomina figuras homoteticas.

    Bibliografía:

    http://www.kalipedia.com/matematicas-geometria/tema/movimientos-plano/homotecia-directa-homotecia-inversa.html?x=20070926klpmatgeo_289.Kes&ap=1

    videografía :

    VIDEOS CON EJERCICIOS
    CONGRUENCIA

    SEMEJANZA

    HOMOTECIA

  2. abril olmedo, jenni hervert dijo:

    Congruencia, semejanza y homotecia
    Índice:

    CONGRUENCIA
    CARACTERISTICAS DE LACONGRUENCIA
    PASOS DE CRITERIO DE LA CONGRUENCIA

    SEMEJANZA
    SEMEJANZA EN LOS TRIANGULOS

    HOMOTECIA
    ANGULO CENTRAL
    ANGULO INSCRITO
    FENÓMENO DETERMINISTA

    INTRODUCCION
    Se abordan en esta unidad conceptos elemental sobre homotecia y algunos enunciados referidos al teorema de Tales desprovistos del rigor de las demostraciones pero con la ventaja de poder comprobar sus conclusiones y propiedades de manera sencilla.
    Como conclusión se plantean los casos de semejanza de triángulos y polígonos en general, también de manera manipulativa.
    Se realiza un acercamiento a las relaciones métricas en un triángulo rectángulo: los teoremas del cateto y la altura.
    Una semejanza es la composición de una materia (una rotación y una posible reflexión o simetría axial) con una homotecia. En la rotación se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma.
    Todo el tema de congruencias se desarrolla en el conjunto de los números enteros, pero por simplicidad, y para facilitar el uso con alumnos, haremos mención sólo de los naturales en los ejemplos, aunque los resultados se generalizan fácilmente.
    No se demuestra ningún resultado, ya que el objetivo de estos apuntes es tan solo mostrar un recorrido breve por los aspectos teóricos más interesantes.
    OBJETIVO
    • Conocer y aplicar homotecias directas e inversas a figuras sencillas
    • Aplicación del teorema de Tales a los casos de proporciones de segmentos
    • Construcción de polígonos semejantes y cálculo de las medidas relacionadas
    • Conocer y utilizar los teoremas del cateto y la altura

    La congruencia entendida a nivel geométrico hace referencia a la paridad o equilibrio que existe entre dos números a nivel algebraico. Esta congruencia se puede observar de manera concreta en dos o más figuras geométricas (tales como un cuadrado o triángulo) que cuentan con lados y ángulos iguales entre una y otra. Hay muchos modos en los que se puede observar la congruencia geométrica en figuras. En el ámbito de la álgebra, la congruencia supone siempre una equivalencia entre dos elementos o estructuras numéricas, lo cual significa que, en definitiva, son iguales ya que al ser transformadas por otro número dan igual resultado.
    • Dos figuras son congruentes sii existe un movimiento (isometría)que transforme una en la otra. En otras palabras se puede decir que son iguales en tamaño y forma (conservan sus ángulos y sus lados). Por qué no decimos entonces que son iguales? Pues en matemática dos figuras son iguales si todos sus puntos son coincidentes, en el caso de tener dos figuras, para que sean iguales deben estar colocadas “una sobre la otra” (ser la misma en el espacio).
    En el caso de figuras con ángulos, estos se conservan, pero no se conservan necesariamente las medidas de los lados (si su relación)
    Por ejemplo, un triángulo de lados 3,4 y 5 es semejante a uno de lados 6,8 y 10.
    Dos fiuras congruentes también serán semejantes, mas dos figuras semejantes no necesariamente son congruentes.
    Tanto isometrías como semejanzas son funciones biyectivas del plano (o del espacio)

    Imagen:

    CARACTERISTICAS DE LA CONGRUENCIA:
    Se dice que una figura es congruente a otra si todos sus lados miden lo mismo y por tanto poseen los mismos ángulos.
    Para triángulos hay algunos criterios de congruencia como:
    LLL (Lado, Lado, Lado) cuando ambos triángulos poseen todos sus lados iguales.
    LAL (Lado, Angulo, Lado) cuando poseen dos lados iguales y el angulo formado por el par de lados tambien es igual.
    ALA (Angulo, Lado, Angulo) cuando poseen un lado igual y los angulos que forma este lado con los dos lados restantes son iguales.
    Entonces, sabemos que si dos triángulos tienen tres ángulos y tres lados iguales entre si, son iguales ( o congruentes), ahora bien, no es necesario en todos los casos verificar uno a uno todos esos elementos.
    PASOS DE CRITERIO DE CONGRUENCIA
    Primer criterio de congruencia: LLL
    Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.
    a ≡ a’
    b ≡ b’
    c ≡ c’
    → triáng ABC ≡ triáng A’B’C’
    Segundo criterio de congruencia: LAL
    Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.
    b ≡ b’
    c ≡ c’
    α ≡ α’
    → triáng ABC ≡ triáng A’B’C’
    Tercer criterio de congruencia: ALA
    Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado.
    b ≡ b’
    α ≡ α’
    β ≡ β’
    → triáng ABC ≡ triáng A’B’C’
    Tercer criterio de congruencia: ALA
    Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado.
    b ≡ b’
    α ≡ α’
    β ≡ β’
    → triáng ABC ≡ triáng A’B’C’
    Cuarto criterio de congruencia: LLA
    Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y los ángulos opuestos al mayor de los lados también son congruentes, entonces los dos triángulos son congruentes.
    a ≡ a’
    b ≡ b’
    β ≡ β’
    → triáng ABC ≡ triáng A’B’C’

    http://www.definicionabc.com/general/congruencia.php

    SEMEJANZA.-
    Se dice que dos figuras son semejantes si se pueden hacer coincidir mediante una dilatación de las dimensiones de una de ellas, posiblemente con una rotación y/o una reflexión adicionales. Es decir, si tienen la misma forma y sus dimensiones son proporcionales.
    Dos triángulos son semejantes si existe una relación de semejanza o similitud entre ambos.
    En la figura, los ángulos correspondientes son A = A’, B = B’ y C = C’. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente.
    Ecuación:
    Se reúnen estas dos propiedades equivalentes en la siguiente ecuación:
    Imagen:

    Para lo que se quiere realizar, es necesario el conocimiento de lo que son lados correspondientes y lo que es proporcionalidad, para ello considere la figura que se muestra abajo en la que los lados correspondientes son respecticamente:
    c y c’ (lado grande y lado grande)
    a y a’ (lado pequeño y lado pequeño)
    b y b’ (lado mediano y lado mediano)

    Observe que al realizar la división entre los lados homólogos (correspondientes) el resultado que se obtiene es 2 (dividiendo 10 entre 5, 8 entre 4 y 6 entre 3), este valor recibe el nombre de razón y cuando la razón es igual en todos y cada uno de los lados correspondientes, se dice que los lados son proporcionales.

    SEMEJANZA EN LOS TRIÁNGULOS.
    Es difícil poder seleccionar una opción que responda correctamente a la pregunta planteada, ya que de acuerdo al contexto de la conversación, el significado y utilización de la palabra semejanza, podría hacer referencia a objetos que se parecen en tamaño, forma o exactamente iguales, entre otros.
    Los lados a y a’, b y b’, c y c’ se llaman lados homólogos.

    Son ángulos homólogos:

    Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.

    La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.
    La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.

    La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.

    En la figura, los ángulos correspondientes son A = A’, B = B’ y C = C’. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente.Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas la longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes:
    Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes

    Los lados a y a’, b y b’, c y c’ se llaman lados homólogos.
    Son ángulos homólogos:
    Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.

    BIBLIOGRAFÍA:

    http://www.roberprof.com/2009/08/31/criterios-de-congruencia-de-triangulos/

    HOMOTENCIA.
    Es la transformación geométrica que no tiene una imagen congruente, ya que a partir de una figura dada se obtienen una o var9ias figuras en tamaño mayor o menor que la figura dada, para obtenerlas se parte de un punto escogido arbitrariamente, al cual se llama centro de homotecia, del cual se trazan segmentos de recta, tantos como vértices tenga la figura que se va a transformar, se debe considerar otro elemento básico para desarrollar esta transformación, siendo esta una constante, la cual se denomina constante de homotecia que viene a ser la escala en la cual se realiza la reproducción.
    Tiene las siguientes propiedades:
    Los ángulos de las figuras por homotecia son iguales ya que tienen la misma medida.
    Los segmentos con paralelos.
    Las dimensiones de dos figuras por homotecia son directamente proporciónales; esta proporción es fijada por la constante de homotecia.
    Aquellas figuras que no cumplen con la propiedad de ser paralelos los segmentos se les denomina figuras semejantes, a las que cumplen con todas las propiedades se les denomina figuras homoteticas.
    ANGULO CENTRAL.
    Es el ángulo cuyo vértice es el centro de un circulo y sus ladas con dos cuerdas del mismo.
    ANGULO INSCRITO.
    Es el ángulo agudo, cuyo vértice es un punto cualquiera de la circunferencia y sus lados con secantes de la misma.
    FENÓMENO DETERMINISTA.
    Al hecho de contar con toda la información necesaria que pernita predecir un suceso con exactitud.
    Construcción de un polígono semejante a otro
    Un método para construir un polígono semejante al ABCDE, si la razón de semejanza es 1/2, es el siguiente:
    • Desde un punto O, cualquiera, se trazan rectas hacia todos los vértices del polígono ABCDE.
    • El punto A´ queda determinado cuando el segmento OA´ sea la mitad del OA. De igual forma se determinarían los puntos B´, C´, D´ y E´.
    Si la razón de semejanza es distinta, basta con buscar que el cociente de los segmentos OA´ y OA sea igual a la razón de semejanza.
    En la escena Descartes puede variarse el valor de la razón de semejanza de ambos polígonos y moverse de sitio el punto auxiliar O.
    imagen

    Tiene las siguientes propiedades:
    •Los ángulos de las figuras por homotecia son iguales ya que tienen la misma medida.
    •Los segmentos con paralelos.
    •Las dimensiones de dos figuras por homotecia son directamente proporciónales; esta proporción es fijada por la constante de homotecia.
    Aquellas figuras que no cumplen con la propiedad de ser paralelos los segmentos se les denomina figuras semejantes, a las que cumplen con todas las propiedades se les denomina figuras homoteticas.

    Bibliografía:

    http://www.kalipedia.com/matematicas-geometria/tema/movimientos-plano/homotecia-directa-homotecia-inversa.html?x=20070926klpmatgeo_289.Kes&ap=1

    videografía :

    CONGRUENCIA

    SEMEJANZA

    HOMOTECIA

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